2022-2023学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题p：∀x∈[1,2]，x2−1≥0，则¬p是( )
A. ∀x∉[1,2]，x2−1≥0B. ∀x∈[1,2]，x2−1<0
C. ∃x0∉[1,2]，x02−1≥0D. ∃x0∈[1,2]，x02−1<0
2.设a∈R，则“a(a−3)>0”是“a>3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.设P是双曲线x24−y23=1左支上的动点，F1，F2分别为左右焦点，则|PF1|−|PF2|=( )
A. −4B. 2 3C. 4D. 2 7
4.已知抛物线y2=x上的点M到其焦点的距离为2，则M的横坐标是( )
A. 32B. 52C. 74D. 94
5.若f(x)=2xf′(1)+x2，则f′(0)等于( )
A. 2B. 0C. −2D. −4
6.若曲线f(x)=x4−x在点P处的切线平行于直线3x−y=0，则点P的坐标为
( )
A. (-1,2)B. (1,-3)C. (1,0)D. (1,5)
7.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y=f(x)的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数y=2x3+ax2+36x−24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A. (2,3)B. (3,+∞)C. (2,+∞)D. (−∞,3)
9.已知直线l：y=k(x−p2)与抛物线C：y2=2px(p>0)相交于A、B两点(其中A位于第一象限)，若|BF|=3|FA|，则k=( )
A. − 3B. − 33C. −1D. −13
10.已知函数f(x)=exx−mx(e为自然对数的底数)，若f(x)>0在(0,+∞)上恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. (−∞,2)B. (−∞,e)C. (e24,+∞)D. (−∞,e24)
11.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，过F2的直线与圆x2+y2=b2相切于点A，并与椭圆C交于不同的两点P，Q，如图，若A，F2为线段PQ的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A. 23
B. 33
C. 53
D. 73
12.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|=2|PF2|，若C的离心率为 73，则∠F1PF2=( )
A. 150°B. 120°C. 90°D. 60°
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=12x2−2lnx在点(1,f(1))处的切线方程为______．
14.已知命题“∃x0∈[1,2]，x02−2ax0+1>0”是真命题，则实数a的取值范围为______．
15.已知函数f(x)=12x2+2ax−lnx，若f(x)在区间[13,2]上是增函数，则实数a的取值范围是______．
16.已知函数f(x)=lnx，g(x)=12x+1，若f(x1)=g(x2)，则x1−x2的最小值为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知命题p：x(x−5)<0，命题q： x2−x−12有意义．
(1)若p∧q为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p∨(¬q)为假命题，求实数x的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=13x3+ax2+bx在点(−1,f(−1))处切线斜率为−4，且f′(2)=5．
(1)求a和b；
(2)试确定函数f(x)的单调区间．
19.(本小题12分)
已知双曲线的焦点为F1(−3,0)，F2(3,0)，且该双曲线过点P(2,−2 6)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点F1作斜率为2 6的弦AB，求AB的长；
(3)求△F2AB的周长．
20.(本小题12分)
直线y=kx−2交抛物线y2=2px(p>0)于A、B两点，线段AB中点的横坐标为2，抛物线的焦点到y轴的距离为2．
(1)求抛物线方程；
(2)设抛物线与x轴交于点D，求△ABD的面积．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−ax(a∈R)．
(1)当a=1时，求函数y=f(x)的极值．
(2)若函数f(x)在[1,e2]上有且仅有2个零点，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过T(2,1)，直线l：y=x+m与椭圆E交于A、B．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线TA、TB的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2=0；
(3)直线l′是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义∠PTB为椭圆E的弦切角，∠PAB为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角∠PTB与弦TB对应的椭圆周角∠TAB的关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意，命题p：∀x∈[1,2]，x2−1≥0，
由全称命题的否定为存在命题，可得：¬p为∃x0∈[1,2]，x02−1<0．
故选：D．
由全称量词命题的否定为存在量词命题，分析即可得到答案．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2.【答案】B
【解析】解：由a(a−3)>0可得a>3或a<0，
故“a(a−3)>0”是“a>3”的必要不充分条件．
故选：B．
先解不等式a(a−3)>0可得a>3或a<0，然后检验充分性及必要性即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由x24−y23=1，得a2=4，解得a=2．
因为P是双曲线x24−y23=1左支上的动点，
所以|PF1|<|PF2|.
