2024学年沪科版八年级下册数学第一次月考卷

这是一份2024学年沪科版八年级下册数学第一次月考卷，共25页。

选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023上·海南海口·九年级校考阶段练习）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023下·山东济南·八年级统考期末）新能汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱。中汽协称，我国新能汽车近两年来高速发展，连续年位居全球第一，销量持续爆发式增长，年销量约为万辆，到年销量达到万辆。若年平均增长率相同设为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023上·广西钦州·九年级校考阶段练习）用配方法将方程化成的形式，则的值是（ ）
A．B．1C．D．9
4．（2024下·安徽蚌埠·八年级校考开学考试）化简二次根式的结果是( )
A．B．C．D．
5．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个解为，那么m的值是（ ）
A．B．0C．1D．1或
6．（2023上·云南昭通·九年级统考期中）关于x的方程有两个相等的实数根，且满足，则m的值为（ ）
A．或3B．C．3D．或1
7．（2024上·福建福州·八年级福建师大附中校考期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022上·安徽·九年级阶段练习）如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（ ）
A． B．C．D．
9．（2024·全国·八年级竞赛）若a、b、m满足如下关系式：，则的平方根为（ ）．
A．1B．2C．D．
10．（2023上·四川眉山·九年级统考期中）已知，下列结论正确的个数为（ ）
①若是完全平方式，则；
②的最小值是2；
③若n是的一个根，则；
④若，则．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（2023下·吉林松原·八年级校联考期末）当x 时，在实数范围内有意义．
12．（2023上·河南商丘·八年级统考阶段练习）已知函数，那么
13．（江西省部分学校2021-2022学年九年级下学期期中数学试题）若关于的一元二次方程的一个根为2，则这个方程的另一个根为 ．
14．（2021上·安徽合肥·九年级校考开学考试）若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值是 ．
15．（2024·全国·八年级竞赛）设是的小数部分，为的小数部分，则的值为 ．
16．（2023上·重庆大足·九年级统考期末）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（2023下·辽宁抚顺·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
18．（2023上·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）解一元二次方程：
(1)；
(2)
19．（2024上·河南南阳·九年级统考期末）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆米．如果花园的面积为平方米，那么围成的花园与墙垂直的一边长为多少米？
20．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）阅读下列材料，完成下列任务．
小丽在数学资料上看到这样一道题：
已知，求代数式的值．
解：，
，
．
任务：
(1)在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是（ ）．
A．因式分解 B．单项式与多项式的乘法
C．平方差公式 D．完全平方公式
(2)在材料解答的过程中，主要用的思想方法是（ ）．
A．方程思想 B．整体与化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
(3)已知，求的值．
21．（2023下·山东济南·八年级统考期末）定义：如果关于的一元二次方程中常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．
(1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，则的值为______；
(2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值．
22．（2023上·云南昆明·九年级云南民族大学附属中学校考阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，．
当时，，，；
当时，，，．
原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2)．
23．（2023上·贵州六盘水·九年级统考期中）阅读下列材料，并完成相应任务．
三国时期的数学家赵爽在其所著的勾股圆方图注中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，说明如下：将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即，可得新方程，
表示边长，
，
遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
任务一：这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是______ ；
A．分类讨论思想
B．数形结合思想
C．演绎思想
D．公理化思想
任务二：请根据赵爽的办法求方程的正根，需要在图中画出相应的图形标明各边长，并写出完整的解答过程．
24．（2023上·辽宁本溪·七年级校考阶段练习）观察下列等式：
①；②；
③；
.
