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高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 动能和动能定理学案
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 动能和动能定理学案，共20页。
2．理解动能定理表述的物理意义，并能进行相关分析与计算。
3．能够推导动能定理，并能应用动能定理分析求解相关问题。
动能的表达式
1．动能的定义：物体由于运动而具有的能量叫动能，用符号Ek表示。
2．动能的表达式：Ek＝12mv2。
3．动能的单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳。
1 kg·(m/s)2＝1 N·m＝1 J。
4．动能是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有大小没有方向。
地球同步卫星是人为发射的一种卫星，其中一种的轨道平面与赤道平面成0°角，从地面上看，卫星保持不动，故也称静止卫星，从地球之外看，卫星与地球以相同的角速度转动，故称地球同步卫星。
【问题】
(1)在卫星的运动过程中，其速度是否变化？
(2)其动能是否变化？
(3)物体运动动能的大小与哪些因素有关？
提示：(1)速度变化，卫星做匀速圆周运动时，其速度方向不断变化，由于速度是矢量，所以速度是变化的。
(2)动能不变，运动时其速度大小不变，所以动能大小不变，由于动能是标量，所以动能是不变的。
(3)由动能的表达式Ek＝12mv2可知，物体的动能与物体的质量和运动速度有关。
1．对动能概念的理解
(1)动能是状态量，动能公式中的速度v是瞬时速度。
(2)动能是标量，且动能恒为正值。
(3)动能也具有相对性，同一物体，对不同的参考系物体的速度有不同值，因而动能也有不同值。计算动能时一般都是以地面为参考系。
2．动能的变化量
(1)末状态的动能与初状态的动能之差，即ΔEk＝12mv2 2-12mv1 2。
(2)动能的变化量是过程量，ΔEk＞0，表示物体的动能增加；ΔEk＜0，表示物体的动能减少。
【典例1】 (多选)关于动能的理解，下列说法正确的是( )
A．凡是运动的物体都具有动能
B．动能不变的物体，一定处于平衡状态
C．重力势能可以为负值，动能不可以为负值
D．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
ACD [由动能的定义可知，凡是运动的物体都具有动能，故A正确；物体做匀速圆周运动时，物体的动能不变，但是物体的合力提供向心力，即合力不为零，物体处于非平衡状态，故B错误；重力势能可以有负值，其正负取决于所选择的参考平面，而动能没有负值，故C正确；由于速度为矢量，当方向变化时，若其速度大小不变，则动能并不改变；而动能变化时，一定质量的物体速度大小一定变化，故D正确。]
[跟进训练]
1．(多选)(2022·湖北荆门高一检测)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，小球碰墙过程中速度的变化为Δv，动能的变化为ΔEk。则下列说法正确的是( )
A．Δv＝10 m/s B．Δv＝0
C．ΔEk＝1 J D．ΔEk＝0
AD [速度是矢量，以弹回的速度方向为正方向，故Δv＝v2－v1＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s，而动能是标量，初末状态的速度大小相等，故动能相等，因此ΔEk＝0，选项A、D正确。]
动能定理
1．动能定理的内容
力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
2．动能定理的表达式
(1)W＝12mv22-12mv12。
(2)W＝Ek2－Ek1。
说明：式中W为合力做的功，它等于各力做功的代数和。
3．动能定理的适用范围
不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动的情况。
如图所示，一辆汽车正在上坡路上加速行驶。
【问题】
(1)汽车上坡过程受哪些力作用？各个力做什么功？
(2)汽车的动能怎样变化？
(3)其动能的变化与各个力做功有什么关系？
提示：(1)汽车受重力、支持力、牵引力及路面的阻力作用，上坡过程中牵引力做正功，重力、阻力做负功，支持力不做功。
(2)由于汽车加速上坡，其动能增大。
(3)汽车动能的变化量等于重力、牵引力及路面的阻力三个力做功的代数和。
1．对动能定理的理解
(1)表达式W＝ΔEk中的W为外力对物体做的总功。
(2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。
①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。
②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。
2．对动能定理的两点说明
(1)动能定理的表达式是一个标量式，不能在某一方向上应用动能定理，动能没有负值，但动能的变化量ΔEk有正负之分。
(2)应用动能定理涉及“一个过程”和“两个状态”。所谓“一个过程”是指做功过程，应明确该过程合力所做的总功；“两个状态”是指初、末两个状态物体的动能。
【典例2】 (多选)质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑水平地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则( )
A．第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量
B．第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍
C．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功
D．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍
AB [第一过程速度增量为Δv1＝v，动能增量为ΔEk1＝12mv2，合外力做功W1＝ΔEk1＝12mv2；第二过程速度增量Δv2＝2v－v＝v，动能增量ΔEk2＝12m·2v2-12mv2＝32mv2＝3ΔEk1，合外力做功W2＝ΔEk2＝32mv2＝3W1，故选项A、B正确，C、D错误。]
对W＝ΔEk的认识
(1)动能定理说明，合力做功是物体动能变化的原因，物体动能的变化用合力的功来度量。
(2)式中W＞0，ΔEk＞0(动力做功使动能增加)；W＜0，ΔEk<0(阻力做功使动能减少)。
(3)W＝ΔEk，既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功。
[跟进训练]
2．下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是( )
A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化
B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零
C．物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
C [物体做变速运动时，合外力一定不为零，但合外力不为零时，做功可能为零，动能可能不变，如匀速圆周运动，A、B错误；物体的合外力做功，它的动能一定变化，速度大小也一定变化，C正确；物体的动能不变，所受合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，D错误。]
动能定理的应用
一架喷气式飞机，质量为5.0×103 kg, 起飞过程中从静止开始在跑道上滑跑的路程为5.3×102 m时，达到起飞速度60 m/s。在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重力的0.02倍。(g取10 m/s2)
【问题】
(1)如何应用动能定理求飞机受到的牵引力F?