由双曲线的定义可知|PF1|−|PF2|=−2a=−2×2=−4．
故选：A．
利用双曲线的方程的特点和双曲线的定义即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵抛物线方程为y2=x，
∴抛物线的焦点F(14,0)
设点M(x0,y0)，得2−14=74=x0．
故选：C．
由抛物线方程，求出焦点F(14,0).设M(x0,y0)，由|MF|=2抛物线的性质，转化求解即可．
本题给出抛物线上一点到焦点的距离，求该点的横坐标．考查了抛物线的定义与标准方程，抛物线的简单几何性质等知识，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查导数的运算，属于基础题．
利用导数的运算法则求出f′(x)，令x=1得到关于f′(1)的方程，解方程求出f′(1)，求出f′(x)；令x=0求出f′(0)．
【解答】
解：∵f′(x)=2f′(1)+2x，令x=1，
∴f′(1)=2f′(1)+2
∴f′(1)=−2
∴f′(x)=−4+2x
∴f′(0)=−4
故选：D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了两直线平行时斜率相等，以及利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．
设出P的坐标为(a,b)，根据f(x)的解析式求出f(x)的导函数，由曲线在点P的切线与已知直线平行，得到斜率相等，先根据已知直线的方程求出已知直线的斜率即为曲线上过点P切线方程的斜率，即为导函数在x=a时的函数值，把x=a代入导函数表示出函数值，让其等于切线方程的斜率列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入f(x)中即可得到b的值，根据求出的a与b的值写出点P的坐标即可．
【解答】
解：设点P的坐标为(a,b)，
由f(x)=x4−x，得到f′(x)=4x3−1，
∵曲线上过P的切线与直线3x−y=0平行，
∴过点P的切线的斜率k等于直线3x−y=0的斜率，即k=3，
则f′(a)=4a3−1=3，解得a=1，
把a=1代入得：b=f(1)=0，
则点P的坐标为(1,0)．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】解：由图象看出，−11时xf′(x)>0；x≤−1，和0≤x≤1时xf′(x)≤0；
∴−11，或x≤−1时，f′(x)≥0；
∴f(x)在(−1,1]上单调递减，在(−∞,−1]，(1,+∞)上单调递增；
∴f(x)的大致图象应是B．
故选：B．
通过观察函数y=xf′(x)的图象即可判断f′(x)的符号以及对应的x的所在区间，从而判断出函数f(x)的单调性及单调区间，所以观察选项中的图象，找出符合条件的即可．
考查观察图象的能力，对于积的不等式xf′(x)≥0，(或xf′(x)≤0)的求解，函数导数符号和函数单调性的关系．
8.【答案】B
【解析】解：y′=f′(x)=6x2+2ax+36
∵在x=2处有极值
∴f′(2)=60+4a=0，解得a=−15
令f′(x)=6x2−30x+36>0
解得x<2或x>3
故选B
先求出函数的导数，再根据极值求出参数a的值，然后在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0的区间即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：过A、B分别作抛物线准线x=−p2的垂线，垂足分别为C、D，
过A作BD的垂线，垂足为E，
令|AF|=t，
由|BF|=3|FA|，
则|BF|=3t，|AB|=4t，
结合抛物线的性质可得|AC|=t，|BD|=3t，|BE|=2t，
则cs∠ABE=|BE||AB|=12，
则∠ABE=π3，
则k=tan(π−∠ABE)=−tanπ3=− 3，
故选：A．
由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题．
10.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=exx−mx(e为自然对数的底数)，
若f(x)>0在(0,+∞)上恒成立，
则m则g′(x)=ex(x−2)x3，
可得x=2时函数g(x)取得极小值即最小值，g(2)=e24．
∴实数m的取值范围是(−∞,e24).
