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初中北师大版1 因式分解教案及反思
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这是一份初中北师大版1 因式分解教案及反思，共33页。教案主要包含了个人备课情况，因式分解与整式乘法的关系等内容，欢迎下载使用。
一、个人备课情况
1 因式分解
2 提公因式法
第1课时 公因式为单项式的因式分解
2 提公因式法
第2课时 公因式为多项式的因式分解
3 公式法
第1课时 利用平方差公式因式分解
3 公式法
第2课时 利用完全平方公式因式分解
第四章
本章所需课时数
5课时
课标要求
能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）.
教材分析
第1节“因式分解”，先利用的例子突出与因数分解的类比，体会因式分解的必要性；然后用几何图形的拼图解释因式分解.在了解因式分解概念的基础上，体会因式分解与整式乘法的关系.
第2节“提公因式法”，它的依据是乘法分配律或者单项式乘多项式的法则.对于学生来说，难点是怎样在多项式的各项中发现公因式.为此，教材让学生从简单的多项式ab + bc 中发现相同因式入手，由浅入深地体会如何寻找公因式，并以例题示范的形式学习用提公因式法进行因式分解及其注意事项，形成基本技能.
第3节“公式法”，其关键是熟悉平方差公式、完全平方公式的式子及其特点.学生初学时的一个难点是如何根据一个多项式的形式与特点选择运用恰当的公式.为此，教材将这两个公式编成两课时，分开教学.
主要内容
本章内容主要包括：
（1）因式分解的相关概念，整式乘法与因式分解的关系；
（2）因式分解的两种方法——提公因式法和公式法，利用因式分解解决实际问题等.
教学目标
1.经历将一个多项式表示成几个整式乘积的形式的过程，体会因式分解的意义，发展运算能力.
2.能用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接利用公式不超过二次）进行因式分解.
3.认识整式乘法与因式分解的关系，体会数学知识之间的相互联系.
4.进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达能力.
5.养成认真勤奋、严谨求实的科学态度.
教学重难点
教学重点：.能用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接利用公式不超过二次）进行因式分解.
教学难点：探索因式分解的方法，了解因式分解的意义，因式分解的两种基本方法的灵活运用和解题技巧的掌握.
教与学建议
1.要引导学生多角度理解因式分解的意义.
2.要注重发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力.
3.要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解，培养学生逆向思考问题的习惯.
4.保证基本的运算技能，避免复杂的题型训练.
章节课时分配
1 因式分解 （1课时）
2 提公因式法 （2课时）
公因式为单项式的因式分解
公因式为多项式的因式分解
3 公式法 （2课时）
用平方差公式分解因式
用完全平方公式分解因式
回顾与思考 （1课时）
课题
1 因式分解
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P92-94
教学目标
1.经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法.
2.经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观.
3.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系.
4.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
教学重难点
重点：因式分解的概念
难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：
三组家庭外出野餐，要在一家快餐店买汉堡，已知汉堡的单价是18.5元，第一组家庭购买3个，第二组家庭购买2个，第三组家庭购买5个，问快餐店共需要收多少钱？怎样进行简便计算？
18.5×3+18.5×2+18.5×5=18.5×（3+2+5）=18.5×10=185（元）.
师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
教师提问：想一想：简便运算的依据是什么？
学生回答：乘法分配律的逆用.
（板书课题：1 因式分解）
解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式，此时学生对因式分解还相当陌生的，但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．，让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握和理解打一个台阶。
2.实践探究，学习新知
【探究1】引入因式分解
问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
学生解答：993-99=99×992-99=99(992-1).
∴993-99能被99整除
(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
小明是这样做的：（多媒体出示）
993-99=99×992－99×1=99（992－1）=99（99+1）（99-1）=99×98×100.
所以993-99能被100整除.
教师提问：
（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？
（2）请你说明小明每一步的依据。
（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？与同学交流。
教师点拨：（引导式提问）
回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？
师生活动：在小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结.教师注意适时引导.
学生结论：以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。
教师追问：可以了解:993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?
教师引导：尝试用a表示任意一个大于1的整数来验证你的结论.
学生探究：用a表示任意一个大于1的整数，则：
（板书）
教师点拨：解决问题的关键是把上面式子化成了几个整式积的形式.
【探究2】因式分解的概念
做一做：观察下面的拼图过程，写出相应的关系式.
（板书）
（板书）
教师追问：将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个等式。
教师板书：.
教师点拨：（引导式提问，启发学生归纳因式分解定义）观察下面式子，等号左右两边的式子各有什么共同点？
归纳定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也称为分解因式。（板书）
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也称为分解因式。
特别解读：
1.因式分解的对象是多项式，结果是整式的积.
2.因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变.
3.因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止.
【探究3】因式分解与整式乘法的关系
教师提问：下列由左到右的变形中，是因式分解吗？为什么？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;
（3）a2－4=（a+2）（a－2）;
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
学生解答：（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，不是因式分解；
（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；
（3）和（2）相同，是因式分解；
（4）是因式分解.
教师强调：因式分解的注意点：1.左边：多项式（和）；2.右边：整式乘积的形式（积）.
教师追问：做一做，有哪些发现？
师生活动：在小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结.教师注意适时引导.
学生总结：
联系：左边和右边的两组算式是同一个多项式的两种不同表现形式.
区别：左边算式是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
右边算式是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
整式乘法与因式分解的关系:整式乘法是和差化积，因式分解是积化和差，是两种互逆的变形.
可以利用整式乘法检验因式分解结果的正确性.
