初中数学冀教版八年级下册21.5 一次函数与二元一次方程的关系第2课时教案设计

这是一份初中数学冀教版八年级下册21.5 一次函数与二元一次方程的关系第2课时教案设计，共6页。

(一)教学知识点
1.认识一元一次不等式、一元一次方程与一次函数问题的转化关系.
2.学会用图像法求解不等式、一元一次方程.
3.进一步理解数形结合思想.
(二)能力训练要求
1.培养提高从不同方向思考问题的能力.
2.探究解题思路,以便灵活运用知识.
3.提高问题间互相转化的技能.
4.形成合作交流的意识及独立思考的习惯.
教学重点
1.理解一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的转化关系及本质联系.
2.掌握用图像法求解不等式的方法.
教学难点
图像法求解不等式中自变量取值范围的确定.
课时活动设计
导入新课
1.方程2x+20=0.
2.函数y=2x+20.
观察思考:二者之间有什么联系?
从数上看:方程2x+20=0的解,是函数y=2x+20的值为0时,对应自变量的值;从形上看:函数y=2x+20与x轴交点的横坐标即为方程2x+20=0的解.
设计意图:让学生进行新旧知识的结合,找到不同点,为新授制造悬念,带着疑问进行新的学习.
思考
利用图像法解下列三个方程.
(1)2x+1=3; (2)2x+1=0; (3)2x+1=-1.
解:可以看出,这3个方程的等号左边都是2x+1,等号右边分别是3,0,-1.从函数的角度看,解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3,0,-1时,求对应自变量x的值,或者说,在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3,0,-1的点,看它们的横坐标分别为多少.
小结:本节课从解具体一元一次方程与当自变量x为何值时一次函数的值为0这两个问题入手,发现这两个问题实际上是同一个问题,进而得到解方程kx+b=0与求自变量x为何值时,一次函数y=kx+b的值为0的关系.
设计意图:通过活动确认了这个问题在函数图像上的反映.经历了活动与练习后让学生更熟练地掌握了这种方法.虽然用函数解决方程问题未必简单,但要体会数形结合思想在以后学习中的重要性.
实际应用
某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一国有出租车公司中的一家签订月租车合同.设汽车每月行驶x千米,应付给个体车主的月费用是y1元,应付给出租车公司的月费用是y2元,y1,y2与x之间的函数关系图像如图所示.每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同,是多少元?
解:利用图像即可得出,当行驶路程为1 500千米时,租用两家车的费用都是2 000元.
设计意图:通过图像解决问题,体会从函数的角度解决问题更便捷.
做一做
师:我们来看下面两个问题有什么关系?
1.解不等式5x+6>3x+10.
2.当自变量x为何值时,函数y=2x-4的值大于0?
在问题1中,不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0,解这个不等式,得x>2.
解问题2就是要解不等式2x-4>0,得出x>2时函数y=2x-4的值大于0.因此这两个问题实际上是同一个问题.
那么,是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢?它在函数图像上的表现是什么?如何通过函数图像来求解一元一次不等式?
师:我们先观察函数y=2x-4的图像.可以看出,当x>2时,直线y=2x-4上的点全在x轴上方,即这时y=2x-4>0.
由此可知,通过函数图像也可求得不等式的解为x>2.
由上面两个问题的关系,我们能得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x在什么范围内,一次函数y=ax+b的值大于0”之间的关系,实质上是同一个问题.
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大于(或小于)0时,求自变量相应的取值范围.
设计意图:引导学生不仅能从代数的角度解不等式,更能从函数的图像中求解,体会图像法解题的妙处.
合作探究
活动内容设计:
用画函数图像的方法解不等式5x+4<2x+10.
教师活动:引导学生通过画图、观察、寻求答案,并能通过两种不同解法,得到同一答案,探索思考、总结归纳出其中的共同点.
学生活动:在教师指导下,顺利完成作图,观察求出答案,并能归纳总结出其特点.
活动过程及结论:
方法一:原不等式可以化为3x-6<0,画出直线y=3x-6的图像,可以看出,当x<2时这条直线上的点在x轴的下方,即这时y=3x-6<0,所以不等式的解集为x<2.
方法二:将原不等式的两边分别看作两个一次函数,画出直线y=5x+4与直线y=2x+10.可以看出,它们交点的横坐标为2.当x<2时,对于同一个x,直线y=5x+4上的点在直线y=2x+10上的相应点的下方,这时5x+4<2x+10,所以不等式的解集为x<2.
以上两种方法其实都是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低.
师:从上面两种解法可以看出,虽然像上面那样用一次函数图像来解不等式未必简单,但是从函数角度看问题,能发现一次函数与一元一次不等式之间的联系,能直观地看出怎样用图像来表示不等式的解.这种函数观点认识问题的方法,对于继续学习数学很重要.
设计意图:通过这一活动使学生熟悉一元一次不等式与一次函数值大于或小于0时,自变量取值范围的问题之间的关系,并寻求出解决这一问题的具体方法,灵活运用.
学以致用
牛刀小试
1.当自变量x的取值满足什么条件时,函数y=3x+8的值满足下列条件?
(1)y=-7; (2)y<2.
解:[解法一](1)画直线y=3x+8,如图,由图像可知,y=-7时对应的x=-5.
∴当x=-5时,y=-7.
(2)画直线y=3x+8,如图,由图像可知,y<2时对应的x<-2.
∴当x<-2时,y<2.
[解法二](1)要使y=-7,即3x+8=-7,变为3x+15=0.
画直线y=3x+15,如图1,由图像可知,当x=-5时,3x+15=0.∴当x=-5时,y=-7.
(2)要使y<2,即3x+8<2,变为3x+6<0,画直线y=3x+6,
如图2,由图像可知,当x<-2时,3x+6<0,∴当x<-2时,y<2.
2.利用图像解出x的取值范围:6x-4<3x+2.
解:不等式化为3x-6<0,画出函数y=3x-6的图像.
如图,由图像可以看出,当x<2时这条直线上的点在x轴的下方,
这时y=3x-6<0,∴此不等式的解集为x<2.
3.如图,利用y=-2.5x+5的图像,
(1)求出-2.5x+5=0的解;
(2)求出-2.5x+5>0的解集;
(3)求出-2.5x+5≤0的解集;
(4)你能求出-2.5x+5>3的解集吗?
(5)你还能求出哪些不等式的解集呢?
解:由图像可知,(1)x=2;(2)x<2;(3)x≥2;(4)当y=3时,x=0.8.∴当-2.5x+5>3时,x<0.8.)
(5)(答案不唯一,合理即可)还能求出-2.5x+5>5的解集,是x<0.
拓展延伸
4.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同,设汽车每月行驶x千米,个体车主收费y1元,国营出租车公司收费为y2元,观察图像可知,当x >1 500 时,选用个体车较合算.
设计意图:强化知识的应用,让学生体会图像法解题的便捷,引导学生从多种角度分析问题和解决问题,培养学生将复杂问题简单化的意识.
课堂小结
从一次函数的角度讨论与一元一次不等式的关系,用图像法解不等式.
设计意图:引导学生对本节知识的总结和提升.培养学生的总结能力,以备更好地指导知识应用的提升.
课堂8分钟.
1.教材第112页复习题A组第6题.
2.七彩作业.
第2课时 一次函数与不等式
一、一次函数与一元一次不等式、一元一次方程的联系.
二、图像上的不等式、一元一次方程.
三、例题.
四、随堂练习.
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教学反思