故选：D．
根据f(x)>0在(0,+∞)上恒成立，m本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】C
【解析】解：如图，连接PF1，OA，因为A，F2为线段PQ的三等分点，
∴在△PF1F2中，O为F1F2中点，A为PF2中点，∴PF1//OA，
又过F2的直线与圆x2+y2=b2相切于点A，∴PF2⊥OA，
又OA|=b，|PF1|=2b，
由椭圆的定义得：|PF2|=2a−|PF1|=2a−2b，∴|AF2|=a−b，
∴在Rt△AOF2中，由勾股定理可得：
|OA|2+|AF2|2=|OF2|2，∴c2=b2+(a−b)2，
∴a2−b2=2b2+a2−2ab，
∴2a=3b，∴ba=23，
∴e= 1−(ba)2= 53．
故选：C．
根据椭圆的性质、圆的切线的性质、勾股定理建立方程，再化归转化，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，圆的切线的性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】B
【解析】解：∵|PF1|=2|PF2，|PF1|+|PF2|=2a，
∴|PF1|=43a，|PF2|=23a，
∵ca= 73，∴c= 73a，
不妨取a=3，则c= 7，|PF1|=4，|PF2|=2，
∴cs∠F1PF2=42+22−(2 7)22×4×2=−12，∠F1PF2∈[0°,180°]，
∴∠F1PF2=120°，
故选：B．
由|PF1|=2|PF2，|PF1|+|PF2|=2a，解得|PF1|，|PF2|，根据ca= 73，可得c= 73a，利用余弦定理即可得出结论．
本题考查了椭圆的定义及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】y=−x+32
【解析】解：由已知得f(1)=12，所以切点为(1,12)，又f′(x)=x−2x，
所以k=f′(1)=−1，所以切线方程为y−12=−(x−1)，化简得y=−x+32．
故答案为：y=−x+32
要求切线方程一求斜率(注意斜率不存在的情况)，二求点．本题求函数在点(1,f(1))处的切线方程，易知切点是(1,f(1))，斜率k=f′(1)．
关于利用导数研究函数图象的切线的问题，主要是利用切点满足的两条性质：
1、切点是函数图象与切线的公共点；
2、切点处的导数是切线的斜率；
3、注意“在”与“过”某个点的区别．
14.【答案】(−∞,54)
【解析】【分析】
本题考查由特称命题的真假求参数范围，注意运用分离参数，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
由题意可得2a【解答】
解：命题“∃x0∈[1,2]，x02−2ax0+1>0”是真命题，
即有2a由x0+1x0在[1,2]递增，可得x0=2取得最大值52，
则2a<52，可得a<54，
则实数a的取值范围为(−∞,54).
故答案为：(−∞,54).