以一连串的知识性问题引入，在学生已有的认识基础上，先让学生解决一些具体的数的运算问题，通过简便运算把一个式子化成几个数乘积的形式，并且问题的设置由浅入深，逐步让学生体会分解因数的过程和意义。这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大帮助，体现了知识螺旋上升的思想。
引发学生联想到用字母表示数的方法，这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃，同时很自然地从分解因数过度到分解因式，初步树立起学生对因式分解概念的直观认识。
从几何直观角度理解这种等价变形。得到三个等式，有助于发展学生的几何直观思维，为归纳因式分解的概念做铺垫。
通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的逆运算，进一步让学生体会什么是分解因式，这个时候，分解因式的概念已基本在学生头脑中确立。由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
3.学以致用，应用新知
考点1 因式分解的定义
例 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：D
变式训练 下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．m（x+y）＝mx+my
B．x2+16x+64＝（x+8）2
C．x2+y2﹣36＝x2+（y+6）（y﹣6）
D．ay+by+c＝y（a+b）+c
答案：B
考点2 因式分解与整式乘法的关系
例 下列多项式因式分解后的结果为﹣（2x+y）（2x﹣y）的是（ ）
A．4x2﹣y2B．4x2+y2
C．﹣4x2﹣y2D．﹣4x2+y2
答案：D
变式训练 已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（ ）
A．b＝3，c＝﹣1
B．b＝﹣6，c＝2
C．b＝﹣6，c＝﹣4
D．b＝﹣4，c＝﹣6
答案：D
通过例题讲解，巩固理解因式分解的知识点，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用因式分解的知识解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.下列各式从左到右的变形不属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）
B．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
C．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
D．2mR+2mr＝2m（R+r）
答案：B
2.把x2+3x+c分解因式得（x+1）（x+2），则c的值为 ．
答案：2
3.甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_______．
答案：21
4.如果x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5），求3A﹣B的值．
解：x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，得
A＝2，B＝﹣15．
3A﹣B＝3×2+15＝21．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
（1）你能说说什么是分解因式吗？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
（2）应该怎样认识“因式分解”？
分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P94习题4.1中的T1—T5。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
1 因式分解
一、因式分解的概念
二、因式分解与整式乘法的关系
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
关于如何上好数学概念课一直是数学教学中热点讨论的话题，也是难题，而真正有效的数学概念课教学是要让学生从根本上理解概念的意义，并学会灵活运用。
本节课以学生的思维进程发展为主线，采用逐步渗透，螺旋式类比方法，在概念引入时，从分解因数到分解因式的类比，到概念强化阶段，又以整式乘法与分解因式的过程类比，因式分解过程中正反两例的类比，逐渐加深学生的认识，主要体现在从一开始一连串的知识性问题引入，到后来环节中多次提出思考性的问题，启发、引导学生做进一步的猜想、探究，这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识。
反思，更进一步提升。
课题
第1课时 公因式为单项式的因式分解
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P95-97
教学目标
1.使学生了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形。
2.让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。
3.通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式时的因式分解的教学，培养“换元”的意识。
教学重难点
重点：因式分解的概念及提公因式法的应用。
难点：正确找出多项式中各项的公因式和当公因式是多项式时的因式分解。
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：
如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是8.5cm和3.5cm，求它们所围成的圆环面积。
你能快速、简便地求出结果吗？
师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
教师提问：想一想：简便运算采用了什么方法？依据是什么？
学生回答：乘法分配律的逆用.
（板书课题：第1课时 公因式为单项式的因式分解）
解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式，旨在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。
2.实践探究，学习新知
【探究1】公因式的定义
教师提问：多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式x2+4x呢？多项式mb2+nb–b呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流。
学生总结：多项式ab+ac中各项都含有的相同因式a，多项式x2+4x中各项都含有的相同因式x，多项式mb2+nb–b中各项都含有的相同因式b.
教师追问：议一议：多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？请尝试总结找公因式的方法。
学生总结：
（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
2.判断公因式的方法：
（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
【探究2】提公因式法的定义
教师提问：将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：
（1）ab+ac （2）x2+4x （3）mb2+nb–b
学生解答：
（1）a（b+c） （2）x（x+4） （3）b（mb+n–1）
教师总结：（引出概念）
提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法.
做一做：分解因式：8a3b2+12ab3c.
解：8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2·3bc
=4ab2(2a2+3bc).
教师提问：如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式？尝试总结用提公因式法分解因式应注意的问题.
学生总结：另一个因式将是2a2b+3b2c,它还有公因式是b.
用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）不要漏项.
教师追问：想一想：提公因式法分解因式的步骤.
教师点拨：提公因式法的步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）不要漏项.
2.提公因式法的步骤（分两步）：
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
公因式由简单到复杂，由于第一个多项式提供的比较简单，寻找的公因式不具备归纳的条件，而后面所提供的寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式只是多了含字母y的因式，对比前一个公因式，通过寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式，可顺利地归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力
让学生尝试着使用因式分解的意义以及根据提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．
3.学以致用，应用新知
考点1 公因式
例 多项式15a2b+5a2b﹣20ab2中各项的公因式是 ．
答案：5ab
变式训练 2x3y2与12x4y的公因式是 ．
答案：2x3y
考点2 公因式是单项式的因式分解
例 分解因式：a2b+ab2＝ ．
答案：ab（a+b）
变式训练 先因式分解，再求值：
已知x+y＝5，xy＝2，求x2y+xy2的值．
解：x2y+xy2＝xy（x+y），
将x+y＝5，xy＝2代入，
∴原式＝2×5＝10．
通过例题讲解，巩固理解公因式为单项式的因式分解的相关考点，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用提公因式法解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.如图，边长为a、b的长方形周长为12，面积为5，则a3b+ab3的值为（ ）
A．60 B．120 C．130 D．240
答案：B
2.已知a﹣b＝3，ab＝﹣2，则a2b﹣ab2的值为 ．
答案：﹣6
3.（1）分解因式：a2﹣3a；
（2）分解因式：3x2y﹣6xy2．
解：（1）a2﹣3a＝a（a﹣3）；
（2）3x2y﹣6xy2＝3xy（x﹣2y）．
4.利用因式分解简化运算：
（1）2021+20212﹣2021×2022；
（2）56.2×1999﹣462×199.9．
解：（1）2021+20212﹣2021×2022
＝2021×（1+2021﹣2022）
＝2021×0
＝0；
（2）56.2×1999﹣462×199.9
＝562×199.9﹣462×199.9
＝199.9×（562﹣462）
＝199.9×100
＝19990．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
2.判断公因式的方法：
（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
3.提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法.
4.用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；（2）不要漏项.
5..提公因式法的步骤（分两步）：
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P96习题4.2中的T1—T3。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第1课时 公因式为单项式的因式分解
一、概念
公因式的概念
提公因式法的概念
二、提公因式法因式分解的一般步骤及注意事项
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形，它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简，比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程、二次根式化简等中都要用到因式分解的知识。因此应该注重因式分解的概念和方法的教学。
本节运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由提公因数到找公因式，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解。
反思，更进一步提升。
课题
第2课时 公因式为多项式的因式分解
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P97-98
教学目标
1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项
的公因式。
2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。
3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。
教学重难点
重点：用提公因式法把多项式分解因式.
难点：探索多项式因式分解方法的过程.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：（课件播放）
某学校有三块草坪，第一块草坪面积为，第二块草坪面积为，第三块草坪面积为，求这三块草坪的总面积。
师生活动：教师出示问题，学生思考，然后教师引出课题。
这就是我们今天要研究的内容——公因式为多项式的因式分解（板书课题：第2课时 公因式为多项式的因式分解）
数学来源于实际生活，使学生感受到生活中处处有数学。通过结合日常生活中的具体情境，提高学生兴趣，激发学生学习激情。引出公因式为多项式的因式分解．
2.实践探究，学习新知
【探究1】公因式为多项式的因式分解
例 把下列各式因式分解：
（1）a（x–3）+2b（x–3）；
（2）.
教师提问：（1）多项式的公因式是什么？
（2）如何将多项式因式分解？
学生总结：这里的公因式分别是(x-3)和(x+1)，(x-3)或(x+1)可以看做一个整体，公因式是多项式.
解：(1) a(x－3)＋2b(x－3)
＝(x－3)(a＋2b)；
(2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2
＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)]
＝y(x＋1)(xy＋y＋1).
