2024学年北师大版七年级下册数学第一次月考卷

这是一份2024学年北师大版七年级下册数学第一次月考卷，共17页。试卷主要包含了测试范围，下列各式能用平方差公式计算的是，如图，，平分，且，则的度数为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：北师大版七下1-2单元。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．新型冠状病毒是目前已知的第种可以感染人的冠状病毒，经研究发现，它的单细胞的平均直径约为米，该数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．如图,测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度,其依据是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间线段最短D．两点之间直线最短
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在下列条件中，能够证明的条件是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离
B．平面内，互相垂直的两条直线不一定相交
C．直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cm
D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
6．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，，平分，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）
A．4B．8C．12D．16
9．已知P=，Q= ，则P、Q的大小关系是( )
A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．无法确定
10．a1，a2，…，a2022都是正数，如果M＝（a1+a2+…+a2021）（a2+a3+…+a2022），N＝（a1+a2+…+a2022）（a2+a3+…+a2021），那么M，N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．不确定
填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．满足等式的x的值为 ．
12．已知关于x，y的多项式是完全平方式，则
13．已知，则的余角的度数为 ．
14．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的 度
15．如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为 ．

三．解答题（共7小题，满分55分）
16．计算．
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
17．先化简，再求值： 其中.
18．已知10x＝5，10y＝6，求103x＋2y的值．
19．若a、b、c都是正数，且大于1，a2=2，b3=3，c4=4，比较a、b、c的大小．
20．如图，已知，，．求证：．

21．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式进行配方
解：
我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“完美数”
【问题解决】
(1)下列各数中，“完美数”有___________．（填序号）
①10 ②45 ③28 ④29
(2)若二次三项式（是整数）是“完美数”，可配方成（m，为常数），则的值为_________；
【问题探究】
(3)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值．
【问题拓展】
(4)已知实数x，y满足，求的最小值．
22．（1）若，，求的值．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（2）已知中，，分别以、边向外侧作正方形．如图所示，设，两正方形的面积和为20，求的面积．

（3）若，求的值．
2024学年北师大版七年级下册数学第一次月考卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：北师大版1-2单元。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．新型冠状病毒是目前已知的第种可以感染人的冠状病毒，经研究发现，它的单细胞的平均直径约为米，该数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用科学记数法表示较小数时的形式为a×10−n ，其中1≤a＜10 ，n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0 的数字后面即可，确定n的值时，n等于该数从左起第一个不为0的数字前所有0的个数．
【详解】易知a＝2.03，从左起第一个不为0的数字前面有7个0，所以n＝7，
∴0．000000203＝，
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
2．如图,测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度,其依据是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间线段最短D．两点之间直线最短
【答案】B
【分析】根据垂线的定义即可求解.
【详解】由图可知，依据是垂线段最短，
故选：B.
【点睛】此题主要考查垂线段的性质，解题的关键是熟知垂线段最短.
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据单项式乘以单项式法则，多项式乘以多项式法则，单项式除以单项式法则，多项式除以单项式法则，进行逐一计算即可求解．
【详解】解：A．，计算不正确，故不符合题意；
B．，计算不正确，故不符合题意；
C．计算结果正确，故符合题意；
D．，计算不正确，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
4．如图，在下列条件中，能够证明的条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A． ，内错角相等两直线平行，能判定；故A不符合题意；
B． ，同位角相等两直线平行，能判定；故B不符合题意；
C． ，同旁内角互补两直线平行，能判定；故C不符合题意；
D． ，内错角相等两直线平行，能判定，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离
B．平面内，互相垂直的两条直线不一定相交
C．直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cm
D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【答案】C
【分析】根据点到直线距离的定义分析，可判断选项A和C；根据相交线的定义分析，可判断选项B，根据垂线的定义分析，可判断选项D，从而完成求解．
【详解】从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，即选项A错误；
在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，即选项B错误；
直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cm，即选项C正确；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，即选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了点和直线的知识；解题的关键是熟练掌握点到直线距离、相交线、垂线的性质，从而完成求解．
6．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式为逐项判断即可．
【详解】A．不符合平方差公式，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B．原式，符合平方差公式，故本选项符合题意；
C．，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
D．原式，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式为是解答本题的关键．
7．如图，，平分，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质求出∠DCB，再由角平分线的定义求出∠ACD，根据两直线平行，内错角相等求出∠A．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠DCB+∠B=180°，
又∵∠B=110°，
∴∠DCB=70°，
∵CA平分∠DCB，
∴∠ACD=∠ACB=35°，
∴∠A=∠ACD=35°．
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握两直线平行，同旁内角互补，内错角相等，是解题的关键．
8．有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】设出长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案．
【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1可得，（a+b）2-4ab=35，
即a2+b2=2ab+35①，
由图2可得，（2a+b）（a+2b）-5ab=102，
即a2+b2=51②，
由①②得，2ab+35=51，
所以ab=8，
即长方形的面积为8，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个图形的面积，利用面积之间的关系得到答案是常用的方法．
9．已知P=，Q= ，则P、Q的大小关系是( )
A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．无法确定
【答案】B
【分析】将999变形为（9×11）9，可得出答案．
【详解】解：∵999=（9×11）9=99×119，所以P===Q．
故选B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解决本题的关键在于将999变形为（9×11）9．
10．a1，a2，…，a2022都是正数，如果M＝（a1+a2+…+a2021）（a2+a3+…+a2022），N＝（a1+a2+…+a2022）（a2+a3+…+a2021），那么M，N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．不确定
【答案】A
【分析】设S＝a2+a3+…+a2021，表示出M与N，利用作差法比较大小即可．
【详解】解：设S＝a2+a3+…+a2021，则M＝（a1+S）（S+a2022）＝a1S+Sa2022+S2+a1a2022，
N＝（a1+S+a2022）S＝a1S+Sa2022+S2，
∴M﹣N＝（a1S+Sa2022+S2+a1a2022）﹣（a1S+Sa2022+S2）＝a1•a2022＞0（a1，a2，…，a2022都是正数），
∴M＞N，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查整式的乘法和比较大小，利用整体换元将整式化简，然后利用作差法比较大小是解决本题的关键．
填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．满足等式的x的值为 ．
【答案】或或
【分析】分，，且三种情况求解．
【详解】（1）当时，，此时，等式成立；
（2）当时，，此时，等式成立；
（3）当且时，，此时，等式成立．
综上所述，x的值为：或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了零指数幂的计算，幂的计算，正确分类是解题的关键．
12．已知关于x，y的多项式是完全平方式，则
【答案】
【分析】根据完全平方公式的结构特征得出，求出k的值，即可得出答案．
【详解】解：∵多项式是完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点，是解题的关键．
13．已知，则的余角的度数为 ．
【答案】
【分析】利用互为余角的定义求解即可．
【详解】解：设的余角是，则，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查余角的概念，掌握互余两个角的和为是本题的解题关键．
14．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的 度
【答案】102
【分析】根据平行线的性质得出，进而根据图，折叠的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：四边形是长方形，
，
，
在图中，，处重叠了2层，
在图中，，处重叠了3层，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15．如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为 ．

