江西省丰城中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省丰城中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附解析），文件包含江西省丰城中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题原卷版docx、江西省丰城中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。

本试卷总分值为150分 考试时长为120分钟
考试范围：选择性必修一第6，7章、选择性必修二等差数列、圆锥曲线、立体几何、计数原理.
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1. 5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合古典概型的概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】5个人排成一列，甲排在乙的前面，
基本事件有种.
其中甲、乙两人相邻的有种，
故所求概率为.
故选：A
2. 已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分布列中各概率之和为1求得参数，进一步将所求变形为即可求解.
【详解】由题意，解得，
而.
故选：A.
3. 某考生回答一道四选一的单项选择考题，假设他知道正确答案的概率为0.6，知道正确答案时，答对的概率为，而不知道正确答案时，猜对的概率为0.2，那么他答对题目的概率为（ ）
A. 0.8B. 0.68C. 0.6D. 0.2
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件概率和全概率公式求解即可.
【详解】解：设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B，
则，，，
．
故选：B．
4. 下表是茶颜悦色“幽兰拿铁”一天的销售量（单位：杯）与温度（单位：摄氏度）的对比表，根据表中数据计算得到的经验回归方程是，则的值为（ ）
A. 86B. 88C. 90D. 92
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，代入回归方程可求出，再由表即可求出.
【详解】由题意可知：，所以，
则，解得.
故选：D.
5. 设的概率分布为（，1，2，3，4，5），则（ ）
A. 10B. 30C. 15D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得，根据二项分布的方差公式求出，再根据方差的性质计算可得；
【详解】解：由（，1，2，3，4，5）可知，所以，所以．
故选：A
6. 已知随机变量的分布列如下：
则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质、期望和方差公式，结合充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意可知，
若，则，得，
故充分性满足；
若，则，解得或.
当时，，此时，
当时，，此时，
则或，故必要性不满足.
故选：A.
7. 设等差数列的前项和分别为，若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列前n项和与通项之间的关系,将数列的项之比化为前n项和之比,代入等式计算即可得出答案.
【详解】根据等差数列的性质,
,选项A正确.
故选:A.
8. 以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成120°的二面角.若，，其中，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二面角的平面角的定义得是和折成120°的二面角的平面角，解三角形求得，，由已知得点P在平面ABC内，则的最小值为点D到平面ABC的距离，设点D到平面ABC的距离为h，运用等体积法可求得答案.
【详解】解：由已知得，所以是和折成120°的二面角的平面角，所以，
又，所以，
，所以，
因为，其中，所以点P在平面ABC内，则的最小值为点D到平面ABC的距离，
设点D到平面ABC的距离为h，
因为，，所以平面BDC，所以AD是点A到平面BDC的距离，
所以，
又中，，所以，
所以，则，所以，解得，
所以的最小值为，
故选：C.
一、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 有一组样本数据，，…，，由这组样本数据得到的经验回归方程为，则（ ）
A. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
B. 经验回归直线必经过点
C. 若样本数据的残差为1，则样本中必有数据的残差为
D. 样本相关系数时，样本数据，…，都在直线上
【答案】BD
【解析】
【分析】根据线性回归的思想和相关系数的意义逐项分析.
【详解】对于A，应该是 越大，线性相关越强，故错误；
对于B，根据线性回归方程的规则，样本中心的必须在回归直线上，故正确；
对于C， 残差只是表示这一点的残差，与其他点无关，故错误；
对于D，当r=1时，样本数据具有确定的函数关系，当然是在回归直线上，故正确；
故选：BD.
10. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为.则（ ）
参考公式：样本划分为层，各层的容量､平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，.
A.
B. 估计该年级学生成绩的中位数约为
C. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为
D. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，列等式求出实数的值，可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用总体平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，
则，解得，A错；
对于B选项，前两个矩形的面积之和为，
前三个矩形的面积之和为，
设计该年级学生成绩的中位数为，则，
根据中位数的定义可得，解得，
所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，B对；
对于C选项，估计成绩在分以上的同学的成绩的平均数为
分，C对；
对于D选项，估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为
，D对.
故选：BCD.
11. 设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，…组成公差为d的递增等差数列，则（ ）
A. 的最大值为
B. 的面积最大时，
C. d的取值范围为
D. 椭圆上存点P，使
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题知，易判A正确；当P离横轴的距离最大时，
的面积最大，计算正切值即可；将的最大值、最小值代入公式即可
判断C选项；写出余弦定理公式并配方，得，由均值
不等式知,当且仅当时，此时最大，
此时，易得D不正确.
【详解】由椭圆方程 知， .
选项A：因为P为椭圆上的动点，所以，所以的最大值为
，故A正确；
选项B：当点P为短轴顶点时，的高最大，所以的面积最大，
此时，所以B正确；
选项C：设，，，…组成公差为d的等差数列为，所以，，，
故C正确；
选项D：因为
，又 ，
所以 ，而 ，
当且仅当 时取等号.此时 ，
故此时最大 此时
故D不成立.