教师点拨：注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
【探究2】公因式为多项式的因式分解的符号问题
做一做：在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“–”号，使等式成立：
（1）2–a= （a–2）
（2）y–x= （x–y）
（3）b+a= （a+b）
（4）（b–a）2= （a–b）2
（5）–m–n= （m+n）
（6）–s2+t2= （s2–t2）
师生活动：教师出示问题，学生自主解答。教师注意适时引导.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
关于公因式为多项式的因式分解的符号问题
（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；
（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；
（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．
引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式．由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x–3），通过观察，学生较容易找到第一题公因式是（x–3），而第二题公因式是y(x+1),并能顺利地进行因式分解．
培养学生的观察能力，为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备．
3.学以致用，应用新知
考点 公因式是多项式的因式分解
例 分解因式：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝ ．
答案：（x﹣5）（3x﹣5）
变式训练 分解因式8ab（a﹣b）﹣12a（a﹣b）2时，应提取的公因式为（ ）
A．8aB．4ab（a﹣b）2
C．4ab（a﹣b）D．4a（a﹣b）
答案：D
通过例题讲解，巩固理解提公因式法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用提公因式法解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.把5（a﹣b）﹣m（a﹣b）提公因式后，其中一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（ ）
A．5+m B．5﹣m C．m﹣5 D．﹣m﹣5
答案：B
2.分解因式b2（x﹣2）+b（2﹣x）正确的结果是（ ）
A．（x﹣2）（b2+b）
B．b（x﹣2）（b+1）
C．（x﹣2）（b2﹣b）
D．b（x﹣2）（b﹣1）
答案：D
3.分解因式：
（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）；
（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
解：（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）
＝a（x﹣2y）+b（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（a+b）；
（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
＝x（x+y）[x﹣y﹣（x+y）]
＝x（x+y）（x﹣y﹣x﹣y）
＝﹣2xy（x+y）．
4.将x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2进行因式分解，并求当x+y＝1，时此式的值．
解：x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2＝x（x+y）[（x﹣y）﹣（x+y）]＝﹣2xy（x+y）．
当x+y＝1，xy＝﹣时，原式＝﹣2×（﹣）×1＝1．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2.关于公因式为多项式的因式分解的符号问题
（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；
（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；
（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P98习题4.3中的T1—T3。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第2课时 公因式为多项式的因式分解
一、
二、
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
对学生数学能力及数学思想方法的培养在初中数学教材中尽管没有专门章节进行训练，但始终渗透在整个初中数学的教学过程中．由于一些数学问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识，它是初中数学一个重要的数学思想．
运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，没有斧凿的痕迹．
教学中那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略深层知识的真谛．因此数学思想的教学应与整个表层知识的讲授融为一体．
反思，更进一步提升。
课题
第1课时 利用平方差公式因式分解
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P99-101
教学目标
1．知识与技能：
（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；
（2）会用平方差公式进行因式分解；
（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解
2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．
3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。
教学重难点
重点：会用平方差公式进行因式分解.
难点：公式中的a,b为多项式时的因式分解.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：
请你帮帮忙：我校有一块边长为a=6.6m的正方形空地，为美化校园，现要在四角均留出一个边长为b=1.7m的正方形建花坛，其余地方种草，问草坪的面积有多大呢？
师生活动：教师出示问题，学生讨论交流，自主回答，然后教师引出课题。
这就是我们今天要研究的内容——利用平方差公式因式分解.（板书课题：第1课时 利用平方差公式因式分解）
数学来源于实际生活，使学生感受到生活中处处有数学。以实际问题引入，体现运用意识，激发学生学习兴趣.引出利用平方差公式因式分解的课题.
2.实践探究，学习新知
【探究1】探究平方差公式的因式分解
教师提问：
1.我们在学习整式乘法时所学习的平方差公式用字母是如何表示的？
2.填空：
（1）（x+5）（x–5）= ；
（2）（3x+y）（3x–y）= ；
（3）（3m+2n）（3m–2n）= ．
教师追问：
1.它们的结果有什么共同特征？
2.尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流.
教师引导：如果将平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²反过来，你能发现有什么特点？
学生总结：如果将平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²反过来，就得到a²-b²=（a+b）（a-b），特点是将一个多项式转化成了两个因式的乘积的形式。
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。
2.如果将平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²反过来，就得到a²-b²=（a+b）（a-b）.
（1）该公式左边是一个将要被因式分解的多项式.
特点：被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成
( )2－( )2的形式.
（2）该公式右边是因式分解的结果.
特点：分解的结果是两个底数的和乘两个底数的差的形式.
【探究2】例题讲解
例 把下列各式因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2；(2) 2x3－8x.
解：(1) 9(m＋n)2－(m－n)2 ＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝ [3(m＋n)＋(m－n)] [3(m＋n)－(m－n)]
＝ (3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n);
(2)2x3－8x＝2x(x2－4) ＝ 2x(x2－22) ＝2x (x＋2)(x－2).
教师提问：
1.公式a²-b²=（a+b）（a-b）中的a与b可以是多项式吗？
2.根据上面的例题，尝试总结因式分解的步骤.
学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.公式a²-b²=（a+b）（a-b）中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式.
2.分解因式的一般步骤：一提二套，即当多项式的各项含有公因式时，通常先提出公因式，然后能套用公式的再套用公式，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止.
学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．
引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法。
进一步让学生理解平方差公式中的a、b不仅可以表示具体的数，而且可以表示其它代数式（注意使用整体方法进行教学），只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。同时让学生明白分解因式的结果必须彻底。总结分解因式的一般步骤：一提二套，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
3.学以致用，应用新知
考点1 用平方差公式分解因式
例 下列多项式不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．1﹣a2 B．x2﹣25
C．a2b2﹣m2n2 D．﹣a2﹣9b2
答案：D
变式训练 已知a+b＝100，a﹣b＝3，则代数式2a2﹣2b2的值为 ．
答案：600
考点2 用平方差公式分解因式的应用
例 一个三角形的三边长a，b，c满足（a2﹣c2）+b2（a2﹣c2）＝0，则这个三角形的形状是 ．
答案：等腰三角形
变式训练 小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：勤，健，奋，美，励，志，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息应是（ ）
A．勤奋健美 B．健美励志
C．励志勤奋 D．勤奋励志
答案：A
通过例题讲解，巩固理解用平方差公式分解因式的方法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用平方差公式进行因式分解。
4.随堂训练，巩固新知
1.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mn
C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+25
答案：D
2.小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式a2﹣□b2中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（ ）
A．a B．﹣9 C．25 D．a2
答案：B
3.分解因式：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．
解：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2
＝（a﹣2b+3a﹣2b）（a﹣2b﹣3a+2b）
＝（4a﹣4b）•（﹣2a）
＝﹣8a（a﹣b）．
4.【发现】两个相邻奇数中，较大奇数与较小奇数的平方差一定是8的倍数．
【验证】计算52﹣32的值，并求这个值是8的几倍．
【探究】设【发现】中较小的奇数为2n+1，请论证【发现】中的结论正确．
解：【验证】52﹣32＝16＝2×8，
故52﹣32的值是8的2倍．
【探究】设“发现”中较小的奇数为2n+1，则最大的数为2n+3，n为正整数．
∴（2n+3）2﹣（2n+1）2
＝（2n+3+2n+1）（2n+3﹣2n﹣1）
＝8（n+1），
∵，且n为正整数，
∴【发现】中的结论正确.
