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高中人教版 (2019)4 抛体运动的规律学案
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这是一份高中人教版 (2019)4 抛体运动的规律学案，共21页。
2．理解平抛运动的规律，会确定平抛运动的速度和位移，知道平抛运动的轨迹是一条抛物线。
3．熟练运用平抛运动规律解决相关问题。
4．了解一般抛体运动，掌握处理抛体运动的一般方法。
平抛运动的速度
将物体以初速度v0水平抛出，由于物体只受重力作用。
1．水平方向的速度：vx＝v0。
2．竖直方向的速度：vy＝gt。
3．合速度大小：v= vx2+vy2=v02+g2t2方向：tanθ=vyvx=gtv0(θ为速度方向与水平方向间的夹角)
如图所示，一人正练习投掷飞镖，如果不计空气阻力，请回答下列问题。
【问题】
(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？
(3)飞镖投出后，水平方向速度和竖直方向的速度有什么特点？
提示：(1)因忽略空气阻力，飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为g，方向竖直向下。
(2)飞镖运动过程中，加速度是不变的，所以飞镖的运动是匀变速曲线运动。
(3)飞镖投出后，水平方向速度不变，竖直方向的速度均匀增大。
1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2．平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计。
(2)运动特点。
①加速度：为自由落体加速度g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动。
②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动。
(3)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
【典例1】 (2022·四川南充市阆中中学高一期中)关于平抛运动，下面的几种说法中正确的是( )
A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B．平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近
B [平抛运动是一种在重力作用下的匀变速曲线运动，故A错误；平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变，故B正确；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故C错误；平抛运动的加速度与质量无关，则知其运动情况与质量无关，落点远近与其质量无关，故D错误。]
[跟进训练]
1．(多选)关于平抛物体的运动，以下说法正确的是( )
A．做平抛运动的物体，速度和加速度都随时间的增加而增大
B．做平抛运动的物体仅受到重力的作用，所以加速度保持不变
C．平抛物体的运动是匀变速运动
D．平抛物体的运动是变加速运动
BC [做平抛运动的物体，速度随时间不断增大，但由于只受恒定不变的重力作用，所以加速度是恒定不变的，选项A、D错误，B、C正确。]
平抛运动的位移与轨迹
将物体以初速度v0水平抛出，经时间t，物体的位移为：
1．水平方向的位移：x＝v0t。
2．竖直方向的位移：y＝12gt2。
3．合位移大小：s= x2+y2= v0t2+12gt22方向：tanα=yx=gt2v0α为位移方向与水平方向间的夹角
4．轨迹：由水平方向x＝v0t解出t＝xv0，代入y＝12gt2得y＝g2v0 2x2，平抛运动的轨迹是一条抛物线。
空中以一定速度飞行的战斗机，为击中前方坦克，而从后方水平投出一枚炸弹，炸弹飞行轨迹如图所示。根据运动轨迹，以抛出点为原点，水平方向和竖直方向建立坐标系如图所示，请思考以下问题：
【问题】
(1)分析曲线运动的基本思路和方法是什么？
(2)如何对平抛运动进行研究？
(3)平抛运动的时间、水平位移和落地速度由哪些因素决定？
提示：(1)分析曲线运动的基本思路和方法是将运动分解。
(2)研究平抛运动时，可以将其分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
(3)平抛运动的时间由下落高度y决定，水平位移和落地速度则由初速度v0和下落高度y共同决定。
1．研究方法
研究平抛运动通常采用“化曲为直”的思想，即将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2．运动规律
【典例2】 当灾害发生时，有时会利用无人机运送救灾物资。一架无人机正准备向受灾人员空投急救用品，急救用品的底面离水平地面高度h＝19.6 m，无人机以v＝10 m/s的速度水平匀速飞行。若空气阻力忽略不计，重力加速度g＝9.8 m/s2。
(1)为了使投下的急救用品落在指定地点，无人机应该在离指定地点水平距离多远的地方进行投放？
(2)投放的急救用品落到水平地面上时，速度的大小是多少？
[思路点拨] (1)急救用品离开无人机时具有与无人机相同的水平速度，且只受重力作用。因此急救用品做平抛运动。
(2)在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，并且两个分运动经历时间相同。末速度为两个分速度的矢量和。
[解析] (1)急救用品做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，有h＝12gt2，得t＝2hg。急救用品在水平方向上做匀速直线运动，在时间t内的水平位移x＝vxt＝v2hg＝10×2×19.69.8 m＝20 m，即无人机应在离指定地点水平距离20 m处投放急救用品。
(2)设急救用品落到水平地面上时竖直方向速度的大小为vy，
