2022-2023学年江苏省徐州市沛县湖西中学高一（下）期中数学模拟试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省徐州市沛县湖西中学高一（下）期中数学模拟试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin74°cs14°−cs74°sin14°=( )
A. 32B. 12C. − 32D. −12
2.已知AB=a+5b，BC=−2a+8b，CD=3a−39b，则( )
A. A，B，C共线B. A，B，D共线C. A，C，D共线D. B，C，D共线
3.设2(z−z−)+12=3(z+z−)+8i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为( )
A. 2iB. 2C. −2iD. −2
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=π3，b=3，a= 3，则c=( )
A. 3B. 2 3C. 3− 3D. 3
5.在平行四边形ABCD中，设CB=a,CD=b，E为AD的靠近A的三等分点，CE与BD交于F，则CF=( )
A. 35a+25bB. −35a+25bC. −25a+35bD. 25a+35b
6.已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcsC=a+ccsB，则该三角形的形状是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰或直角三角形
7.已知sin(α+π3)=13，则sin(2α+π6)的值是( )
A. 79B. −79C. 29D. −29
8.某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路驾车向A驶去，行驶了20km到达D，此时测得CD距离为21km，若此人必须在20分钟内从D处到达A处，则此人开车的最小速度为( )
A. 30km/hB. 45km/hC. 14km/hD. 15km/h
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.欧拉公式eθi=csθ+isinθ(其中i为虚数单位，θ∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A. eπ4i= 22+ 22iB. eπ2i为纯虚数
C. 复数eπi的模长等于1D. eπ6i的共轭复数为12− 32i
10.设向量a=(k,2)，b=(1,−1)，则下列叙述错误的是( )
A. 若a与b的夹角为钝角，则k<2且k≠−2
B. |a|的最小值为2
C. 与b共线的单位向量只有一个为( 22,− 22)
D. 若|a|=2|b|，则k=2 2或−2 2
11.下列等式成立的是( )
A. cs215°−sin215°= 32B. 12sin40°+ 32cs40°=sin70°
C. sinπ8csπ8= 24D. tan15°=2− 3
12.下列说法正确的是( )
A. 在△ABC中，满足a= 3,b=3,B=π3的三角形有两个
B. 在△ABC中，若sin2A=sin2B，则A=B
C. 在△ABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件
D. 在△ABC中，asinA=b+csinB+sinC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设复数z满足(1+i)z=2−2i(i为虚数单位)，则|z|=______．
14.tan25°+tan35°+ 3tan25°tan35°=______．
15.在△ABC中，sin(A−B)+sinC=32，BC= 3AC，则角B的大小为______．
16.已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足AG=xAM+yAN，其中x+y=1，若AM=34AB，则△ABC和△AMN的面积之比为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(3,4)．
(1)若|c|=10，且c/​/a，求c的坐标；
(2)若|b|= 10，且a+2b与2a−b垂直，求b在a方向上的投影向量．
18.(本小题12分)
在复平面内，复数z=a2−a−2+(a2−3a−4)i(其中i为虚数单位，a∈R)．
(1)若复数z为纯虚数，求a的值；
(2)若复数z>0，求a的值．
19.(本小题12分)
已知π2<α<π，csα=−45，求下列各式的值：
(1)2sin2α+sin2αcs2α；
(2)tan(α−34π)．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3cs(2x−π2)−2sin2x+1．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若x∈(0,π6)且f(x)=12，求f(x−π12)的值．
21.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c,(sinB+sinC)2−(2+ 3)sinBsinC=sin2A，且a= 3．
