甘肃省白银市靖远县第四中学2023-2024学年高一下学期开学检测数学试题

这是一份甘肃省白银市靖远县第四中学2023-2024学年高一下学期开学检测数学试题，共13页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知，则的值为，已知，则，“”是“”的，设，则的大小关系是，若，则下列不等式中正确的是，已知，若，则所有可能的值是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．若函数，且的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（ ）
A．B．C．D．
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不允分又不必要条件
7．设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为和的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长约最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（选对每题5分，少选每题2分，多选或错选不给分，共20分）
9．若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知，若，则所有可能的值是（ ）
A．－1B．C．1D．
11．已知角的终边经过点，且，则的值可能是（ ）
A．4B．3C．－4D．－3
12．已知函数是定义在上的偶函数，且满足．若，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．的周期为2
C．D．的图象关于中心对称
三、填空题（每题5分，共20分）
第II卷（非选择题）
13．若某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径是______．
14．将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则______．
15．函数，且恒过的定点是______．
16．关于的方程有且仅有1个实数根，则实数的值为______．
四、解答题（17题10分，18题－22题每题12分，共70分）
17．计算：．
18．已知，且均为锐角．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
19．已知函数图像的两个相邻的对称中心的距离为．
（1）求的单调递增区间；
（2）求方程在区间上的所有实数根之和．
20．已知函数．
（1）求函数在区间上的最值；
（2）若关于的方程在区间内有两个不等实根，求实数的取值范围．
21．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式．某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为平方米，其中．
（1）试用表示；
（2）若要使最大，则的值各为多少？
22．已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③．
（1）求函数的解析式：
（2）若，求：
①的最小值：
②讨论关于的方程的解的个数．
参考答案：
1．A
【分析】求出集合A，即可得出答案．
【详解】由，，．
故选：A．
2．C
【分析】整体代入法求函数的定义域，再由有意义的条件，求定义域．
【详解】因为函数的定义域是，由，解得，
所以函数的定义域为．
要使有意义，则，解得，
所以的定义域是．
故选：．
3．A
【分析】整体法利用诱导公式进行求解．
【详解】．
故选：A．
4．B
【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值．
【详解】．
故选：B．
5．D
【分析】利用函数经过点，求出，并代入选项，借助基本初等函数逐一判断即可．
【详解】从函数（，且）的图象可知：该函数经过，
所以，即，解得，
对于选项A：，由指数函数可知在定义域上单调递减，故选项A错误；
对于选项B：，当时，则，
由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项B错误；
对于选项C：该函数为，可看成的图象关于轴对称，对称后在单调递增，故选项C错误；
对于选项D：，由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项D正确．
故选：D．
6．A
【分析】根据对数函数性质结合充分、必要条件分析判断．
【详解】若，可得，即，即充分性成立；
若，例如，则，不成立，即必要性不成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
7．A
【分析】以0和1为中间值比较即可．
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以．
故选：A．
8．D
【分析】由已知作图如图所示，设，利用三角函数表示各边长，借助三角函数性质计算可得结果．
【详解】如图所示，，
令，则，则，
，则
周长
，
故选：D．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用三角函数的定义表示出所求周长，再利用三角恒等变换即可得解．
9．ABD
【分析】利用不等式的基本性质求解．
【详解】解：由，得，则，即，故A正确；
因为，所以，故B正确；
当时，，则，故C错误；
由，得，则，即，则，故D正确．
故选：ABD．
10．BD
