2024年广东省深圳市坪山区部分学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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说明：
1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．
2．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．
3．作答选择题1-10题，选出每空的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动用，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题11-22、用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含做辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其他答案一律无效．
4．考试结束后，请将答题卡交回．
第一部分 选择题
一、选择题（本题共 10小题，每小题3分，共 30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 如图，下列四个几何体中，左视图是三角形的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据左视图是从几何体的左边看到的图形，据此逐项想，即可作答．
【详解】解：A、该图形从左边看到的是正方形，故不符合题意；
B、该图形从左边看到的是圆形，故不符合题意；
C、该图形从左边看到的是三角形，故符合题意；
D、该图形从左边看到的是圆形，故不符合题意；
故选：C
2. 如图，在的正方形网格中，的值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正切的定义，对边∶邻边即为正切的性质，据此代入数值进行作答即可
【详解】解：依题意如图所示：
故选：B
3. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程有实数解可知，解不等式即可．
【详解】解：一元二次方程有实数解，
，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是记住时，一元二次方程有实数解．
4. 抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位得到抛物线的解析式：，
再向上平移1个单位得到解析式为：．
故选：A．
5. 通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在附近，则可估计钉尖朝上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据随机事件通过大量重复试验发生的频率与概率的关系求解即可．
【详解】掷图钉钉尖朝上为随机事件，通过大量的试验，该事件发生的频率稳定在，于是可以把频率估计成该事件发生的概率．
故选：C．
【点睛】本题主要考查用频率估计概率，牢记随机事件的频率与概率的关系（可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键．
6. 如图，在中，若，则下列比例式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质；由平行线分线段成比例定理得，由可判定，由相似三角形的性质即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键．
【详解】解：A.，，结论正确，符合题意；
B.，，，结论错误，不符合题意；
C.，，，结论错误，不符合题意；
D.无法判断，结论错误，不符合题意；
故选：A．
7. △ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C的相似比是1：2．已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似图形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1：2，
∴△ABC面积与△A′B′C′的面积比是1：4，
∵△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是12，
故选：D．
【点睛】本题考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于相似比的平方是解答的关键．
8. 如图，的半径为8，直角三角板角的顶点A落在，两边与分别交于B，C两点，则弦的长为（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，得到是等边三角形，即可得到答案．
【详解】解：连接，
，
是等边三角形，
．
故选C．
9. 已知反比例函数y＝的图象如图，则二次函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，本题可先由反比例函数的图象得到字母系数，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．
【详解】解：∵函数的图象经过二、四象限，
∴，
由图知当时，，
∴，
∴抛物线开口向下，
对称轴为，，
∴对称轴在与0之间，
故选：D．
10. 如图，在矩形中，，，，分别是边，上一点，，将沿翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，那么的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点．设，则，由翻折得：．当时，由勾股定理得：；当时，作，由，平方可证得，则，所以，由三线合一得，即，解方程即可．
【详解】解：设，则，
由翻折得：，
当时，，
四边形是矩形，
，
由勾股定理得：，
解得：，
当时，如图，作，
，
，
，
沿翻折得，
，
，
，，
，
，
，
，
即，
解得，
综上所述：或．
故选：A．
第二部分 填空题
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分
11. 计算：＝______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据特殊角的锐角三角函数值填空即可.
【详解】解：．
【点睛】本题考查特殊角的锐角三角函数值，属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成.