(2)能否应用动力学、运动学的公式来解？
(3)比较两种解法，你觉得哪一种更简明？
提示：(1)设飞机的牵引力为F，阻力为f，位移为l，则由动能定理可得Fl－fl＝12mv2－0，
f＝0.02 mg
故F＝mv22l＋f≈1.8×104 N。
(2)设飞机的牵引力为恒力，根据牛顿第二定律有
F－f＝ma
根据初速度为0 的匀加速直线运动规律有
v2－0＝2al
联立解得F≈1.8×104 N。
(3)两种解法，殊途同归，用动能定理思路明快，而且飞机的牵引力不一定是恒力，动能定理可用于变力做功的问题，这是它最大的优越性！
1．应用动能定理解题的基本思路
2．动能定理的优越性
【典例3】 质量为4 t的卡车，由静止出发在水平公路上行驶100 m后速度增大到54 km/h，若发动机的牵引力为5×103 N不变。则：
(1)牵引力做了多少功？
(2)卡车动能增加了多少？
(3)卡车克服阻力做了多少功？
[解析] (1)W＝Fs＝5×103×100 J＝5×105 J。
(2)54 km/h＝15 m/s，ΔEk＝12mv2－0＝12×4×103×152 J＝4.5×105 J。
(3)由动能定理知W合＝ΔEk，即W－W阻＝ΔE
W阻＝W－ΔEk＝5×105 J－4.5×105 J＝5×104 J。
[答案] (1)5×105 J (2)4.5×105 J (3)5×104 J
[拓展] 在上例中如果卡车速度从54 km/h继续行驶至速度为75.6 km/h，此过程中假设卡车所受牵引力与阻力数值不变，求卡车速度从54 km/h加速至75.6 km/h过程中，卡车前进的距离。
[解析] 设卡车前进过程中阻力为f，卡车由静止加速到54 km/h前进的位移为s，
由题知W阻＝fs，
即f＝W阻s＝5×104100 N＝5×102 N
卡车速度从54 km/h加速到75.6 km/h的过程由动能定理有Fs1－fs1＝12mv22-12mv12
v2＝75.6 km/h＝21 m/s，v1＝54 km/h＝15 m/s
解得s1＝96 m。
[答案] 96 m
应用动能定理解题的步骤
(1)确定研究对象和研究过程(研究对象一般为单个物体或相对静止的物体组成的系统)。
(2)对研究对象进行受力分析(注意哪些力做功或不做功)。
(3)确定合外力对物体做的功(注意功的正负)。
(4)确定物体的初、末动能(注意动能增量是末动能减初动能)。
(5)根据动能定理列式、求解。
[跟进训练]
3．为了交通安全，在公路上行驶的汽车应保持必要的间距。已知某高速公路的最高限速vmax＝120 km/h，假设前车突然停止，后车司机从发现情况到进行制动操作，汽车通过的位移s′＝17 m，制动时汽车所受的阻力为汽车所受重力的0.5倍，则该高速公路上汽车间的安全距离至少应为多大？(g＝10 m/s2)
[解析] 汽车制动时，阻力对汽车做负功，有
W＝－fs＝－0.5 mgs
汽车的动能减小至零，根据动能定理W＝Ek2－Ek1，有－0.5mgs＝0-12mvmax2
vmax＝120 km/h＝1003 m/s
汽车制动后滑行的距离
s＝vmax22×0.5g＝100322×0.5×10 m≈111 m
因此，该高速公路上汽车之间的最小安全距离
s安全＝s＋s′＝(111＋17)m＝128 m。
[答案] 128 m
1．关于动能概念及公式W＝Ek2－Ek1的说法中正确的是( )
A．若物体速度在变化，则动能一定在变化
B．速度大的物体，动能一定大
C．W＝Ek2－Ek1表示功可以变成能
D．动能的变化可以用合力做的功来量度
D [速度是矢量，而动能是标量，若物体速度只改变方向，不改变大小，则动能不变，A错；由Ek＝12mv2知速度大的物体质量可能小，动能不一定大，故B错；动能定理W＝Ek2－Ek1表示动能的变化可用合力做的功来量度，但功和能是两个不同的概念，有着本质的区别，故C错，D对。]
2．如图所示，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度，木箱获得的动能一定( )
A．小于拉力所做的功
B．等于拉力所做的功
C．等于克服摩擦力所做的功
D．大于克服摩擦力所做的功
A [受力分析，木箱受力分析如图所示，木箱在移动的过程中有两个力做功，拉力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可知：WF－Wf＝12mv2－0，所以动能小于拉力做的功，故A正确，B错误；无法比较动能与摩擦力做功的大小，C、D错误。]
3．某人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s，则下坡过程中阻力所做的功为( )
A．－4 000 J B．－3 800 J
C．－5 000 J D．－4 200 J
B [由动能定理有mgh＋Wf＝12mv2-v02，解得Wf＝-mgh+12mv2-v02＝－3 800 J，故B正确。]
4．(2021·河北卷)一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示。长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)( )
A．2+πgRB．2πgR
C．21+πgR D．2gR
A [当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球下落的高度h＝R＋πR-2πR4＝R＋πR2，根据动能定理有mgh＝12mv2，解得v＝2+πgR，故A正确，B、C、D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．什么是动能？动能的表达式是什么？
提示：物体由于运动而具有的能量；表达式Ek＝12mv2。
2．动能是矢量还是标量？
提示：标量。
3．动能定理的内容是什么？表达式是什么？
提示：内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化；
表达式：W＝Ek2－Ek1＝12mv2 2-12mv1 2。
课时分层作业(十五) 动能和动能定理
◎题组一 对动能的理解
1．(多选)关于动能，下列说法正确的是( )