【分析】利用函数的解析式，结合指数、对数运算可求得结果．
【详解】由已知可得
或或，
解得，或．
故选：BD
11．AC
【分析】根据任意角三角函数的定义，建立方程，可得答案．
【详解】由题意可得，则．
故选：AC．
12．ABD
【分析】利用抽象函数的奇偶性，对称性，周期性求解即可．
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且满足．
所以，
令得，所以．故A正确．
因为…①，所以…②
①－②得：，所以的最小正周期为2．故B正确．
．故C不正确．
由得，
所以图象关于中心对称．故D正确．
故选：ABD．
13．
【分析】根据扇形面积公式直接求解即可．
【详解】设扇形的面积为，则扇形面积，解得：．
故答案为：．
14．
【分析】因要求变换之前的函数解析式，故应逆向考虑，将函数进行先横向伸长再向左平移即得所求函数解析式．
【详解】把函数的图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数，
再向左平移个单位，得到函数，即的图象．
故答案为：．
15．
【分析】根据对数函数性质结合指数幂运算求解．
【详解】令，解得，此时，
所以函数（，且）恒过的定点是．
故答案为：．
16．1
【分析】根据二次函数、三角函数的对称性进行分析，从而确定正确答案．
【详解】关于的方程有且只有1个实数根，
设函数，，问题转化为：
两个函数的图象有且只有1个公共点．
且两个函数由公共的对称轴：．
当时，函数有最小值：，且．
由或．
若，则，，
如图，根据函数图象，两个函数的公共点不唯一，故不合题意．
当时，，有最小值；，有最大值．
且（当且仅当时取等号），而．
所以两函数的图象只有一个公共点．
故答案为：1
【点睛】方法点睛：研究二次函数的最值，主要通过二次函数的开口方向和对称轴来进行分析．研究三角函数的最值，要注意的符号对最值的影响．求解方程的根的个数问题，可转化为两个函数图象交点个数问题来进行研究．
17．7
【分析】结合指数幂与对数运算性质计算即可得．
【详解】
18．（1）
（2）
（3）2
【分析】（1）直接由弦化切化成的方程即可得解．
（2）直接由二倍角公式、平方关系化成齐次式即可得解．
（3）首先由平方关系结合角的范围得，结合两角差的正切公式即可得解．
【详解】（1）由，可得，解得．
（2）．
（3），
因为，所以，
又因为均为锐角，所以，而，
所以，故，
所以，
所以．
19．（1）
（2）
【分析】（1）借助三角恒等变换公式将化简为正弦型函数后结合函数性质即可得；
（2）可将方程的根转化为求两函数在坐标轴上的交点横坐标，结合图象即可得．
【详解】（1），
由条件知的最小正周期为，所以，解得，
所以，
由，
得．
所以的单调递增区间是．
（2）的实数根，即的图象与直线的交点横坐标．
当时，，由，得，
由，得，
作出在上的图象与直线，大致如图：
由图可知，的图象与直线在上有4个交点，
其中两个关于直线对称，另外两个关于直线对称，
所以4个交点的横坐标之和为，即所求的实数根之和为．
20．（1）最大值为3，最小值为2；（2）
【分析】（1）整理可得，根据基本不等式及对勾函数的性质，即可求得答案．
（2）由题意整理可得在区间（0，3）内有两个不等实根，设，根据根据基本不等式及对勾函数的性质，数形结合，即可得答案．
【详解】（1），
因为，所以
所以，
当且仅当时，，即时等号成立，
所以的最小值为2，
根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且，
所以函数f（x）在区间上的最大值为3，最小值为2．
（2）因为关于x的方程（x+2）f（x）－ax=0在区间（0，3）内有两个不等实根，
所以在区间（0，3）内有两个不等实根，
整理得在区间（0，3）内有两个不等实根，
设
则，
当且仅当，即x=2时等号成立，
根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
且时，，
所以a的取值范围为
【点睛】解题的关键是熟练掌握基本不等式、对勾函数的性质，并灵活应用，难点在于，需合理的变形，再根据“一正”、“二定”，“三相等”进行计算求值，属中档题．
21．（1）
（2）取得最大值时，，
【分析】（1）由已知该项目占地为1800平方米的矩形地块，我们可得，结合图形还易得，及，由此我们易将池塘所占面积表示为变量，的函数．
（2）要求的最大值，我们有三种思路：①根据，直接使用基本不等式；②根据，消元后再使用基本不等式．
【详解】（1）由题可得：，，
则，
即．
．
（2）法一：
，
当且仅当，即，时，取得最大值1352．
法二：
，
当且仅当，即时取等号，取得最大值．
此时．
22．（1）
（2）①；②答案见解析
【分析】（1）由得，对称轴为，然后设，利用另外两个条件列出方程组求解即得；
（2）①根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值；
②根据①中求得的函数的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合方法讨论方程的实数根的个数．
【详解】（1）（1）由得，对称轴为，
设，
∴，得，
∴．
（2）（2）①，，对称轴，
ⅰ当即时，在单调递增，
，
ⅱ即时，在单调递减，在单调递增，
∴，
ⅲ当即时，在单调递减，
，
综上：
②画出函数的图象图下图所示：
利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：
方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知：
当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解．