故选：ABC．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知数列中，，且数列为等差数列，则_____________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由题意得:
考点：等差数列通项
13. 某市有30000人参加阶段性学业水平检测，检测结束后的数学成绩X服从正态分布，若，则成绩在140分以上的大约为______人．
【答案】150
【解析】
【分析】根据考试的成绩X服从正态分布．得到考试的成绩X的正太密度曲线关于对称，根据，得到，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．
【详解】由题意，考试的成绩X服从正态分布．
考试的成绩X的正太密度曲线关于对称，
，
，
，
该市成绩在140分以上的人数为．
故答案为：150.
14. 将A，B，C，D，E五个字母排成一排，A，B均在C的同侧，记A，B之间所含其它字母个数为，则方差D（）=___________
【答案】##0.45
【解析】
【分析】由题意先求分布列，套公式求出方差.
【详解】由题意知, 的可能取值为0,1,2.
又因为将A、B、C、D、E五个字母排成一排A、B均在C的同侧,所以:
i.当=0,即A、B之间没有其它字母时.先将A、B全排,有种排法,再把A、B的全排看作一个大元素,参加剩下的3个元素全排,有种排法因此共有种排法；
ii.当=1,即A、B之间只有D、E之一时.先将A、B全排,有种排法,再在D、E中选1个放入A、B之间,有种选法,再把这三个元素的排列看作一个大元素,参加剩下的2个元素全排,有种排法,因此共有种排法;
iii.当=2,即D、E都在A、B之间时,先将A、B全排,有种排法,把D、E全排,有种排法,再把D、E全排作为一个大元素放入A、B之间有1种放法,再把这4个元素的排列看作一个大元素与C全排,有种排法,因此共有种排法.
所以基本事件共有48+24+8=80种.
其中;;.
所以.
.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
【小问2详解】
因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
16. 在四棱锥中，底面为正方形， ，平面，分别为的中点，直线与相交于点．
（1）求到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系后由点到面距离公式计算即可得；
（2）借助空间向量计算即可得.
【小问1详解】
由平面，且、平面，
故、，又底面为正方形，
故，故、、两两垂直，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则、、、、,
则，，，
设平面的法向量为，
则有，即，令，则有、，
故可为，
则到平面的距离；
【小问2详解】
、，则，
则有，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17. 第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWrldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
附：.
【答案】（1）表格见解析，有
（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到列联表，求得，结合附表，即可得到结论；
（2）根据题意，得到随机变量的可能的取值，求得相应的概率得到分布列，利用期望公式，即可求解.
【小问1详解】
解：根据题意，得到列联表如下：
可得，
所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.
【小问2详解】
解：由题意，人进球总次数的所有可能取值为，
可得，，
，
所以随机变量的分布列为：
所以的数学期望为.
18. 2024年3月4日，丰城市农业局在市委组织下召开推进湖塘-董家富硒梨产业高质量发展专题会议，安排部署加快推进特色优势产业富硒梨高质量发展工作，集中资源、力量打造“富硒梨”公共品牌.丰城市为做好富硒梨产业的高质量发展，项目组统计了某果场近5年富硒梨产业综合总产值的各项数据如下：年份x，综合产值y（单位：万元）
（1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；
（2）求出y关于x的经验回归方程，并预测2024年底该果场富硒梨产业的综合总产值.
参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：；
参考数据：
【答案】（1）说明见解析
（2），175.64万元
【解析】
【分析】（1）首先算出，进一步分别算出，由此即可求得相关系数，进一步即可说明；
（2）依次求出的值即可得回归方程，进一步代入即可预测.
【小问1详解】
由题设，
则，，，
所以，两个变量有强相关性，
故可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系.
【小问2详解】
由（1），，，
所以，
当，则万元.
19. 已知双曲线E：的右焦点为，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线E的方程；
（2）是否存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，．
【解析】
【分析】（1）根据渐近线方程和求的值，即可得到双曲线E的方程；
（2）假设存在直线l，由得，取的中点，则，进而得；又利用得，于是联立方程组可得的坐标，从而得到直线的斜率并得出直线的方程.
【小问1详解】
因为双曲线E的一条渐近线方程为，所以，又，
因此，又，，；
则E的方程为．
【小问2详解】
假设存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，
设，，中点，又，
由可知为等腰三角形，，且直线l不与x轴重合，
于是，即，
因此，，（Ⅰ）
点在双曲线上，所以，
①②化简整理得：，，即，可得，（Ⅱ）
联立（Ⅰ）（Ⅱ）得：，，，
解得（舍去），适合题意，则；
由得，
所以直线l的方程为：，即．X
0
1
2
3
P
a
5a
温度（）
18
19
20
21
22
销售量（）
79
84
94
96
1
2
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
0
1
2
3
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
综合产值
23.1
37.0
62.1
111.6
150.8