15.【答案】a≥43
【解析】解：∵f(x)在区间[13,2]上是增函数，
∴f′(x)=x+2a−1x≥0在[13,2]恒成立，
即2a≥−x+1x在[13,2]恒成立，
∵−x+1x在[13,2]上是减函数，
∴(−x+1x)max=83，
∴2a≥83即a≥43．
故答案为：a≥43．
由题意，f(x)在区间[13,2]上是增函数可化为f′(x)=x+2a−1x≥0在[13,2]恒成立，从而再化为最值问题．
本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理与应用，属于中档题．
16.【答案】4−2ln2
【解析】解：设f(x1)=g(x2)=t，即lnx1=t,12x2+1=t，解得x1=et,x2=2t−2，
所以x1−x2=et−2t+2，令h(t)=et−2t+2，则h′(t)=et−2，令h′(t)=0，解得t=ln2，
当tln2时，h′(t)>0，
所以h(t)在(−∞,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，
所以h(t)的最小值为h(ln2)=2−2ln2+2=4−2ln2，所以x1−x2的最小值为4−2ln2．
故答案为：4−2ln2．
令f(x1)=g(x2)=t，则x1−x2=et−2t+2，求导，利用导数研究函数的最小值即可．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)根据题意，对于p，命题p：x(x−5)<0，
解不等式x(x−5)<0，可得0即p：0对于q，要使 x2−x−12有意义，只需x2−x−12≥0，解得x≤−3或x≥4，
即q：x≤−3或x≥4，
若p∧q为真，则有0∴实数x的取值范围是[4,5)；
(2)由(1)知p：0若p∨(¬q)为假命题，则p与¬q都为假命题，即¬p与q都为真命题，
∴¬p：x≤0或x≥5，
只需x≤0或x≥5x≤−3或x≥4，解得x≤−3或x≥5．
则实数x的取值范围：(−∞,−3]∪[5,+∞)．
【解析】(1)首先分别求两个命题表示的x的取值范围，再求交集，即可求解；
(2)由题意可知，p与¬q都为假命题，即¬p与q都为真命题，求¬p与q表示的集合的交集．
本题考查命题真假的判断，涉及二次函数的性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)函数f(x)=13x3+ax2+bx，则f′(x)=x2+2ax+b，
由f′(−1)=−4f′(2)=5，得1−2a+b=−44+4a+b=5，
解得a=1，b=−3．
(2)由(1)得f(x)=13x3+x2−3x，则f′(x)=x2+2x−3，
令f′(x)=0，得x1=1，x2=−3，
当x>1或x<−3时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当−3所以f(x)的单调递增区间为(−∞,−3)，(1,+∞)，单调递减区间为(−3,1)．
【解析】(1)求导，利用导数的几何意义f′(−1)=−4，结合f′(2)=5，进行求解即可；
(2)求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调区间．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为x2a2−y2b2=1，
由题意得a2+b2=94a2−24b2=1，得a2=1b2=8，所以双曲线方程为x2−y28=1．
(2)依题意得直线AB的方程为y=2 6(x+3)，设A(x1,y1)，B(x2,y2).
联立y=2 6(x+3)x2−y28=1，得x2+9x+14=0，x1+x2=−9，且xx2=14，
所以|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+24⋅ (x1+x2)2−4x1x2=5 81−56=25．
(3)由(2)知A，B两点都在双曲线左支上，且a=1，
由双曲线定义，|AF2|−|AF1|=|BF2|−|BF1|=2a，
从而|AF2|+|BF2|=4a+|AF1|+|BF1|=4a+|AB|，△F2AB的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2|AB|=4+50=54．
【解析】(1)双曲线的焦点在x轴上，设出双曲线方程，把已知条件代入解方程组即可；
(2)写出直线AB的方程，与双曲线方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式求得；
(3)由双曲线的定义及弦长AB得出△F2AB的周长．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
20.【答案】解：(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0)，
因为抛物线的焦点到y轴的距离为2，则p2=2，可得p=4，
所以抛物线的方程为y2=8x．
(2)若k=0，则直线AB与抛物线y2=8x只有一个交点，不合题意，则k≠0，

设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，
