2024学年北师大版八年级下册数学第一次月考卷

这是一份2024学年北师大版八年级下册数学第一次月考卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（ ）
A．B．C．或D．不能确定
2．“x的一半与1的差是非负数”用不等式可以表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，，则的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．下列说法不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（ ）．
A．3B．C．0D．2
6．如图，是等边的中线，作，交的延长线于点．若，则长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
7．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，中，，交于E，C为上一点，．若，则的长为（ ）
A．1B．C．D．2
9．如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是（ ）

A．B．
C．关于x的方程的解是D．关于x的不等式的解集是
10．如图，已知是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，．为的角平分线，点在的延长线上，，连接、．①；②；③；④；其中说法正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．不等式的负整数解有 个．
12．一个直角三角形，有一个锐角是，另一个锐角是 °．
13．如图，在数轴上点、分别表示数2，，则的取值范围是 ．
14．平面直角坐标系中，若点在第四象限，则a的取值范围是 ．
15．如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，，则的面积等于 ．
16．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为倍角三角形．若在一个倍角三角形中，，则其最小的内角度数为 ．
17．若数a既使得关于的二元一次方程组有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的a的值之和为 ．
18．如图，在中，，，是的中点，在斜边上有一动点．从点出发，沿着的方向以每秒1cm的速度运动，当点运动到点时，停止运动．设动点的运动时间为s，连接，若为等腰直角三角形，则的值为 ．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
20．如图，在中，，平分，交于点D，过点D作于点E．
(1)若点E为的中点，求证：；
(2)若，，求的长．
21．学校为举行社团活动，准备向某商家购买甲，乙两种文化衫，已知甲种文化衫每件定价40元，乙种文化衫每件定价30元，学校决定向该商家购买甲，乙两种文化衫共100件（其中甲种文化衫不超过50件），恰逢商家搞促销，现有两种优惠方案，方案一：甲种文化衫按标价八折出售，乙种文化衫按标价四折出售；方案二：购买一件甲种文化衫送一件乙种文化衫．根据以上信息，请通过计算说明，学校按照哪种方案购买更划算．
22．如图，四边形中，，平分，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
23．如图，是的角平分线，，分别是和的高．
(1)试说明垂直平分；
(2)连接交于点，若，请探究与之间有什么数量关系？并证明你的结论．
24．为了实现县域教育均衡发展，某县计划对，两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所类学校和两所类学校共需资金万元，改造两所类学校和一所类学校共需资金万元．
(1)改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元？
(2)该县计划今年对、两类学校共所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过万元，地方财政投入的改造资金不少于万元，其中地方财政投入到、两类学校的改造资金分别为每所万元和万元，请你通过计算求出改造方案？
25．如图，中，，，，点在直线的左侧且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)若在边上，求的长；
(3)若直线的右侧存在一点，且平分，，当最大时，求的长．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
26．定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因，故方程是不等式组的子方程．
．
(1)在方程①，②，③中，不等式组的子方程是 （填序号）；
(2)若不等式组的一个子方程的解为整数，则此子方程的解是 ；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的子方程，求m的取值范围．
27．如图，在中，，，于点D．
(1)如图1，点E，F在上，且，求证：；
(2)点M，N分别在直线上，且．
①如图2，当点M在的延长线上时，求证：；
②当点M在点A，D之间，且时，已知，直接写出线段的长．
2024学年北师大版八年级下册数学第一次月考卷
（范围：三角形的证明、一元一次不等式和一元一次不等式组，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（ ）
A．B．C．或D．不能确定
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，注意等腰三角形的底角必为锐角．由等腰三角形的两底角相等可得，内角为的角只能是顶角求解即可；
【详解】解：根据等腰三角形的性质得，
底角度数为：；
故选：B．
2．“x的一半与1的差是非负数”用不等式可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可直接列不等式．
【详解】解：由题意，得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式，解题的关键是理解题意．
3．如图，中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，，则的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，根据角平分线的性质及平行线的性质得，则可得，再根据即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
，，
，
故选A．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
根据不等式的性质逐一判断即可解答；
【详解】A、两边同时加上2得，，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意；
B、两边同时乘以得，，不等号的方向改变，说法正确，故选项不符合题意；
C、若，当时，，原说法不正确，故选项符合题意；
D、，两边同时除以2，则，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意．
故选：C．
5．关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（ ）．
A．3B．C．0D．2
【答案】A
【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，求出不等式的解集即可．
【详解】解：解不等式得：，
由数轴可得不等式的解集为：
，
则．
故选：A
6．如图，是等边的中线，作，交的延长线于点．若，则长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质、等角对等边，由等边三角形的性质得出，，，求出，推出，进而求出的长即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：是等边三角形，
，，
是等边的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
7．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有个，可得到的范围是解本题的关键．
【详解】解：解不等式组的解集为，
∵不等式组的整数解有3个，
∴得到整数解为，，，
∴m的范围为．
故选：B．
8．如图，中，，交于E，C为上一点，．若，则的长为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．作于点，作于点，求得，再求得，，从而求得，根据证明，据此求解即可．
【详解】解：设，作于点，作于点，
∵，
∴，，
∵，垂足为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B．
9．如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是（ ）

A．B．
C．关于x的方程的解是D．关于x的不等式的解集是
【答案】D
【分析】本题主要考查两条直线的交点问题，运用待定系数法可求出交点坐标，和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解，掌握一次函数图象的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，把交点代入一次函数中得，
，解得，，
∴，
把点代入一次函数图象得，，
根据一次函数的图象可得，，故A，B选项正确，不符合题意；
当时，，故C选项正确，不符合题意；
当时，，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
10．如图，已知是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，．为的角平分线，点在的延长线上，，连接、．①；②；③；④；其中说法正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点．证明，从而得出，即可判断①；作交的延长线于，作于，可证明，得到，，，即可证明得到，从而得出是等边三角形，即可判断②；由，若，则，从而，这与相矛盾，即可判断③；根据④，，，即可判断④．
【详解】解：①是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，故①正确，符合题意；
②如图，作交的延长线于，作于，
，
，
，
为的角平分线，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，
由①知，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，即，
是等边三角形，
，故②正确，符合题意；
③由②知，，
若，则，从而，这与相矛盾，故③错误，不符合题意；
④，，
，即，
，
，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②④，
故选：A．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．不等式的负整数解有 个．
【答案】5
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．解不等式应根据不等式的基本性质．先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可．
【详解】解：不等式的解集为：，
不等式的负整数解有：，
故答案为：5
12．一个直角三角形，有一个锐角是，另一个锐角是 °．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟记相关结论即可.
【详解】解：∵直角三角形的两个锐角互余，
∴另一个锐角是，
故答案为：
13．如图，在数轴上点、分别表示数2，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据数轴得到不等式是解题的关键．
根据数轴得到关于的不等式，然后解不等式即可．
【详解】解：由题意可知，
解得，
故答案为：．
14．平面直角坐标系中，若点在第四象限，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系的定义，解一元一次不等式组，熟记各象限的点的坐标特点是解题的关键．平面直角坐标系中各象限点的坐标特点：①第一象限的点：横坐标>0，纵坐标>0；②第二象限的点：横坐标0；③第三象限的点：横坐标