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北师大版八年级下册4 分式方程教案设计
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这是一份北师大版八年级下册4 分式方程教案设计，共72页。教案主要包含了个人备课情况，分式有无意义的条件，分式值为0的条件等内容，欢迎下载使用。
一、个人备课情况
1 认识分式
第1课时 分式的概念
1 认识分式
第2课时 分式的基本性质
2 分式的乘除法
3 分式的加减法
第1课时 同分母分式的加减
3 分式的加减法
第2课时 异分母分式的加减
3 分式的加减法
第3课时 分式的加减混合运算
4 分式方程
第1课时 分式方程的概念
4 分式方程
第2课时 分式方程的解法
4 分式方程
第3课时 分式方程的应用
第五章
本章所需课时数
9课时
课标要求
1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加减乘除运算.
2.能根据具体问题中的数量关系列出分式方程，体会分式方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
3.能解可化为一元一次方程的分式方程.
4.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
教材分析
第1节“认识分式”.通过土地沙化、上海世博会等实例中存在的数量关系引入分式概念，体会分式的模型作用；通过类比分数的基本性质，理解分式的基本性质.
第2 节“分式的乘除法”.通过类比分数乘除法的法则，获得分式乘除法的法则，并会用法则进行分式运算.
第3 节“分式的加减法”.通过类比分数加减法的法则，获得分式加减法的法则，并会用法则进行分式运算.
第4 节“分式方程”.通过列出刻画行程、捐款等实例的方程，分析所列出方程的共同特征，理解分式方程的概念，进而学习怎样解分式方程，并会用分式方程解决简单的实际问题.
主要内容
本章内容主要包括：
（1）因式分解的相关概念，整式乘法与因式分解的关系；
（2）因式分解的两种方法——提公因式法和公式法，利用因式分解解决实际问题等.
教学目标
1.经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程，了解分式、最简分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号意识.
2.经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质、分式乘除法则、分式加减法则的过程，发展合情推理能力与代数式恒等变形能力，积累类比的活动经验.
3.熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，会求分式的值，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根，发展运算能力.
4.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，发展分析问题、解决问题的能力和应用意识.
教学重难点
教学重点：约分和通分；分式的加、减、乘除运算；解可化为一元一次方程的分式方程.
教学难点：分式的加、减、乘除以及混合运算；了解产生增根的原因，并会验根；列分式方程解应用题.
教与学建议
1.要让学生充分经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，发展学生的符号意识.
2.要抓住本章的学习特点——类比，发展学生的合情推理能力.
3.要落实本章的教学重点——分式的四则运算，发展学生的运算能力.
4.要抓住分式方程教学的核心——转化与应用，发展学生的化归意识，体会模型思想.
章节课时分配
1 认识分式 （2课时）
分式的概念
分式的化简
2 分式的乘除法 （1课时）
3 分式的加减法 （3课时）
同分母分式的加减
异分母分式的加减
异分母分式的加减
4 分式方程 （3课时）
分式方程的概念
分式方程的解法
列分式方程解应用题
回顾与思考 （2课时）
课题
第1课时 分式的概念
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P108-110
教学目标
1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别；
2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型；
3、培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流．
教学重难点
重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
难点：能熟练地求出分式有意义的条件.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：（课件播放）
中国是世界上受荒漠化、沙化危害最严重的国家之一，全国荒漠化、沙化土地面积占国土面积约40%.
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林 2 400 hm2，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 hm2，结果提前完成原计划的任务.如果设原计划每月固沙造林 x hm2，那么
（1）原计划完成造林任务需要多少个月？
（2）实际完成造林任务用了多少个月？
师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
学生回答：（1）.（2）.（教师板书）
（板书课题：第1课时 分式的概念）
通过同学们身边的生活实例，进一步丰富代数式的实际背景，让学生感受字母表示数的意义，发展他们的符号感，并在这一过程中初步感受分式的模型作用，初步体会分式的意义.
2.实践探究，学习新知
【探究1】分式的概念
做一做
（1）2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内的统计结果显示，前 a 天日均参观人数 35 万人，后 b 天日均参观人数 45 万人，这（a + b）天日均参观人数为多少万人？
（2）文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册 a 元，现每册降价 x 元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为 b 元.降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？
师生活动：由学生来汇报自己的答案，结果是人；书店这种图书的库存量为本.
