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高考数学专题一 微专题2 基本初等函数、函数的应用课件PPT
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这是一份高考数学专题一 微专题2 基本初等函数、函数的应用课件PPT，共51页。PPT课件主要包含了思维导图，－log23，－∞3等内容，欢迎下载使用。
1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型.常以选择题、填空题的形式出现，有时难度较大.
典例1 (1)在同一直角坐标系中，函数y＝ (a>0，且a≠1)的图象可能是
考点一 基本初等函数的图象与性质
A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b
函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x＝1
跟踪训练1 (1)(2023·广东联考)已知函数f(x)＝ 若f(a)
考点二 函数模型及其应用
由C＝ ，得当C＝3 074，I＝15时，3 074＝ ，∴t＝ .又6× ≈3 074，
∴t＝ ≈ ＝ ＝ ＝3× ＝3× ＝30(h).
(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20× ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3＝100p0 D.p1≤100p2
且 ∈[60,90]， ∈[50,60]，所以 ，所以p1≥p2，故A正确；
因为 ＝40，所以p3＝ ＝100p0，故C正确；
假设p2>10p3，则 ，所以 >10，所以 >20，不可能成立，故B不正确；
所以p1≤100p2，故D正确.
跟踪训练2 (1)(2023·潍坊模拟)某公司为实现利润目标制定奖励制度，其中规定利润超过10万元且少于1 000万元时，员工奖金总额y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总额不超过5万元，则y关于x的函数可以为(参考数据：1.0021 000≈7.37，lg 7＝0.845)A.y＝1.002x B.y＝lg7x＋1C.y＝ －5 D.y＝5＋sin x
由题意，函数在(10,1 000)上单调递增，故D不符合题意，排除D；因为当x∈(10,125)时，y＝ －5<0，故C不符合题意，排除C；当x＝1 000时，1.0021 000≈7.37>5，故y＝1.002x不符合题意，排除A；
(2)(2023·北京市八一中学模拟)某公司工人甲生产第x件产品的所需时间f(x)(单位：h)满足：f(x)＝ 其中a>0且a≠1，若甲生产第2件产品的时间为3 h，生产第λ件产品的时间为2 h，则f(3)＝________.
又甲生产第2件产品的时间为3 h，则f(2)＝4－lga2＝3，解得a＝2，
典例3 (多选)(2023·西安模拟)已知函数f(x)＝lg3(x2－2x)，则下列结论正确的是A.函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)B.函数f(x)的值域是RC.函数f(x)的图象关于直线x＝1对称D.不等式f(x)<1的解集是(－1,3)
考点三 函数的综合运用
对于A，令x2－2x>0，解得x>2或x<0，故f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，∵y＝lg3u为增函数，u＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，A错误；对于B，∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，即y＝x2－2x的值域M＝[－1，＋∞)，又(0，＋∞)⊆M，∴函数f(x)的值域是R，B正确；对于C，∵f(2－x)＝lg3[(2－x)2－2(2－x)]＝lg3(x2－2x)＝f(x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确；
对于D，f(x)＝lg3(x2－2x)<1＝lg33，且y＝lg3x是增函数，可得0
当x>2时，由f(x)＝f(x－2)，得f(x)是以2为周期的函数.
作出分段函数f(x)的图象，如图所示，当0
对于B，函数y＝f(x)＝x3的定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝－x3＝－f(x)，所以函数为奇函数，又函数在R上是增函数，故B符合题意；对于C，函数y＝f(x)＝ex＋e－x的定义域为R，关于y轴对称，因为f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以函数为偶函数，故C不符合题意；对于D，函数y＝f(x)＝tan x，
2.(2023·淮安模拟)已知函数f(x)＝(3m－2)xm＋2(m∈R)是幂函数，则函数g(x)＝lga(x－m)＋1(a>0，且a≠1)的图象所过定点P的坐标是A.(2,1) B.(0,2)C.(1,2) D.(－1,2)
∵函数f(x)＝(3m－2)xm＋2(m∈R)是幂函数，∴3m－2＝1，∴m＝1，∴g(x)＝lga(x－1)＋1，令x－1＝1得x＝2，此时g(2)＝lga1＋1＝1，∴函数g(x)的图象所过定点P的坐标是(2,1).
3.(2022·北京)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是A.当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态C.当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
对于A选项，当T＝220，P＝1 026时，lg P＝lg 1 026>lg 103＝3，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当T＝270，P＝128时，lg P＝lg 128∈(lg 102，lg 103)，即lg P∈(2,3)，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当T＝300，P＝9 987时，lg P＝lg 9 987
4.(2023·湖南师范大学附中模拟)设a＝0.30.4，b＝0.40.3，c＝lg0.40.3，则a，b，c的大小顺序为A.alg0.40.4＝1，即c>1，∴a
设t＝10x，t>0，
解得x<－lg 2，则不等式f(10x)>0的解集为(－∞，－lg 2).