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.如果将平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²反过来，就得到a²-b²=（a+b）（a-b）.
2.整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。
3.公式a²-b²=（a+b）（a-b）中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式.
4.分解因式的一般步骤：一提二套，即当多项式的各项含有公因式时，通常先提出公因式，然后能套用公式的再套用公式，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P100习题4.4中的T1—T3。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第1课时 利用平方差公式因式分解
一、平方差公式的因式分解
二、分解因式的一般步骤
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
探索分解因式的方法实际上是对正是乘法的再认识，而本节正是对平方差公式的再认识：
1 本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。
2 有意识的培养学生逆向思考问题的习惯，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．
3．保证基本的运算技能的训练，避免复杂的题型训练。
反思，更进一步提升。
课题
第2课时 利用完全平方公式因式分解
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P101-103
教学目标
1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．
2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。
3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。
教学重难点
重点：用完全平方公式法进行因式分解.
难点：灵活地运用公式法或以前学过的提公因式法进行因式分解，正确地判断因式分解的彻底性问题.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：
在我们中学教学区有一块边长为a米的正方形草坪，现在校长想把这块草坪改种花卉,要求边长增加b米,形成四块区域，以种植不同的花卉，如图.为了估算所需购买花卉的总量,你能帮校长计算一下这块种植区的总面积吗? (多媒体出示)
师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
（板书课题：第2课时 利用完全平方公式因式分解）
通过让学生帮校长解决自己学校的一个问题的设计，可激发学生的主人翁意识，提高学生对课堂学习的参与度，培养学生自主探究的意识.
2.实践探究，学习新知
【探究1】能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
教师引入：因式分解是整式乘法的逆过程，逆用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提公因式法、运用平方差公式法，除此之外，还有哪些乘法公式可以用来因式分解呢？
教师提问:根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2”的式子分解因式吗？
学生回答：将完全平方公式倒过来看，得到：
因式分解的完全平方公式a2＋2ab＋b2=(a+b)2、a2－2ab＋b2=(a-b)2.
教师总结：我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
教师提问：判断下列各式是不是完全平方式．
教师追问：根据上面的式子，尝试总结能用完全平方公式分解因式的多项式的特点.
学生归纳：（教师注意引导）
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：a2±2ab＋b2.
1.是三项式（或可以看成三项）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间是这两个数的积的±2倍.
【探究2】利用完全平方公式因式分解
例 把下列完全平方式因式分解：
（1）x2+14x+49； （2） (m+n)2 -6 (m+n)+9.
解：(1)x2＋14x＋49 ＝ x2＋2×7x＋72 ＝ (x＋7) 2 ；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32＝(m＋n－3)2.
教师提问：对照完全平方公式，确定公式中的a，b在此例中分别是什么？
学生归纳：（课件播放）
教师引导:在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．
教师点拨：提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，再考虑用完全平方公式分解因式．
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
利用完全平方公式因式分解的一般步骤:
1.一.提:多项式各项有公因式时，应先提取公因式;首项负
号提前后，括号里各项要注意变号;
2.二套:观察、分析和判断所给出的多项式是不是一个完全平方式，若是，则套用完全平方公式把它进行因式分解;
3.三查:检查是否分解彻底.
总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如的多项式称为完全平方式．
同时加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式做能力铺垫．
引导学生对照完全平方公式，确定公式中的a，b在此例中分别是什么.为了帮助基础薄弱的学生更好地理解、运用公式.
3.学以致用，应用新知
考点1 完全平方式
例 下列多项式是完全平方式的是（ ）
A．a2﹣ab+b2 B．a2﹣2ab﹣b2
C．2a2+2ab+b2 D．a2+4ab+4b2
答案：D
变式训练 如果多项式4a2+（2m+4）a+25是一个完全平方式，那么常数m的值为 ．
答案：8或﹣12
考点2 用完全平方公式分解因式
例 下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
变式训练 已知9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为（ ）
A．12B．±12
C．24D．±24
答案：D
考点3 综合应用提公因式法和公式法分解因式
例 把多项式2x3+4x2y+2xy2分解因式的结果是 ．
答案：2x（x+y）2
变式训练 一个长方形的长与宽分别为a，b，若周长为12，面积为5，则ab3+2a2b2+a3b的值为 ．
答案：180
通过例题讲解，巩固理解用完全平方公式分解因式的方法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用完全平方公式进行因式分解。
4.随堂训练，巩固新知
1.将下列多项式因式分解，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x（x﹣3）+（3﹣x） B．x2﹣1
C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
答案：D
2.若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值是（ ）
A．13B．13或﹣11
C．﹣11D．无法确定
答案：B
3.已知：△ABC的三分别边为a、b、c；且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），则△ABC的形状 ．
答案：等边三角形
4.分解因式：
（1）2xy2﹣12xy+18x；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．
解：（1）2xy2﹣12xy+18x
＝2x（y2﹣6y+9）
＝2x（y﹣3）2；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4）
＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．
5.（1）已知x+y＝4，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值；
（2）已知x＝，化简并计算：（1﹣2x）2（2x+1）2﹣（3+2x）2（3﹣2x）2．
解：（1）∵x+y＝4，xy＝2，
∴原式＝2xy（x+y）2＝64.
（2）原式＝（1﹣4x2）2﹣（9﹣4x2）2
＝﹣8（10﹣8x2）
＝﹣80+64x2.
当x＝1时，原式＝﹣80+144＝64．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
一、能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：a2±2ab＋b2.
1.是三项式（或可以看成三项）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间是这两个数的积的±2倍.
二、利用完全平方公式因式分解的一般步骤:
1.一提:多项式各项有公因式时，应先提取公因式;首项负
号提前后，括号里各项要注意变号;
2.二套:观察、分析和判断所给出的多项式是不是一个完全平方式，若是，则套用完全平方公式把它进行因式分解;
3.三查:检查是否分解彻底.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P103习题4.5中的T1—T4。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第2课时 利用完全平方公式因式分解
一、能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
二、利用完全平方公式因式分解的一般步骤
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和与这两个数的乘积的2倍，具体应用时要特别关注第二项的符号。
把一个多项式进行因式分解的一般方法是：先看有无公因式可提取，然后再尝试用公式法分解因式，直到最终结果再也不能分解因式为止。
运算类型的课往往比较枯燥，学生容易产生浮躁的心理，不利于知识的掌握与运算能力的提高。本节课的设计尽量做了平实无华，将新知教学层层深入，适当的巩固练习，每一个环节让学生感觉不吃力。同时设计过程中注意题型的变化，引导学生暴露学习中的问题，这样易于激发学生的兴趣，使学生的思维不断被拓展，从而达到强化所学知识和提高能力的目的。
反思，更进一步提升。
一、个人备课情况
1 因式分解
2 提公因式法
第1课时 公因式为单项式的因式分解
2 提公因式法
第2课时 公因式为多项式的因式分解
3 公式法
第1课时 利用平方差公式因式分解
3 公式法
第2课时 利用完全平方公式因式分解
第四章
本章所需课时数
5课时
课标要求
能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）.