教师提问：对于以上四个代数式，，，，通过分析，你发现它们有什么共同特征，它们与整式有什么区别？
师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结.教师注意适时引导.
学生回答：
(1)这四个代数式都有分母，分母中都有字母，并且分母不为零.
（2）这四个代数式都是分式，因为它们都有分母，分母中都有字母，这是它们与整式的区别.
教师提问：请你再举出2个和它们类似的例子，并尝试总结分式的概念.
学生回答：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成 的形式，如果B中含有字母，式子 就叫做分式.其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零.（教师板书）
教师追问：请同学们思考判断一个代数式如果是分式应具备哪些条件？
学生归纳：两个条件：分母中有字母，分母不为零.
教师追问：为什么中B不能为零？
学生回答：因为B等于零时分母为零，分式无意义.
师生活动：教师强调分式的定义和判断一个代数式是否是分式的条件，学生练习，展示汇报答案.
判断下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
分式的概念：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成 的形式，如果B中含有字母，式子 就叫做分式.其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零.
【教材例题】例 （1）当 a=1，2时，分别求分式的值；
解：（1）当a=1时，
当 a=2时，
（2）当a取何值时，分式有意义？
解：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义．
由分母2a=0，得a=0，
所以，当a取零以外的任何数时，分式都有意义．
【探究2】分式有无意义和分式值为零的条件
教师提问：我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？请同学们思考，使分式有意义或无意义的条件？
学生归纳：分式有意义的条件是分母B不为零；使分式无意义的条件是分母B为零.
教师提问：当取何值时，下列分式的值为零.
（1）（2）
师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主解答.教师注意适时引导.
教师追问：使分式值为零的条件？
学生归纳：使分式值为零，分子A为零，分母B不等于零.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.分式的概念：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成 的形式，如果B中含有字母，式子 就叫做分式.其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零.
2.分式有意义的条件：分母不等于零.
3.分式无意义的条件：分母等于零.
4.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
以生活中的实际问题引入，在学生已有的认识基础上，先让学生解决一些具体的数的运算问题，逐步让学生体会和接触分式的概念。
通过例题讲解，让学生从两方面来理解，一是分式分式中的字母可以表示使分式有意义的任何数；二是分式可与分数类比，分式的分母也不能为零。让学生体会分式的意义，理解如果a的取值使得分母的值为零，则分式没有意义，反之有意义．
通过分式有无意义和值为零的条件探究活动，让学生亲历发现事物特征、规律的过程，激发学生的学习兴趣，增强自信心，引发主动学习的内在动机。
3.学以致用，应用新知
考点1 分式的定义
例 代数式，，，，中，属于分式的有（ ）
A．1个 B．2个C．3个D．4个
答案：B
变式训练 在式子①；②；③；④；⑤；⑥中，分式有 个．
答案：4
考点2 分式有（无）意义的条件及分式的值
例 分式有意义，则x应满足的条件是 ．
答案：x≠2
变式训练 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．±2 B．0 C．﹣2 D．2
答案：D
考点3 根据实际问题列分式
例 一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需t小时，如果该车的速度每小时增加v千米，那么从A城到B城需要（ ）小时．
A． B．C．D．
答案：B
变式训练 一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为m千米/时，下山速度为b千米/时．则货车上、下山的平均速度为（ ）千米/时．
A．B．C．D．
答案：C
通过例题讲解，巩固理解所学知识，训练学生的分析和建立数学模型的能力，体会数学与生活的联系。
通过变式训练巩固分式的相关知识，灵活运用所学知识解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.下列各式：中，分式有（ ）
答案：D
2.当x＝3时，分式没有意义，则b的值为（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
答案：D
3.若分式的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x B．0
C．x＞0 D．x且x≠0
答案：A
4.【新趋势 开放性问题】已知分式满足条件“只含有字母x，且当x＝0时分式的值为0”，请写出一个这样的分式 ．
答案：
5.用漫灌方式给绿地浇水，a天用水10吨，改用喷灌方式后，10吨水可以比原来多用5天，那么喷灌比漫灌平均每天节约用水 吨．
答案：
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
分式定义；分式有意义、无意义时的条件；
分式有意义、无意义时的条件；
分式的值为零的条件.