根据匀变速直线运动速度与位移的关系，有vy 2＝2gh，
急救用品落到水面上时，速度的大小v＝vx 2+vy 2＝vx 2+2gh＝102+2×9.8×19.6 m/s≈22 m/s。
[答案] 见解析
[跟进训练]
2．如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
D [如图所示，小球竖直方向的速度为vy＝gt，则初速度为v0＝gttanθ，选项A错误；平抛运动的时间t＝2yg，由高度决定，与初速度无关，选项C错误；位移方向与水平方向的夹角为α，tan α＝yx＝12gt2v0t＝gt2v0，tan θ＝vyv0＝gtv0，则tan θ＝2tan α，但α≠θ2，选项B错误；由于tan θ＝gtv0，若小球的初速度增大，则θ减小，选项D正确。]
一般的抛体运动
物体抛出的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)，如图所示。
1．水平方向的分运动：物体做匀速直线运动，初速度vOx＝v0cs θ。
2．竖直方向的分运动：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vOy＝v0sin θ。
体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等(如图所示)，都可以看作是斜上抛运动。
【问题】
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、加速度有何特点？
(2)铅球离开手时速度有什么特点？
(3)铅球在最高点的速度是零吗？
(4)处理上述运动的思路是什么？
提示：(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g。
(2)其初速度不为零，初速度方向斜向上方。
(3)不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
(4)利用运动合成与分解的思路。
1．斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
2．斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明)
(1)分析思路：斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
(2)速度规律(如图所示)。
水平速度：vx＝v0x＝v0cs θ。
竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt。
t时刻的速度大小为v＝vx 2+vy 2。
(3)位移规律。
水平位移：x＝v0xt＝v0t cs θ。
竖直位移：y＝v0t sin θ－12gt2。
t时间内的位移大小为s＝x2+y2，与水平方向成α角，且tan α＝yx。
(4)如果物体的落点与抛出点在同一水平面上，则飞行时间：t＝2v0yg＝2v0sinθg；
射高：Y＝v0y22g＝v02sin2θ2g；
射程：X＝v0cs θ·t＝2v02sinθcsθg＝v02sin2θg。
【典例3】 如图所示，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24 m/s，落地时速度vt＝30 m/s，g取10 m/s2。求：
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
(2)物体在空中的飞行时间t。
[解析] (1)根据斜抛运动的对称性，物体抛出时的速度与落地时的速度大小相等，故v0＝vt＝30 m/s
设与水平方向夹角为θ，则cs θ＝vv0＝45
故θ＝37°。
(2)竖直方向的初速度为
v0y＝v0 2-v2＝302-242 m/s＝18 m/s
故飞行时间t＝2v0yg＝2×1810 s＝3.6 s。
[答案] (1)30 m/s 与水平方向夹角为37° (2)3.6 s
[跟进训练]
3．如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L。假设跳远运动员落入沙坑瞬间的速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力。则有( )
A．tan α＝2 B．tan α＝12
C．tan α＝14 D．tan α＝1
D [运动员从最高点到落地的过程做平抛运动，根据对称性知平抛运动的水平位移为2L，则有L＝12gt2，解得t＝2Lg，运动员通过最高点时的速度为v＝2Lt＝2gL，则有tan α＝gtv＝1，选项D正确。]
1．(多选)物体在做平抛运动时，在相等时间内，相等的量是( )
A．速度的增量 B．加速度
C．位移的增量 D．位移
AB [平抛运动在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv＝Δvy＝gΔt，故A项正确；平抛运动是匀变速曲线运动，加速度是恒定的，故B项正确；在相等时间间隔Δt内，水平位移增量Δx＝v0Δt相等，而竖直位移增量Δy＝vΔt+12gΔt2＝gt·Δt＋12g(Δt)2，是随时间增大的，所以位移不是均匀变化的，故C、D项错误。]
2．做斜上抛运动的物体，到达最高点时( )
A．具有水平方向的速度和水平方向的加速度
B．速度为零，加速度向下
C．速度不为零，加速度为零
D．具有水平方向的速度和向下的加速度
D [斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。当物体到达最高点时，竖直方向上的速度减为零，水平方向上的速度不变。由于只受重力作用，所以物体始终具有竖直向下的加速度g，故D正确。]
3．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于Lv
B．将击中P点，t等于Lv
C．将击中P点上方，t大于Lv
D．将击中P点下方，t等于Lv
