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高考数学专题一 微专题3 函数的零点问题课件PPT
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这是一份高考数学专题一 微专题3 函数的零点问题课件PPT，共51页。PPT课件主要包含了思维导图，3＋∞，－2－1等内容，欢迎下载使用。
本专题考查求函数零点、零点个数的判断以及零点所在区间、求参数取值范围等方面.常以选择题、填空题的形式出现，难度中等，有时难度较大.
典例1 (2023·扬州模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cs πx|－f(x)在区间 上零点的个数为A.4 B.5 C.6 D.7
考点一 函数零点个数的判断
由f(－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称，由f(x)＝f(2－x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称，令g(x)＝|cs πx|－f(x)＝0，得|cs πx|＝f(x)，函数y＝|cs πx|是周期为1的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，
跟踪训练1 (2023·杭州模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝f(x)－lg x的零点个数为A.6 B.7 C.8 D.9
由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以2为周期的函数.又函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，根据已知，作出函数y＝f(x)的图象，以及y＝lg x的图象，因为lg 10＝1，所以lg 8
考点二 根据函数零点个数求参数取值范围
因为函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－17,5]上恰有20个零点，则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间[－17,5]上有20个交点，由f(x＋2)＝f(x)，知f(x)是周期为2的函数，作出函数f(x)与函数g(x)的部分图象如图所示.易知当x∈[－17,1]时，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有17个交点，故在(1,5]上有3个交点，显然0
当x∈(0,1]时，－x∈[－1,0)，f(x)＝f(－x)＝(－x)2＝x2；故x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，当x∈(1,3]时，x－2∈(－1,1]，即f(x)＝f(x－2)＝(x－2)2.g(x)＝f(x)－lgax＝0，即f(x)＝lgax，f(3)＝1，画出函数图象，如图所示.当01时，要使y＝f(x)与y＝lgax的图象在[－1,3]内有两个交点，则lga3≤1，即lga3≤lgaa，a≥3.综上所述，实数a的取值范围是[3，＋∞).
典例3 已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数根，则实数a的取值范围是A.(－∞，0) B.(－∞，0)∪(0,1)C.(0,1) D.(0,1)∪(1，＋∞)
考点三 嵌套函数的零点
令u＝f(x)，则f(u)＝0.①当a＝0时，若u≤0，f(u)＝0；若u>0，由f(u)＝lg2u＝0，得u＝1.所以由f(f(x))＝0可得f(x)≤0或f(x)＝1.如图所示，满足f(x)≤0的x有无数个，方程f(x)＝1只有一个解，不满足题意；②当a≠0时，若u≤0，则f(u)＝a·2u≠0；若u>0，由f(u)＝lg2u＝0，得u＝1.所以由f(f(x))＝0可得f(x)＝1，
当x>0时，由f(x)＝lg2x＝1，可得x＝2，因为关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数根，则方程f(x)＝1在(－∞，0]上无解，若a>0且x≤0，f(x)＝a·2x∈(0，a]，故0
作出f(x)的图象，如图所示，令f(x)＝m，当m<1时，y＝f(x)与y＝m的图象有1个交点，即f(x)＝m有1个根，当m≥1时，y＝f(x)与y＝m的图象有2个交点，即f(x)＝m有2个根，则关于x的方程f 2(x)＋f(x)＋t＝0转化为m2＋m＋t＝0，
因为关于x的方程f 2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实数根，
1.已知函数f(x)＝ g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是A.[－1,0) B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x).在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示.若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意；
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意.综上，a的取值范围为[－1，＋∞).
2.(2023·成都模拟)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x＋4)－f(x)＝f(2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2－3x＋1，则函数y＝f(x)在[－4,4]上零点的个数为A.10 B.11 C.12 D.13
因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x＋4)－f(x)＝f(2)，令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(－2)＋f(2)，所以f(－2)＝0.又因为f(x)为奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝0，
所以f(x＋4)＝f(x)＋f(2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.根据周期性及奇函数的性质画出函数y＝f(x)在[－4,4]上的图象，如图.由图可知，函数y＝f(x)在[－4,4]上的零点有－4，－3.5，－3，－2，－1，－0.5,0,0.5,1,2,3,3.5,4，共13个零点.
3.(2023·蚌埠二中模拟)已知x1＋ ＝0，x2＋lg2x2＝0, －lg2x3＝0，则A.x1
即f(－1)f(0)<0，由零点存在定理可知－1
因为h(1)>h(x3)，由函数单调性可知1
令k＝1，检验知不符合题意，可排除选项C.
方法三 函数g(x)有4个零点，即y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个交点，函数y＝f(x)的图象如图④.①若k＝0，则y＝|kx2－2x|＝|－2x|＝|2x|，两函数图象不可能有4个交点，∴k≠0.
当x<0时，－x＝kx2－2x无解，此时两函数图象无交点.