1.分式的概念：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成 的形式，如果B中含有字母，式子 就叫做分式.其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零.
2.分式有意义的条件：分母不等于零.
3.分式无意义的条件：分母等于零.
4.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零
.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P109习题5.1中的T1—T5。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第1课时 分式的概念
一、分式的概念
二、分式有无意义的条件
三、分式值为0的条件
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
1、概念的创新教学
在学习分式概念时，避免传统教学中对于概念直接给出，叫学生死记硬背，忽略了学生学的过程，也不考虑学生是否真正理解，本课时是让学生通过观察、归纳、总结整式与分式的异同，从而得出分式概念．
2、注重能力培养
新课标注重学生探索，创新、合作能力的培养，本课时观察分式与整式的异同时，就是采取学生自主探索，合作交流的形式．
3、课堂反馈效果良好
对学生学习效果的反馈采用有我校特色的“举反馈牌”的方法，能较全面的了解学生的学习情况，对不足之及时补充，有良好效果．
4、需要加强的方面
在学习中，要注意观察学生的情感变化，是否遇到困难，积极性、热情是否发挥出来，投入的程度有多少，是否每个学生都参与其中等等，作为教师应时刻关注这些，以便适时的引导他们，调动他们，鼓励他们．
反思，更进一步提升。
课题
第2课时 分式的基本性质
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P110-113
教学目标
1.理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分；
2.通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察，类比，推理的能力；
3.让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力．
教学重难点
重点：理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分.
难点：准确灵活地运用分式的基本性质化简分式.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
教师提问：我们来看如何做不同分母的分数的加法：+.
学生解答：+=+=+=.
教师追问：这里将异分母化为同分母，==,
==.这是根据什么呢？
学生回答：根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.
教师引导：分式是一般化了的分数，我们是否可以推想分式也有分数的这一类似的性质呢？
这就是我们今天所要研究的内容——分式的基本性质.
（板书课题：第2课时 分式的基本性质）
通过分数的约分复习分数的基本性质，通过类比来学习分式的基本性质．
2.实践探究，学习新知
【探究1】分式的基本性质
教师提问：你认为分式与相等吗？与呢？与同伴交流.
学生回答：分式与相等，在分式中，a≠0，所以==;
分式与也是相等的.在分式中，n≠0，所以==.
教师提问：由此，类比对照分数的基本性质，你能推想出分式的基本性质吗？
学生归纳：分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
教师追问：在运用此性质时，应特别注意什么？
学生归纳：应特别强调分式的分子、分母都乘（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”.
教师总结：我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形.同样我们利用分式的基本性质也可以对分式进行等值变形.
【教材例题】下列等式的右边是怎样从左边得到的？（多媒体出示）
（1）=（y≠0）；（2）=.
学生回答：（1）因为y≠0，利用分式的基本性质，在的分子、分母中同乘y，即可得到右边，即==；
教师提问：在（1）中，题目中已说明y≠0，因此我们可用分式的基本性质直接求得.可（2）中右边又是如何从左边得到的呢？
学生回答：在（2）中，可以分子、分母同除以x得到，即==.
教师追问：“x”如果等于“0”呢？还是“x”确定不会等于“0”呢？
师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主解答.教师注意适时引导.
学生归纳：在中，x不会为“0”，如果是“0”，中分母就为“0”，分式将无意义，所以（2）中虽然没有直接告诉我们x≠0，但要由得到，必须有意义，即bx≠0由此可得b≠0且x≠0.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
【探究2】分式的约分
教师提问：利用分数的基本性质可以对分数进行化简.利用分式的基本性质也可以对分式化简.
例 （多媒体出示）化简下列各式：
（1）;（2）.
教师引导：在分数化简中，我们约去了分子、分母的公约数，那么在分式化简中，我们应怎么做？
学生回答：约去分子、分母中的公因式.（1）中a2bc可分解为ac·（ab）.分母中也含有因式ab,因此利用分式的基本性质：
解：（1）===ac.
教师追问：我们可以注意到（1）中的分式，分子、分母都是单项式，把公有的因式分离出来，然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可.这样的公因式如何分离出来呢？同学们可小组讨论.