B [由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据h＝12gt2可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝Lv，故选B。]
4．(2022·福建莆田市第一中学高一期中)某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的水池中。现制作一个为实际尺寸116的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实际的( )
A．12 B．14 C．18 D．116
B [由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和下落高度均变为原来的116，则有h＝12gt2，得t＝2hg，所以时间变为实际的14，则水流出的速度v＝xt，由于水平位移变为实际的116，时间变为实际的14，则水流出的速度变为实际的14，故选B。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．平抛运动的条件是什么？
提示：有水平初速度，仅受重力作用。
2．平抛运动有哪些动力学特点？
提示：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动。
3．平抛运动的常用处理方法是什么？
提示：分解，将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的均加速直线运动。
实际弹道曲线
弹头飞行时其重心所经过的路线称为“弹道曲线”。由于重力作用和空气阻力的影响，弹道形成不均匀的弧形。升弧较长而直伸，降弧则较短而弯曲。膛外弹道学专门研究弹头在空中运动的规律，例如弹头的重心运动、稳定性等也都会影响到弹道曲线。斜抛射出的炮弹，其实际射程和射高都没有按抛体计算得到的值那么大，当然路线也不会是理想曲线。物体在空气中运动受到的阻力，与物体运动速率的大小有密切关系：物体的速率低于200 m/s 时，可认为阻力与物体速率大小的平方成正比；速率达到400～600 m/s时，空气阻力和速率大小的三次方成正比；在速率很大的情况下，阻力与速度大小的高次方成正比。总之，物体运动的速率越小，空气阻力的影响就越小，抛体的运动越接近理想情况。例如，不计空气阻力，某低速迫击炮的理想射程是360 m，实际上能达到350 m，空气阻力的作用处于次要地位；加农炮弹的速度很大，在不计阻力时计算的理想射程能达46 km，而实际只能达到13 km，空气的阻力是不能忽视的。
(1)实际的弹道曲线由哪些因素决定？
(2)怎样增大枪炮的射程？
提示：(1)空气阻力和速度的大小。
(2)增大初速度或制为流线型减小阻力，也可增添附加装置以便在弹头飞行过程增大推力或减小空气阻力等。
课时分层作业(三) 抛体运动的规律
◎题组一 平抛运动及其规律应用
1．关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是匀速运动
B．平抛运动是加速度不断变化的运动
C．平抛运动是匀变速曲线运动
D．做平抛运动的物体落地时速度方向可能是竖直向下的
C [做平抛运动的物体只受重力，加速度始终为重力加速度，其运动性质是匀变速曲线运动，又因平抛运动水平方向速度不变，故落地时速度方向和加速度方向不可能在同一直线上，C正确，A、B、D错误。]
2．(2022·山东潍坊市高一期中)在平抛运动中，小球的运动可分解为水平方向和竖直方向的两个分运动，下列说法正确的是( )
A．水平方向的分运动是匀加速运动
B．竖直方向的分运动是匀加速运动
C．水平方向的分速度均匀增加
D．竖直方向的分速度不变
B [平抛运动在水平方向上不受力，做匀速直线运动，故A、C错误；平抛运动在竖直方向上只受重力，初速度为零，做自由落体运动，即初速度为0的匀加速直线运动。故B正确，D错误。故选B。]
3．(2022·甘肃兰州市第一中学高一期中)如图所示，小杰在同一位置先后水平抛出三个相同的小球，分别落到水平地面的A、B、C三点，不计空气阻力，则( )
A．落到A点的球初速度最大
B．落到B点的球初速度最大
C．落到C点的球初速度最大
D．三个球的初速度大小相等
C [小球在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动。三个小球抛出点的高度相同，所以落地时间相同，由题图可知落到C点的球水平位移最大，所以其初速度最大，故C正确。故选C。]
4．如图所示，一质点做平抛运动先后经过A、B两点，到达A点时速度方向与水平方向的夹角为30°，到达B点时速度方向与水平方向的夹角为45°。从抛出开始计时，质点到A点与质点运动到B点的时间之比是( )
A．13 B．33
C．23 D．条件不够，无法求出
B [设初速度为v0，将A、B两点的速度分解，在A点tan 30°＝vAyv0＝gtAv0，解得tA＝3v03g；在B点tan 45°＝vByv0＝gtBv0，解得tB＝v0g，则tAtB＝33，故B正确。]
5．某工厂为了落实有关节能减排政策，水平的排水管道满管径工作，减排前、后，水落点距出水口的水平距离分别为x0、x1，则减排前、后单位时间内的排水量之比( )
A．x0x1B．x0x1
C．x1x0D．x1x0
A [设管的横截面积为S，则排水量为V排＝SL，L＝vt，减排前，水流速为v1，则t时间内排水量V排1＝Sv1t＝Sx0，减排后，水流速为v2，则t时间内排水量V排2＝Sv2t＝Sx1，减排前、后单位时间内的排水量之比V排1V排2＝x0x1，故选项A正确。]
◎题组二 一般抛体运动
6．如图是斜向上抛出的物体的运动轨迹，C点是轨迹最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列叙述中正确的是(不计空气阻力)( )
A．物体在C点的速度为零
B．物体在A点的速度与在B点的速度相同
C．物体在A点、B点的水平分速度等于物体在C点的速度
D．物体在A、B两点的竖直分速度相同