得x(x2＋kx－2)＝0，
5.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，f(2－x)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝－1－x，则A.f(x)的图象关于点(－1,0)对称B.f(x)在区间[5,6]上单调递减
D.函数y＝f(x)－ln|x|有4个零点
方法一 由f(－x)＝f(x)可得函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，由f(2－x)＝－f(x)可得f(x)图象关于点(1,0)对称，∵点(1,0)关于y轴的对称点为(－1,0)，∴A正确；函数f(x)的周期为T＝4|1－0|＝4，可得f(x)的图象如图，f(x)在区间[5,6]上单调递增，B错误；
对于C，由题意可知m的取值范围只可能是0
∴x1＋x2＋x3＝2×4＋x1，
对于D，易知y＝x－1为y＝ln x在点(1,0)处的切线，数形结合可判断f(x)的图象与y＝ln|x|共有4个交点，D正确.
方法二 f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，f(2－x)＝－f(x)，则f(2－x)＋f(x)＝0， ①则f(－2＋x)＋f(－x)＝0，可知f(x)关于点(－1,0)对称，A对；∵f(2－x)＝－f(x)＝－f(－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数，f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[0,1]上单调递增，又由①知f(x)关于点(1,0)对称，则f(x)在[1,2]上单调递增，则f(x)在[5,6]上单调递增，B错；
当0≤x≤2时，f(x)＝x－1；当2≤x≤4时，f(x)＝－x＋3；当4≤x≤6时，f(x)＝x－5，当－1
6.(多选)已知函数f(x)＝ 以下结论正确的是A.f(－3)＋f(2 019)＝－3B.f(x)在区间[4,5]上单调递增
因为f(－3)＝－3，f(2 019)＝f(1＋2 018)＝f(1)＝f(－1)＝1，所以f(－3)＋f(2 019)＝－2，所以A错误；作出函数图象如图所示，由图象知选项B正确；若方程f(x)＝kx＋1恰有3个实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝kx＋1有3个交点，又直线y＝kx＋1过点(0,1)，所以当直线位于过点(2,0)与点(4,0)之间(不含端点)时，有3个交点，
函数y＝f(x)－b在(－∞，4)上有6个零点，即函数f(x)的图象与直线y＝b在(－∞，4)上有6个交点，由函数f(x)图象知0
则(x－1)2＋y2＝1，y≥0，即f(x)的图象是以(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，利用f(x)是奇函数，且周期为4，画出函数f(x)在(0,9]上的图象，再在同一坐标系中作出函数g(x)(x∈(0,9])的图象，如图，关于x的方程f(x)＝g(x)在(0,9]上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知g(x)(x∈(0,1])与f(x)(x∈(0,1])的图象有2个不同的交点时满足题意，
8.已知函数f(x)＝ 若方程f 2(x)＋2m·f(x)＋m2－1＝0恰有4个不同的实数根，则实数m的取值范围是__________.
本专题考查求函数零点、零点个数的判断以及零点所在区间、求参数取值范围等方面.常以选择题、填空题的形式出现，难度中等，有时难度较大.
典例1 (2023·扬州模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cs πx|－f(x)在区间 上零点的个数为A.4 B.5 C.6 D.7
考点一 函数零点个数的判断
由f(－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称，由f(x)＝f(2－x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称，令g(x)＝|cs πx|－f(x)＝0，得|cs πx|＝f(x)，函数y＝|cs πx|是周期为1的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，
跟踪训练1 (2023·杭州模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝f(x)－lg x的零点个数为A.6 B.7 C.8 D.9
由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以2为周期的函数.又函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，根据已知，作出函数y＝f(x)的图象，以及y＝lg x的图象，因为lg 10＝1，所以lg 8
考点二 根据函数零点个数求参数取值范围
因为函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－17,5]上恰有20个零点，则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间[－17,5]上有20个交点，由f(x＋2)＝f(x)，知f(x)是周期为2的函数，作出函数f(x)与函数g(x)的部分图象如图所示.易知当x∈[－17,1]时，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有17个交点，故在(1,5]上有3个交点，显然0
当x∈(0,1]时，－x∈[－1,0)，f(x)＝f(－x)＝(－x)2＝x2；故x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，当x∈(1,3]时，x－2∈(－1,1]，即f(x)＝f(x－2)＝(x－2)2.g(x)＝f(x)－lgax＝0，即f(x)＝lgax，f(3)＝1，画出函数图象，如图所示.当0
典例3 已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数根，则实数a的取值范围是A.(－∞，0) B.(－∞，0)∪(0,1)C.(0,1) D.(0,1)∪(1，＋∞)
考点三 嵌套函数的零点
令u＝f(x)，则f(u)＝0.①当a＝0时，若u≤0，f(u)＝0；若u>0，由f(u)＝lg2u＝0，得u＝1.所以由f(f(x))＝0可得f(x)≤0或f(x)＝1.如图所示，满足f(x)≤0的x有无数个，方程f(x)＝1只有一个解，不满足题意；②当a≠0时，若u≤0，则f(u)＝a·2u≠0；若u>0，由f(u)＝lg2u＝0，得u＝1.所以由f(f(x))＝0可得f(x)＝1，
当x>0时，由f(x)＝lg2x＝1，可得x＝2，因为关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数根，则方程f(x)＝1在(－∞，0]上无解，若a>0且x≤0，f(x)＝a·2x∈(0，a]，故0
作出f(x)的图象，如图所示，令f(x)＝m，当m<1时，y＝f(x)与y＝m的图象有1个交点，即f(x)＝m有1个根，当m≥1时，y＝f(x)与y＝m的图象有2个交点，即f(x)＝m有2个根，则关于x的方程f 2(x)＋f(x)＋t＝0转化为m2＋m＋t＝0，
因为关于x的方程f 2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实数根，
1.已知函数f(x)＝ g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是A.[－1,0) B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x).在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示.若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意；
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意.综上，a的取值范围为[－1，＋∞).