A．公式Ek＝12mv2中的速度v一般是物体相对于地面的速度
B．动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体运动的方向无关
C．一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
ABC [动能是标量，与速度的大小有关，而与速度的方向无关，B正确；公式中的速度一般是相对于地面的速度，A正确；一定质量的物体动能变化时，速度的大小一定变化，但速度变化时，动能不一定变化，如匀速圆周运动，动能不变，但速度变化，故选项C正确，D错误。]
2．两个物体质量之比为1∶4，速度大小之比为4∶1，则这两个物体的动能之比为( )
A．1∶1 B．1∶4
C．4∶1 D．2∶1
C [由动能表达式Ek＝12mv2得Ek1Ek2＝m1m2·v1v22＝14×412＝4∶1，C正确。]
3．(2022·辽宁大连高一下阶段检测)改变消防车的质量和速度，能使消防车的动能发生改变。在下列几种情况下，消防车的动能是原来的2倍的是( )
A．质量不变，速度增大到原来的2倍
B．质量减半，速度增大到原来的4倍
C．速度不变，质量增大到原来的2倍
D．速度减半，质量增大到原来的2倍
C [设物体的原始质量为2，原始的速度为1，由公式Ek＝12mv2，代入数据得，原始动能Ek＝1。质量不变，则m＝2，速度变为原来的2倍，则v＝2，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek1＝4，动能变为原来4倍，故A错误；质量减半，则m＝1，速度变为原来的4倍，则v＝4，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek2＝8，动能变为原来的8倍，故B错误；速度不变，则v＝1，质量变为原来的2倍，则m＝4，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek3＝2，动能变为原来的2倍，故C正确；速度减半，则v＝12，质量增大到原来的2倍，则m＝4，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek4＝12，动能变为原来的12，故D错误。]
◎题组二 对动能定理的理解
4．关于动能定理，下列说法中正确的是( )
A．在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和
B．只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变
C．动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动
D．动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况
D [外力做的总功等于各个力单独做功的代数和，选项A错误；根据动能定理，决定动能是否改变的是总功，而不是某一个力做的功，选项B错误；动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况，选项C错误，D正确。]
5．有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )
A．木块所受的合力为零
B．因木块所受的力对其都不做功，所以合力做功为零
C．重力和摩擦力的合力做的功为零
D．重力和摩擦力的合力为零
C [木块做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知，合力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C正确，B、D错误。]
6．如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增加到v2时，上升高度为H，重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法正确的是( )
A．对物体，动能定理的表达式为WN＝12mv22，其中WN为支持力做的功
B．对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力做的功
C．对物体，动能定理的表达式为WN－mgH＝12mv22-12mv12
D．对电梯，其所受合力做功为12Mv22-12Mv12－mgH
C [物体受重力和支持力作用，根据动能定理得WN－mgH＝12mv22-12mv12，故选项C正确，A、B错误；对电梯，合力做功等于电梯动能的变化量，故选项D错误。]
◎题组三 动能定理的应用
7．一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点。小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图所示，则力F所做的功为( )
A．mgL cs θ B．mgL(1－cs θ)
C．FL sin θ D．FL cs θ
B [由动能定理知WF－mg(L－L cs θ)＝0，则WF＝mgL(1－cs θ)，故B正确。]
8．(2021·山东卷)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A．mv022πLB．mv024πL
C．mv028πLD．mv0216πL
B [在木块运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，木块恰好完成一个完整的圆周运动，则末速度v＝0，根据动能定理有－f·2πL＝0-12mv02，可得摩擦力的大小f＝mv024πL，故选B。]
9．如图所示，某滑雪运动员在一次训练中脚踩滑雪板从平台BC的C点沿水平方向飞出，落在倾斜雪道上的D点。已知倾斜的雪道与水平面的夹角θ＝37°，运动员从C点飞出时他和装备的动能为400 J。运动员及装备视为质点，不计空气阻力。取sin 37°＝0.60，重力加速度g＝10m/s2，则运动员(含装备)落到雪道上D点时的动能为( )