C [斜抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛运动，故A错误，C正确；物体在A、B两点的竖直分速度方向不同，故B、D错误。]
7．(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
CD [A、B两球都做斜上抛运动，只受重力作用，加速度即为重力加速度，A项错误；在竖直方向上做竖直上抛运动，由于能上升的竖直高度相同，竖直分速度相等，所以两小球在空中飞行的时间相等，B项错误；由于B球的水平射程比较大，故B球的水平速度及落地时的速度均比A球的大，C、D项正确。]
8．(多选)如图所示，一物体以初速度v0做斜抛运动，v0与水平方向成θ角。AB连线水平，则从A到B的过程中，下列说法正确的是( )
A．上升时间t＝v0sinθg
B．最大高度h＝v0sinθ22g
C．在最高点速度为0
D．AB间位移xAB＝2v02sinθcsθg
ABD [将物体的初速度沿着水平和竖直方向分解，有：v0x＝v0cs θ，v0y＝v0sin θ，上升时间t＝v0yg＝v0sinθg，故A正确；根据位移公式，最大高度为：h＝v0y 22g＝v0sinθ22g，故B正确；在最高点速度的竖直分量为零，但水平分量不为零，故最高点速度不为零，故C错误；结合竖直上抛运动的对称性可知，运动总时间为：t′＝2t＝2v0sinθg，所以AB间的位移：xAB＝v0xt′＝2v0 2sinθcsθg，故D正确。]
9．(多选)如图所示，节水灌溉中的喷嘴距地高0.8 m，假定水从喷嘴水平喷出，喷灌半径为4 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．水下落的加速度为8 m/s2
B．水从喷嘴到地面的时间为0.4 s
C．水从喷嘴喷出后速度不变
D．水从喷嘴喷出的速率为10 m/s
BD [水喷出后做平抛运动，下落的加速度为10 m/s2，故A错误；根据h＝12gt2得t＝2hg＝2×0.810 s＝0.4 s，故B正确；水从喷嘴喷出后竖直分速度增大，水平分速度不变，故合速度增大，故C错误；水从喷嘴喷出的速率v0＝xt＝40.4 m/s＝10 m/s，故D正确。]
10．(多选)(2022·山东卷)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
A．v＝5 m/s B．v＝32 m/s
C．d＝3.6 m D．d＝3.9 m
BD [设网球飞出时的速度为v0，竖直方向v0竖直2＝2g(H－h)，代入数据得：v0竖直＝2×10×8.45-1.25m/s＝12 m/s，则v0水平＝132-122 m/s＝5 m/s，网球水平方向到P点的距离x水平＝v0水平t＝v0水平·v0竖直g＝6 m，根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量：v0水平⊥＝v0水平·45＝4 m/s，平行墙面的速度分量v0水平∥＝v0水平·35＝3 m/s，反弹后，垂直墙面的速度分量：v′水平⊥＝0.75·v0水平⊥＝3 m/s，则反弹后的网球速度大小为v＝v水平⊥'2+v0水平∥2＝32 m/s，网球落到地面的时间t′＝2Hg＝8.45×210 s＝1.3 s，着地点到墙壁的距离d＝v′水平⊥t′＝3.9 m，故B、D正确，A、C错误。]
11．(2022·河南开封高一检测)用30 m/s的初速度水平抛出一个物体，经过一段时间后，物体的速度方向与水平方向成30°角(g取10 m/s2)。
(1)求此时物体相对于抛出点的水平位移和竖直位移；
(2)再经多长时间，物体的速度与水平方向的夹角为60°？
[解析] 根据题意，可知物体的运动在水平方向是匀速直线运动，在竖直方向为自由落体运动，运动示意图如图所示：
(1)由图示可知tan 30°＝vyv0＝gtAv0
tA＝v0tan30°g＝3 s
所以，在此过程中水平方向的位移xA＝v0tA＝303 m
竖直方向的位移y＝12gtA2＝15 m。
(2)设物体在B点时的速度方向与水平方向成60°角，总飞行时间为tB，则
tB＝v0tan60°g＝33 s
所以，物体从A点运动到B点经历的时间Δt＝tB－tA＝23 s。
[答案] (1)303 m 15 m (2)23 s
12．单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin 72.8°＝0.96，cs 72.8°＝0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的位移的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
[解析] (1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得
v1＝vM sin 72.8°①
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得
mg cs 17.2°＝ma1②
由运动学公式得d＝v122a1③
联立①②③式，代入数据得d＝4.8 m。④
(2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规律得v2＝vM cs 72.8°⑤
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得mg sin 17.2°＝ma2 ⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得t＝2v1a1⑦
L＝v2t＋12a2t2⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L＝12 m。
[答案] (1)4.8 m (2)12 m
项目
速度
位移
水平分运动
水平速度vx＝v0
水平位移x＝v0t
竖直分运动
竖直速度vy＝gt
竖直位移y＝12gt2
合运动
大小：v＝v0 2+gt2
方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝vyvx＝gtv0
