2022-2023学年甘肃省武威市民勤一中、天祝一中、古浪一中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年甘肃省武威市民勤一中、天祝一中、古浪一中高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列求导运算正确的是( )
A. (ax−1)′=axB. (1x2)′=−1x3
C. (lnx+3)′=1x+3D. (csx)′=−sinx
2.已知向量a=(λ+1,1,λ)，b=(2,μ−1,1)，若a/​/b，则λ+μ=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
3.2023年3月5日，于西班牙博伊陶尔进行的2023年滑雪登山世锦赛落下帷幕，19岁中国小将玉珍拉姆获得女子U20组短距离项目冠军.在一次练习中，玉珍拉姆在运动过程中的重心相对于水平面的高度h(单位：m)与开始时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=−t2−3t+5000，则此次练习中，玉珍拉姆在t=7s时的瞬时速度为( )
A. 35m/sB. 17m/sC. −17m/sD. −35m/s
4.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，G是BC1与B1C的交点，若AB=a，AC=b，AA1=c，则A1G=( )
A. 12a+12b−12c
B. 12a−12b+12c
C. −12a+12b+12c
D. 12a+12b+12c
5.已知曲线f(x)=a x在点(1,f(1))处的切线为y=2x+a−2，则实数a=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.若函数f(x)=lnx−ax在区间(3,4)上有极值点，则实数a的取值范围是( )
A. (0,13)B. (14,+∞)C. [14,13]D. (14,13)
7.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=1，P，M分别为线段BC，A1B1的中点，Q，N分别为线段D1C1，AD上的动点，若PQ⊥MN，则线段QN的长度的最小值为( )
A. 10
B. 6
C. 5
D. 222
8.已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且f(x)+xf′(x)<0，则a=2f(2)，b=ef(e)，c=3f(3)的大小关系为( )
A. a>b>cB. c>a>bC. c>b>aD. b>a>c
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. a−b，b−c，c−aB. 3a，a+b，a−b
C. a+b，a−b，cD. 2(a+b)，a+b+c，c
10.定义在R上的可导函数f(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. −2是函数f(x)的极大值点，−1是函数f(x)的极小值点
B. 0是函数f(x)的极小值点
C. 函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞)
D. 函数f(x)的单调递减区间是(−2,−1)
11.已知四边形ABCD是平行四边形，A(0,0,−1)，B(−2,0,0)，C(0,−2,2)，则( )
A. 点D的坐标是(−2,−2,3)B. |BD|= 21
C. cs∠DAB= 1515D. 四边形ABCD的面积是2 14
12.已知函数f(x)=ex−(a+1)x，则下列结论正确的是( )
A. 当a=0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增
B. 当a=0时，f(x)>0恒成立
C. “a<−1”是“f(x1)−f(x2)x1−x2>0(x1≠x2)恒成立”的充要条件
D. 若函数f(x)有两个零点，则a>e−1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面α的法向量a=(−1,1,2)，A(2,1,7)为α上一点，则点P(1,−2,2)到α的距离为______．
14.已知函数f(x)=sin(2x−π6)，则f′(π4)= ．
15.在空间直角坐标系O−xyz中，点A，B，C，M的坐标分别是(2,0,2)，(2,1,0)，(0,4,−1)，(0,m,−5)，若A，B，C，M四点共面，则m=______．
16.设函数f(x)=ex−2mx在区间[[12,3]上有零点，则实数m的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知正四面体OABC的棱长为2，点G是△OBC的重心，点M是线段AG的中点．
(1)用OA,OB,OC表示OM，并求出|OM|；
(2)求证：OM⊥BC．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x2−32x+1)ex．
(1)求y=f(x)在(0,1)处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
19.(本小题12分)