学生总结：如果分子、分母是单项式，公因式应取系数的最大公约数，相同的字母取它们中最低次幂.
教师提问：（2）中的分式，分子、分母都是多项式，又如何化简呢？
学生回答：分子、分母是多项式的分式，通过对分子、分母因式分解，找到它们的公因式.
解：（2）==.
教师总结：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称为分式的约分.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称为分式的约分.
【探究3】最简分式
做一做（多媒体出示）化简下列分式：
（1）;（2）.
教师提问：议一议：在化简时，小颖是这样做的：=.你对上述做法有何看法？与同伴交流.
学生总结：我认为小颖的做法中，中还有公因式5x，没有化简完，也就是说没有化成最简结果.
解：（1）==;
（2）=.
教师强调：如果化简成，说明化简的结果中已没有公因式，这种分式称为最简分式.因此，我们通常使结果成为最简分式或者整式.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
最简分式：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式.在化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式.
让学生通过观察，类比，推理出分式的基本性质，并让学生明白类比的理由是字母可以表示任何数．加强学生抽象概括能力的培养，使学生进一步概括出分式的基本性质.
加深学生对分式的基本性质的理解和应用，让学生了解把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．引导学生找出他们的公因式，并学会利用分式的基本性质进行约分，使结果为最简分式或整式．
通过做一做，和议一议，检查学生对分式的约分的掌握情况，对于错误及时指出并纠正．引出最简分式的概念.
3.学以致用，应用新知
考点1 分式的基本性质
例 下列代数式变形正确的是（ ）
A． B．＝
C． D．
答案：B
变式训练 如果将分式中的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍
C．缩小为原来的 D．不改变
答案：D
考点2 约分及最简分式
例 下列约分：①＝； ②＝；③＝；④＝1；⑤＝a﹣1；⑥＝﹣．其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个C．5个 D．6个
答案：A
变式训练 下列分式是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
考点3 分式的化简求值
例 化简得 ；当m＝﹣1时，原式的值为 ．
答案： 1
变式训练 若m为整数，则能使也为整数的m有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
通过例题讲解，巩固理解分式的基本性质及约分，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用分式的基本性质解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.若x、y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
2.小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（ ）
A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1
C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1
答案：A
3.把分式约分得到的结果是__________．
答案：
4.先化简，再求值：
（1），其中a＝1；
（2），其中b＝2a．
解：（1）
＝
＝，
当a＝1时，上式＝＝﹣6，即＝﹣6.
（2），
＝
＝﹣．
当b＝2a时，上式＝﹣＝1，即＝1．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
2.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称为分式的约分.
3.最简分式：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式.在化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P113习题5.2中的T1—T4。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第2课时 分式的化简
一、分式的基本性质
二、分式的约分
三、最简分式
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
1．在分式的约分教学中，要及时发现学生的错误，并当作错误例题进行全班范围的分析，找出原因，让其他学生也认识到这种错误，不能只是改正答案．
2．在让学生小组讨论之前应给学生一定的时间独立思考，不要让一些思维活跃的同学的回答代替了其他学生的思考，从而掩盖了其他学生的疑问和错误．教师应对学生的讨论给予引导，对学习困难的学生给予及时的帮助，是小组合作学习更具实效性．
3．找公因式是约分的关键，应设计一些找公因式的练习，作为铺垫，这样学生可能对约分掌握得更好．
反思，更进一步提升。
课题
2 分式的乘除法
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P114-116
教学目标
1.类比分数的乘除运算法则，探索分式的乘除运算法则。
2.理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算
3.能解决一些与分式有关的简单的实际问题。
4.通过师生讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力。
教学重难点
重点：分式乘除法的法则及应用.
难点：分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：
问题1:一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b，当容器内的水占容积的时，水高多少?
学生回答:长方体容器的高为，,水高为.
问题2:大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
学生回答:大拖拉机的工作效率是公顷/天,小拖拉机的工作效率是公顷/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.