12. 若，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，设，则，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，设，则，
∴
故答案为：．
13. 如图，求知小组在田径运动场测旗杆高的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，测量成员甲经调整自己位置后，在点D 处恰好通过水平地面镜子E看到旗杆的顶端A、测量成员甲的眼睛离地面的距离 则旗杆的高度为__________．
【答案】17
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用．由，推出，代入有关数据即可求出的长．
【详解】解：由题意知：，
，
∴，
，
，
∴．
故答案为：17．
14. 如图，正方形和正方形，点A在y轴正半轴上，点 C、E在x轴正半轴上，点D在边上，点B、F落在反比例函数 第一象限的图象上，其中点，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，正方形的性质，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据点的坐标及四边形是正方形可得出点坐标，进而求出，令小正方形的边长为，表示出点的坐标，再根据点在反比例函数的图象上即可解决问题．
【详解】解：因为四边形是正方形，且，
所以点的坐标为．
因为点在反比例函数的图象上，
所以，
则反比例函数的解析式为．
令小正方形的边长为，
则，，
所以点的坐标为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
解得（舍负），
所以，．
在中，
．
故答案为：．
15. 如图，E是菱形边BC上一点，，把绕点E顺时针旋转 得到交于点G，，则__________．
【答案】####1.2
【解析】
【分析】根据两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似证明．连结交于，过作的平行线交于．连接．等腰三角形中，顶角，底角，得到，证明，得到，再证中，，，证明，理由相似三角形的对应边成比例，列式代入数值进行计算，即可作答．
详解】证明： ，，
，
，
∴．
连结交于，过作的平行线交于．连接
菱形中，，，
，
，互相垂直平分，
，
，
．
，
．
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即
，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，图形的旋转，菱形的性质，数形结合，关键是添加辅助线构造直角三角形．
第三部分 解答题
三、解答题(本大题共7题．其中16题5分，17题6分，18题8分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，共55分)
16. 解方程：
【答案】解：原方程化：x2－4x=1
配方，得x2－4x+4=1+4
整理，得（x－2）2=5
∴x－2=,即，．
【解析】
【详解】解一元二次方程．根据一元二次方程的几种解法，本题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法．
17. 甲、乙两人周末坪山游，各自随机选择到聚龙山湿地公园、马峦山郊野公园、燕子岭生态公园、大万世居四个地点中的一个地点参观游玩．假设这两人选择到哪个地点参观游玩不受任何因素影响，上述四个地点中的每个被选到的可能性相同．
（1）甲选择到聚龙山湿地公园参观游玩的概率为 ；
（2）用列表法或树状图按求甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩砌概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，用列表法或画树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）记聚龙山湿地公园、马峦山郊野公园、燕子岭生态公园、大万世居四个地点分别为、、、，画出树状图得出所有等可能结果，从中找到甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩结果数，然后根据概率公式求解可得．
【小问1详解】
解：由题意得，甲选择到昆明池参观游玩的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：记聚龙山湿地公园、马峦山郊野公园、燕子岭生态公园、大万世居四个地点分别为、、、，画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩的有4种结果，
甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩的概率为．
18. 参照学习函数的过程与方法，探究函数 的图象与性质，因为 即 所以我们对比函数 来探究．
列表：
描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示；
（1）请把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
当时，y随x的增大而 ；（填“增大’或“减小”）
的图象可看作是由 的图象向 平移 个单位而得到的；
图象的两个分支关于点 中心对称； （填点的坐标）
（3）试说明函数 与直线的交点情况．
【答案】（1）见解析；
（2）①增大；②上、1；③；
（3）无交点
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握描点法绘制函数图象，函数图象的平移，函数的对称性和增减性，是解题的关键．
（1）用光滑曲线顺次连接即可；
（2）利用图象法即可解决问题；
（3）联立方程根据方程组解的情况判断，即可解决问题．
【小问1详解】
把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来，如图，
【小问2详解】
当时，y随x的增大而增大；
故答案为：增大；
的图象可看作是由 的图象向上平移1个单位而得到的；
故答案为：上、1；
图象的两个分支关于点中心对称；
故答案为：；
【小问3详解】
解方程组，
代入，消去y，得，，
去分母，得，，
矛盾，x值不存在，
故函数 与直线无交点．
19. 飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某商家销售某品牌的橡胶飞盘，成本价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一次函数，如表所示：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）设该商家每天销售该品牌的橡胶飞盘的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，当x取何值时，w的值达到最大? 最大值是多少?