在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为DD1的中点，F为BD1上靠近B的三等分点．
(1)求异面直线CF与C1E所成角的余弦值；
(2)求直线CF与平面A1C1E所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−ax2+bx+1在x=3处取得极值−26．
(1)求a，b的值；
(2)若存在x∈[−4,4]，使得f(x)−t>0成立，求实数t的取值范围．
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥M−ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，△MAD为正三角形，平面MAD⊥平面ABCD，E，F分别是棱DC，BM的中点．
(1)求证：EF/​/平面MAD；
(2)求平面MEF与平面AEF的夹角的余弦值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=alnx−x,g(x)=lnx+ax−2,a∈R．
(1)讨论函数g(x)的单调性；
(2)设h(x)=2g(x)−f(x)，当a>0时，若h(x)≥0对任意x∈(0,+∞)都成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵(ax−1)′=axlna，∴A错误，
∵(1x2)′=−2xx4=−2x3，∴B错误，
∵(lnx+3)′=1x，∴C错误，
∵(csx)′=−sinx，∴D正确．
故选：D．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为a/​/b，所以存在实数k，使得a/​/b，即(λ+1,1,λ)=k(2,μ−1,1)，
所以λ+1=2k1=k(μ−1)λ=k，解得k=λ=1，μ=2，
所以λ+μ=3．
故选：B．
利用空间向量平行的性质得到关于λ，μ的方程组，解之即可得解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为h(t)=−t2−3t+5000，所以h′(t)=−2t−3，
所以h′(7)=−17，即玉珍拉姆在t=7s时的瞬时速度为−17m/s．
故选：C．
利用导数的几何意义即可得解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为ABC−A1B1C1为三棱柱，AB=a，AC=b，AA1=c，
所以A1B1=AB,A1C1=AC，A1G=A1B1+B1G=A1B1+12(B1B+B1C1)=AB+12A1A+12(A1C1−A1B1)=12AB+12A1C1−12AA1=12a+12b−12c．
故选：A．
由空间向量线性运算即可求解．
本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：f′(x)=a2 x，所以f′(1)=a2，
又曲线f(x)=a x在点(1,f(1))处的切线为y=2x+a−2，
所以f′(1)=a2=2⇒a=4．
故选：D．
利用导数的几何意义计算即可．
本题考查导数的几何意义与切线方程的求法，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由已知得f′(x)=1−axx，
若函数f(x)=lnx−ax在(3,4)上有极值点，
则1−ax=0在x∈(3,4)上有解，即x=1a∈(3,4)，
解得14故选：D．
根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，
因为P，M分别为BC，A1B1的中点，所以P(1,2,0)，M(2,1,1)，
因为Q，N分别为线段D1C1，AD上的动点，
所以可设Q(0,a,1)，N(b,0,0)(0≤a,b≤2)，
所以PQ=(−1,a−2,1)，MN=(b−2,−1,−1)．
由PQ⊥MN，得PQ⋅MN=0，即−(b−2)−(a−2)−1=0，即a+b=3，
由QN=(b,−a,−1)，
得|QN|= b2+a2+1= 2a2−6a+10= 2(a−32)2+112，
当a=32时，|QN|min= 222．
故选：D．
建立空间直角坐标系，写出相关的点坐标，设出Q，N的坐标，利用PQ⊥MN，找出参数间的关系，再用空间两点间的距离公式表示出函数的形式，利用函数求最值．
本题考查坐标法求解空间两点间距离问题，函数思想的应用，属中档题．
8.【答案】A
【解析】解：因为f(x)满足f(x)+xf′(x)<0，
设g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x)<0，
所以g(x)在R上是减函数，
所以g(2)>g(e)>g(3)，
即2f(2)>ef(e)>3f(3)，
即a>b>c．
故选：A．
根据题意，构造函数g(x)=xf(x)，求g(x)的导数g′(x)，利用导数判断函数的单调性，即可比较a、b、c的大小．
本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了函数值的大小比较，是基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，a−b=−(b−c)−(c−a)，满足空间共面向量定理，故A正确，
