2024河北省高三下学期3月大数据应用调研联合测评（六）数学含答案

这是一份2024河北省高三下学期3月大数据应用调研联合测评（六）数学含答案，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题 共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知，是全集的两个非空子集，若，则下列说法可能正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．若，为虚数单位，则（ ）
A．B．C．1D．
4．2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱．某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的分位数为，众数为，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线与所成角为，则（ ）
A．1B．C．1或2D．2或
7．已知椭圆：的离心率为，左顶点是，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知实数，，且，为自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．4为的一个周期
B．
C．由，可知
D．函数的所有零点之和为0
10．已知函数（，）在区间上单调，且满足，则（ ）
A．
B．若，则的最小正周期为
C．关于的方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D．若在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
11．在数列中，对于任意的都有，且，则（ ）
A．对于任意的，都有B．对于任意的，不可能为常数列
C．若，则为递增数列D．若，则当时，
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量，，为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是________．
13．等差数列的前项和为，，则________．
14．若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”，若，且，为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，，则小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为________．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若线段上一点满足，，求的长度．
16．（15分）
如图，在三棱柱中，平面平面，，，．
（1）若，分别为，的中点，证明：平面；
（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（15分）
在平面直角坐标系中，双曲线：（，）的离心率为，实轴长为4．
（1）求的方程；
（2）如图，为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于，两点，直线，分别与交于，两点，若，，，四点共圆，求点的坐标．
18．（17分）
某种抗病毒疫苗进行动物实验，将疫苗注射到甲、乙两地的一些小白鼠体内，小白鼠血样的某项指标值满足时，小白鼠产生抗体．从注射过疫苗的小白鼠中用分层随机抽样的方法抽取了210只进行值检测，其中甲地120只小白鼠的值平均数和方差分别为14和6，乙地90只小白鼠的值平均数和方差分别为21和17，这210只小白鼠的值平均数与方差分别为，（与均取整数）．用这210只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体，设．
（1）求，；
（2）小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，已知注射过疫苗的只小白鼠中有102只产生抗体，试估计的可能值（以使得最大的的值作为的估计值）；
（3）对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后，有的小白鼠产生了抗体，再对这些小白鼠血样的值进行分组检测，若每组只小白鼠混合血样的值在特定区间内，就认为这只小白鼠全部产生抗体，否则要对只小白鼠逐个检测．已知单独检验一只小白鼠血样的检测费用为10元，只小白鼠混合血样的检测费用为元．试给出的估计值，使平均每只小白鼠的检测费用最小，并求出这个最小值（精确到0.1元）．
附：若，则，．
参考数据：，，，．
19．（17分）
已知函数，．
（1）若是的极值点，求的值；
（2）判断的单调性；
（3）已知有两个解，．
（i）直接写出的取值范围（无需过程）；
（ii）为正实数，若对于符合题意的任意，，当时，都有，求的取值范围．
参考答案及解析
一、选择题
1．D 2．B 3．B 4．D 5．B 6．D 7．A 8．D
二、选择题
9．ABD 10．ABD 11．ACD
三、填空题
12． 13．70 14．
四、解答题
15．解：（1）由及正弦定理可得，
因为，
所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，所以．
（2）由题设，，
则，，，
在中，，即，
所以，
即，
所以，即，所以，
解得，，
在等腰三角形中，取的中点，连接，则，
则．
16．（1）证明：如图，取的中点，连接，交于点，连接，
因为是的中点，是的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）解：因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，
所以直线与平面所成角为，则．
在中，不妨设，
则，，连接．
因为，所以，
又平面平面，所以平面平面，
且平面平面，平面，故平面．
设的中点为，连接，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，．
设平面的法向量为，
则即不妨取，则．
易知平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17．解：（1）因为实轴长为4，即，，
又，所以，，
故的方程为．
（2）由，，，四点共圆可知，，
又，即，
故，
即，所以，
设，，，
由题意可知，则直线：，直线：，
因为点在直线上，所以，代入直线的方程，可知，
故点的坐标为，所以，
又，，所以，
整理可得，
当直线斜率不存在时，显然不符合题意，
故设直线：，代入的方程可得，
所以，，
又，
所以，
故，即，所以点的坐标为．
18．解：（1）解法一：记甲地小白鼠样本的值平均数为，方差为，记乙地小白鼠样本的值平均数为，方差为，
则，，，，
所以，．
解法二：记甲地小白鼠样本的值分别为，，…，，平均数为，方差为，记乙地小白鼠样本的值分别为，，…，，平均数为，方差为，
因为，，，，
所以．
由，，
可得，
同理，
于是．
（2）解法一：因为，所以．
从注射过疫苗的小白鼠中取出只，其中产生抗体的有只，则，
（，1，2，…，）．
当时，；
当时，，
即，
则．
由等价于，当且仅当，知当时，；当时，；当时，．故当或时，最大，所以的估计值为149或150．
解法二：因为，所以．
从注射过疫苗的小白鼠中取出只，其中产生抗体的有只，则，
（，1，2，…，）．
当时，；
当时，，
若，则．
若，则
化简得解得．
综上，的估计值为149或150．
（3）记只小白鼠的检测费用为元，当只小白鼠全部产生抗体时，，当只小白鼠不都产生抗体时，，
则，．因此，
因为，所以，
故，当且仅当时取等号，
故平均每只小白鼠的检测费用的最小值约为2.8元，的估计值为10．
19．解：（1）因为，
所以，
因为是的极值点，所以，即，故．
此时，则当时，，当时，，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
则是的极值点，满足题意．综上，．
（2）由（1）知，当时，，故在上单调递增；
当时，令，得，令0，得，所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（3）（i）由，得，即有两个解，．
令，则，且在上有两个零点．
当时，，所以在上单调递增，则在上没有两个零点，不满足题意；
当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，即的极大值为，
为使在上有两个零点，则，即，解得．
当时，易知，
因为，所以．
又在上单调递增，所以在上有唯一零点；
当时，令，则，
再令，则，所以在上单调递增，
所以，即，
故在上单调递增，所以，
因为，所以，即，
即，即，故，
所以，故，
又在上单调递减，所以在有唯一零点．
综上，当时，在上有两个零点，即有两个解，时，，即．
（ii）由（i）得，，故，
又，所以，即，
即，故，
令，则，故，
设，则，
当时，故当时，恒成立，
故在上单调递增，故，即在上恒成立；
当，，而，
当时，，
故存在，使得，使得，
故在为减函数，故，矛盾，舍．
综上，，即的取值范围为．