【答案】（1）
（2），当时，w取最大值，最大值为320
【解析】
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：
（1）根据表中数据，利用待定系数法求解；
（2）结合（1）中结论，根据利润、销量、进价、售价之间的关系可得w与x之间的二次函数关系式，化为顶点式可得最值．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为，
由表中数据知，当时，，当时，，
，
解得，
y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由题意知， ，
即w与x之间的函数关系式为；
，
当时，w取最大值，最大值为320．
20. 如图，已知是的直径． 点P在的延长线上，点D是上一点．连接，过点B作垂直于，交 的延长线于点C、连接并延长，交于点E，且
（1）求证：是的切线；
（2）若 ，求半径的长．
【答案】（1）见详解 （2）3
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，再根据垂线、平行线的性质得出，由切线的判定方法即可得出结论；
（2）在直角三角形中由锐角三角函数的定义以及勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
，
在中，，即，
设，则，
，
，
解得，
，
即半径为3．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理以及切线的判定方法是正确解答的关键．
21. 项目学习
【答案】任务1：（1），（2），（3）；任务2：；任务3：
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意构造直角三角形是解题的关键．
任务1：利用三角函数解，可得答案；
任务2：过点F作于点H，利用三角函数解，得出，再利用三角函数解，得出，进而得出，列出等式，求出m即可；
任务3：作于点C，结合（2）中结论，利用三角函数解即可．
【详解】解：任务1：
由题意知，，，
（1）在中，，即，
；
（2）在中，，即，
，
；
（3）由（1）（2）可得，
，
即，
故答案为：（1），（2），（3）；
任务2：
由题意知，，设米，
在中，，
，
如图，过点F作于点H，可得，
在中，，
，
，
解得，
即遮阳篷的长为．
任务3：
如图，作于点C，则，
由任务2可得，
在中，，即，
，
故答案为：．
22. 在中，，点D为边上一动点，，，连接，．
（1）问题发现： 如图1，．若，则 ， ；
（2）类比探究：
如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用： 如图3，点 E为正方形 的边上的三等分点，以为边在上方作正方形， 点O为正方形的中心， 若，请直接写出线段 EF的长．
【答案】（1），；（2），；（3）或
【解析】
【分析】（1）由已知条件可判定和均是等边三角形，由等边三角形的性质得，，，由可判定，由全等三角形的性质即可求解；
（2）由等腰三角形性质及勾股定理得，，，由等式性质得，，由相似三角形的判定法得，由相似三角形的性质即可求解；
（3）①当时，连接，由正方形的性质及余弦的定义，，可判定，由相似三角形的性质得，可求
，由勾股定理得，即可求解； ②当时，连接，由①得：同理可求，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：（1），
，
，，
和均是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
；
故答案：，；
（2），；
理由如下：
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）①当时，
如图，连接，
四边形和四边形均是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
；
②当时，
如图，连接，
由①得：同理可求，
，
，
，
，
；
综上所述：的长为或．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，正方形的性质；掌握判定方法及性质，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
x
…
1
2
3
4
…
…
1
2
4
…
…

2
3
5
0
…
x
18
20
22
24
y
70
60
50
40
主题：设计遮阳篷
紊材1
武汉是我国火炉城市之一， 夏季高温多雨， 日照时间长， 平均年日照时数2000 小时左右， 大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳篷．北半球在一年中， 冬至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最小； 夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最大．
素材2
图1是武汉市区一家商店， 大门朝南， 设计了遮阳篷．图2是其示意图， 设计了垂直于墙面的遮阳䇰（横截面为直角）．表示大门高度．夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的最大夹角为； 冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的最小夹角为．
任务1
如图2， 设素材2中， 米， 米， 夏至正午太阳光与地面夹角为α，冬至正午太阳光与地面夹角为β， 设遮阳篷为直角．遮阳篷要满足两个条件既让夏天的阳光刚好不射入室内；又能让冬天的太阳光刚好全部射入室内．
（1）在中，用含β、m的式子表示遮阳篷高的长： ______．
（2）在中，用含α、h、m的式子表示遮阳篷高CB的长： ___．
（3）用含α、β、h的式子表示遮阳篷CD的长： _________．
任务2
武汉冬至日正午太阳光与地平面的夹角是， 夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．若素材2中的商店门高为3米，还要求夏天正午时刻， 门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据： 、、； ，，．
任务 3
在任务1， 2的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能， 所以考虑遮阳篷往下倾斜， 如图4， 即把遮阳篷改造为横截面如的样子， 与水平面夹角为， 那么遮阳篷的最小宽度 约是___________．（精确到 米）参考数据：，，．