教材分析
第1节“因式分解”，先利用的例子突出与因数分解的类比，体会因式分解的必要性；然后用几何图形的拼图解释因式分解.在了解因式分解概念的基础上，体会因式分解与整式乘法的关系.
第2节“提公因式法”，它的依据是乘法分配律或者单项式乘多项式的法则.对于学生来说，难点是怎样在多项式的各项中发现公因式.为此，教材让学生从简单的多项式ab + bc 中发现相同因式入手，由浅入深地体会如何寻找公因式，并以例题示范的形式学习用提公因式法进行因式分解及其注意事项，形成基本技能.
第3节“公式法”，其关键是熟悉平方差公式、完全平方公式的式子及其特点.学生初学时的一个难点是如何根据一个多项式的形式与特点选择运用恰当的公式.为此，教材将这两个公式编成两课时，分开教学.
主要内容
本章内容主要包括：
（1）因式分解的相关概念，整式乘法与因式分解的关系；
（2）因式分解的两种方法——提公因式法和公式法，利用因式分解解决实际问题等.
教学目标
1.经历将一个多项式表示成几个整式乘积的形式的过程，体会因式分解的意义，发展运算能力.
2.能用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接利用公式不超过二次）进行因式分解.
3.认识整式乘法与因式分解的关系，体会数学知识之间的相互联系.
4.进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达能力.
5.养成认真勤奋、严谨求实的科学态度.
教学重难点
教学重点：.能用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接利用公式不超过二次）进行因式分解.
教学难点：探索因式分解的方法，了解因式分解的意义，因式分解的两种基本方法的灵活运用和解题技巧的掌握.
教与学建议
1.要引导学生多角度理解因式分解的意义.
2.要注重发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力.
3.要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解，培养学生逆向思考问题的习惯.
4.保证基本的运算技能，避免复杂的题型训练.
章节课时分配
1 因式分解 （1课时）
2 提公因式法 （2课时）
公因式为单项式的因式分解
公因式为多项式的因式分解
3 公式法 （2课时）
用平方差公式分解因式
用完全平方公式分解因式
回顾与思考 （1课时）
课题
1 因式分解
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P92-94
教学目标
1.经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法.
2.经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观.
3.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系.
4.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
教学重难点
重点：因式分解的概念
难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：
三组家庭外出野餐，要在一家快餐店买汉堡，已知汉堡的单价是18.5元，第一组家庭购买3个，第二组家庭购买2个，第三组家庭购买5个，问快餐店共需要收多少钱？怎样进行简便计算？
18.5×3+18.5×2+18.5×5=18.5×（3+2+5）=18.5×10=185（元）.
师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
教师提问：想一想：简便运算的依据是什么？
学生回答：乘法分配律的逆用.
（板书课题：1 因式分解）
解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式，此时学生对因式分解还相当陌生的，但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．，让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握和理解打一个台阶。
2.实践探究，学习新知
【探究1】引入因式分解
问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
学生解答：993-99=99×992-99=99(992-1).
∴993-99能被99整除
(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
小明是这样做的：（多媒体出示）
993-99=99×992－99×1=99（992－1）=99（99+1）（99-1）=99×98×100.
所以993-99能被100整除.
教师提问：
（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？
（2）请你说明小明每一步的依据。
（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？与同学交流。
教师点拨：（引导式提问）
回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？
师生活动：在小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结.教师注意适时引导.
学生结论：以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。
教师追问：可以了解:993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?
教师引导：尝试用a表示任意一个大于1的整数来验证你的结论.
学生探究：用a表示任意一个大于1的整数，则：
（板书）
教师点拨：解决问题的关键是把上面式子化成了几个整式积的形式.
【探究2】因式分解的概念
做一做：观察下面的拼图过程，写出相应的关系式.
（板书）
（板书）
教师追问：将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个等式。
教师板书：.
教师点拨：（引导式提问，启发学生归纳因式分解定义）观察下面式子，等号左右两边的式子各有什么共同点？
归纳定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也称为分解因式。（板书）
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也称为分解因式。
特别解读：
1.因式分解的对象是多项式，结果是整式的积.
2.因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变.
3.因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止.
【探究3】因式分解与整式乘法的关系
教师提问：下列由左到右的变形中，是因式分解吗？为什么？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;
（3）a2－4=（a+2）（a－2）;
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
学生解答：（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，不是因式分解；
（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；
（3）和（2）相同，是因式分解；
（4）是因式分解.
教师强调：因式分解的注意点：1.左边：多项式（和）；2.右边：整式乘积的形式（积）.
教师追问：做一做，有哪些发现？
师生活动：在小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结.教师注意适时引导.
学生总结：
联系：左边和右边的两组算式是同一个多项式的两种不同表现形式.
区别：左边算式是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
右边算式是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
整式乘法与因式分解的关系:整式乘法是和差化积，因式分解是积化和差，是两种互逆的变形.
可以利用整式乘法检验因式分解结果的正确性.