6.(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是A.(－∞，－2] B.[－2,0)C.(0,2] D.[2，＋∞)
函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，
所以a的取值范围是[2，＋∞).
A.函数f(x)的图象关于原点对称B.函数f(x)的图象关于y轴对称C.函数f(x)的值域为(－1,1)D.函数f(x)是减函数
所以f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，故A正确，B错误；
故f(x)的值域为(－1,1)，故C正确；
设x2>x1，则f(x2)－f(x1)＝ － ＝ ＝ ，因为x2>x1，所以 >0，又所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，所以函数f(x)是增函数，故D错误.
8.(多选)(2023·长春吉大附中模拟)关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有A.f(x)在区间(1,2)上单调递增B.y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称C.若x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4D.f(x)有且仅有两个零点
根据图象变换作出函数f(x)的图象(先作出y＝ln x的图象，再作出其关于y轴对称的图象，然后向右平移2个单位长度，最后把x轴下方的部分关于x轴翻折上去即可得)，如图所示，由图象知f(x)在(1,2)上单调递增，A正确；函数图象关于直线x＝2对称，B正确；设f(x1)＝f(x2)＝k，则直线y＝k与函数f(x)图象可能有4个交点，如图，如果最左边的两个交点横坐标分别是x1，x2，则x1＋x2＝4不成立，C错误；f(x)与x轴有且仅有两个公共点，即函数f(x)有且仅有两个零点，D正确.
9.(2023·泰州模拟)已知函数f(x)＝ 则f(f(－2))＝___.
所以f(－2)＝1＋lg2[2－(－2)]＝1＋lg24＝3，所以f(f(－2))＝f(3)＝23－1＝22＝4.
10.(2023·朝阳模拟)函数f(x)＝ 的值域为________.
因为当x≥1时， ≤0，当x<1时，0<3x<3，所以函数f(x)＝ 的值域为(－∞，3).
11.已知函数f(x)＝|lg x|，若f(lg m)>f(2)，则实数m的取值范围是_____________________.
将y＝lg x的图象在x轴上方的部分(包括x轴上的点)保留不动，将在x轴下方的部分翻折到x轴上面，得到函数f(x)＝|lg x|的图象，
∵f(lg m)>f(2)，
12.(2023·济宁模拟)某化工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P＝P0·etln k(其中e是自然对数的底数，k为常数，P0为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了96%，则k＝___；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为____(参考数据：lg52≈0.43).
1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型.常以选择题、填空题的形式出现，有时难度较大.
典例1 (1)在同一直角坐标系中，函数y＝ (a>0，且a≠1)的图象可能是
考点一 基本初等函数的图象与性质
A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b
函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x＝1
跟踪训练1 (1)(2023·广东联考)已知函数f(x)＝ 若f(a)
考点二 函数模型及其应用
由C＝ ，得当C＝3 074，I＝15时，3 074＝ ，∴t＝ .又6× ≈3 074，
∴t＝ ≈ ＝ ＝ ＝3× ＝3× ＝30(h).
(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20× ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3＝100p0 D.p1≤100p2
且 ∈[60,90]， ∈[50,60]，所以 ，所以p1≥p2，故A正确；
因为 ＝40，所以p3＝ ＝100p0，故C正确；
假设p2>10p3，则 ，所以 >10，所以 >20，不可能成立，故B不正确；
所以p1≤100p2，故D正确.
跟踪训练2 (1)(2023·潍坊模拟)某公司为实现利润目标制定奖励制度，其中规定利润超过10万元且少于1 000万元时，员工奖金总额y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总额不超过5万元，则y关于x的函数可以为(参考数据：1.0021 000≈7.37，lg 7＝0.845)A.y＝1.002x B.y＝lg7x＋1C.y＝ －5 D.y＝5＋sin x
由题意，函数在(10,1 000)上单调递增，故D不符合题意，排除D；因为当x∈(10,125)时，y＝ －5<0，故C不符合题意，排除C；当x＝1 000时，1.0021 000≈7.37>5，故y＝1.002x不符合题意，排除A；
(2)(2023·北京市八一中学模拟)某公司工人甲生产第x件产品的所需时间f(x)(单位：h)满足：f(x)＝ 其中a>0且a≠1，若甲生产第2件产品的时间为3 h，生产第λ件产品的时间为2 h，则f(3)＝________.