大小：s＝
v0t2+12gt22
方向：与水平方向夹角为α，tan α＝yx＝gt2v0
图示
2．理解平抛运动的规律，会确定平抛运动的速度和位移，知道平抛运动的轨迹是一条抛物线。
3．熟练运用平抛运动规律解决相关问题。
4．了解一般抛体运动，掌握处理抛体运动的一般方法。
平抛运动的速度
将物体以初速度v0水平抛出，由于物体只受重力作用。
1．水平方向的速度：vx＝v0。
2．竖直方向的速度：vy＝gt。
3．合速度大小：v= vx2+vy2=v02+g2t2方向：tanθ=vyvx=gtv0(θ为速度方向与水平方向间的夹角)
如图所示，一人正练习投掷飞镖，如果不计空气阻力，请回答下列问题。
【问题】
(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？
(3)飞镖投出后，水平方向速度和竖直方向的速度有什么特点？
提示：(1)因忽略空气阻力，飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为g，方向竖直向下。
(2)飞镖运动过程中，加速度是不变的，所以飞镖的运动是匀变速曲线运动。
(3)飞镖投出后，水平方向速度不变，竖直方向的速度均匀增大。
1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2．平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计。
(2)运动特点。
①加速度：为自由落体加速度g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动。
②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动。
(3)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
【典例1】 (2022·四川南充市阆中中学高一期中)关于平抛运动，下面的几种说法中正确的是( )
A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B．平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近
B [平抛运动是一种在重力作用下的匀变速曲线运动，故A错误；平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变，故B正确；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故C错误；平抛运动的加速度与质量无关，则知其运动情况与质量无关，落点远近与其质量无关，故D错误。]
[跟进训练]
1．(多选)关于平抛物体的运动，以下说法正确的是( )
A．做平抛运动的物体，速度和加速度都随时间的增加而增大
B．做平抛运动的物体仅受到重力的作用，所以加速度保持不变
C．平抛物体的运动是匀变速运动
D．平抛物体的运动是变加速运动
BC [做平抛运动的物体，速度随时间不断增大，但由于只受恒定不变的重力作用，所以加速度是恒定不变的，选项A、D错误，B、C正确。]
平抛运动的位移与轨迹
将物体以初速度v0水平抛出，经时间t，物体的位移为：
1．水平方向的位移：x＝v0t。
2．竖直方向的位移：y＝12gt2。
3．合位移大小：s= x2+y2= v0t2+12gt22方向：tanα=yx=gt2v0α为位移方向与水平方向间的夹角
4．轨迹：由水平方向x＝v0t解出t＝xv0，代入y＝12gt2得y＝g2v0 2x2，平抛运动的轨迹是一条抛物线。
空中以一定速度飞行的战斗机，为击中前方坦克，而从后方水平投出一枚炸弹，炸弹飞行轨迹如图所示。根据运动轨迹，以抛出点为原点，水平方向和竖直方向建立坐标系如图所示，请思考以下问题：
【问题】
(1)分析曲线运动的基本思路和方法是什么？
(2)如何对平抛运动进行研究？
(3)平抛运动的时间、水平位移和落地速度由哪些因素决定？
提示：(1)分析曲线运动的基本思路和方法是将运动分解。
(2)研究平抛运动时，可以将其分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
(3)平抛运动的时间由下落高度y决定，水平位移和落地速度则由初速度v0和下落高度y共同决定。
1．研究方法
研究平抛运动通常采用“化曲为直”的思想，即将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2．运动规律
【典例2】 当灾害发生时，有时会利用无人机运送救灾物资。一架无人机正准备向受灾人员空投急救用品，急救用品的底面离水平地面高度h＝19.6 m，无人机以v＝10 m/s的速度水平匀速飞行。若空气阻力忽略不计，重力加速度g＝9.8 m/s2。
(1)为了使投下的急救用品落在指定地点，无人机应该在离指定地点水平距离多远的地方进行投放？
(2)投放的急救用品落到水平地面上时，速度的大小是多少？
[思路点拨] (1)急救用品离开无人机时具有与无人机相同的水平速度，且只受重力作用。因此急救用品做平抛运动。
(2)在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，并且两个分运动经历时间相同。末速度为两个分速度的矢量和。
[解析] (1)急救用品做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，有h＝12gt2，得t＝2hg。急救用品在水平方向上做匀速直线运动，在时间t内的水平位移x＝vxt＝v2hg＝10×2×19.69.8 m＝20 m，即无人机应在离指定地点水平距离20 m处投放急救用品。
(2)设急救用品落到水平地面上时竖直方向速度的大小为vy，
根据匀变速直线运动速度与位移的关系，有vy 2＝2gh，
急救用品落到水面上时，速度的大小v＝vx 2+vy 2＝vx 2+2gh＝102+2×9.8×19.6 m/s≈22 m/s。
[答案] 见解析
[跟进训练]
