江苏省南通市启东市长江中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 9，16，25B. 1，1，C. 1，，2D. 8，15，17
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股数定义进行分析即可．
【详解】解：A、92+162≠252，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、82+152=172，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
2. 下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查函数的定义，掌握函数定义是解题的关键.
【详解】根据函数的定义判断：前两个图象中，对于任意，有唯一的值和它对应，所以是函数，而后两个图象中，不满足对于任意，有唯一的值和它对应，所以不符合函数的定义，不是函数.
故选B
3. 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A.添加，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意；
B.添加，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意；
C.添加，可判断平行四边形ABCD矩形，符合题意；
D.添加，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定定理，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．
4. 若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把化简为最简二次根式，根据同类二次根式的定义，求出即可．
【详解】∵，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握最简二次根式的性质和同类二次根式的定义．
5. 下列说法中正确的是（ ）
A. 有一个角是直角的四边形是矩形B. 四边相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形D. 对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】运用矩形的判定定理，即可快速确定答案．
【详解】解：A．有一个角为直角的平行四边形是矩形，故A错误；
B．四条边都相等的四边形是菱形，故B错误；
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D．对角线相等的平行四边形是矩形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形．
6. 在平面直角坐标系中，将一次函数（k是常数）的图象向上平移2个单位长度后经过点，则k的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先求出平移后直线解析式，再根据平移后的直线经过点即可利用待定系数法求出答案．
【详解】解：由题意得，平移后的一次函数解析式为，
∵平移后的直线经过点，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，求一次函数解析式，正确求出平移后的一次函数解析式是解题的关键．
7. 根据图象，可得关于x的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图像，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：从图象可知：两函数的图象的交点坐标是，
所以关于的不等式的解集是，
故选：A
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图像确定不等式的解集是解题的关键．
8. 如图，在平行四边形ABCD中，都不一定 成立的是（ ）
①AO=CO；②AC⊥BD；③AD∥BC；④∠CAB=∠CAD．
A. ①和④B. ②和③C. ③和④D. ②和④
【答案】D
【解析】
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，故①成立；
AD∥BC，故③成立；
利用排除法可得②与④不一定成立，
∵当四边形是菱形时，②和④成立．
故选D.
9. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（ )

A. 5B. 5C. 5D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得△AOB是等边三角形，可得BD的长度，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：因为在矩形ABCD中，AO＝AC＝BD＝BO，
又因为∠AOB＝60°，
所以△AOB是等边三角形，
所以AO＝AB＝5，
所以BD＝2AO＝10，
所以AD2＝BD2﹣AB2＝102﹣52＝75，
所以AD＝5．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
10. 如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转后得到正方形，边与交于点O，则四边形的周长是（ ）

A. B.
C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据正方形的性质得出，根据旋转的性质得出，则点在线段上，易证为等腰直角三角形，则，同理可得，即可求出四边形的周长为．
【详解】解：连接，