以一连串的知识性问题引入，在学生已有的认识基础上，先让学生解决一些具体的数的运算问题，通过简便运算把一个式子化成几个数乘积的形式，并且问题的设置由浅入深，逐步让学生体会分解因数的过程和意义。这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大帮助，体现了知识螺旋上升的思想。
引发学生联想到用字母表示数的方法，这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃，同时很自然地从分解因数过度到分解因式，初步树立起学生对因式分解概念的直观认识。
从几何直观角度理解这种等价变形。得到三个等式，有助于发展学生的几何直观思维，为归纳因式分解的概念做铺垫。
通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的逆运算，进一步让学生体会什么是分解因式，这个时候，分解因式的概念已基本在学生头脑中确立。由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
3.学以致用，应用新知
考点1 因式分解的定义
例 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：D
变式训练 下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．m（x+y）＝mx+my
B．x2+16x+64＝（x+8）2
C．x2+y2﹣36＝x2+（y+6）（y﹣6）
D．ay+by+c＝y（a+b）+c
答案：B
考点2 因式分解与整式乘法的关系
例 下列多项式因式分解后的结果为﹣（2x+y）（2x﹣y）的是（ ）
A．4x2﹣y2B．4x2+y2
C．﹣4x2﹣y2D．﹣4x2+y2
答案：D
变式训练 已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（ ）
A．b＝3，c＝﹣1
B．b＝﹣6，c＝2
C．b＝﹣6，c＝﹣4
D．b＝﹣4，c＝﹣6
答案：D
通过例题讲解，巩固理解因式分解的知识点，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用因式分解的知识解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.下列各式从左到右的变形不属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）
B．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
C．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
D．2mR+2mr＝2m（R+r）
答案：B
2.把x2+3x+c分解因式得（x+1）（x+2），则c的值为 ．
答案：2
3.甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_______．
答案：21
4.如果x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5），求3A﹣B的值．
解：x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，得
A＝2，B＝﹣15．
3A﹣B＝3×2+15＝21．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
（1）你能说说什么是分解因式吗？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
（2）应该怎样认识“因式分解”？
分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P94习题4.1中的T1—T5。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
1 因式分解
一、因式分解的概念
二、因式分解与整式乘法的关系
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
关于如何上好数学概念课一直是数学教学中热点讨论的话题，也是难题，而真正有效的数学概念课教学是要让学生从根本上理解概念的意义，并学会灵活运用。
本节课以学生的思维进程发展为主线，采用逐步渗透，螺旋式类比方法，在概念引入时，从分解因数到分解因式的类比，到概念强化阶段，又以整式乘法与分解因式的过程类比，因式分解过程中正反两例的类比，逐渐加深学生的认识，主要体现在从一开始一连串的知识性问题引入，到后来环节中多次提出思考性的问题，启发、引导学生做进一步的猜想、探究，这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识。
反思，更进一步提升。
课题
第1课时 公因式为单项式的因式分解
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P95-97
教学目标
1.使学生了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形。
2.让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。
3.通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式时的因式分解的教学，培养“换元”的意识。
教学重难点
重点：因式分解的概念及提公因式法的应用。
难点：正确找出多项式中各项的公因式和当公因式是多项式时的因式分解。
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：
如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是8.5cm和3.5cm，求它们所围成的圆环面积。
你能快速、简便地求出结果吗？
师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
教师提问：想一想：简便运算采用了什么方法？依据是什么？
学生回答：乘法分配律的逆用.
（板书课题：第1课时 公因式为单项式的因式分解）
解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式，旨在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。
2.实践探究，学习新知
【探究1】公因式的定义
教师提问：多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式x2+4x呢？多项式mb2+nb–b呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流。
学生总结：多项式ab+ac中各项都含有的相同因式a，多项式x2+4x中各项都含有的相同因式x，多项式mb2+nb–b中各项都含有的相同因式b.
教师追问：议一议：多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？请尝试总结找公因式的方法。
学生总结：
（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
2.判断公因式的方法：
（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
【探究2】提公因式法的定义
教师提问：将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：
（1）ab+ac （2）x2+4x （3）mb2+nb–b
学生解答：
（1）a（b+c） （2）x（x+4） （3）b（mb+n–1）
教师总结：（引出概念）
提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法.
做一做：分解因式：8a3b2+12ab3c.
解：8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2·3bc
=4ab2(2a2+3bc).
教师提问：如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式？尝试总结用提公因式法分解因式应注意的问题.
学生总结：另一个因式将是2a2b+3b2c,它还有公因式是b.
用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）不要漏项.
教师追问：想一想：提公因式法分解因式的步骤.
教师点拨：提公因式法的步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）不要漏项.
2.提公因式法的步骤（分两步）：
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
公因式由简单到复杂，由于第一个多项式提供的比较简单，寻找的公因式不具备归纳的条件，而后面所提供的寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式只是多了含字母y的因式，对比前一个公因式，通过寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式，可顺利地归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力
让学生尝试着使用因式分解的意义以及根据提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．
3.学以致用，应用新知
考点1 公因式
例 多项式15a2b+5a2b﹣20ab2中各项的公因式是 ．
答案：5ab
变式训练 2x3y2与12x4y的公因式是 ．
答案：2x3y
考点2 公因式是单项式的因式分解
例 分解因式：a2b+ab2＝ ．
答案：ab（a+b）
变式训练 先因式分解，再求值：
已知x+y＝5，xy＝2，求x2y+xy2的值．
解：x2y+xy2＝xy（x+y），
将x+y＝5，xy＝2代入，
∴原式＝2×5＝10．
通过例题讲解，巩固理解公因式为单项式的因式分解的相关考点，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用提公因式法解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.如图，边长为a、b的长方形周长为12，面积为5，则a3b+ab3的值为（ ）
A．60 B．120 C．130 D．240
答案：B
2.已知a﹣b＝3，ab＝﹣2，则a2b﹣ab2的值为 ．
答案：﹣6
3.（1）分解因式：a2﹣3a；
（2）分解因式：3x2y﹣6xy2．
解：（1）a2﹣3a＝a（a﹣3）；
（2）3x2y﹣6xy2＝3xy（x﹣2y）．
4.利用因式分解简化运算：
（1）2021+20212﹣2021×2022；
（2）56.2×1999﹣462×199.9．
解：（1）2021+20212﹣2021×2022
＝2021×（1+2021﹣2022）
＝2021×0
＝0；
（2）56.2×1999﹣462×199.9
＝562×199.9﹣462×199.9
＝199.9×（562﹣462）
＝199.9×100
＝19990．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
2.判断公因式的方法：
（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
3.提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法.
4.用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；（2）不要漏项.
5..提公因式法的步骤（分两步）：
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P96习题4.2中的T1—T3。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第1课时 公因式为单项式的因式分解
一、概念
公因式的概念
提公因式法的概念
二、提公因式法因式分解的一般步骤及注意事项
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形，它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简，比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程、二次根式化简等中都要用到因式分解的知识。因此应该注重因式分解的概念和方法的教学。
本节运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由提公因数到找公因式，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解。
反思，更进一步提升。
课题
第2课时 公因式为多项式的因式分解
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P97-98
教学目标
1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项
的公因式。
2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。
3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。
教学重难点
重点：用提公因式法把多项式分解因式.
难点：探索多项式因式分解方法的过程.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：（课件播放）
某学校有三块草坪，第一块草坪面积为，第二块草坪面积为，第三块草坪面积为，求这三块草坪的总面积。
师生活动：教师出示问题，学生思考，然后教师引出课题。
这就是我们今天要研究的内容——公因式为多项式的因式分解（板书课题：第2课时 公因式为多项式的因式分解）
数学来源于实际生活，使学生感受到生活中处处有数学。通过结合日常生活中的具体情境，提高学生兴趣，激发学生学习激情。引出公因式为多项式的因式分解．
2.实践探究，学习新知
【探究1】公因式为多项式的因式分解
例 把下列各式因式分解：
（1）a（x–3）+2b（x–3）；
（2）.
教师提问：（1）多项式的公因式是什么？
（2）如何将多项式因式分解？
学生总结：这里的公因式分别是(x-3)和(x+1)，(x-3)或(x+1)可以看做一个整体，公因式是多项式.
解：(1) a(x－3)＋2b(x－3)
＝(x－3)(a＋2b)；
(2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2
＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)]
＝y(x＋1)(xy＋y＋1).