2．如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
D [如图所示，小球竖直方向的速度为vy＝gt，则初速度为v0＝gttanθ，选项A错误；平抛运动的时间t＝2yg，由高度决定，与初速度无关，选项C错误；位移方向与水平方向的夹角为α，tan α＝yx＝12gt2v0t＝gt2v0，tan θ＝vyv0＝gtv0，则tan θ＝2tan α，但α≠θ2，选项B错误；由于tan θ＝gtv0，若小球的初速度增大，则θ减小，选项D正确。]
一般的抛体运动
物体抛出的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)，如图所示。
1．水平方向的分运动：物体做匀速直线运动，初速度vOx＝v0cs θ。
2．竖直方向的分运动：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vOy＝v0sin θ。
体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等(如图所示)，都可以看作是斜上抛运动。
【问题】
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、加速度有何特点？
(2)铅球离开手时速度有什么特点？
(3)铅球在最高点的速度是零吗？
(4)处理上述运动的思路是什么？
提示：(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g。
(2)其初速度不为零，初速度方向斜向上方。
(3)不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
(4)利用运动合成与分解的思路。
1．斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
2．斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明)
(1)分析思路：斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
(2)速度规律(如图所示)。
水平速度：vx＝v0x＝v0cs θ。
竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt。
t时刻的速度大小为v＝vx 2+vy 2。
(3)位移规律。
水平位移：x＝v0xt＝v0t cs θ。
竖直位移：y＝v0t sin θ－12gt2。
t时间内的位移大小为s＝x2+y2，与水平方向成α角，且tan α＝yx。
(4)如果物体的落点与抛出点在同一水平面上，则飞行时间：t＝2v0yg＝2v0sinθg；
射高：Y＝v0y22g＝v02sin2θ2g；
射程：X＝v0cs θ·t＝2v02sinθcsθg＝v02sin2θg。
【典例3】 如图所示，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24 m/s，落地时速度vt＝30 m/s，g取10 m/s2。求：
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
(2)物体在空中的飞行时间t。
[解析] (1)根据斜抛运动的对称性，物体抛出时的速度与落地时的速度大小相等，故v0＝vt＝30 m/s
设与水平方向夹角为θ，则cs θ＝vv0＝45
故θ＝37°。
(2)竖直方向的初速度为
v0y＝v0 2-v2＝302-242 m/s＝18 m/s
故飞行时间t＝2v0yg＝2×1810 s＝3.6 s。
[答案] (1)30 m/s 与水平方向夹角为37° (2)3.6 s
[跟进训练]
3．如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L。假设跳远运动员落入沙坑瞬间的速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力。则有( )
A．tan α＝2 B．tan α＝12
C．tan α＝14 D．tan α＝1
D [运动员从最高点到落地的过程做平抛运动，根据对称性知平抛运动的水平位移为2L，则有L＝12gt2，解得t＝2Lg，运动员通过最高点时的速度为v＝2Lt＝2gL，则有tan α＝gtv＝1，选项D正确。]
1．(多选)物体在做平抛运动时，在相等时间内，相等的量是( )
A．速度的增量 B．加速度
C．位移的增量 D．位移
AB [平抛运动在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv＝Δvy＝gΔt，故A项正确；平抛运动是匀变速曲线运动，加速度是恒定的，故B项正确；在相等时间间隔Δt内，水平位移增量Δx＝v0Δt相等，而竖直位移增量Δy＝vΔt+12gΔt2＝gt·Δt＋12g(Δt)2，是随时间增大的，所以位移不是均匀变化的，故C、D项错误。]
2．做斜上抛运动的物体，到达最高点时( )
A．具有水平方向的速度和水平方向的加速度
B．速度为零，加速度向下
C．速度不为零，加速度为零
D．具有水平方向的速度和向下的加速度
D [斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。当物体到达最高点时，竖直方向上的速度减为零，水平方向上的速度不变。由于只受重力作用，所以物体始终具有竖直向下的加速度g，故D正确。]
3．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于Lv
B．将击中P点，t等于Lv
C．将击中P点上方，t大于Lv
D．将击中P点下方，t等于Lv
B [由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据h＝12gt2可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝Lv，故选B。]
