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2024年高考第二次模拟考试题：数学（北京卷）（考试版）
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这是一份2024年高考第二次模拟考试题：数学（北京卷）（考试版），共5页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数，则等于（ ）
A．1B．C．2D．
3．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C．D．
4．下列函数既是奇函数，又在上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
5．若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
6．在梯形中，，是边长为3的正三角形，则（ ）
A．B．C．D．
7．据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度y与其花朵凋零时间t（分钟）（在植物学上t表示从花朵完全绽放时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数关系式：（b为常数），若该种玫瑰花在凋零时间为10分钟时的新鲜程度为，则当该种玫瑰花新鲜程度为时，其凋零时间约为（参考数据：）（ ）
A．3分钟B．30分钟C．33分钟D．35分钟
8．若数列为等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
9．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为的水平截面的面积可以近似用函数，拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数的定义域为 .
12．已知，则 .
13．已知，是抛物线上两点，焦点为，抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则 ；若，则直线恒过定点 .
14．已知函数，则函数的零点个数为 ，所有零点之和为 .
15．已知函数在区间上单调，且满足，下列结论正确的有
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②．若，则函数的最小正周期为
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③．关于方程在区间上最多有4个不相等的实数解
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（本题13分）如图，四棱锥的体积为1，平面平面，，，，，为钝角．
(1)证明：；
(2)若点E在棱AB上，且，求直线PE与平面PBD所成角的正弦值．
17．（本题13分）已知函数，其中，__________.
请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：
①是的一个零点；②.
(1)求的值；
(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18．（本题14分）某学校进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案.方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.
(1)若甲选择方案A投篮，乙选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列；
(2)若甲、乙两位员工都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？
19．（本题15分）已知椭圆的长轴为线段，短轴为线段，四边形的面积为4，且的焦距为．
(1)求的标准方程；
(2)若直线与相交于两点，点，且的面积小于，求的取值范围．
20．（本题15分）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若的最小值为1，求a．
21．（本题15分）若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，2，3，…；
②，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数，则等于（ ）
A．1B．C．2D．
3．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C．D．
4．下列函数既是奇函数，又在上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
5．若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
6．在梯形中，，是边长为3的正三角形，则（ ）
A．B．C．D．
7．据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度y与其花朵凋零时间t（分钟）（在植物学上t表示从花朵完全绽放时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数关系式：（b为常数），若该种玫瑰花在凋零时间为10分钟时的新鲜程度为，则当该种玫瑰花新鲜程度为时，其凋零时间约为（参考数据：）（ ）
A．3分钟B．30分钟C．33分钟D．35分钟
8．若数列为等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
9．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为的水平截面的面积可以近似用函数，拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数的定义域为 .
12．已知，则 .
13．已知，是抛物线上两点，焦点为，抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则 ；若，则直线恒过定点 .
14．已知函数，则函数的零点个数为 ，所有零点之和为 .
15．已知函数在区间上单调，且满足，下列结论正确的有
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②．若，则函数的最小正周期为
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③．关于方程在区间上最多有4个不相等的实数解
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（本题13分）如图，四棱锥的体积为1，平面平面，，，，，为钝角．
(1)证明：；
(2)若点E在棱AB上，且，求直线PE与平面PBD所成角的正弦值．
17．（本题13分）已知函数，其中，__________.
请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：
①是的一个零点；②.
(1)求的值；
(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18．（本题14分）某学校进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案.方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.
(1)若甲选择方案A投篮，乙选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列；
(2)若甲、乙两位员工都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？
19．（本题15分）已知椭圆的长轴为线段，短轴为线段，四边形的面积为4，且的焦距为．
(1)求的标准方程；
(2)若直线与相交于两点，点，且的面积小于，求的取值范围．
20．（本题15分）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若的最小值为1，求a．
21．（本题15分）若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，2，3，…；
②，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．
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