A．800 J B．900 J
C．1 300 J D．1 500 J
C [在C点的动能Ek0＝12mv02＝400 J，由平抛运动知识可知，速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍，即tan α＝2tan θ＝32，到达D点竖直方向速度vy＝v0tan α，在D点的速度v＝v02+vy2＝134v02，则运动员(含装备)落到雪道上D点时的动能为Ek＝12mv2＝12m134v022＝134×12mv02＝134×400 J＝1 300 J，故选项C正确。]
10．从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图像是( )
A B C D
A [小球做竖直上抛运动时，速度v＝v0－gt，动能Ek＝12mv2，即Ek＝12m(v0－gt)2，Ek与t成二次函数关系，开口向上，小球下落时做自由落体运动，v＝gt，Ek＝12mv2＝mg22t2，Ek与t成二次函数关系，开口向上，故A正确。]
11．如图所示，某人利用跨过定滑轮的轻绳拉质量为10 kg的物体。定滑轮的位置比A点高3 m。若此人缓慢地将绳从A点拉到同一水平高度的B点，且A、B两点处绳与水平方向的夹角分别为37°和30°，则此人拉绳的力做了多少功？(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，不计滑轮的摩擦)
[解析] 根据题意有h＝3 m，
物体升高的高度Δh＝hsin30°－hsin37°
取物体为研究对象，设绳的拉力对物体做的功为W
对全过程应用动能定理W－mgΔh＝0
联立解得W＝100 J
则人拉绳的力所做的功W人＝W＝100 J。
[答案] 100 J
12．如图所示，用与水平方向成θ角的恒力F，将质量为m的物体由静止开始从A点拉到B点后撤去力F，若物体和地面间的动摩擦因数为μ，A、B间的距离为x，重力加速度为g。求：
(1)从A到B的过程中力F做的功W；
(2)物体在运动过程中的最大动能；
(3)物体的最大滑行距离。
[解析] (1)由功的公式可求得W＝Fx cs θ。
(2)由题意知物体在AB段做加速运动，在B点有最大动能，在AB段，Ff＝μFN＝μ(mg－F sin θ)，
对物体从A点到B点的过程应用动能定理Fx cs θ－μ(mg－F sin θ)x＝Ek－0，
即物体在运动过程中的最大动能Ek＝Fx(cs θ＋μsin θ)－μmgx。
(3)撤去力F后，物体所受摩擦力变为μmg，设物体从B点到停止运动的位移为l，则
－μmgl＝0－E
物体的最大滑行距离
x总＝l＋x＝Fxcsθ+μsinθμmg。
[答案] (1)Fx cs θ (2)Fx(cs θ＋μsin θ)－μmgx (3)Fxcsθ+μsinθμmg
13．(多选)北京冬奥会高台滑雪场地示意如图。一运动员(含装备)的质量为m，从助滑坡上A点由静止沿坡(曲线轨道)下滑，经最低点B从坡的末端C起跳，在空中飞行一段时间后着陆于着陆坡上D点。已知A、C的高度差为h1，C、D的高度差为h2，重力加速度大小为g，摩擦阻力和空气阻力不能忽略，运动员可视为质点。则下列判定正确的是( )
A．运动员在B点处于超重状态
B．运动员起跳时的速率vC>2gh1
C．运动员着陆前瞬间的动能EkD＝mgh1+h2
D．运动员在空中飞行的时间t >2h2g
AD [由题意知运动员在B点满足FN －mg＝mvB2R，所以FN>mg，即运动员在B点处于超重状态，故A正确；从A到C由动能定理得mgh1－Wf＝12mvC2，所以vC<2gh1，故B错误；从A到D由动能定理得mg(h1＋h2)－Wf′＝EkD，所以EkD2h2g，故D正确。]
项目
牛顿运动定律
动能定理
适用条件
只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况
对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动均适用
应用方法
要考虑运动过程的每一个细节
只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法
矢量运算
代数运算
相同点
确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
结论
应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错
2．理解动能定理表述的物理意义，并能进行相关分析与计算。
3．能够推导动能定理，并能应用动能定理分析求解相关问题。
动能的表达式
1．动能的定义：物体由于运动而具有的能量叫动能，用符号Ek表示。
2．动能的表达式：Ek＝12mv2。
3．动能的单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳。
1 kg·(m/s)2＝1 N·m＝1 J。
4．动能是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有大小没有方向。
地球同步卫星是人为发射的一种卫星，其中一种的轨道平面与赤道平面成0°角，从地面上看，卫星保持不动，故也称静止卫星，从地球之外看，卫星与地球以相同的角速度转动，故称地球同步卫星。
【问题】
(1)在卫星的运动过程中，其速度是否变化？
(2)其动能是否变化？
(3)物体运动动能的大小与哪些因素有关？
提示：(1)速度变化，卫星做匀速圆周运动时，其速度方向不断变化，由于速度是矢量，所以速度是变化的。
(2)动能不变，运动时其速度大小不变，所以动能大小不变，由于动能是标量，所以动能是不变的。
(3)由动能的表达式Ek＝12mv2可知，物体的动能与物体的质量和运动速度有关。
1．对动能概念的理解
(1)动能是状态量，动能公式中的速度v是瞬时速度。
(2)动能是标量，且动能恒为正值。
(3)动能也具有相对性，同一物体，对不同的参考系物体的速度有不同值，因而动能也有不同值。计算动能时一般都是以地面为参考系。
2．动能的变化量
(1)末状态的动能与初状态的动能之差，即ΔEk＝12mv2 2-12mv1 2。