对于B，3a=32[(a+b)+(a−b)]，满足空间共面向量定理，故B正确，
对于C，若a+b，a−b，c共面，
则存在实数λ，μ，使得c=λ(a+b)+μ(a−b)=(λ+μ)a+(λ−μ)b，故a，b，c共面，
这与{a,b,c}构成空间的一个基底，即a，b，c不共面矛盾，不满足空间共面向量定理，故C错误，
对于D，c=a+b+c−12×2(a+b)，满足空间共面向量定理，故D正确．
故选：ABD．
根据空间共面向量定理可判断A，B，D；采用反证的方法，推出矛盾，可判断C．
本题主要考查空间共面向量定理，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：由导函数图象可得，当x<0时，f′(x)⩽0，当x>0时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以0是函数f(x)的极小值点，所以B，C正确，A，D错误．
故选：BC．
由导函数的图象，结合导数与单调性的关系可得函数的单调区间，从而可得极值点，逐项判断即可得解．
本题主要考查里用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：不妨设点D坐标为(a,b,c)，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD=BC，即(a,b,c+1)=(2,−2,2)，
所以a=2，b=−2，c=1，
所以点D坐标为(2,−2,1)，故A错误，
|BD|= 42+(−2)2+12= 21，故B正确，
AD=(2,−2,2)，AB=(−2,0,1)，
所以cs∠DAB=cs〈AD,AB〉=AD⋅AB|AD||AB|=− 1515，故C错误，
因为sin∠DAB= 21015，
所以四边形ABCD的面积S=|AD||AB|sin∠DAB=2 3× 5× 21015=2 14，故D正确．
故选：BD．
根据已知条件，结合平行四边形的性质，以及向量相等的条件，求出点D，即可依次求解．
本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：当a=0时，f(x)=ex−x，f′(x)=ex−1，
令f′(x)>0，得x>0，令f′(x)<0，得x<0，
所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)=1>0，
故A正确，B正确；
若f(x1)−f(x2)x1−x2>0(x1≠x2)恒成立，则f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)=ex−a−1≥0在R上恒成立，即a≤ex−1恒成立，
又ex−1>−1，所以a≤−1，
所以“a<−1”是“f(x1)−f(x2)x1−x2>0(x1≠x2)恒成立”的充分不必要条件，C错误；
由题易得，x=0不是函数f(x)的零点，令f(x)=0，得a=exx−1，
令g(x)=exx−1，则g′(x)=ex(x−1)x2，
令g′(x)>0，得x>1，令g′(x)<0，得x<1且x≠0，
所以g(x)在(−∞,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
g(x)的极小值是g(1)=e−1，则g(x)的图象如图所示：
由图可得，若y=a与y=exx−1的图象有两个交点，则a>e−1，D正确．
故选：ABD．
利用导数研究函数的单调性和最值可判定A、B；利用分离参数法及数形结合法结合导数研究函数的性质可判定C、D选项．
本题考查函数的单调性与零点问题，导数的综合应用，属中档题．
13.【答案】7 63
【解析】解：PA=(1,3,5)，则cs=1+3+10 1+1+4× 1+9+25= 21015，
所以点P(1,−2,2)到α的距离为|PA|⋅cs= 1+9+25× 21015=7 63．
故答案为：7 63．
先计算a,PA的夹角，再由点到平面的距离公式求解即可．
本题考查利用空间向量求解点到平面的距离，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：f(x)=sin(2x−π6)，则f′(x)=2cs(2x−π6)，
则f′(π4)=2cs(π2−π6)=2csπ3=1．
故答案为：1．
先求导数，再求函数值．
本题考查导数的运算，函数求值，属于基础题．
15.【答案】6
【解析】解：由题意，得AB=(0,1,−2),AC=(−2,4,−3),AM=(−2,m,−7)，
又A，B，C，M四点共面，则存在x，y∈R，使得AM=xAB+yAC，
即(−2,m,−7)=x(0,1,−2)+y(−2,4,−3)，即−2=−2ym=x+4y−7=−2x−3y，解得x=2y=1m=6，所以m=6．
故答案为：6．
先由点的坐标求得向量AB,AC,AM，再利用共面向量定理得到AM=xAB+yAC，由此列出方程组即可求得m．
本题考查了共面向量定理，属于基础题．
16.【答案】[e2,e36]
【解析】解：令f(x)=ex−2mx=0，则m=ex2x，
函数f(x)=ex−2mx 在区间[12,3]上有零点等价于直线y=m与曲线g(x)=ex2x在x∈[12,3]上有交点，
则g′(x)=(x−1)ex2x2，