(1)求A；
(2)若b=2，求csC；
(3)若csC= 33，求b．
22.(本小题12分)
如图，在平面凸四边形ABCD中(凸四边形指没有角度数大于180°的四边形)，AB=2，BC=5，CD=6．
(1)若∠B=2π3，csD=16，求AD；
(2)已知AD=3，记四边形ABCD的面积为S．
①求S的最大值；
②若对于常数λ，不等式S≥λ恒成立，求实数λ的取值范围.(直接写结果，不需要过程)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：sin74°cs14°−cs74°sin14°=sin(74°−14°)=sin60°= 32，
故选：A．
利用两角差的正弦可得答案．
本题考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵AB=a+5b，BC=−2a+8b，CD=3a−39b，
∴AD=AB+BC+CD=2a−26b，AC=AB+BC=−a+13b，BD=BC+CD=a−31b，
则AB与BC不共线，AB与BD不共线，BC与BD不共线，
而AC=−13CD，故A，C，D三点共线，
故选：C．
根据条件，由共线向量定理判断即可．
本题主要考查向量的线性表示以及三点共线的判断，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：设z=a+bi(a,b为实数)，
因为2(z−z−)+12=3(z+z−)+8i，
所以2(a+bi−a+bi)+12=3(a+bi+a−bi)+8i，
即12+4bi=6a+8i，
所以a=2，b=2．
故选：B．
由已知结合复数的运算及相等的条件即可求解．
本题主要考查了复数的基本运算及复数的概念，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=π3，b=3，a= 3，
利用余弦定理：b2=a2+c2−2accsB，
整理得：9=3+c2− 3c，
解得c=2 3或− 3(负值舍去)，
所以c=2 3．
故选：B．
直接利用余弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由已知，可得CFFE=CBDE=32，
则CF=35CE=35(CD+DE)=35(CD+23DA)=25a+35b，
故选：D．
由平面向量基本定理求解即可．
本题考查了平面向量基本定理，属基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查正弦定理，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换求出结果．
【解答】
解：已知△ABC中，满足bcsC=a+ccsB，
利用正弦定理整理得：sinBcsC=sinA+sinCcsB，
转换为sin(B−C)=sin(B+C)，
所以B−C=B+C，或B−C=π−B−C，
若B−C=B+C，整理得C=0，与三角形的内角相矛盾；
若B−C=π−B−C，整理得：2B=π，解得B=π2．
故△ABC为直角三角形，
故选：B．
7.【答案】B
【解析】解：∵α+π3+(π6−α)=π2，
∴sin(α+π3)=cs(π6−α)=13，
∴sin(2α+π6)=cs(π3−2α)=2cs2(π6−α)−1=2×19−1=−79，
故选：B．
利用诱导公式及二倍角角的余弦可得答案．
本题考查诱导公式及二倍角角的余弦的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了余弦定理，正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理的解本题的关键．
由图形求出∠CAD的度数，以及BC，BD及CD的长，利用余弦定理求出csB的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由sinA，sinB及BC的长，利用正弦定理求出AC的长，由BC，AC及csA的值，利用余弦定理求出AB的长，由AB−BD即可求出AD的长即可．
【解答】
解：如图，易知∠CAD=25°+35°=60°，BC=31，BD=20，CD=21，
由余弦定理可得csB=BC2+BD2−CD22BC⋅BD=2331，∴sinB=12 331．
又在△ABC中，由正弦定理得：AC=BCsinBsinA=24．
由余弦定理得BC2=AC2+AB2−2AC⋅ABcsA，即312=AB2+242−2×AB×24cs60°，
∴AB2−24AB−385=0，
解得：AB=35或AB=−11(舍去)，
∴AD=AB−BD=35−20=15(km)．
此人必须在20分钟内从D处到达A处，则此人开车的最小速度为45km/小时．
故选：B．
9.【答案】ABC
【解析】解：A：由题意，eπ4i=csπ4+isinπ4= 22+ 22i，正确；
B：由题意，eπ2i=csπ2+isinπ2=i为纯虚数，正确；
C：由题意，eπi=csπ+isinπ=−1，其模长为1，正确；
D：由题意，eπ6i=csπ6+isinπ6= 32+i2，则其共轭复数为 32−i2，错误．
故选：ABC
利用欧拉公式计算出各选项指数式的复数代数形式，即可判断各项的正误．
本题考查欧拉公式及复数的运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