(2)动能的变化量是过程量，ΔEk＞0，表示物体的动能增加；ΔEk＜0，表示物体的动能减少。
【典例1】 (多选)关于动能的理解，下列说法正确的是( )
A．凡是运动的物体都具有动能
B．动能不变的物体，一定处于平衡状态
C．重力势能可以为负值，动能不可以为负值
D．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
ACD [由动能的定义可知，凡是运动的物体都具有动能，故A正确；物体做匀速圆周运动时，物体的动能不变，但是物体的合力提供向心力，即合力不为零，物体处于非平衡状态，故B错误；重力势能可以有负值，其正负取决于所选择的参考平面，而动能没有负值，故C正确；由于速度为矢量，当方向变化时，若其速度大小不变，则动能并不改变；而动能变化时，一定质量的物体速度大小一定变化，故D正确。]
[跟进训练]
1．(多选)(2022·湖北荆门高一检测)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，小球碰墙过程中速度的变化为Δv，动能的变化为ΔEk。则下列说法正确的是( )
A．Δv＝10 m/s B．Δv＝0
C．ΔEk＝1 J D．ΔEk＝0
AD [速度是矢量，以弹回的速度方向为正方向，故Δv＝v2－v1＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s，而动能是标量，初末状态的速度大小相等，故动能相等，因此ΔEk＝0，选项A、D正确。]
动能定理
1．动能定理的内容
力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
2．动能定理的表达式
(1)W＝12mv22-12mv12。
(2)W＝Ek2－Ek1。
说明：式中W为合力做的功，它等于各力做功的代数和。
3．动能定理的适用范围
不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动的情况。
如图所示，一辆汽车正在上坡路上加速行驶。
【问题】
(1)汽车上坡过程受哪些力作用？各个力做什么功？
(2)汽车的动能怎样变化？
(3)其动能的变化与各个力做功有什么关系？
提示：(1)汽车受重力、支持力、牵引力及路面的阻力作用，上坡过程中牵引力做正功，重力、阻力做负功，支持力不做功。
(2)由于汽车加速上坡，其动能增大。
(3)汽车动能的变化量等于重力、牵引力及路面的阻力三个力做功的代数和。
1．对动能定理的理解
(1)表达式W＝ΔEk中的W为外力对物体做的总功。
(2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。
①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。
②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。
2．对动能定理的两点说明
(1)动能定理的表达式是一个标量式，不能在某一方向上应用动能定理，动能没有负值，但动能的变化量ΔEk有正负之分。
(2)应用动能定理涉及“一个过程”和“两个状态”。所谓“一个过程”是指做功过程，应明确该过程合力所做的总功；“两个状态”是指初、末两个状态物体的动能。
【典例2】 (多选)质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑水平地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则( )
A．第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量
B．第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍
C．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功
D．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍
AB [第一过程速度增量为Δv1＝v，动能增量为ΔEk1＝12mv2，合外力做功W1＝ΔEk1＝12mv2；第二过程速度增量Δv2＝2v－v＝v，动能增量ΔEk2＝12m·2v2-12mv2＝32mv2＝3ΔEk1，合外力做功W2＝ΔEk2＝32mv2＝3W1，故选项A、B正确，C、D错误。]
对W＝ΔEk的认识
(1)动能定理说明，合力做功是物体动能变化的原因，物体动能的变化用合力的功来度量。
(2)式中W＞0，ΔEk＞0(动力做功使动能增加)；W＜0，ΔEk<0(阻力做功使动能减少)。
(3)W＝ΔEk，既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功。
[跟进训练]
2．下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是( )
A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化
B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零
C．物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
C [物体做变速运动时，合外力一定不为零，但合外力不为零时，做功可能为零，动能可能不变，如匀速圆周运动，A、B错误；物体的合外力做功，它的动能一定变化，速度大小也一定变化，C正确；物体的动能不变，所受合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，D错误。]
动能定理的应用
一架喷气式飞机，质量为5.0×103 kg, 起飞过程中从静止开始在跑道上滑跑的路程为5.3×102 m时，达到起飞速度60 m/s。在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重力的0.02倍。(g取10 m/s2)
【问题】
(1)如何应用动能定理求飞机受到的牵引力F?