当x∈[12,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(1,3]时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
则g(x)min=g(1)=e2，g(12)=e12,g(3)=e36，
显然e36>e12，
∴g(x)∈[e2,e36]，
即当m∈[e2,e36]时，函数f(x)在[12,3]上有零点．
故答案为：[e2,e36]．
参数分离，构造新函数，根据所构造的新函数的值域求解．
本题考查函数与导数的综合运用，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)点M是线段AG的中点，由平行四边形法则可得OM=12(OA+OG)，
在正△OBC中，根据重心的性质可得OG=23×12(OB+OC)=13(OB+OC)，
∴OM=12(OA+13OB+13OC)=12OA+16OB+16OC，
在正四面体OABC中，|OA|=|OB|=|OC|=2，∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°，
|OM|²=(12OA+16OB+16OC)2=14|OA|²+136|OB|²+136|OC|²+16OB⋅OA+16OC⋅OA+118OB⋅OC=14×2²+136×2²+136×2²+16×2×2×12+16×2×2×12+118×2×2×12=2，
∴|OM|= 2；
(2)证明：由(1)知OM=12OA+16OB+16OC，BC=OC−OB，
在正四面体OABC中，|OA|=|OB|=|OC|=2，∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°，
∴OM⋅BC=(12OA+16OB+16OC)⋅(OC−OB)=12OC⋅OA−12OB⋅OA+16OB⋅OC−16|OB|²+16|OC|²−16OB⋅OC=0，
∴OM⊥BC．
【解析】(1)由平行四边形法则可得OM=12(OA+OG)，在正△OBC中，根据重心的性质可得OG=23×12(OB+OC)，即可得出答案；
(2)由(1)知OM=12OA+16OB+16OC，BC=OC−OB，利用向量的数量积计算OM⋅BC，即可证明结论．
本题考查空间向量的数量积和向量的三角形法则、平行四边形法则，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为R，且f′(x)=(x2+12x−12)ex，
所以f′(0)=−12，
故y=f(x)在(0,1)处的切线方程为y−1=−12(x−0)，
即x+2y−2=0，
所以函数在(0,1)处的切线方程为：x+2y−2=0；
(2)令f′(x)=0，则x2+12x−12=0，解得x1=−1，x2=12，
所以当x<−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当−1当x>12时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x=−1时，f(x)取得极大值f(−1)=72e；
当x=12时，f(x)取得极小值f(12)=12e12= e2．
【解析】(1)求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用点斜式写出直线方程，化成一般式即可；
(2)令f′(x)=0，求出两根，判断出函数的单调区间、极值点，代入计算即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
19.【答案】解：(1)以D为原点，分别以DA,DC,DD1方向为x，y，z轴，建立如下所示的空间坐标系，

则由题意可知：D(0,0,0)，C(0,1,0)，E(0,0,1)，A1(1,0,2)，C1(0,1,2)，B(1,1,0)，D1(0,0,2)，
∴D1B=(1,1,−2)，C1E=(0,−1,−1)，
设F(x,y,z)，
则D1F=(x,y,z−2)，
∵ F为BD1上靠近B的三等分点，
∴D1F=23D1B，
∴(x,y,z−2)=23(1,1,−2)=(23,23,−43)，
∴x=23，y=23，z=23，
∴F(23,23,23)，
∴CF=(23,−13,23)，
∴C1E⋅CF=−13，
设异面直线CF与C1E所成角为α且α∈(0,π2],
则csα=|C1E⋅CF|C1E||CF||=13× 2×1= 26．
(2)由(1)可求得：EA1=(1,0,1)，EC1=(0,1,1)，CF=(23,−13,23)，
设n=(x,y,z)为平面EA1C1的法向量，
则n⋅EA1=x+z=0n⋅EC1=y+z=0，解得：x=1，y=1，z=−1，
∴n=(1,1,−1)，
∴n⋅CF=23−13−23=−13，
设直线CF与平面A1C1E所成角为β，
则sinβ=|cs|=|n⋅CF|n||CF||=13× 3×1= 39．
【解析】(1)根据空间向量的数量积计算求解；
(2)根据线面角的正弦等于直线方向向量和平面法向量夹角的余弦值的绝对值求解．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f′(x)=3x2−2ax+b，
由题意得f(1)=1−a+b+1=−26f′(1)=3−2a+b=0，
解得a=3，b=−9，
