2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥初级中学中考一模数学(五四制)试题（原卷版+解析版）

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1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据整式的相关计算法则判断即可得到答案．
【详解】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误，
故选D
【点睛】本题考查整式的乘法以及合并同类项，准确掌握各运算法则是解题的关键．
3. 如图，一些大小相同的小正方体组成的一个几何体，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从左面看，左边上下两个正方形，右边一个正方形，是一个标准“L”型，从而可确定答案．
【详解】从左面看，左边上下两个正方形，右边一个正方形，故是C选项，
故选：C．
【点睛】本题考查了由小正方体组成的几何图形的三视图，一定的空间想象力是解决问题的关键．
4. 已知反比例函数的图象经过点，若点在此反比例函数的图象上，则n的值为（ ）
A. 10B. 7C. 5D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数的解析式是解决问题的关键；将点的坐标代入反比例函数关系式，求出k，再把代入反比例函数的解析式求解即可；
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为：，
将点代入可得，．
故选：．
5. 如图，是一张长方形纸片（其中AB∥CD），点E，F分别在边AB，AD上．把这张长方形纸片沿着EF折叠，点A落在点G处，EG交CD于点H．若∠BEH＝4∠AEF，则∠CHG的度数为（ ）
A. 108°B. 120°C. 136°D. 144°
【答案】B
【解析】
【分析】由折叠的性质及平角等于180°可求出∠BEH的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠DHE的度数，再利用对顶角相等可求出∠CHG的度数．
【详解】由折叠的性质，可知：∠AEF＝∠FEH．
∵∠BEH＝4∠AEF，∠AEF+∠FEH+∠BEH＝180°，
∴∠AEF＝×180°＝30°，∠BEH＝4∠AEF＝120°．
∵AB∥CD，
∴∠DHE＝∠BEH＝120°，
∴∠CHG＝∠DHE＝120°．
故选：B．
【点睛】本题考查了四边形的折叠问题，掌握折叠的性质以及平行的性质是解题的关键．
6. 把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
【详解】解：把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，
平移后抛物线的解析式为．
故选：D．
7. 甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等”，列出方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
8. 如图，⊙O是∆ABC的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）

A. 30°B. 25°C. 15°D. 10°
【答案】A
【解析】
【分析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．
【详解】解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC=2，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
9. 小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：
那么，当输入数据8时，输出的数据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图表找出输出数字的规律：输出的数字中，分子就是输入的数，分母是输入的数字的平方加1，直接将输入数据代入即可求解．
【详解】解：根据表中数据可得：输出数据的规律为，
当输入数据为8时,输出的数据为=.
故答案选：C.
【点睛】本题考查的知识点是有理数的混合运算及列代数式，解题的关键是找到规律列出相应代数式．
10. 甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行．图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s（km）与行驶时间t（h）的函数关系．则下列说法错误的是
A. 乙摩托车的速度较快
B. 经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点
C. 经过0.25小时两摩托车相遇
D. 当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地km
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：A、∵由图可知，甲行驶完全程需要0.6小时，乙行驶完全程需要0.5小时，
∴“乙摩托车的速度较快”正确，故本选项错误；
B、∵甲摩托车行驶完全程需要0.6小时，
∴“经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点”正确，故本选项错误；
C、设两车相遇的时间为t，根据题意得，，解得小时，
∴“经过0.25小时两摩托车相遇”错误，故本选项正确；
D、当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地： =km正确，故本选项错误．
故选C．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 2017年5月18日，我国在南海北部神弧海域进行的可燃冰试开采成功，标志着我国成为全球第一个在海域可燃冰开采中获得连续稳定的国家．目前每日的天然气试开采量约为16000立方米，把16000立方米用科学记数法表示为______立方米．
【答案】1.6×104
【解析】
【详解】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
所以，16000=1.6×104，
故答案为1.6×104.
12. 使在实数范围内有意义的的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，即可求解．
【详解】∵x-1≥0，
∴x≥1．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
13. 因式分解：x2y-4y3=________.