回答下列问题：
(1)仿照上列等式，写出第n个等式： ；
(2)利用你观察到的规律，化简：= ；
(3)计算：．
25．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号．
阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值．
阅读上述内容，解答下列问题：
(1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________；
(2)已知，，求的最小值．
(3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数）
2024学年沪科版八年级下册数学第一次月考卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023上·海南海口·九年级校考阶段练习）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可得．
【详解】解：A：一定是二次根式，符合题意；
B：当时不是二次根式，不符合题意；
C：，不是二次根式，不符合题意；
D：，不是二次根式，不符合题意；
故选：A．
2．（2023下·山东济南·八年级统考期末）新能汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱。中汽协称，我国新能汽车近两年来高速发展，连续年位居全球第一，销量持续爆发式增长，年销量约为万辆，到年销量达到万辆。若年平均增长率相同设为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用年的销量年的销量(年平均增长率)2，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：．
故选：B．
3．（2023上·广西钦州·九年级校考阶段练习）用配方法将方程化成的形式，则的值是（ ）
A．B．1C．D．9
【答案】A
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先将常数项移项到等号右边，再将等号左边进行配方即可．
【详解】解：，
移项，得：，
配方，得：，
即．
故选：A．
4．（2024下·安徽蚌埠·八年级校考开学考试）化简二次根式的结果是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，化为最简二次根式，先判断，再化简即可．
【详解】解：由，
∴且，
∴；
∴
；
故选：B．
5．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个解为，那么m的值是（ ）
A．B．0C．1D．1或
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，一元二次方程的定义，根据一元二次方程解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，解之即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个解为，
∴，
∴，
故选：A．
6．（2023上·云南昭通·九年级统考期中）关于x的方程有两个相等的实数根，且满足，则m的值为（ ）
A．或3B．C．3D．或1
【答案】B
【分析】此题考查根的判别式，根与系数的关系，解题关键在于得到m的方程．根据根与系数的关系，解方程；再由方程有两个相等的实数根得出，解方程；由相同的解得出结果．
【详解】解：∵，，，
∴，
解得或，
∵方程有两个相等的实数根，
∴
解得或
∴综上，
故选B．
7．（2024上·福建福州·八年级福建师大附中校考期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽，是解题的关键．
分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得解．
【详解】解：∵两个正方形的面积分别为1和2，
∴它们的边长分别为：和，
由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为，
∴阴影部分的面积为；
故选：B．
8．（2022上·安徽·九年级阶段练习）如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：在中，，，，
∴．
当运动时间为时，，，，
依题意得：，即，
整理得：，
解得：，
∴点，的运动时间为．
故选：A．
9．（2024·全国·八年级竞赛）若a、b、m满足如下关系式：，则的平方根为（ ）．
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，求出，得出，根据算术平方公的非负性得出，整理得出，从而得出，求出，最后求出结果即可．
【详解】解：根据题意得：
，
∴，①
∴，
∴，
∴，
∴，②
由①②得，
解得：，
∴，
∴平方根即为4的平方根，为．
故选：D．
10．（2023上·四川眉山·九年级统考期中）已知，下列结论正确的个数为（ ）
①若是完全平方式，则；
②的最小值是2；
③若n是的一个根，则；
④若，则．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式．①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③根据一元二次方程的解，以及完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解．
【详解】解：①∵是完全平方式，
∴，
∴，故结论正确；
②∵，而，
∴，
∴的最小值是2，故结论正确；
③∵
把代入，得：
，
即，
此时，
∴，即，
∴，
∴故结论错误；
④∵，
∴，
∴，故结论错误；
故选B．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（2023下·吉林松原·八年级校联考期末）当x 时，在实数范围内有意义．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数．据此即可解答．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴．
故答案为．
12．（2023上·河南商丘·八年级统考阶段练习）已知函数，那么
【答案】
【分析】本题考查了求函数值，分母有理化，将代入函数解析式求解即可．
【详解】当时，，
故答案为：．
13．（江西省部分学校2021-2022学年九年级下学期期中数学试题）若关于的一元二次方程的一个根为2，则这个方程的另一个根为 ．
【答案】
【分析】此题考查了根与系数的关系．此题难度不大，注意掌握若二次项系数为1，，是方程的两根时，，．首先设关于的一元二次方程的另一个实数根是，然后根据根与系数的关系，即可得，继而求得答案．
【详解】设这个方程的另一个根为，
关于的一元二次方程的一个根为2，
则，
解得．
故答案为：．
14．（2021上·安徽合肥·九年级校考开学考试）若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握有两个不相等的实根；有两个相等的实根；无实根是解题的关键．根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：根据题意，，且，
∴，
∵是整数，
∴最大值为，
故答案为：．
15．（2024·全国·八年级竞赛）设是的小数部分，为的小数部分，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值及二次根式的运算；令t＝，则可求得t的值，进而求得a；同理，令p＝，则可求得p的值，进而求得b，最后即可求得代数式的值．
【详解】解：令t=，
则，
∴，
∴，；
令p=，
则，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
16．（2023上·重庆大足·九年级统考期末）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式，解本题的关键在综合得出m的取值范围．把不等式组整理为，再根据不等式组有解，得出不等式组的解集为，再根据不等式组有4个整数解，得出关于的不等式组的整数解为：、、，0，进而得出，解出m的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，得出，解出m的取值范围，然后综合得出m的取值范围，进而得出符合条件的整数m为3、4、5、6，据此即可得出答案．
【详解】解：关于的不等式组，整理可得：，
∵关于的不等式组有解集，
∴不等式组的解集为：，
∵关于的不等式组有且仅有4个整数解，
∴关于的不等式组的整数解为：、、，0，
∴，
解得：，
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
综上所述，m的取值范围为，
∴符合条件的整数m为3、4、5、6．
∴，
故答案为：
三、解答题（9小题，共68分）