和，一个是分式的乘法运算，一个是分式的除法运算，那么分式的惩处应该怎样运算呢？（板书课题：2 分式的乘除法）
数学来源于实际生活，使学生感受到生活中处处有数学。通过结合日常生活中的具体情境，提高学生兴趣，激发学生学习激情。同时引出分式的乘除法，使进入新知识的学习顺理成章。
2.实践探究，学习新知
【探究1】分式的乘除法
教师提问:上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？
探索、交流——观察下列算式：
×=,×=,
÷=×=,÷=×=。
猜一猜×=?÷=?与同伴交流。
学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结题目答案.
学生总结：观察上面运算，可知：
两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘。
即×=；
÷=×=。
这里字母a,b,c,d都是整数，但a,c,d不为零。
教师引导：如果让字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法。尝试总结分式的乘除法的法则，与同伴交流.
教师活动：根据学生交流后的回答总结分式的乘除法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。（教师板书）
教师提问：与有什么关系？
师生活动：一般地，当n是正整数时，=…=.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.分式的乘除法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
2.分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方.
【探究2】例题讲解
例1 计算：（1）·；（2）·.
教师点拨：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式。
解：（1）·=
==；
（2）·
==.
例2 计算：（1）3xy2÷；（2）÷
教师点拨：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路。
解：（1）3xy2÷=3xy2·==x2；
（2）÷
=×
=
=
=.
【探究3】分式的乘除法的实际应用
做一做：通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多。因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V=πR3（其中R为球的半径），那么
（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？
（3）你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？与同伴交流。
解：我们不妨设西瓜的半径为R,根据题意，可得：
（1）整个西瓜的体积为V1=πR3；
西瓜瓤的体积为V2=π（R－d）3。
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比为：
==
=（）3=（1－）3。
（3）我认为买大西瓜合算。
由=（1－）3可知，R越大，即西瓜越大，的值越小，（1－）的值越大，（1－）3也越大，则的值也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大，因此，买大西瓜更合算。
师生活动：尝试总结乘法运算的步骤.
当分式的分子与分母都是单项式时：
(1)乘法运算步骤是：
①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；
②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；
③约分.
(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。
当分式的分子、分母中有多项式，
①先分解因式；
②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.
③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面.
最后的计算结果必须是最简分式.
让学生观察运算，通过小组讨论交流，并与分数的乘除法的法则类比，让学生自己总结出分式的乘除法的法则。
通过例题讲解，使学生会根据法则，理解每一步的算理，从而进行简单的分式的乘除法运算，并能解决一些与分式有关的简单的实际问题，增强学生代数推理的能力与应用意识。需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式，对于这一点，很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到结果要化简
利用生活中的实例，进一步丰富分式的乘除法的背景，增强学生的应用意识，使学生能解决一些与分式有关的简单的实际问题。
3.学以致用，应用新知
考点1 分式的乘法
例 计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
变式训练 计算： ．
答案：
考点2 分式的除法
例 的计算结果为 .
答案：
变式训练
化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
考点3 分式的乘方
例 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
变式训练 计算的结果是 .
答案：
考点4 分式乘除法的混合运算
例 计算：÷·= .
答案：
变式训练 下列各分式运算结果正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
答案：C
通过例题讲解，巩固理解分式的乘除法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用分式的乘除法解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.分式的化简结果为（ ）
A． B．
C． D．2
答案：C
2.计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
3.计算_________．
答案：
4.计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.分式的乘除法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
2.分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方.
3.乘法运算的步骤
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P116习题5.3中的T1—T4。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
2 分式的乘除法
一、分式的乘除法法则
二、分式的乘除法的应用
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
1、学生对于法则的运用不难，但是较差班级的学生在运用法则计算时遇到单项式乘单项式，单项式乘多项式或多项式乘多项式即整式的乘法运算时，情况较差，另外在结果的化简上存在问题，化简意识不够，应该在复习分数的乘除法时复习分数的约分，通过对分数的约分类比分式的约分，加强化简意识和能力。还有因式分解的基础知识不扎实，这些直接影响这节课的学习，这充分体现了数学知识是相关相联的，所以课前有必要巩固整式的乘法运算和因式分解这两方面的知识，进行有针对的练习。
2、类比的学习方法是学习新知识的好方法。
反思，更进一步提升。
课题
第1课时 同分母分式的加减
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P117-119
教学目标
1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。
2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。
3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。
教学重难点
重点：会进行同分母分式加减法及简单的异分母分式的加减法的运算.