(2)能否应用动力学、运动学的公式来解？
(3)比较两种解法，你觉得哪一种更简明？
提示：(1)设飞机的牵引力为F，阻力为f，位移为l，则由动能定理可得Fl－fl＝12mv2－0，
f＝0.02 mg
故F＝mv22l＋f≈1.8×104 N。
(2)设飞机的牵引力为恒力，根据牛顿第二定律有
F－f＝ma
根据初速度为0 的匀加速直线运动规律有
v2－0＝2al
联立解得F≈1.8×104 N。
(3)两种解法，殊途同归，用动能定理思路明快，而且飞机的牵引力不一定是恒力，动能定理可用于变力做功的问题，这是它最大的优越性！
1．应用动能定理解题的基本思路
2．动能定理的优越性
【典例3】 质量为4 t的卡车，由静止出发在水平公路上行驶100 m后速度增大到54 km/h，若发动机的牵引力为5×103 N不变。则：
(1)牵引力做了多少功？
(2)卡车动能增加了多少？
(3)卡车克服阻力做了多少功？
[解析] (1)W＝Fs＝5×103×100 J＝5×105 J。
(2)54 km/h＝15 m/s，ΔEk＝12mv2－0＝12×4×103×152 J＝4.5×105 J。
(3)由动能定理知W合＝ΔEk，即W－W阻＝ΔE
W阻＝W－ΔEk＝5×105 J－4.5×105 J＝5×104 J。
[答案] (1)5×105 J (2)4.5×105 J (3)5×104 J
[拓展] 在上例中如果卡车速度从54 km/h继续行驶至速度为75.6 km/h，此过程中假设卡车所受牵引力与阻力数值不变，求卡车速度从54 km/h加速至75.6 km/h过程中，卡车前进的距离。
[解析] 设卡车前进过程中阻力为f，卡车由静止加速到54 km/h前进的位移为s，
由题知W阻＝fs，
即f＝W阻s＝5×104100 N＝5×102 N
卡车速度从54 km/h加速到75.6 km/h的过程由动能定理有Fs1－fs1＝12mv22-12mv12
v2＝75.6 km/h＝21 m/s，v1＝54 km/h＝15 m/s
解得s1＝96 m。
[答案] 96 m
应用动能定理解题的步骤
(1)确定研究对象和研究过程(研究对象一般为单个物体或相对静止的物体组成的系统)。
(2)对研究对象进行受力分析(注意哪些力做功或不做功)。
(3)确定合外力对物体做的功(注意功的正负)。
(4)确定物体的初、末动能(注意动能增量是末动能减初动能)。
(5)根据动能定理列式、求解。
[跟进训练]
3．为了交通安全，在公路上行驶的汽车应保持必要的间距。已知某高速公路的最高限速vmax＝120 km/h，假设前车突然停止，后车司机从发现情况到进行制动操作，汽车通过的位移s′＝17 m，制动时汽车所受的阻力为汽车所受重力的0.5倍，则该高速公路上汽车间的安全距离至少应为多大？(g＝10 m/s2)
[解析] 汽车制动时，阻力对汽车做负功，有
W＝－fs＝－0.5 mgs
汽车的动能减小至零，根据动能定理W＝Ek2－Ek1，有－0.5mgs＝0-12mvmax2
vmax＝120 km/h＝1003 m/s
汽车制动后滑行的距离
s＝vmax22×0.5g＝100322×0.5×10 m≈111 m
因此，该高速公路上汽车之间的最小安全距离
s安全＝s＋s′＝(111＋17)m＝128 m。
[答案] 128 m
1．关于动能概念及公式W＝Ek2－Ek1的说法中正确的是( )
A．若物体速度在变化，则动能一定在变化
B．速度大的物体，动能一定大
C．W＝Ek2－Ek1表示功可以变成能
D．动能的变化可以用合力做的功来量度
D [速度是矢量，而动能是标量，若物体速度只改变方向，不改变大小，则动能不变，A错；由Ek＝12mv2知速度大的物体质量可能小，动能不一定大，故B错；动能定理W＝Ek2－Ek1表示动能的变化可用合力做的功来量度，但功和能是两个不同的概念，有着本质的区别，故C错，D对。]
2．如图所示，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度，木箱获得的动能一定( )
A．小于拉力所做的功
B．等于拉力所做的功
C．等于克服摩擦力所做的功
D．大于克服摩擦力所做的功
A [受力分析，木箱受力分析如图所示，木箱在移动的过程中有两个力做功，拉力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可知：WF－Wf＝12mv2－0，所以动能小于拉力做的功，故A正确，B错误；无法比较动能与摩擦力做功的大小，C、D错误。]
3．某人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s，则下坡过程中阻力所做的功为( )
A．－4 000 J B．－3 800 J
C．－5 000 J D．－4 200 J
B [由动能定理有mgh＋Wf＝12mv2-v02，解得Wf＝-mgh+12mv2-v02＝－3 800 J，故B正确。]
4．(2021·河北卷)一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示。长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)( )
A．2+πgRB．2πgR
C．21+πgR D．2gR
A [当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球下落的高度h＝R＋πR-2πR4＝R＋πR2，根据动能定理有mgh＝12mv2，解得v＝2+πgR，故A正确，B、C、D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．什么是动能？动能的表达式是什么？