17．（2023下·辽宁抚顺·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，熟练地利用二次根式的性质化简是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算计算即可；
（2）先根据二次根式的性质和完全平方公式运算化简，再根据二次根式的加减运算计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
18．（2023上·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）解一元二次方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法、配方法是解题的关键．
（1）直接利用配方法解方程即可；
（2）直接利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
解得：，；
（2）解：
或
解得：，．
19．（2024上·河南南阳·九年级统考期末）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆米．如果花园的面积为平方米，那么围成的花园与墙垂直的一边长为多少米？
【答案】20米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设围成的花园与墙垂直的一边长为米，则与墙平行的一边长为米，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设围成的花园与墙垂直的一边长为米，则与墙平行的一边长为米
根据题意，得，
解这个方程，得
，经检验，符合本题要求
答：围成的花园与墙垂直的一边长为米
20．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）阅读下列材料，完成下列任务．
小丽在数学资料上看到这样一道题：
已知，求代数式的值．
解：，
，
．
任务：
(1)在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是（ ）．
A．因式分解 B．单项式与多项式的乘法
C．平方差公式 D．完全平方公式
(2)在材料解答的过程中，主要用的思想方法是（ ）．
A．方程思想 B．整体与化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
(3)已知，求的值．
【答案】(1)D
(2)B
(3)6
【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能用整体思想解决问题．
（1）在材料解答过程中，主要用的数学知识是完全平方公式；
（2）在材料解答的过程中，主要用的思想方法是整体与化归思想；
（3）由，可得，故．
【详解】（1）解：在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是完全平方公式；
故选：D；
（2）解：在材料解答的过程中，主要用的思想方法是整体与化归思想；
故选：B；
（3）解：，
，
，
，
；
故的值为6．
21．（2023下·山东济南·八年级统考期末）定义：如果关于的一元二次方程中常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．
(1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，则的值为______；
(2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值．
【答案】(1)或；
(2)或．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于的方程．
（1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可；
（2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可．
【详解】（1）解： 关于的方程是常数根一元二次方程，
方程的一个根为，
代入方程得，，
解得或；
（2）解：关于的方程是常数根一元二次方程，
方程的一个根为，
代入方程得，，
整理得，，
解得或．
22．（2023上·云南昆明·九年级云南民族大学附属中学校考阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，．
当时，，，；
当时，，，．
原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，
（1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值；
（2）根据已知条件设求出的值即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，，
解得：，（不合题意，舍去），
则，．
（2）设，则
，
，
当时，，，，
当时，，无解．
故方程的解为，．
23．（2023上·贵州六盘水·九年级统考期中）阅读下列材料，并完成相应任务．
三国时期的数学家赵爽在其所著的勾股圆方图注中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，说明如下：将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即，可得新方程，
表示边长，
，
遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
任务一：这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是______ ；
A．分类讨论思想
B．数形结合思想
C．演绎思想
D．公理化思想
任务二：请根据赵爽的办法求方程的正根，需要在图中画出相应的图形标明各边长，并写出完整的解答过程．
【答案】任务一：B；任务二：见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
任务一：观察构造图形的方法判断即可；
任务二：将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可．
【详解】解：任务一：这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想；
故选：B；
任务二：将方程变形为，
画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，
则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，
因此，可得新的一元二次方程，
表示边长，
，
即．
方程的一个正根为．
24．（2023上·辽宁本溪·七年级校考阶段练习）观察下列等式：
①；②；
③；
.
回答下列问题：
(1)仿照上列等式，写出第n个等式： ；
(2)利用你观察到的规律，化简：= ；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)9
【分析】此题考查了分母有理化，找出题中的规律是解本题的关键．
（1）仿照以上等式，写出第个等式即可；
（2）利用得出的规律化简原式即可；
（3）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意得：第个等式为；
故答案为：；
（2）解：原式
，
故答案为：；
（3）解：原式
．
25．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号．
阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值．
阅读上述内容，解答下列问题：
(1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________；
(2)已知，，求的最小值．
(3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数）
【答案】(1)，
(2)
(3)当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元
【分析】（）由题意求出的最小值，即可求出的最小值；
（）把代入化成的 形式，即可求出最小值；
（）设参加活动的同学人数为人，人均投入为 ，化成的形式，即可求出答案；
本题考查了配方法的应用，解题的关键是要正确理解题意，把所求代数式化成公式中完全平方的形式．
【详解】（1）解：由题意得，当 即时，取最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
∴当，即时，取最小值为，
∴的最小值为；
（3）解：设参加活动的同学人数为人，则人均投入为，
当，即时，取最小值为，
∴最低费用是(元)，
答：当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元．