难点：正确运用运算法则，灵活运用解题技巧进行分式的加减运算.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
教师提问：在小学阶段，我们学习过同分母分数的加减法，你们还记得其算法是什么吗？
这些计算题，请同学们快速的出答案？（出示幻灯片）
教师提问：同分母分数相加减要如何计算，其法则是什么？
学生回答：同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减。
教师活动：类比同分母分数加减法，猜一猜，同分母的分式应该如何加减？这就是我们今天所要研究的内容——同分母分式的加减.
（板书课题：第1课时 同分母分式的加减）
通过几道同分母分数加减题，让学生回顾同分母分数法则.
2.实践探究，学习新知
【探究1】分母相同的分式的加减法
类比同分母分数加减法，计算下列式子.
教师提问：类比同分母分数加减法，同分母的分式应该如何加减？
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
用式子表示为：.
【教材例题】
例 计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
学生解答：
教师点拨：
（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
（2）分子相减时，一定要把减式的分子加上括号，否则易出现符号错误.
（3）最后的结果必须是最简分式或整式．
【探究2】分母互为相反数的分式的加减法
例 计算：
（1）； （2）.
教师提问：（引导式提问）
（1）这两个分式的分母相同吗？有什么关系？
（2）用什么方法可以将它们化成同分母？
（3）分子的符号、分母的符号、分式的符号之间有何关系？
教师追问：根据上题，请尝试给出分母互为相反数的分式进行加减运算的方法.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
方法总结：分式的分母是互为相反数时，可以把其中一个分母提出负号，把分母转化为同分母．再根据同分母分式相加减的法则进行运算．
过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性，从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容。
教学生如何运用法则进行运算，通过这4道例题，让学生学会加减法运算并注意运算时可能出现的问题。
这是一组分母互为相反式的分式加减的题目，实则是简单的异分母分式的加减法，解答时只要将后一分母前的运算符号变为相反，即可按同分母分式的加减法法则进行运算。旨在初现异分母分式加减的运算，实则化成同分母的分式，这要求学生能够熟练掌握，为下节课一般的异分母加减做好准备。
3.学以致用，应用新知
考点1 分母相同的分式的加减法
例 计算 的结果是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
变式训练 计算的结果为（ ）
A．1B．3C．D．
答案：D
考点2 分母互为相反数的分式的加减法
例 计算的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．D．
答案：D
变式训练 化简的结果是（ ）
A．1B．aC．a﹣1D．
答案：C
通过例题讲解，巩固理解同分母分式的加减法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用同分母分式的加减法解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.计算的结果为（ ）
A．m﹣1B．m+1C．D．
答案：D
2.若，则□中的数是（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．任意实数
答案：B
3.计算：＝ ．
答案：﹣1
4.计算：
（1）；
（2）.
解：（1）原式
.
（2）原式=﹣
＝
＝
＝﹣1．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
（2）分子相减时，一定要把减式的分子加上括号，否则易出现符号错误.
（3）用转化的思想将分母互为相反数的分式加减运算转化成同分母分式的加减运算.
（4）最后的结果必须是最简分式或整式．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P118习题5.4中的T1—T4。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第1课时 同分母分式的加减
一、分母相同的分式加减法法则
二、分母互为相反数的分式的加减法
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
1、不能脱离教材： 教材为我们提供了最基本有效的教学素材，我们应该充分挖掘这些素材，把他们转化成本节课的实质内容，并能湿透教学目标，让学生通过对这些素材的把握，做到举一反三，灵活运用。
2、因势利导，由浅入深：鼓励学生通过与分数类比，抛出分式加减运算法则后，应该先讲用再让用，顺水推舟给出例2，演练结合，讲纠互补，注意对关键点的引导。
3、课后多虑：作为运算，那还是应该多练，扎实基本功，毕竟课堂时间有限。
反思，更进一步提升。
课题
第2课时 异分母分式的加减
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P119-122
教学目标
会找最简公分母，能进行分式的通分；
理解并掌握异分母分式加减法的法则；
经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。
培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识。
教学重难点
重点：异分母分式的加减法法则及其运用.
难点：正确确定最简公分母和运用运算法则.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
活动内容：
问题1:同分母分式是怎样进行加减运算的?
问题2:异分母分数又是如何进行加减运算的?
