1.通过丰富的实例,了解函数的概念,能举出函数的实例,初步形成模型观念.
2.以问题情境为载体,初步了解函数的三种表示方法及其特点,提高创新意识和应用意识.
3.能确定简单函数的自变量的取值范围,并会求函数值,发展运算能力.
学习重点
自变量和函数的意义.
学习难点
从变化的角度分析问题.
课时活动设计
观察与思考
回顾一下上节课教学活动2中的三个问题,分别有几个变量?指出其中的变量.
举例说明当其中一个量取定一个值时,另一个量是否也相应地取定一个值?
教学活动2中每个问题都有两个变量.问题1中,经计算可以发现:每当售票数量x取定一个值时,票房收入y就随之确定一个值.例如当早场x=150时,y=1 500;当午场x=205时,y=2 050;当晚场x=310时,y=3 100.
问题2中,通过试验可以看出:每当重物的质量m确定一个值时,弹簧的总长l就随之确定一个值.如果弹簧的原长为10 cm,每1 kg重物使弹簧伸长0.5 cm,当m=10时,l=15;当m=20时,l=20.
问题3中,我们根据题意可知每确定矩形的一边长x,即可得出它的邻边长y.例如,当x=1 m时,y=(10-1×2)÷2=4(m);当x=2 m时,y=(10-2×2)÷2=3(m).因此可知,每当矩形的一边长x确定一个值时,它的邻边长y就随之确定一个值.
以上回顾我们可以归纳出什么样的结论?尝试用自己的语言表述这两个变量的关系.
设计意图:通过分析三个实例的共性可知当都有两个变量,且一个量变化时,另一个量也在相应地变化;当一个变量取定一个值时,另一个变量随之确定一个值.学生充分感知后再用语言表达,为抽象函数概念做准备.强调:一变化过程,二相互依赖的关系,三“值”的唯一性.
一起探究
下面用图或表格表达的问题中,是否也存在两个变量间的这种关系?通过观察、思考、讨论后回答:
1.如图是体检时的心电图,其中图上点的横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应吗?
2.在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以分别记作两个变量x与y,对于表中每一个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y吗?
中国人口数统计表
设计意图:通过观察不难发现在问题1的心电图中,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应;在问题2中,对于表中每一个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y.进而得到函数的概念,一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.从具体到抽象、从感性认识到理性认识的转变中,得出了函数的概念,学生经历了概念形成的过程,通过对概念的感知、归纳,培养学生抽象概括的能力.
师生辨析
说出上面问题中的自变量和函数,同桌交流.
注:如果y是x的函数,那么我们也说y与x具有函数关系.那么哪个量是自变量,哪个量是自变量的函数?
设计意图:在归纳出函数的概念后,对概念进行辨析巩固,同时体会三种不同的函数表示方法及特点.学生了解函数是刻画变量之间对应关系的数学模型,许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示,之后让学生用不同的方式举例,有利于发散思维的培养,学生经过充足的思考、交流达成共识,养成良好的学习习惯,促进学生核心素养的发展.
大家谈谈
上面问题中自变量可取哪些值?取任意值时,原问题有意义吗?
例1 下列式子中的y是x的函数吗?为什么?
(1)y=2x+1; (2)y=2x(x+1); (3)y=1x-2.
解:(1)(2)(3)中y均是x的函数.
理由:因为(1)(2)(3)中,当x的值确定时,y的值也随之确定.
追加求上面函数的自变量x的取值范围.
当x=5时,对应的函数值是多少?
解:(1)x为全体实数;(2)x≠0且x≠-1;(3)x>2.
当x=5时,(1)y=11;(2)y=115;(3)y=13=33.
例2 汽车油箱中现有汽油50 L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶路程x(单位:km)的增加而减少,平均耗油量为0.1 L/km.
(1)写出表示y与x的函数关系的式子;
(2)指出自变量x的取值范围;
(3)汽车行驶200 km时,油箱中还有多少汽油?
解:(1)行驶路程x是自变量,油箱中的油量y是x的函数,它们的关系为y=50-0.1x.
(2)仅从式子y=50-0.1x看,x可以取任意实数.
但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程,因此x不能取负数.
行驶中的耗油量为0.1x,它不能超过油箱中现有汽油量50,即0.1x≤50.
因此,自变量x的取值范围是0≤x≤500.
(3)汽车行驶200 km时,油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值.将x=200代入y=50-0.1x,得y=50-0.1×200=30.
汽车行驶200 km时,油箱中还有30 L汽油.
设计意图:先让学生独立思考,再交流,给学生充分的时间,让学生在具体实例中体会函数的自变量的取值范围,超出范围可能会失去意义.学生在巩固函数意义、理解认识及确立函数关系式的基础上,学会如何确定自变量的取值范围和求函数值的方法,知道自变量的取值范围的确定,不仅要考虑函数关系式的意义,而且还要注意问题的实际意义.根据学生不同的基础,给学生提供具有层次的练习,激发学生的学习兴趣,建立学生学习数学的自信心.
课堂8分钟.
1.教材第74页练习第1,2题,第81页习题19.1复习巩固第3,7题,综合运用第10题.
2.七彩作业.
第2课时函数
函数的概念
自变量的取值范围
函数值
例1 例2
教学反思

年份
人口数/亿
1984
10.43
1989
11.27
1994
11.98
1999
12.57