10.【答案】CD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，向量a=(k,2)，b=(1,−1)，若a与b的夹角为钝角，则有a⋅b=k−2<0k≠−2，解可得k<2且k≠−2，A正确；
对于B，向量a=(k,2)，|a|= k2+4≥4，必有|a|≥2，即|a|的最小值为2，B正确；
对于C，b=(1,−1)，|b|= 2，与b共线的单位向量有( 22,− 22)或(− 22, 22)，C错误；
对于D，若|a|=2|b|，即k2+4=4(1+1)，解可得k=±2，D错误；
故选：CD．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及命题真假的判断，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查倍角公式的应用，考查两角和与差的正弦公式和正切公式，是基础的计算题．
利用倍角公式变形求解A与C，利用两角和与差的三角函数计算判断B与D．
【解答】
解：cs215°−sin215°=cs30°= 32，故A正确；
12sin40°+ 32cs40°=sin40°cs60°+cs40°sin60°=sin100°=sin80°，故B错误；
sinπ8csπ8=12⋅2sinπ8csπ8=12sinπ4= 24，故C正确；
tan15°=tan(45°−30°)=tan45°−tan30°1+tan45°tan30°=1− 331+ 33=2− 3，故D正确．
故选：ACD．
12.【答案】CD
【解析】解：A选项，由aB选项，sin2A=sin2B，当A=π6,B=π3时，等式成立，所以B选项错误．
C选项，由正弦定理，得sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B，
其中R是三角形ABC外接圆的半径，所以C选项正确．
D选项，由正弦定理asinA=bsinB=csinC和比例的性质，可知D选项正确．
故选：CD．
根据选项中的条件，结合大角对大边，正弦定理，充分必要条件和比例的性质，判断各选项即可．
本题考查正弦定理，考查学生的运算能力，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：由题意得z=2−2i1+i=(2−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−2i．
故|z|=2．
故答案为：2．
先对已知复数进行化解，然后结合模长公式可求．
本题主要考查了复数的四则运算，复数的模长公式，属于基础题．
14.【答案】 3
【解析】解：原式=tan(25°+35°)(1−tan25°tan35°)+ 3tan25°tan35°=tan60°= 3．
故答案为： 3．
利用两角和差的正切公式即可得出．
本题考查了两角和差的正切公式，属于基础题．
15.【答案】π6
【解析】解：△ABC中，∵sin(A−B)+sinC=32，∴sin(A−B)+sin(A+B)=32，
∴2sinAcsB=32，∴csB>34，∴0又BC= 3AC，∴sinA= 3sinB，∴2 3sinBcsB=32，∴sin2B= 32．
∴2B=π3，∴B=π6．
故答案为：π6．
由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得sin2B的值，可得角B的大小．
本题主要考查诱导公式、正弦定理、两角和差的正弦公式，属于基础题．
16.【答案】209
【解析】解：设BC的中点为D，则AG=23AD=13AB+13AC，
又AM=34AB，即AB=43AM，
∴AG=49AM+13AC，
∴x=49，又x+y=1，∴y=59，
∴59AN=13AC，即AN=35AC，
∴S△ABCS△AMN=12AB⋅AC⋅sin∠BAC12AM⋅AN⋅sin∠BAC=ABAM⋅ACAN=43⋅53=209．
故答案为：209．
用AB,AC表示出AG，求出x，y，得出M，N的位置，从而得出答案．
本题考查了平面向量基本定理，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设c=(x,y)，
由|c|=10，知x2+y2=10①，
由c/​/a，知4x−3y=0②，
联立①②，解得x=6，y=8或x=−6，y=−8，
故c=(6,8)或c=(−6,−8)．
(2)∵a+2b与2a−b垂直，
∴(a+2b)⋅(2a−b)=0，即2a2+3a⋅b−2b2=0，
∴a⋅b=2b2−2a23=2×10−2×253=−10，
∴b在a方向上的投影向量为|b|cs〈a,b〉⋅a|a|= 10×−105× 10×(3,4)5=(−65,−85)．
【解析】(1)设c=(x,y)，根据模长和向量共线的条件，可列得关于x和y的方程，解之即可；
(2)根据向量垂直的条件，求得a⋅b，再由投影向量的计算公式，代入运算，得解．
本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量共线和垂直的条件，以及投影向量的计算方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵复数z为纯虚数，
∴a2−a−2=0a2−3a−4≠0，可得a=2．