问题3:那么等于多少?你是怎么做的?
学生回答:
1.同分母的分式相加减，分母不变,把分子相加减。
2.异分母的分数相加减可以把它们先转化为同分母的分数再相加减。
3.计算，可以把它们转化为同分母分式的加法进行计算。
师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
教师提问：想一想：简便运算的依据是什么？
学生回答：乘法分配律逆用.
（板书课题：第2课时 异分母分式的加减）
通过回忆同分母分式的加减法法则、异分母分数的加减法运算，来引出本节课的内容，同时又对问题3点明了类比的思想方法，使进入新知识的学习顺理成章。
2.实践探究，学习新知
【探究1】分式的通分
议一议：
小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母的分式的加减问题就变成了同分母的分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同：
小明：.
小亮：.
教师提问：
这两种方法有什么相同之处？不同之处呢？
你对这两种做法有何评论？与同伴交流。
学生总结：
相同之处：都利用分式的基本性质将异分母分式加减法变成同分母分式加减法.
不同之处：所变分母不一样，小亮的做法更简单.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.分式的通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.
2.最简公分母：异分母分式通分时，为了方便计算，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母.
3.确定最简公分母的一般方法：
（1）确定系数：把各分式分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
（2）确定相同因式：把相同字母（或因式分解后得到的相同因式）的最高次幂作为最简公分母的一个因式；
（3）把只在一个分式的分母中出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式.
【探究2】例题讲解
教师提问：将下列各组分式通分：
.
学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主解题.教师注意适时引导.
教师提问：尝试总结通分的一般步骤，与同伴交流.
师生归纳：
（1）将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应因式分解；
（2）确定最简公分母；
（3）用最简公分母分别除以各分式的分母求商；
（4）用所得的商分别乘各分式的分子、分母，使分母变为最简公分母.
【探究2】异分母分式的加减法
问题1:怎样才能进行异分母分式的加减运算?根据以上学习，并结合异分母的分数加减法法则，尝试总结异分母分式的加减法法则.
与异分母的分数加减法法则类似，异分母的分式加减法法则是：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
用式子表示为：.
教师提问：计算:
【探究3】分式加减法的实际应用
小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km，其中小丽走的是平路，骑车速度2v km/h．小刚需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h．那么
（1）小刚从家到学校需要多长时间？
（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
通过具体材料来引导学生分析小明与小亮做法的异同之处，激发学生兴趣，引出最简公分母和通分的概念，为后面异分母分式的加减做铺垫.
通过例题探究，激发学生自主探究的兴趣；引导学生探究的方法；渗透转化、整体、分类讨论的数学思想。
类比分数，猜想异分母的分式加减法的法则.在教学中，要鼓励学生类比分数的运算法则，尝试用自己的理解表述.在交流的基础上形成法则，并要求学生用式子表示，同时让学生想一想式子中的字母a，b，c，d 可以表示什么.
通过这个实例，提高学生运用分式表达数量之间的关系，并运用分式的加减运算解决实际问题的能力，和增强学生用数学解决问题的意识。
3.学以致用，应用新知
考点1 分式的通分
例 要把分式与通分，分式的最简公分母是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
变式训练 对分式通分后，的结果是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
考点2 异分母分式的加减法
例 计算： ．
答案：1
变式训练 计算：______．
答案：
考点3 分式加减法的实际应用
例 中国首列商用磁浮列车平均速度为a km/h，计划提速20 km/h，已知从A地到B地路程为360 km，那么提速后从A地到B地节约的时间为（ ）
A．h B．h
C．h D．h
答案：C
变式训练 某农场原计划用m天完成n公顷的播种任务，如果要提前a天结束，那么平均每天比原计划要多播种
公顷．
答案：
通过例题讲解，巩固理解分式的通分及异分母分式的加减法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用异分母分式的加减法解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
2.把，，通分过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2
B．＝
C．＝
D．＝
答案：D
3.计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式＝＝．
（2）原式＝
＝
＝
＝
4.福州市的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一块边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基他是边长为（a﹣1）m的正方形，两块实取种植基地的茉莉花都收获了500 kg．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？
解：根据题意，
“飘香1号”茉莉花单位面积产量为（kg/m2），
“飘香2号”茉莉花单位面积产量为（kg/m2），
∵﹣＝＝＜0，
∴“飘香2号”茉莉花单位面积产量更高．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.分式的通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.