教师点拨：注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
【探究2】公因式为多项式的因式分解的符号问题
做一做：在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“–”号，使等式成立：
（1）2–a= （a–2）
（2）y–x= （x–y）
（3）b+a= （a+b）
（4）（b–a）2= （a–b）2
（5）–m–n= （m+n）
（6）–s2+t2= （s2–t2）
师生活动：教师出示问题，学生自主解答。教师注意适时引导.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
关于公因式为多项式的因式分解的符号问题
（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；
（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；
（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．
引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式．由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x–3），通过观察，学生较容易找到第一题公因式是（x–3），而第二题公因式是y(x+1),并能顺利地进行因式分解．
培养学生的观察能力，为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备．
3.学以致用，应用新知
考点 公因式是多项式的因式分解
例 分解因式：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝ ．
答案：（x﹣5）（3x﹣5）
变式训练 分解因式8ab（a﹣b）﹣12a（a﹣b）2时，应提取的公因式为（ ）
A．8aB．4ab（a﹣b）2
C．4ab（a﹣b）D．4a（a﹣b）
答案：D
通过例题讲解，巩固理解提公因式法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用提公因式法解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.把5（a﹣b）﹣m（a﹣b）提公因式后，其中一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（ ）
A．5+m B．5﹣m C．m﹣5 D．﹣m﹣5
答案：B
2.分解因式b2（x﹣2）+b（2﹣x）正确的结果是（ ）
A．（x﹣2）（b2+b）
B．b（x﹣2）（b+1）
C．（x﹣2）（b2﹣b）
D．b（x﹣2）（b﹣1）
答案：D
3.分解因式：
（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）；
（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
解：（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）
＝a（x﹣2y）+b（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（a+b）；
（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
＝x（x+y）[x﹣y﹣（x+y）]
＝x（x+y）（x﹣y﹣x﹣y）
＝﹣2xy（x+y）．
4.将x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2进行因式分解，并求当x+y＝1，时此式的值．
解：x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2＝x（x+y）[（x﹣y）﹣（x+y）]＝﹣2xy（x+y）．
当x+y＝1，xy＝﹣时，原式＝﹣2×（﹣）×1＝1．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2.关于公因式为多项式的因式分解的符号问题
（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；
（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；
（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P98习题4.3中的T1—T3。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第2课时 公因式为多项式的因式分解
一、
二、
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
对学生数学能力及数学思想方法的培养在初中数学教材中尽管没有专门章节进行训练，但始终渗透在整个初中数学的教学过程中．由于一些数学问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识，它是初中数学一个重要的数学思想．
运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，没有斧凿的痕迹．
教学中那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略深层知识的真谛．因此数学思想的教学应与整个表层知识的讲授融为一体．
反思，更进一步提升。
课题
第1课时 利用平方差公式因式分解
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P99-101
教学目标
1．知识与技能：
（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；
（2）会用平方差公式进行因式分解；
（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解
2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．
3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。
教学重难点
重点：会用平方差公式进行因式分解.
难点：公式中的a,b为多项式时的因式分解.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：
请你帮帮忙：我校有一块边长为a=6.6m的正方形空地，为美化校园，现要在四角均留出一个边长为b=1.7m的正方形建花坛，其余地方种草，问草坪的面积有多大呢？
师生活动：教师出示问题，学生讨论交流，自主回答，然后教师引出课题。
这就是我们今天要研究的内容——利用平方差公式因式分解.（板书课题：第1课时 利用平方差公式因式分解）
数学来源于实际生活，使学生感受到生活中处处有数学。以实际问题引入，体现运用意识，激发学生学习兴趣.引出利用平方差公式因式分解的课题.
2.实践探究，学习新知
【探究1】探究平方差公式的因式分解
教师提问：
1.我们在学习整式乘法时所学习的平方差公式用字母是如何表示的？
2.填空：
（1）（x+5）（x–5）= ；
（2）（3x+y）（3x–y）= ；
（3）（3m+2n）（3m–2n）= ．
教师追问：
1.它们的结果有什么共同特征？
2.尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流.
教师引导：如果将平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²反过来，你能发现有什么特点？
学生总结：如果将平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²反过来，就得到a²-b²=（a+b）（a-b），特点是将一个多项式转化成了两个因式的乘积的形式。
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。
2.如果将平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²反过来，就得到a²-b²=（a+b）（a-b）.
（1）该公式左边是一个将要被因式分解的多项式.
特点：被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成
( )2－( )2的形式.
（2）该公式右边是因式分解的结果.
特点：分解的结果是两个底数的和乘两个底数的差的形式.
【探究2】例题讲解
例 把下列各式因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2；(2) 2x3－8x.
解：(1) 9(m＋n)2－(m－n)2 ＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝ [3(m＋n)＋(m－n)] [3(m＋n)－(m－n)]
＝ (3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n);
(2)2x3－8x＝2x(x2－4) ＝ 2x(x2－22) ＝2x (x＋2)(x－2).
教师提问：
1.公式a²-b²=（a+b）（a-b）中的a与b可以是多项式吗？
2.根据上面的例题，尝试总结因式分解的步骤.
学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.公式a²-b²=（a+b）（a-b）中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式.
2.分解因式的一般步骤：一提二套，即当多项式的各项含有公因式时，通常先提出公因式，然后能套用公式的再套用公式，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止.
学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．
引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法。
进一步让学生理解平方差公式中的a、b不仅可以表示具体的数，而且可以表示其它代数式（注意使用整体方法进行教学），只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。同时让学生明白分解因式的结果必须彻底。总结分解因式的一般步骤：一提二套，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
3.学以致用，应用新知
考点1 用平方差公式分解因式
例 下列多项式不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．1﹣a2 B．x2﹣25
C．a2b2﹣m2n2 D．﹣a2﹣9b2
答案：D
变式训练 已知a+b＝100，a﹣b＝3，则代数式2a2﹣2b2的值为 ．
答案：600
考点2 用平方差公式分解因式的应用
例 一个三角形的三边长a，b，c满足（a2﹣c2）+b2（a2﹣c2）＝0，则这个三角形的形状是 ．
答案：等腰三角形
变式训练 小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：勤，健，奋，美，励，志，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息应是（ ）
A．勤奋健美 B．健美励志
C．励志勤奋 D．勤奋励志
答案：A
通过例题讲解，巩固理解用平方差公式分解因式的方法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用平方差公式进行因式分解。
4.随堂训练，巩固新知
1.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mn
C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+25
答案：D
2.小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式a2﹣□b2中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（ ）
A．a B．﹣9 C．25 D．a2
答案：B
3.分解因式：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．
解：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2
＝（a﹣2b+3a﹣2b）（a﹣2b﹣3a+2b）
＝（4a﹣4b）•（﹣2a）
＝﹣8a（a﹣b）．
4.【发现】两个相邻奇数中，较大奇数与较小奇数的平方差一定是8的倍数．
【验证】计算52﹣32的值，并求这个值是8的几倍．
【探究】设【发现】中较小的奇数为2n+1，请论证【发现】中的结论正确．
解：【验证】52﹣32＝16＝2×8，
故52﹣32的值是8的2倍．
【探究】设“发现”中较小的奇数为2n+1，则最大的数为2n+3，n为正整数．
∴（2n+3）2﹣（2n+1）2
＝（2n+3+2n+1）（2n+3﹣2n﹣1）
＝8（n+1），
∵，且n为正整数，
∴【发现】中的结论正确.