又甲生产第2件产品的时间为3 h，则f(2)＝4－lga2＝3，解得a＝2，
典例3 (多选)(2023·西安模拟)已知函数f(x)＝lg3(x2－2x)，则下列结论正确的是A.函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)B.函数f(x)的值域是RC.函数f(x)的图象关于直线x＝1对称D.不等式f(x)<1的解集是(－1,3)
考点三 函数的综合运用
对于A，令x2－2x>0，解得x>2或x<0，故f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，∵y＝lg3u为增函数，u＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，A错误；对于B，∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，即y＝x2－2x的值域M＝[－1，＋∞)，又(0，＋∞)⊆M，∴函数f(x)的值域是R，B正确；对于C，∵f(2－x)＝lg3[(2－x)2－2(2－x)]＝lg3(x2－2x)＝f(x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确；
对于D，f(x)＝lg3(x2－2x)<1＝lg33，且y＝lg3x是增函数，可得0
当x>2时，由f(x)＝f(x－2)，得f(x)是以2为周期的函数.
作出分段函数f(x)的图象，如图所示，当0
对于B，函数y＝f(x)＝x3的定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝－x3＝－f(x)，所以函数为奇函数，又函数在R上是增函数，故B符合题意；对于C，函数y＝f(x)＝ex＋e－x的定义域为R，关于y轴对称，因为f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以函数为偶函数，故C不符合题意；对于D，函数y＝f(x)＝tan x，
2.(2023·淮安模拟)已知函数f(x)＝(3m－2)xm＋2(m∈R)是幂函数，则函数g(x)＝lga(x－m)＋1(a>0，且a≠1)的图象所过定点P的坐标是A.(2,1) B.(0,2)C.(1,2) D.(－1,2)
∵函数f(x)＝(3m－2)xm＋2(m∈R)是幂函数，∴3m－2＝1，∴m＝1，∴g(x)＝lga(x－1)＋1，令x－1＝1得x＝2，此时g(2)＝lga1＋1＝1，∴函数g(x)的图象所过定点P的坐标是(2,1).
3.(2022·北京)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是A.当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态C.当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
对于A选项，当T＝220，P＝1 026时，lg P＝lg 1 026>lg 103＝3，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当T＝270，P＝128时，lg P＝lg 128∈(lg 102，lg 103)，即lg P∈(2,3)，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当T＝300，P＝9 987时，lg P＝lg 9 987
4.(2023·湖南师范大学附中模拟)设a＝0.30.4，b＝0.40.3，c＝lg0.40.3，则a，b，c的大小顺序为A.a
设t＝10x，t>0，
解得x<－lg 2，则不等式f(10x)>0的解集为(－∞，－lg 2).
6.(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是A.(－∞，－2] B.[－2,0)C.(0,2] D.[2，＋∞)
函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，
所以a的取值范围是[2，＋∞).
A.函数f(x)的图象关于原点对称B.函数f(x)的图象关于y轴对称C.函数f(x)的值域为(－1,1)D.函数f(x)是减函数
所以f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，故A正确，B错误；
故f(x)的值域为(－1,1)，故C正确；
设x2>x1，则f(x2)－f(x1)＝ － ＝ ＝ ，因为x2>x1，所以 >0，又所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，所以函数f(x)是增函数，故D错误.
8.(多选)(2023·长春吉大附中模拟)关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有A.f(x)在区间(1,2)上单调递增B.y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称C.若x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4D.f(x)有且仅有两个零点
根据图象变换作出函数f(x)的图象(先作出y＝ln x的图象，再作出其关于y轴对称的图象，然后向右平移2个单位长度，最后把x轴下方的部分关于x轴翻折上去即可得)，如图所示，由图象知f(x)在(1,2)上单调递增，A正确；函数图象关于直线x＝2对称，B正确；设f(x1)＝f(x2)＝k，则直线y＝k与函数f(x)图象可能有4个交点，如图，如果最左边的两个交点横坐标分别是x1，x2，则x1＋x2＝4不成立，C错误；f(x)与x轴有且仅有两个公共点，即函数f(x)有且仅有两个零点，D正确.
9.(2023·泰州模拟)已知函数f(x)＝ 则f(f(－2))＝___.
所以f(－2)＝1＋lg2[2－(－2)]＝1＋lg24＝3，所以f(f(－2))＝f(3)＝23－1＝22＝4.
10.(2023·朝阳模拟)函数f(x)＝ 的值域为________.
因为当x≥1时， ≤0，当x<1时，0<3x<3，所以函数f(x)＝ 的值域为(－∞，3).
11.已知函数f(x)＝|lg x|，若f(lg m)>f(2)，则实数m的取值范围是_____________________.
将y＝lg x的图象在x轴上方的部分(包括x轴上的点)保留不动，将在x轴下方的部分翻折到x轴上面，得到函数f(x)＝|lg x|的图象，
∵f(lg m)>f(2)，
12.(2023·济宁模拟)某化工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P＝P0·etln k(其中e是自然对数的底数，k为常数，P0为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了96%，则k＝___；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为____(参考数据：lg52≈0.43).
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