经检验当a=3，b=−9时，f(x)在x=3处取得极大值，符合题意；
(2)由(1)得f(x)=x3−3x2−9x+1，f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)，
当−4≤x<−1时，f′(x)>0，函数单调递增，当−10，函数单调递增，
当x=−1时，函数取得极大值f(−1)=6，
又f(4)=−19，
故f(x)max=6，
因为存在x∈[−4,4]，使得f(x)−t>0成立，
所以f(x)max−t>0成立，即6−t>0，
所以t<6，
故t的取值范围为{t|t<6}．
【解析】(1)先对函数求导，结合函数极值存在条件可建立关于a，b的方程，进而可求；
(2)问题可转化为f(x)max−t>0，结合导数与单调性及最值关系可求．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了存在性问题中参数范围的求解，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：取MA的中点G，连接FG，DG，

由点F是棱BM的中点，所以FG/​/AB，FG=12AB，
由四边形ABCD为矩形，E是边DC的中点，得DE/​/AB，DE=12AB，
因此DE/​/FG，DE=FG，
所以四边形DEFG为平行四边形，
则EF/​/DG，又DG⊂平面MAD，EF⊄平面MAD，
所以EF/​/平面MAD；
(2)解：取矩形ABCD的边AD，BC中点分别为O，O1，连接MO，OO1，
因为△MAD为正三角形，
所以MO⊥AD，又平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD=AD，MO⊂平面MAD，
所以MO⊥平面ABCD，又OO1⊂平面ABCD，
则MO⊥OO1，显然AD⊥OO1，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(1,4,0)，C(−1,4,0)，D(−1,0,0)，
M(0,0, 3),E(−1,2,0),F(12,2, 32)，
所以ME=(−1,2,− 3)，EF=(32,0, 32)，AE=(−2,2,0)，
设平面MEF的一个法向量为m=(x,y,z)，
则ME⊥mEF⊥m，即ME⋅m=−x+2y− 3z=0EF⋅m=32x+ 32z=0，令x=1，得m=(1,−1,− 3)，
设平面AEF的一个法向量为n=(a,b,c)，
则AE⋅n=−2a+2b=0EF⋅n=32a+ 32c=0，令a=1，则n=(1,1,− 3)，
设平面MEF与平面AEF的夹角为θ，
则csθ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=3 5× 5=35，
所以平面MEF与平面AEF的夹角的余弦值为35．
【解析】(1)取MA的中点G，利用平行公理、线面平行的判定推理作答．
(2)以AD的中点O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面夹角的余弦作答．
本题考查了空间几何体中位置关系的证明和空间角的求解，属于中档题．
22.【答案】解：(1)函数g(x)的定义域是(0,+∞)，
∴g′(x)=1x−ax2=x−ax2．
当a≤0时，g′(x)≥0恒成立，
∴函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，令g′(x)>0，得x>a；令g′(x)<0，得0∴函数g(x)在区间(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增．
综上可得：当a≤0时，函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，函数g(x)在区间(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增．
(2)h(x)=2g(x)−f(x)=(2−a)lnx+x+2ax−4(x>0)，
∴h′(x)=2−ax+1−2ax2=(x+2)(x−a)x2．
∵a>0，令h′(x)>0，得x>a；令h′(x)<0，得0∴函数h(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，
∴x=a时，函数h(x)取得极小值即最小值，
∴h(x)min=h(a)=(2−a)lna+a−2=(a−2)(1−lna)．
若h(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，则(a−2)(1−lna)≥0，
∴a−2≥01−lna≥0或a−2≤01−lna≤0，解得2≤a≤e或⌀．
∴实数a的取值范围是[2,e]．
【解析】(1)g′(x)=x−ax2，对a分类讨论即可得出函数g(x)的单调性．
(2)h(x)=2g(x)−f(x)=(2−a)lnx+x+2ax−4(x>0)，利用导数的运算法则可得h′(x)，利用导数研究函数h(x)的单调性与极值，根据h(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，只需h(x)min≥0即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．