吉林省梅河口市第五中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份吉林省梅河口市第五中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷（Word版附解析），共18页。
高 二 数 学 试 题
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。满分150分，考试时间120分钟。
第 Ⅰ 卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数在上可导，若，则（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
2.过函数图象上一动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.在等差数列中，若，，，则的值为
A．14 B．15 C．16 D．17
4.若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5.已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（ ）
A． B． C． D．
6.已知数列为等差数列，其首项为1，公差为2，数列为等比数列，其首项为1，公比为2，设，为数列的前项和，则当时，的最大值是
A．9B．10C．11D．12
7.若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8.设 a=e2， b=2e3， c=21+ln⁡2， 则 a,b,c的大小关系为( )
A.b>a>c B.c>a>b C. a>c>b D. a>b>c
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数，是自然对数的底数，则（ ）
A．若，则
B．
C．的最大值为
D．对任意两个正实数，且，若，则
10.如图，已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，，则（ ）
A．无论取何值，三棱锥的体积始终为
B．若，则
C．点到平面的距离为
D．若异面直线与所成的角的余弦值为．则
11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增
B．当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增
C．当时，函数与的图象有两个不同的公共点
D．当时，若不等式在时恒成立，则的取值范围是
第 Ⅱ 卷（非选择题，共52分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.设函数，且为奇函数，则曲线在点处的切线方程
为 ．
13.已知点P是双曲线 左支上一点，是双曲线的左右两个焦点，且，线段的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为 .
14.已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式
的解集是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知函数fx=lnx−mx+2．
(1)求fx的极值；
(2)若fx在区间1e2,e有2个零点，求m的取值范围．
16.（15分）在已知数列中，.
(1)若数列是等比数列，求常数和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项的和.
17.（15分）已知函数，．
(1)若函数在R上单调递减，求a的取值范围；
(2)已知，，，，求证：；
(3)证明：．
18.（17分）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，若上的点满足恒成立．
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与的两条渐近线交于，两点，且．
①证明：与有且仅有一个交点；
②求的取值范围．
19.（17分）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.答案
ABBD AADC BCD AB ABD
选择题
1.．
故选：A
2.依题意，，则，
即切线的斜率的取值范围是，
所以倾斜角的取值范围是.
故选：B
3.解：根据等差数列前项和公式，
，
又根据等差数列的性质，，，，
．
，
故选：．
4.因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
5.由题意，得，关于x的一元二次方程的两根为b，2b，
又极小值点为，极大值点为，所以，即，
由韦达定理得到，所以，，得到．
故选：A．
6.解：数列为等差数列，其首项为1，公差为2，．
数列为等比数列，其首项为1，公比为2，，
，，
则，
对任意的，，数列单调递增，
又，
，
当时，，2，3，4，5，6，7，8，．
故选：．
7.由题意可知，不等式变形为.
设，则
.当时，即在上单调递减.
当时，即在上单调递增.则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.所以，即在上单调递增.
若使得对任意，恒有成立.
则需对任意，恒有成立.即对任意，恒有成立，则在恒成立.设则.
当时，，函数在上单调递增当时，，函数在上单调递减则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.
所以，即，则实数的最小值为.故选：D
8.设 f(x)=x1+ln⁡x(x>1)， 则 f'(x)=lnx(1+ln⁡x)2>0，
所以 f(x)在 (1,+∞)上单调递增，
因为 e>2>e， 所以 f(c)>f(2)>f(e)
由条件得 a=e1+ln⁡e=f(e)， b=e1+ln⁡e=f(c)， c=21+ln⁡2=f(2)
所以 a>c>b，故选: C.
多选题
9.由题意得，则 ，
当 时，，递增 ，当 时，，递减，
故，故C正确；
由于，由于当 时，递减，故 ，
即 ，即，
因为 ，
故，即，
故，故B正确；
因为，即，
设 ，由于当 时，递增 ，当 时， 递减，
故单调减函数，故，
即，由于，不妨设， 则 ，
即，故A错误；
对任意两个正实数，且，若，不妨设 ，
即，设，则，
则，，
而
，
设 令 ，则，
即为单调增函数，故，
即成立，故，故D正确，
故选：ABD
10.对于A，因为正方体的棱长为，点分别为棱的中点,
所以,
在正方体中，平面，
由等体积法知，三棱锥=三棱锥=，
所以无论取何值，三棱锥的体积始终为，故A正确；
对于B,由题意可知，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示
因为正方体的棱长为，
所以，，，，,
由，得，设，则
所以，
所以，所以，解得，
所以，
所以，
所以，故B正确；
对于C，由B选项建立的空间直角坐标系知，，，，
设，则，，
所以，所以，解得，所以，
所以，
设平面的法向量为，则
,即，令则，
所以，
所以点到平面的距离为，
由于无法确定，所以点到平面的距离无法确定，故C错误；
对于D,由B选项建立的空间直角坐标系知，，，,，，,
设，则，，
所以，所以，解得，所以，
所以，
因为异面直线与所成的角的余弦值为，则
，即，解得或（舍），故D错误.
故选：AB.
11.对于A，由题意得，当时，，则在上单调递增，故A正确；
对于B，当时，令，得，则当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，故B正确；
对于C，当时，，令，
利用导数易证不等式恒成立，且仅在处取等号，可得，即，且仅在时取等号，故C错误；
对于D，当时，不等式在时恒成立等价于在时恒成立，
即在时恒成立，
令，，则，
当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，故，
故，即实数的取值范围是，故D正确.
故选：ABD.
填空题
12. 13. 14.
12.因为函数为奇函数，所以，即，即，，
，，所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：
13.由焦点到渐近线的距离为，得出
再根据题意，得出,所以
根据椭圆定义：即得到：，
即离心率为．
14.解：令，则，
当时，，故，在上单调递增，
又为偶函数，为偶函数，所以为偶函数，
所以在单调递减，
又，则，；
要解不等式，
则①当时，即，，所以；
②当时，即，，所以；
综上所述.
故答案为：
解答题：
15.（1）因为fx=lnx−mx+2，定义域为0,+∞，所以f′x=1x−m，
当m≤0时，由于1x>0，则f′x>0恒成立，
所以fx在0,+∞上单调递增，fx无极值，
当m>0时，令f′x=0，解得x=1m，
当01m时，f′x0时，fx在x=1m处取极大值1−lnm，无极小值；
（2）fx=lnx−mx+2，
令lnx−mx+2=0，得lnx+2x=m，令gx=lnx+2x，fx在区间1e2,e有2个零点，
即y=m与y=gx在区间1e2,e有2个交点，
gx=lnx+2x，g′x=−1−lnxx2，g′x=−1−lnxx2=0，x=1e
当x∈0,1e，g′x>0，gx在0,1e上单增，
当x∈1e,+∞，g′x