∵四边形为正方形，
∴，，
∵正方形绕点A逆时针旋转，
∴，
∴点在线段上，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形的周长为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，以及正方形四边相等，对角互相平分．
二．填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答案卷相应位置上）
11. 已知函数y＝2xm﹣1是正比例函数，则m＝_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据正比例函数的定义求解即可；
【详解】解：根据正比例函数的定义可知，m-1=1，
∴m=2；
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．
12. 平行四边形中，，则______度．
【答案】130
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，又有，可求又因为平行四边形的邻角互补，所以，，可求．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，
又∵，
，
又，
．
故答案为：130
【点睛】此题主要考查：平行四边形的两组对角分别相等，平行四边形的邻角互补，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
13. 汽车开始行驶时，油箱中有油55升，如果每小时耗油7升，则油箱内剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)的关系式为_______________
【答案】y=﹣7x+55##y=55﹣7x
【解析】
【分析】根据油箱内剩余油量等于总油量减去t小时耗油量解答即可．
【详解】解：根据题意，得：y=55－7x=﹣7x+55．
故答案为：y=﹣7x+55．
【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式，属于基本题型，明确剩余油量等于总油量减去t小时耗油量是正确列出关系式的关键．
14. 已知点在直线y＝﹣x＋2上，则y1与y2的大小关系为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数的增减性，即可求解．
【详解】解：∵，
∴y随x增大而减小，
∵点在直线y＝﹣x＋2上，且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握对于一次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小是解题的关键．
15. 如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点，∠BAF＝120°，则∠C的度数为_____．
【答案】140°
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，∠ABD＝∠CBD，进而利用三角形的内角和解答即可．
【详解】解：设∠CBD＝x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，∠ABD＝∠CBD＝x，
∴∠ADB＝∠CBD＝x，
∵AH⊥BC，AD∥BC，
∴∠DAH＝∠AHB＝90°，
∵F为ED的中点．
∴AF＝FD，
∴∠FAD＝∠ADB＝x，
∵∠BAF＝120°，
∴∠BAD＝120°+x，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
可得：2x+120°+x＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠BAD＝120°+x＝140°
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠C＝∠BAD＝140°．
故答案为：140°．
【点睛】此题考查菱形的性质及三角形内角和的应用，难度一般．
16. 如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A、B，∠BAO的角平分线与y轴交于点M，则OM的长为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】过点M作MH⊥AB于H，利用AAS可证△AHM≌△AOM，则由全等三角形的性质可得AH＝AO，HM＝OM．根据一次函数的解析式可分别求出直线y＝﹣x+8与两坐标轴的交点坐标，并得OA、OB的长，由勾股定理可求AB．最后在Rt△BMH中利用勾股定理即可求解OM的长．
【详解】解：如图，过点M作MH⊥AB于H，
∴∠BHM＝∠AHM＝90°＝∠AOM．
∵AM平分∠BOA，
∴∠HAM＝∠OAM．
在△AHM和△AOM中，
，
∴△AHM≌△AOM（AAS）．
∴AH＝AO，HM＝OM．
将x＝0代入y＝﹣x+8中，解得y＝8，
将y＝0代入y＝﹣x+8中，解得x＝6，
∴A（6，0），B（0，8）．
即OA＝6，OB＝8．
∴AB＝＝10．
∵AH＝AO＝6，
∴BH＝AB－AH＝4．
设HM＝OM＝x，
则MB＝8－x，
在Rt△BMH中，BH2＋HM2＝MB2，
即42＋x2＝(8－x)2，
解得x＝3．
∴OM＝3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的性质并能利用辅助线构造全等三角形与直角三角形模型是解本题的关键．
17. 如图，在四边形ABCD中，，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，根据勾股定理即可求解．
【详解】证明：∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵ADBC，
∴∠ADE+∠DEB=180°，
∴∠ADE=90°，
∵G为AF的中点，
∴DG=AG，
∴∠DAF=∠ADG，
∴∠DGC=∠DAF+∠ADG=2∠DAC，
∵ADBC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵∠ACD=2∠ACB，
∴∠DGC=∠DCG，
∴CD=CG=3，
在Rt△CED中，，
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出DG=DC，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
18. 如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点、分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是 _______．
【答案】
【解析】
分析】由条件可先证得是等边三角形，过点作于点，当点，，在一条直线上，此时最短，可求得和的长，进而得出的最小值．
【详解】解：过点作于点，如图所示：
是等边三角形，
，，
平行四边形中，，，，
，
是等边三角形，，
，是等边三角形，
为中点，
，为中点，
，
，
，
当点，，在一条直线上，此时最短，即的最小值为，
故答案为：
点睛】本题考查坐标与图形性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，判断出当点，，在一条直线上，最短是解题的关键．
三．解答题（共90分）
19. 如图，在的网格中，请你画出一个格点正方形，使它的面积是10．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用勾股定理作一个边长为的正方形即可．
【详解】解：如图，正方形的边长为，则面积为10．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题．
20. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
【详解】详解：证明：（1），
，
在和中，
，
≌；
（2）解：如图所示：
由（1）知≌，
，
，
，
四边形ABDF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
21. 如图，在矩形纸片中，，，点E在上，将沿折叠，使点A落在对角线上的点处，求的长．

【答案】
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出的长，再由折叠的性质得到，然后根据进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积计算等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．
22. 一汽车一次加满油40升，每小时耗油5升，x小时后剩余油量y升．
（1）写出一次加满油后剩余油量y与时间x的函数关系式．
（2）求出自变量的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据剩余油量＝总油量－耗油量列函数关系式即可；
（2）根据一次加满油40升可得，然后可求出自变量的取值范围．
【小问1详解】
解：由题意得：；
【小问2详解】
解：∵一次加满油40升，
∴，
解得：，
∴自变量的取值范围为．
【点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出函数关系式．
23. 已知：如图，在菱形中，点，，分别为，，的中点，连接，，，．

（1）求证：；
（2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是正方形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质得出，，由已知证出，由证明即可；
（2）由三角形中位线定理证出，，，得到，证出四边形是菱形，再证出，四边形是正方形．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵点，，分别为，，的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：当时，四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
∵点，，分别为，，的中点，
∴，，，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
24. 李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题：

（1）工厂离目的地的路程为______km；
（2）求s关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？
【答案】（1）880 （2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据图象直接得出结论即可；
（2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可；
（3）分别求出余油量为10升和0升时行驶的路程，根据函数表达式求出此时的t值，即可求得t的范围．
【小问1详解】
解：由图象，得时，，
故答案为：880；
【小问2详解】
解：设，将和分别代入表达式，
得，解得，
∴s关于t的函数表达式为；
【小问3详解】
解：当油箱中剩余油量为10升时，（千米），
，
解得（小时）．
当油箱中剩余油量为0升时，（千米），
，解得（小时）．
随t的增大而减小，
的取值范围是．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答的关键是理解题意，能从函数图象上提取有效信息解决问题．
25. 已知，点P是正方形所在平面上一点，直线与直线相交于点E．直线与直线相交于点F，且．

（1）如图1，当点P在正方形内部，且时：
①若，求线段的长；
②求证：；
（2）如图2，当点P在正方形外部时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①；②见解析
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）①证出是等边三角形．得，在中，再由含角的直角三角形的性质以及勾股定理列式计算即可求解；
②证出是等边三角形．得，在中，再由含角的直角三角形的性质得，，据此计算即可得出结论；
（2）过D作交于点H，先证，得，再证，即可得出结论．
【小问1详解】
①解：∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴，
在中，，
∴，，
∴，
解得；
②证明：设．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴，
在中，，
∴，由勾股定理得，
在中，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：，证明如下：
过D作交于点H，如图3所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．