提示：物体由于运动而具有的能量；表达式Ek＝12mv2。
2．动能是矢量还是标量？
提示：标量。
3．动能定理的内容是什么？表达式是什么？
提示：内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化；
表达式：W＝Ek2－Ek1＝12mv2 2-12mv1 2。
课时分层作业(十五) 动能和动能定理
◎题组一 对动能的理解
1．(多选)关于动能，下列说法正确的是( )
A．公式Ek＝12mv2中的速度v一般是物体相对于地面的速度
B．动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体运动的方向无关
C．一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
ABC [动能是标量，与速度的大小有关，而与速度的方向无关，B正确；公式中的速度一般是相对于地面的速度，A正确；一定质量的物体动能变化时，速度的大小一定变化，但速度变化时，动能不一定变化，如匀速圆周运动，动能不变，但速度变化，故选项C正确，D错误。]
2．两个物体质量之比为1∶4，速度大小之比为4∶1，则这两个物体的动能之比为( )
A．1∶1 B．1∶4
C．4∶1 D．2∶1
C [由动能表达式Ek＝12mv2得Ek1Ek2＝m1m2·v1v22＝14×412＝4∶1，C正确。]
3．(2022·辽宁大连高一下阶段检测)改变消防车的质量和速度，能使消防车的动能发生改变。在下列几种情况下，消防车的动能是原来的2倍的是( )
A．质量不变，速度增大到原来的2倍
B．质量减半，速度增大到原来的4倍
C．速度不变，质量增大到原来的2倍
D．速度减半，质量增大到原来的2倍
C [设物体的原始质量为2，原始的速度为1，由公式Ek＝12mv2，代入数据得，原始动能Ek＝1。质量不变，则m＝2，速度变为原来的2倍，则v＝2，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek1＝4，动能变为原来4倍，故A错误；质量减半，则m＝1，速度变为原来的4倍，则v＝4，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek2＝8，动能变为原来的8倍，故B错误；速度不变，则v＝1，质量变为原来的2倍，则m＝4，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek3＝2，动能变为原来的2倍，故C正确；速度减半，则v＝12，质量增大到原来的2倍，则m＝4，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek4＝12，动能变为原来的12，故D错误。]
◎题组二 对动能定理的理解
4．关于动能定理，下列说法中正确的是( )
A．在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和
B．只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变
C．动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动
D．动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况
D [外力做的总功等于各个力单独做功的代数和，选项A错误；根据动能定理，决定动能是否改变的是总功，而不是某一个力做的功，选项B错误；动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况，选项C错误，D正确。]
5．有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )
A．木块所受的合力为零
B．因木块所受的力对其都不做功，所以合力做功为零
C．重力和摩擦力的合力做的功为零
D．重力和摩擦力的合力为零
C [木块做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知，合力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C正确，B、D错误。]
6．如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增加到v2时，上升高度为H，重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法正确的是( )
A．对物体，动能定理的表达式为WN＝12mv22，其中WN为支持力做的功
B．对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力做的功
C．对物体，动能定理的表达式为WN－mgH＝12mv22-12mv12
D．对电梯，其所受合力做功为12Mv22-12Mv12－mgH
C [物体受重力和支持力作用，根据动能定理得WN－mgH＝12mv22-12mv12，故选项C正确，A、B错误；对电梯，合力做功等于电梯动能的变化量，故选项D错误。]
◎题组三 动能定理的应用
7．一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点。小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图所示，则力F所做的功为( )
A．mgL cs θ B．mgL(1－cs θ)
C．FL sin θ D．FL cs θ