【答案】y（x++2y）（x-2y）
【解析】
【分析】首先提公因式，再利用平方差进行分解即可．
【详解】原式．
故答案是：y（x+2y）（x-2y）．
【点睛】考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14. 不等式组的最小整数解为_________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：解不等式组得：，
∴最小整数解为，
故答案为：．
15. 如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留)
【答案】－1
【解析】
【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，
则图中阴影部分的面积＝×（S圆O−S正方形ABCD）＝×（4π−4）＝π−1，
故答案为π−1．
【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
16. 如图，在中，已知，，垂足为，．若是的中点，则_________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明△ADB∽△EDC，得，由AB=2则可求出结论．
【详解】
为的中点，
，
∴，
，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定与性质，得出是解答此题的关键．
17. 在中考体育达标跳绳项目测试中，1分钟跳绳160次为达标，小敏记录了他预测时1分钟跳的次数分别为145，155，140，162，164，则他在该次测试中达标的概率是_____________．
【答案】0.4##
【解析】
【分析】概率的求法：概率=所求情况数与所有情况数的比，据此求解即可得.
【详解】解：由题意得他在该次预测中达标的概率是2÷5=0.4.
故答案为：0.4.
【点睛】本题是概率的求法的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.
18. 如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，根据等腰三角形的性质得OH⊥AB，AH=BH，从而得四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG的值，进而即可求解．
【详解】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，
由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，
∴OH⊥AB，AH=BH，
∵，
∴DE∥AB，
∵，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE=12，
∴AH=6，
∴OH=，
∵OB∙AG=AB∙OH，
∴AG===，
∴=．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
19. 等腰内接于，若半径为，的底边长为，则这个等腰三角形的腰长______cm．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查三角形的外接圆，垂径定理，等腰三角形的性质，分三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：设的底边为，两腰为，
连接，作于点，则：，
∴，
连接，
∵等腰内接于，
∴点三点共线，
当为锐角三角形时，如图①：则，
∴；
当为钝角三角形时，如图②，则，
∴；
故答案为：或．
20. 如图，在四边形中，，交于点，，且，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形和正方形是解题的关键；过，交的延长线于F，过C作，交的延长线于G，先证，可得，进而可得，，再由勾股定理求解即可；
【详解】如图所示，过，交的延长线于F，过C作，交的延长线于G，则，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
在中 ，，
故答案为：．
三、解答题（21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可．
【详解】解：
，
，
原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，特殊角的三角函数，熟知分式混合运算的法则，特殊角的三角函数值，是解答此题的关键．
22. 如图，每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段和线段，点的端点都在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出一个以线段为一边的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为20．
（2）在方格纸中以为底边画出等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为10．
（3）在（1）、（2）的条件下，连接，请直接写出线段的长．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质：
（1）直接利用菱形的性质结合勾股定理得出符合题意的图形；
（2）结合等腰三角形的性质及三角形的面积求法得出答案；
（3）直接利用勾股定理得出答案．
【小问1详解】
解：如图，菱形即为所求；
由图可知：，高为，
∴菱形的面积等于，满足题意；
【小问2详解】
如图：等腰三角形即为所求；
；
【小问3详解】
连接如图，
由勾股定理，得：．
23. 小明对九年一班同学参加锻炼的情况进行了统计，（每人只能选其中一项）并绘制了下面的图1和图2，请根据图中提供的信息解答下列问题：

图1 图2
（1）小明这次一共调查了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若该校有2000名学生，请估计该校喜欢足球的学生比喜欢乒乓球的学生多约多少人？
【答案】（1）50名 （2）图见解析
（3）估计该校喜欢足球学生比喜欢乒乓球的学生多约200人
【解析】
【分析】本题考查扇形图和条形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息是解题的关键．
（1）篮球的人数除以所占比例进行求解即可；
（2）求出乒乓球的人数，补全条形图即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【小问1详解】