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.如果将平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²反过来，就得到a²-b²=（a+b）（a-b）.
2.整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。
3.公式a²-b²=（a+b）（a-b）中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式.
4.分解因式的一般步骤：一提二套，即当多项式的各项含有公因式时，通常先提出公因式，然后能套用公式的再套用公式，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P100习题4.4中的T1—T3。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第1课时 利用平方差公式因式分解
一、平方差公式的因式分解
二、分解因式的一般步骤
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
探索分解因式的方法实际上是对正是乘法的再认识，而本节正是对平方差公式的再认识：
1 本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。
2 有意识的培养学生逆向思考问题的习惯，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．
3．保证基本的运算技能的训练，避免复杂的题型训练。
反思，更进一步提升。
课题
第2课时 利用完全平方公式因式分解
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P101-103
教学目标
1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．
2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。
3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。
教学重难点
重点：用完全平方公式法进行因式分解.
难点：灵活地运用公式法或以前学过的提公因式法进行因式分解，正确地判断因式分解的彻底性问题.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：
在我们中学教学区有一块边长为a米的正方形草坪，现在校长想把这块草坪改种花卉,要求边长增加b米,形成四块区域，以种植不同的花卉，如图.为了估算所需购买花卉的总量,你能帮校长计算一下这块种植区的总面积吗? (多媒体出示)
师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
（板书课题：第2课时 利用完全平方公式因式分解）
通过让学生帮校长解决自己学校的一个问题的设计，可激发学生的主人翁意识，提高学生对课堂学习的参与度，培养学生自主探究的意识.
2.实践探究，学习新知
【探究1】能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
教师引入：因式分解是整式乘法的逆过程，逆用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提公因式法、运用平方差公式法，除此之外，还有哪些乘法公式可以用来因式分解呢？
教师提问:根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2”的式子分解因式吗？
学生回答：将完全平方公式倒过来看，得到：
因式分解的完全平方公式a2＋2ab＋b2=(a+b)2、a2－2ab＋b2=(a-b)2.
教师总结：我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
教师提问：判断下列各式是不是完全平方式．
教师追问：根据上面的式子，尝试总结能用完全平方公式分解因式的多项式的特点.
学生归纳：（教师注意引导）
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：a2±2ab＋b2.
1.是三项式（或可以看成三项）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间是这两个数的积的±2倍.
【探究2】利用完全平方公式因式分解
例 把下列完全平方式因式分解：
（1）x2+14x+49； （2） (m+n)2 -6 (m+n)+9.
解：(1)x2＋14x＋49 ＝ x2＋2×7x＋72 ＝ (x＋7) 2 ；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32＝(m＋n－3)2.
教师提问：对照完全平方公式，确定公式中的a，b在此例中分别是什么？
学生归纳：（课件播放）
教师引导:在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．
教师点拨：提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，再考虑用完全平方公式分解因式．
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
利用完全平方公式因式分解的一般步骤:
1.一.提:多项式各项有公因式时，应先提取公因式;首项负
号提前后，括号里各项要注意变号;
2.二套:观察、分析和判断所给出的多项式是不是一个完全平方式，若是，则套用完全平方公式把它进行因式分解;
3.三查:检查是否分解彻底.
总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如的多项式称为完全平方式．
同时加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式做能力铺垫．
引导学生对照完全平方公式，确定公式中的a，b在此例中分别是什么.为了帮助基础薄弱的学生更好地理解、运用公式.
3.学以致用，应用新知
考点1 完全平方式
例 下列多项式是完全平方式的是（ ）
A．a2﹣ab+b2 B．a2﹣2ab﹣b2
C．2a2+2ab+b2 D．a2+4ab+4b2
答案：D
变式训练 如果多项式4a2+（2m+4）a+25是一个完全平方式，那么常数m的值为 ．
答案：8或﹣12
考点2 用完全平方公式分解因式
例 下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
变式训练 已知9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为（ ）
A．12B．±12
C．24D．±24
答案：D
考点3 综合应用提公因式法和公式法分解因式
例 把多项式2x3+4x2y+2xy2分解因式的结果是 ．
答案：2x（x+y）2
变式训练 一个长方形的长与宽分别为a，b，若周长为12，面积为5，则ab3+2a2b2+a3b的值为 ．
答案：180
通过例题讲解，巩固理解用完全平方公式分解因式的方法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用完全平方公式进行因式分解。
4.随堂训练，巩固新知
1.将下列多项式因式分解，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x（x﹣3）+（3﹣x） B．x2﹣1
C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
答案：D
2.若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值是（ ）
A．13B．13或﹣11
C．﹣11D．无法确定
答案：B
3.已知：△ABC的三分别边为a、b、c；且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），则△ABC的形状 ．
答案：等边三角形
4.分解因式：
（1）2xy2﹣12xy+18x；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．
解：（1）2xy2﹣12xy+18x
＝2x（y2﹣6y+9）
＝2x（y﹣3）2；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4）
＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．
5.（1）已知x+y＝4，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值；
（2）已知x＝，化简并计算：（1﹣2x）2（2x+1）2﹣（3+2x）2（3﹣2x）2．
解：（1）∵x+y＝4，xy＝2，
∴原式＝2xy（x+y）2＝64.
（2）原式＝（1﹣4x2）2﹣（9﹣4x2）2
＝﹣8（10﹣8x2）
＝﹣80+64x2.
当x＝1时，原式＝﹣80+144＝64．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
一、能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：a2±2ab＋b2.
1.是三项式（或可以看成三项）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间是这两个数的积的±2倍.
二、利用完全平方公式因式分解的一般步骤:
1.一提:多项式各项有公因式时，应先提取公因式;首项负
号提前后，括号里各项要注意变号;
2.二套:观察、分析和判断所给出的多项式是不是一个完全平方式，若是，则套用完全平方公式把它进行因式分解;
3.三查:检查是否分解彻底.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P103习题4.5中的T1—T4。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第2课时 利用完全平方公式因式分解
一、能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
二、利用完全平方公式因式分解的一般步骤
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和与这两个数的乘积的2倍，具体应用时要特别关注第二项的符号。
把一个多项式进行因式分解的一般方法是：先看有无公因式可提取，然后再尝试用公式法分解因式，直到最终结果再也不能分解因式为止。
运算类型的课往往比较枯燥，学生容易产生浮躁的心理，不利于知识的掌握与运算能力的提高。本节课的设计尽量做了平实无华，将新知教学层层深入，适当的巩固练习，每一个环节让学生感觉不吃力。同时设计过程中注意题型的变化，引导学生暴露学习中的问题，这样易于激发学生的兴趣，使学生的思维不断被拓展，从而达到强化所学知识和提高能力的目的。
反思，更进一步提升。
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