4．(2022·福建莆田市第一中学高一期中)某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的水池中。现制作一个为实际尺寸116的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实际的( )
A．12 B．14 C．18 D．116
B [由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和下落高度均变为原来的116，则有h＝12gt2，得t＝2hg，所以时间变为实际的14，则水流出的速度v＝xt，由于水平位移变为实际的116，时间变为实际的14，则水流出的速度变为实际的14，故选B。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．平抛运动的条件是什么？
提示：有水平初速度，仅受重力作用。
2．平抛运动有哪些动力学特点？
提示：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动。
3．平抛运动的常用处理方法是什么？
提示：分解，将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的均加速直线运动。
实际弹道曲线
弹头飞行时其重心所经过的路线称为“弹道曲线”。由于重力作用和空气阻力的影响，弹道形成不均匀的弧形。升弧较长而直伸，降弧则较短而弯曲。膛外弹道学专门研究弹头在空中运动的规律，例如弹头的重心运动、稳定性等也都会影响到弹道曲线。斜抛射出的炮弹，其实际射程和射高都没有按抛体计算得到的值那么大，当然路线也不会是理想曲线。物体在空气中运动受到的阻力，与物体运动速率的大小有密切关系：物体的速率低于200 m/s 时，可认为阻力与物体速率大小的平方成正比；速率达到400～600 m/s时，空气阻力和速率大小的三次方成正比；在速率很大的情况下，阻力与速度大小的高次方成正比。总之，物体运动的速率越小，空气阻力的影响就越小，抛体的运动越接近理想情况。例如，不计空气阻力，某低速迫击炮的理想射程是360 m，实际上能达到350 m，空气阻力的作用处于次要地位；加农炮弹的速度很大，在不计阻力时计算的理想射程能达46 km，而实际只能达到13 km，空气的阻力是不能忽视的。
(1)实际的弹道曲线由哪些因素决定？
(2)怎样增大枪炮的射程？
提示：(1)空气阻力和速度的大小。
(2)增大初速度或制为流线型减小阻力，也可增添附加装置以便在弹头飞行过程增大推力或减小空气阻力等。
课时分层作业(三) 抛体运动的规律
◎题组一 平抛运动及其规律应用
1．关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是匀速运动
B．平抛运动是加速度不断变化的运动
C．平抛运动是匀变速曲线运动
D．做平抛运动的物体落地时速度方向可能是竖直向下的
C [做平抛运动的物体只受重力，加速度始终为重力加速度，其运动性质是匀变速曲线运动，又因平抛运动水平方向速度不变，故落地时速度方向和加速度方向不可能在同一直线上，C正确，A、B、D错误。]
2．(2022·山东潍坊市高一期中)在平抛运动中，小球的运动可分解为水平方向和竖直方向的两个分运动，下列说法正确的是( )
A．水平方向的分运动是匀加速运动
B．竖直方向的分运动是匀加速运动
C．水平方向的分速度均匀增加
D．竖直方向的分速度不变
B [平抛运动在水平方向上不受力，做匀速直线运动，故A、C错误；平抛运动在竖直方向上只受重力，初速度为零，做自由落体运动，即初速度为0的匀加速直线运动。故B正确，D错误。故选B。]
3．(2022·甘肃兰州市第一中学高一期中)如图所示，小杰在同一位置先后水平抛出三个相同的小球，分别落到水平地面的A、B、C三点，不计空气阻力，则( )
A．落到A点的球初速度最大
B．落到B点的球初速度最大
C．落到C点的球初速度最大
D．三个球的初速度大小相等
C [小球在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动。三个小球抛出点的高度相同，所以落地时间相同，由题图可知落到C点的球水平位移最大，所以其初速度最大，故C正确。故选C。]
4．如图所示，一质点做平抛运动先后经过A、B两点，到达A点时速度方向与水平方向的夹角为30°，到达B点时速度方向与水平方向的夹角为45°。从抛出开始计时，质点到A点与质点运动到B点的时间之比是( )
A．13 B．33
C．23 D．条件不够，无法求出
B [设初速度为v0，将A、B两点的速度分解，在A点tan 30°＝vAyv0＝gtAv0，解得tA＝3v03g；在B点tan 45°＝vByv0＝gtBv0，解得tB＝v0g，则tAtB＝33，故B正确。]
5．某工厂为了落实有关节能减排政策，水平的排水管道满管径工作，减排前、后，水落点距出水口的水平距离分别为x0、x1，则减排前、后单位时间内的排水量之比( )
A．x0x1B．x0x1
C．x1x0D．x1x0
A [设管的横截面积为S，则排水量为V排＝SL，L＝vt，减排前，水流速为v1，则t时间内排水量V排1＝Sv1t＝Sx0，减排后，水流速为v2，则t时间内排水量V排2＝Sv2t＝Sx1，减排前、后单位时间内的排水量之比V排1V排2＝x0x1，故选项A正确。]
◎题组二 一般抛体运动
6．如图是斜向上抛出的物体的运动轨迹，C点是轨迹最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列叙述中正确的是(不计空气阻力)( )
A．物体在C点的速度为零
B．物体在A点的速度与在B点的速度相同
C．物体在A点、B点的水平分速度等于物体在C点的速度
D．物体在A、B两点的竖直分速度相同
C [斜抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛运动，故A错误，C正确；物体在A、B两点的竖直分速度方向不同，故B、D错误。]
7．(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