2.(2023·成都模拟)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x＋4)－f(x)＝f(2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2－3x＋1，则函数y＝f(x)在[－4,4]上零点的个数为A.10 B.11 C.12 D.13
因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x＋4)－f(x)＝f(2)，令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(－2)＋f(2)，所以f(－2)＝0.又因为f(x)为奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝0，
所以f(x＋4)＝f(x)＋f(2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.根据周期性及奇函数的性质画出函数y＝f(x)在[－4,4]上的图象，如图.由图可知，函数y＝f(x)在[－4,4]上的零点有－4，－3.5，－3，－2，－1，－0.5,0,0.5,1,2,3,3.5,4，共13个零点.
3.(2023·蚌埠二中模拟)已知x1＋ ＝0，x2＋lg2x2＝0, －lg2x3＝0，则A.x1
即f(－1)f(0)<0，由零点存在定理可知－1
因为h(1)>h(x3)，由函数单调性可知1
令k＝1，检验知不符合题意，可排除选项C.
方法三 函数g(x)有4个零点，即y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个交点，函数y＝f(x)的图象如图④.①若k＝0，则y＝|kx2－2x|＝|－2x|＝|2x|，两函数图象不可能有4个交点，∴k≠0.
当x<0时，－x＝kx2－2x无解，此时两函数图象无交点.
得x(x2＋kx－2)＝0，
5.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，f(2－x)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝－1－x，则A.f(x)的图象关于点(－1,0)对称B.f(x)在区间[5,6]上单调递减
D.函数y＝f(x)－ln|x|有4个零点
方法一 由f(－x)＝f(x)可得函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，由f(2－x)＝－f(x)可得f(x)图象关于点(1,0)对称，∵点(1,0)关于y轴的对称点为(－1,0)，∴A正确；函数f(x)的周期为T＝4|1－0|＝4，可得f(x)的图象如图，f(x)在区间[5,6]上单调递增，B错误；
对于C，由题意可知m的取值范围只可能是0
∴x1＋x2＋x3＝2×4＋x1，
对于D，易知y＝x－1为y＝ln x在点(1,0)处的切线，数形结合可判断f(x)的图象与y＝ln|x|共有4个交点，D正确.
方法二 f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，f(2－x)＝－f(x)，则f(2－x)＋f(x)＝0， ①则f(－2＋x)＋f(－x)＝0，可知f(x)关于点(－1,0)对称，A对；∵f(2－x)＝－f(x)＝－f(－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数，f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[0,1]上单调递增，又由①知f(x)关于点(1,0)对称，则f(x)在[1,2]上单调递增，则f(x)在[5,6]上单调递增，B错；
当0≤x≤2时，f(x)＝x－1；当2≤x≤4时，f(x)＝－x＋3；当4≤x≤6时，f(x)＝x－5，当－1
6.(多选)已知函数f(x)＝ 以下结论正确的是A.f(－3)＋f(2 019)＝－3B.f(x)在区间[4,5]上单调递增
因为f(－3)＝－3，f(2 019)＝f(1＋2 018)＝f(1)＝f(－1)＝1，所以f(－3)＋f(2 019)＝－2，所以A错误；作出函数图象如图所示，由图象知选项B正确；若方程f(x)＝kx＋1恰有3个实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝kx＋1有3个交点，又直线y＝kx＋1过点(0,1)，所以当直线位于过点(2,0)与点(4,0)之间(不含端点)时，有3个交点，
函数y＝f(x)－b在(－∞，4)上有6个零点，即函数f(x)的图象与直线y＝b在(－∞，4)上有6个交点，由函数f(x)图象知0
则(x－1)2＋y2＝1，y≥0，即f(x)的图象是以(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，利用f(x)是奇函数，且周期为4，画出函数f(x)在(0,9]上的图象，再在同一坐标系中作出函数g(x)(x∈(0,9])的图象，如图，关于x的方程f(x)＝g(x)在(0,9]上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知g(x)(x∈(0,1])与f(x)(x∈(0,1])的图象有2个不同的交点时满足题意，
8.已知函数f(x)＝ 若方程f 2(x)＋2m·f(x)＋m2－1＝0恰有4个不同的实数根，则实数m的取值范围是__________.
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