联立y=kx−2y2=8x，可得k2x2−(4k+8)x+4=0，
由Δ=(4k+8)2−16k2=64k+64>0，解得k>−1，
因为线段AB中点的横坐标为2，则4k+8k2=4，
整理可得k2−k−2=0，
又因为k>−1，解得k=2，
抛物线y2=8x交x轴于点D(0,0)，则有4x2−16x+4=0，
所以x2−4x+1=0，
由韦达定理可得x1+x2=4，x1x2=1，
由弦长公式可得|AB|= 1+22⋅|x1−x2|= 5⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 5× 42−4=2 15，
原点D到直线AB：2x−y+2=0的距离为d=2 22+(−1)2=2 55，
所以S△ABD=12|AB|⋅d=12×2 15×2 55=2 3．
【解析】(1)根据抛物线的焦点到y轴的距离求出p的值，即可得出抛物线的方程．
(2)分析可知k≠0，将直线AB与抛物线的方程联立，根据Δ>0求出k的取值范围，根据线段AB中点的横坐标为2求出k的值，列出韦达定理，利用弦长公式可求得|AB|的值，求出点D到直线AB的距离，利用三角形的面积公式可求得△ABD的面积．
本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=lnx−x，f′(x)=1x−1=1−xx,(x>0)，
当00，f(x)单调递增，
当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x=1时，f(x)取得极大值，极大值为f(1)=−1，无极小值．
(2)f′(x)=1x−a=1−axx，x>0，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)单调递增，
所以最多只有1个零点，不成立，
当a>0时，x∈(0,1a)，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(1a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
若函数f(x)在[1,e2]上有且仅有2个零点，
则1<1a且f(1a)=−lna−1>0，解得：0且f(1)=−a≤0f(e2)=2−ae2≤0，解得：a≥2e2，
综上可知，2e2≤a<1e，
所以实数a的取值范围是[2e2,1e)．
【解析】(1)首先利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；
(2)首先分a≤0和a>0两种情况讨论函数的单调性，再根据函数的零点个数，列不等式求实数a的取值范围．
本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．
22.【答案】解：(1)由题意知，b=c= 22a，所以a2=2b2，
又椭圆经过T(2,1)，所以4a2+1b2=1，
解得a2=6，b2=3，所以椭圆方程为x26+y23=1；
(2)证明：联立直线与椭圆方程，得y=x+mx2+2y2=6，
所以x2+2(x+m)2−6=0，∴3x2+4mx+2m2−6=0，
则Δ=16m2−12(2m2−6)>0，解得−3设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−4m3，x1x2=2m2−63，
所以k1+k2=y1−1x1−2+y2−1x2−1=x1+m−1x1−2+x2+m−1x2−2
=2+(m+1)(1x1−2−1x2−2)=2+(m+1)⋅x1+x2−4x1x2−2(x1+x2)+4
=2+(m+1)⋅−4m3−42m2−63−2×(−4m3)+4=2−(m+1)⋅2(m+3)(m+1)(m+3)=0，
即k1+k2=0；
(3)证明：椭圆E的弦切角∠PTB与弦TB对应的椭圆周角∠TAB相等．证明如下：
设切线方程为y−1=k(x−2)，即y=kx+1−2k，
由y=kx+1−2kx2+2y2=6，得x2+2(kx+1−2k)2−6=0，
所以(1+2k2)x2+4k(1−2k)x+2(1−2k)2−6=0，
Δ=16k2(1−2k)2−4(1+2k2)[2(1−2k)2−6]=0，解得k=−1，
则∠TQD=45°，又k1=1，所以∠AMC=∠PMQ=45°，所以∠TQD=∠AMC，
设切线与x轴交点为Q，TA、TB分别与x交于C，D，

因为k1+k2=0，所以∠TCD=∠TDC，又∠TQD=∠AMC，
∠TCD=∠TAB+∠AMC，∠TDC=∠PTB+∠TQD，
所以∠PTB=∠TAB．
【解析】(1)根据题意可得a2=2b2，4a2+1b2=1，解出a、b即可求解；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线l方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示则x1+x2、x1x2，结合两点表示斜率公式对k1+k2化简计算，即可求解；
(3)设切线方程y=kx+1−2k，由直线与椭圆的位置关系求出k，得出倾斜角，可得∠TQD=∠AMC，由k1+k2=0，得∠TCD=∠TDC，结合三角形的外角和即可下结论．
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查计算能力，属中档题．