B [由动能定理知WF－mg(L－L cs θ)＝0，则WF＝mgL(1－cs θ)，故B正确。]
8．(2021·山东卷)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A．mv022πLB．mv024πL
C．mv028πLD．mv0216πL
B [在木块运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，木块恰好完成一个完整的圆周运动，则末速度v＝0，根据动能定理有－f·2πL＝0-12mv02，可得摩擦力的大小f＝mv024πL，故选B。]
9．如图所示，某滑雪运动员在一次训练中脚踩滑雪板从平台BC的C点沿水平方向飞出，落在倾斜雪道上的D点。已知倾斜的雪道与水平面的夹角θ＝37°，运动员从C点飞出时他和装备的动能为400 J。运动员及装备视为质点，不计空气阻力。取sin 37°＝0.60，重力加速度g＝10m/s2，则运动员(含装备)落到雪道上D点时的动能为( )
A．800 J B．900 J
C．1 300 J D．1 500 J
C [在C点的动能Ek0＝12mv02＝400 J，由平抛运动知识可知，速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍，即tan α＝2tan θ＝32，到达D点竖直方向速度vy＝v0tan α，在D点的速度v＝v02+vy2＝134v02，则运动员(含装备)落到雪道上D点时的动能为Ek＝12mv2＝12m134v022＝134×12mv02＝134×400 J＝1 300 J，故选项C正确。]
10．从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图像是( )
A B C D
A [小球做竖直上抛运动时，速度v＝v0－gt，动能Ek＝12mv2，即Ek＝12m(v0－gt)2，Ek与t成二次函数关系，开口向上，小球下落时做自由落体运动，v＝gt，Ek＝12mv2＝mg22t2，Ek与t成二次函数关系，开口向上，故A正确。]
11．如图所示，某人利用跨过定滑轮的轻绳拉质量为10 kg的物体。定滑轮的位置比A点高3 m。若此人缓慢地将绳从A点拉到同一水平高度的B点，且A、B两点处绳与水平方向的夹角分别为37°和30°，则此人拉绳的力做了多少功？(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，不计滑轮的摩擦)
[解析] 根据题意有h＝3 m，
物体升高的高度Δh＝hsin30°－hsin37°
取物体为研究对象，设绳的拉力对物体做的功为W
对全过程应用动能定理W－mgΔh＝0
联立解得W＝100 J
则人拉绳的力所做的功W人＝W＝100 J。
[答案] 100 J
12．如图所示，用与水平方向成θ角的恒力F，将质量为m的物体由静止开始从A点拉到B点后撤去力F，若物体和地面间的动摩擦因数为μ，A、B间的距离为x，重力加速度为g。求：
(1)从A到B的过程中力F做的功W；
(2)物体在运动过程中的最大动能；
(3)物体的最大滑行距离。
[解析] (1)由功的公式可求得W＝Fx cs θ。
(2)由题意知物体在AB段做加速运动，在B点有最大动能，在AB段，Ff＝μFN＝μ(mg－F sin θ)，
对物体从A点到B点的过程应用动能定理Fx cs θ－μ(mg－F sin θ)x＝Ek－0，
即物体在运动过程中的最大动能Ek＝Fx(cs θ＋μsin θ)－μmgx。
(3)撤去力F后，物体所受摩擦力变为μmg，设物体从B点到停止运动的位移为l，则
－μmgl＝0－E
物体的最大滑行距离
x总＝l＋x＝Fxcsθ+μsinθμmg。
[答案] (1)Fx cs θ (2)Fx(cs θ＋μsin θ)－μmgx (3)Fxcsθ+μsinθμmg
13．(多选)北京冬奥会高台滑雪场地示意如图。一运动员(含装备)的质量为m，从助滑坡上A点由静止沿坡(曲线轨道)下滑，经最低点B从坡的末端C起跳，在空中飞行一段时间后着陆于着陆坡上D点。已知A、C的高度差为h1，C、D的高度差为h2，重力加速度大小为g，摩擦阻力和空气阻力不能忽略，运动员可视为质点。则下列判定正确的是( )
A．运动员在B点处于超重状态
B．运动员起跳时的速率vC>2gh1
C．运动员着陆前瞬间的动能EkD＝mgh1+h2
D．运动员在空中飞行的时间t >2h2g
AD [由题意知运动员在B点满足FN －mg＝mvB2R，所以FN>mg，即运动员在B点处于超重状态，故A正确；从A到C由动能定理得mgh1－Wf＝12mvC2，所以vC<2gh1，故B错误；从A到D由动能定理得mg(h1＋h2)－Wf′＝EkD，所以EkD
项目
牛顿运动定律
动能定理
适用条件
只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况
对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动均适用
应用方法
要考虑运动过程的每一个细节
只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法
矢量运算
代数运算
相同点
确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
结论
应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错
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