CD [A、B两球都做斜上抛运动，只受重力作用，加速度即为重力加速度，A项错误；在竖直方向上做竖直上抛运动，由于能上升的竖直高度相同，竖直分速度相等，所以两小球在空中飞行的时间相等，B项错误；由于B球的水平射程比较大，故B球的水平速度及落地时的速度均比A球的大，C、D项正确。]
8．(多选)如图所示，一物体以初速度v0做斜抛运动，v0与水平方向成θ角。AB连线水平，则从A到B的过程中，下列说法正确的是( )
A．上升时间t＝v0sinθg
B．最大高度h＝v0sinθ22g
C．在最高点速度为0
D．AB间位移xAB＝2v02sinθcsθg
ABD [将物体的初速度沿着水平和竖直方向分解，有：v0x＝v0cs θ，v0y＝v0sin θ，上升时间t＝v0yg＝v0sinθg，故A正确；根据位移公式，最大高度为：h＝v0y 22g＝v0sinθ22g，故B正确；在最高点速度的竖直分量为零，但水平分量不为零，故最高点速度不为零，故C错误；结合竖直上抛运动的对称性可知，运动总时间为：t′＝2t＝2v0sinθg，所以AB间的位移：xAB＝v0xt′＝2v0 2sinθcsθg，故D正确。]
9．(多选)如图所示，节水灌溉中的喷嘴距地高0.8 m，假定水从喷嘴水平喷出，喷灌半径为4 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．水下落的加速度为8 m/s2
B．水从喷嘴到地面的时间为0.4 s
C．水从喷嘴喷出后速度不变
D．水从喷嘴喷出的速率为10 m/s
BD [水喷出后做平抛运动，下落的加速度为10 m/s2，故A错误；根据h＝12gt2得t＝2hg＝2×0.810 s＝0.4 s，故B正确；水从喷嘴喷出后竖直分速度增大，水平分速度不变，故合速度增大，故C错误；水从喷嘴喷出的速率v0＝xt＝40.4 m/s＝10 m/s，故D正确。]
10．(多选)(2022·山东卷)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
A．v＝5 m/s B．v＝32 m/s
C．d＝3.6 m D．d＝3.9 m
BD [设网球飞出时的速度为v0，竖直方向v0竖直2＝2g(H－h)，代入数据得：v0竖直＝2×10×8.45-1.25m/s＝12 m/s，则v0水平＝132-122 m/s＝5 m/s，网球水平方向到P点的距离x水平＝v0水平t＝v0水平·v0竖直g＝6 m，根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量：v0水平⊥＝v0水平·45＝4 m/s，平行墙面的速度分量v0水平∥＝v0水平·35＝3 m/s，反弹后，垂直墙面的速度分量：v′水平⊥＝0.75·v0水平⊥＝3 m/s，则反弹后的网球速度大小为v＝v水平⊥'2+v0水平∥2＝32 m/s，网球落到地面的时间t′＝2Hg＝8.45×210 s＝1.3 s，着地点到墙壁的距离d＝v′水平⊥t′＝3.9 m，故B、D正确，A、C错误。]
11．(2022·河南开封高一检测)用30 m/s的初速度水平抛出一个物体，经过一段时间后，物体的速度方向与水平方向成30°角(g取10 m/s2)。
(1)求此时物体相对于抛出点的水平位移和竖直位移；
(2)再经多长时间，物体的速度与水平方向的夹角为60°？
[解析] 根据题意，可知物体的运动在水平方向是匀速直线运动，在竖直方向为自由落体运动，运动示意图如图所示：
(1)由图示可知tan 30°＝vyv0＝gtAv0
tA＝v0tan30°g＝3 s
所以，在此过程中水平方向的位移xA＝v0tA＝303 m
竖直方向的位移y＝12gtA2＝15 m。
(2)设物体在B点时的速度方向与水平方向成60°角，总飞行时间为tB，则
tB＝v0tan60°g＝33 s
所以，物体从A点运动到B点经历的时间Δt＝tB－tA＝23 s。
[答案] (1)303 m 15 m (2)23 s
12．单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin 72.8°＝0.96，cs 72.8°＝0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的位移的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
[解析] (1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得
v1＝vM sin 72.8°①
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得
mg cs 17.2°＝ma1②
由运动学公式得d＝v122a1③
联立①②③式，代入数据得d＝4.8 m。④
(2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规律得v2＝vM cs 72.8°⑤
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得mg sin 17.2°＝ma2 ⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得t＝2v1a1⑦
L＝v2t＋12a2t2⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L＝12 m。
[答案] (1)4.8 m (2)12 m
项目
速度
位移
水平分运动
水平速度vx＝v0
水平位移x＝v0t
竖直分运动
竖直速度vy＝gt
竖直位移y＝12gt2
合运动
大小：v＝v0 2+gt2
方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝vyvx＝gtv0
大小：s＝
v0t2+12gt22
方向：与水平方向夹角为α，tan α＝yx＝gt2v0
图示
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