解：（名）；
答：小明这次一共调查了50名学生；
小问2详解】
乒乓球人数为：，补全条形图如图：
【小问3详解】
（人）；
答：估计该校喜欢足球的学生比喜欢乒乓球的学生多约200人．
24. 为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．
（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．
【答案】（1）米；（2）米
【解析】
【分析】（1）由题意可得∠PBQ=60°，然后在Rt△PQB中利用60°的三角函数求解即可；
（2）作于点H，于点M，如图，则四边形AMQH是矩形，设，根据矩形的性质和坡度的定义可用含a的代数式表示出PH和AH，易得∠PAH=30°，然后利用30°角的三角函数即可求出a，再根据勾股定理即可求出结果．
【详解】解：（1）作PD∥QB，如图，由题意得：∠PBQ=∠DPB=60°，
则在Rt△PQB中，，
即米；
（2）作于点H，于点M，如图，则四边形AMQH是矩形，设，
∴HQ=AM=a，AH=MQ，
∴PH=9－a，
∵，
∴，
∴AH=QM=，
由题意得：∠DPA=∠PAH=30°，
在Rt△PAH中，∵，
∴，解得：，
∴AM=2，BM=，
∴米．
∴电子眼区间测速路段AB的长为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的相关知识是解题的关键．
25. 春风中学计划从秋雨公司购买两种型号的黑板，经洽谈，购买一块A型黑板比买一块B型黑板多用20元．且购买5块A型黑板和4块B型黑板共需820元．
（1）求购买一块A型黑板、一块B型黑板各需要多少元？
（2）根据春风中学实际情况，需从秋雨公司购买两种型号的黑板共60块，要求购买A、B两种型号黑板的总费用不超过5240元．则购买A型号的黑板最多多少块？
【答案】（1）购买一块A型黑板、一块B型黑板各需要100元，80元
（2）购买A型号黑板最多22块
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，找准数量关系，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键．
（1）设购买一块A型黑板、一块B型黑板各需要元，元，根据购买一块A型黑板比买一块B型黑板多用20元．且购买5块A型黑板和4块B型黑板共需820元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买A型号的黑板块，根据购买两种型号的黑板共60块，要求购买A、B两种型号黑板的总费用不超过5240元，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设购买一块A型黑板、一块B型黑板各需要元，元，由题意，得：
，解得：，
答：购买一块A型黑板、一块B型黑板各需要100元，80元；
【小问2详解】
设购买A型号的黑板块，则购买B型黑板块，由题意，得：
，
解得：，
故购买A型号的黑板最多22块．
26. 如图1，在中，直径垂直弦于点，连接，过点作于F，交于点H，交于点E，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，求证：；
（3）如图3，连接，分别交于点，当，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）12
【解析】
【分析】（1）连接，根据垂径定理和等弧所对的圆周角相等，结合等角的余角相等即可证明结论；
（2）连接，运用同弧（等弧）所对的圆周角相等，结合同角的余角相等和等量代换即可证明；先证明，再证明；
（3）根据已知设出和，结合（2）表示，进而用x表示半径、直径，结合勾股定理表示，结合，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
连接，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
连接，则：，
∵，
∴设，则，
∴，
由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∵，且，
∴，
∴，
∴中，，
中，，
中，，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查圆综合问题，涉及到垂径定理，圆周角定理，弧、弦、角之间的关系，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，熟悉圆的相关性质，会结合题意灵活运用勾股定理和方程思想，会借助相似三角形构建等量关系是解题的关键．
27. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，，连接．
图1 图2 图3
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，在第一象限内的抛物线上有一点D，连接，若的面积为S，点D的横坐标为t，求S与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，如图3，作，交于点E，交y轴于点J，若，连接并延长交x轴于点F，第一象限内抛物线上有一动点P，连接，作交x轴于点Q，若，求点P的横坐标？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）令，结合，求出的值即可．
（2）过点作轴于点，交于点，求出直线的解析式，利用求出函数关系式即可；
（3）过点作，证明，得到，进而得到为等腰直角三角形，设，则：，推出，过点作，交的延长线于点，证明，，推出，过点作，推出点为的中点，连接，得到三点共线，求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴解析式为；
【小问2详解】
过点作轴于点，交于点，设，
∵，
∴当时，，当时，，解得：，
∴，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵，
∴，
∴，，，
过点作，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作，交的延长线于点，则：，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴，
连接，则：，
∴三点共线，
设直线为，把代入，得：，
∴，
联立，得：，
解得：或，
∵点在第一象限，
∴点的横坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，添加辅助线构造特殊图形，全等和相似三角形，是解题的关键．输入
…
1
2
3
4
5
…
输出
…
…