【答案】/度
【分析】根据题意得出，，再由平行线的性质得出，利用三角形内角和定理及外角的性质求解即可．
【详解】解：如图：

由题意得：，，
∴，
∴，
∵是的一个外角，
∴．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查平行线的性质及三角形内角和定理及外角的定义，理解题意，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．计算．
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)1
(4)
【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则求解即可；
（2）先利用平方差公式计算，然后利用完全平方公式计算；
（3）利用平方差公式求解即可；
（4）首先利用平方差公式和完全平方公式化解，然后计算加减．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
【点睛】此题考查了整式的乘法混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
17．先化简，再求值： 其中.
【答案】4
【分析】先化简，再将a、b的值代入计算即可．
【详解】解：原式
；
，
．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算是解题的关键．
18．已知10x＝5，10y＝6，求103x＋2y的值．
【答案】4500
【分析】逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则求解即可．
【详解】解：∵10x＝5，10y＝6，
∴103x＋2y＝103x·102y＝(10x)3·(10y)2＝53×62＝4 500．
【点睛】本题考查了同底数幂和幂的乘方运算的的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
19．若a、b、c都是正数，且大于1，a2=2，b3=3，c4=4，比较a、b、c的大小．
【答案】.
【分析】根据题意分别求出、、的值，然后进一步比较大小即可.
【详解】∵，，，
∴，，，
∴，
∵三者皆为大于1的正数，
∴.
【点睛】本题主要考查了有理数的幂的乘方运算在大小比较时的运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
20．如图，已知，，．求证：．

证明：∵，（已知），
又∵ （ ），
∴ （ ）．
∴ （ ）．
∴（ ）．
∵，（已知）
∴．
∴（ ）．
【答案】见解析
【分析】根据对顶角相等和等量代换得到，从而推出平行线，再根据平行线的性质证明，进一步利用等量代换得到，即可证明结论．
【详解】解：∵，（已知），
又∵（对顶角相等），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
∵，（已知）
∴．
∴（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，等量代换等数学知识，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
21．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式进行配方
解：
我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“完美数”
【问题解决】
(1)下列各数中，“完美数”有___________．（填序号）
①10 ②45 ③28 ④29
(2)若二次三项式（是整数）是“完美数”，可配方成（m，为常数），则的值为_________；
【问题探究】
(3)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值．
【问题拓展】
(4)已知实数x，y满足，求的最小值．
【答案】(1)①②④
(2)12
(3)
(4)1
【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论；
（4）将变形为，然后再配方即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴都是“完美数”，
故答案为：①②④；
（2）∵，
∴，
∴
故答案为：；
（3）∵
；
∵S为“完美数”，
∴，
∴；
（4）∵，
∴，
∴，
∴的最小值为。
【点睛】本题考查的是配方法的应用，理解并掌握完美数的定义，是解题的关键．
22．（1）若，，求的值．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（2）已知中，，分别以、边向外侧作正方形．如图所示，设，两正方形的面积和为20，求的面积．

（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把，代入，从而可得答案；
（2）设正方形与正方形的边长分别为，．由题意可得，，再代入计算即可；
（3）令，，由题可知， ，代入，再计算即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴；
（2）设正方形与正方形的边长分别为，．
由题意可得，
∴；
（3）令，，
由题可知， ，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是完全平方公式及其变形的灵活运用，熟记完全平方公式与其变形是解本题的关键．