(2)∵复数z>0，
∴a2−a−2>0a2−3a−4=0，可得a=4．
【解析】本题主要考查复数的概念，属于基础题．
(1)根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
(2)根据已知条件，结合z>0，即可求解．
19.【答案】解：(1)已知π2<α<π，csα=−45，
利用三角函数关系式的变换，解得sinα=35，
所以tanα=−34，
故2sin2α+sin2αcs2α=2sin2α+2sinαcsαcs2α−sin2α=2tan2α+2tanα1−tan2α=−67；
(2)由(1)得：tan(α−34π)=tanα+11−tanα=1−341+34=17．
【解析】(1)直接利用三角函数的定义求出三角函数的值；
(2)利用差角的正切的关系式的变换求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵f(x)= 3cs(2x−π2)−2sin2x+1= 3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
∴T=π，
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，
∴f(x)在[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z上递增．
(2)∵f(x)=2sin(2x+π6)=12，
∴sin(2x+π6)=14，
∵x∈(0,π6)，
∴π6<2x+π6<π2，
∴cs(2x+π6)= 1−sin2(2x+π6)= 154，
∴f(x−π12)=2sin2x=2sin[(2x+π6)−π6=2sin(2x+π6)csπ6−2sinπ6cs(2x+π6)=2× 32×14−2×12× 154= 3− 154．
【解析】(1)结合二倍角公式及诱导公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；
(2)由已知结合诱导公式及同角基本关系及和差角公式可求．
本题主要考查了二倍角公式，诱导公式及同角平方关系在求解三角函数值中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵(sinB+sinC)2−(2+ 3)sinBsinC=sin2A，
∴b2+c2−a2= 3bc⇒csA= 32，又A∈(0,π)，
则A=π6；
(2)∵a= 3，b=2，A=π6，
∴由正弦定理有asinπ6=bsinB，即sinB=2×12 3=1 3，
∴csB=± 2 3，
∴csC=−cs(A+B)=−( 32× 2 3−12×1 3)= 3−3 26，
或csC=−cs(A+B)=−( 32×(− 2 3)−12×1 3)=−3 2+ 36；
(3)∵csC= 33，C∈(0,π)，
∴sinC= 1−cs2C= 63，
∴sinB=sin(A+C)=12× 33+ 32× 63= 3+3 26，
∴由正弦定理得asinπ6=bsinB，
故b= 3× 3+3 2612=1+ 6．
【解析】(1)先展开，然后借助于正弦定理和余弦定理即可求解；
(2)利用正弦定理结合同角三角函数的关系求出csB=± 2 3，然后由csC=−cs(A+B)展开即可求解；
(3)直接利用同角三角函数基本关系式以及正弦定理即可求解结论．
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为AB=2，BC=5，CD=6，∠B=2π3，csD=16，由余弦定理，
在△ABC中，AC2=AB2+BC2−2×AB×BC×csB=39，
在△ADC中，AC2=AD2+DC2−2×AD×DC×csD=AD2+36−2AD=39，
即AD2−2AD−3=0，
解得AD=3或AD=−1 (舍)，
即AD=3；
(2)①由题S△ABC=12×AB×BC×sinB=5sinB，
S△ADC=12×AD×DC×sinD=9sinD，
所以SABCD=5sinB+9sinD⇒5sinB+9sinD=S，
因为AC2=AB2+BC2−2×AB×BC×csB=AD2+DC2−2×AD×DC×csD，
所以29−20csB=45−36csD，
则9csD−5csB=4，
所以由9sinD+5sinB=S9csD−5csB=4，得S2=90−90cs(B+D)，
所以当B+D=π时，S取得最大值6 5；
②λ≤4 5，理由如下：
由(1)知：S2=90−90cs(B+D)，则需研究B+D的范围，
当D增大时，AC增大，从而B随之增大，
所以，当A，B，C趋于共线时，B+D趋于π+α，其中钝角α满足csα=−19，
当D减小时，AC减小，从而B随之减小，
所以，当AB，D趋于共线时，B+D趋于π−β，其中锐角β满足csβ=35，
所以B+D∈(π−β,π+α)，
令S2=f(x)=90−90cs(B+D)，则f(x)在(π−β,π)上递增，在(π,π+α)上递减，
并且f(π−β)=128，f(π+α)=80，
所以S2=f(x)=90−90cs(B+D)>80，又S≥λ恒成立，
则λ≤4 5．
【解析】(1)结合余弦定理列方程，化简求得AD；
(2)①先求得S的表达式，结合余弦定理列方程，化简求得S的最大值；
②通过研究B+D的范围来求得S2的取值范围，从而求得λ的取值范围．
本题考查了三角形中的几何应用，属于中档题．