2.最简公分母：异分母分式通分时，为了方便计算，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母.
3.确定最简公分母的一般方法.
4.通分的一般步骤.
5.异分母的分式加减法法则是：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P121习题5.5中的T1—T5。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第2课时 异分母分式的加减
一、分式的通分
二、异分母分式的加减法法则
投影区
确定最简公分母
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
1、例题和习题采取梯度设置，有助于学生循序渐进的获得知识，对知识的掌握更容易且更牢靠，教学效果很好。
2、讨论让学生更明确其理所在，容易接受；演练让老师能更好的发现学生在接受新知识时所遇到的困难和容易犯的错误，有助于及时纠正，应该多采取这种方式。
3、实际问题解决在于对数学模型的理解，对字母表示数的理解，可以在平时教学中不时渗透，使学生用数学的意识增强，数学思想得到提升。
反思，更进一步提升。
课题
第3课时 分式的加减混合运算
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P122-124
教学目标
1、会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算；
2、提高学生对代数式化简变形的能力；
3、能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值；
4、会运用分式建立数学模型，从而解决实际问题，增强学生用数学的意识。
教学重难点
重点：异分母分式的加减乘除混合运算及运算顺序.
难点：灵活运用法则，选择合适的运算法则进行分式的混合运算.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
教师提问：同分母分式是怎样进行加减运算的？
学生回答：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
教师提问：异分母分式是怎样进行加减运算的？
学生回答：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
练一练：
；；.
师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
今天我们所要研究的内容是——分式的加减混合运算（板书课题：第3课时 分式的加减混合运算）
通过回忆同分母分式、异分母分式的加减法运算法则，来加深学生对所学知识的认识，也为这节课铺下理论基础。同时又通过练一练的三道题，检查学生对法则的运用情况，加强对法则的理解应用，为本节课的学习扫平障碍。
2.实践探究，学习新知
【探究1】分式的加减运算
例 .
教师点拨：第（2）题是一个分式与整式加减运算题.回顾分数与整数的加减运算.我们类比分数与整数的加减运算，思考分式与整式的加减运算.
学生归纳：整式可以看成分母为1的分式，然后通分计算即可.
教师强调：要注意的是第（2）题-x + 1前面的“-”号，通分添括号时，要注意符号的变化.这是本题的难点与易错点.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
分式的加减法的思路：
【探究2】分式的化简求值
已知，求的值.
教师提问：你还有其他解法吗？与同伴交流.
教师总结：本题有两种变形途径解决问题：
1、变已知，即书中提到的由得，消元法的思想去解决；
2、变所求，即将要求的式子朝已知的形式去变形。
【探究3】分式加减法的实际应用
教师提问：做一做：根据规划设计，某工程队准备修建一条长1 120 m的盲道．由于采用新
的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10 m，从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道x m，那么
（1）原计划修建这条盲道需要多少天？实际修建这条盲道用了多少天？
（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？
师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主解答.教师注意适时引导.
这三道题从难度上较上节课有一点攀升，涵盖了分母是多项式要先分解再通分、分式与整式的且有整体思想的混合运算、多项但分母间分解后就有公分母的运算，所以作为例题来讲解，也是本节课所要达到的能力目标之一，是教科书的基本素材，同时又能巩固异分母分式加减运算的能力。
从一个新的角度来提升分式加减法的运用——求值，也是我们分式变形最终的一个落脚点——分式求值，而此类题型在初一学生就训练了很多，一般都是直接给出x、y的值，这个例题又以新的角度考查，要求学生对代数式的变形能力明显提高。
从生活实际出发要求学生会用所学习的知识，通过实例,提高学生的运算能力和“数学化”的能力，去建立数学模型并解决实际问题。旨在考查学生的综合应用能力。
3.学以致用，应用新知
考点1 整式与分式的加减运算
例 计算的结果是（ ）
A． B． C．a+1 D．a2
答案：A
变式训练 若，则“（ ）”中的式子是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
考点2 分式的混合运算
例 分式化简结果是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
变式训练 计算．
解：
考点3 分式的化简求值
例 当x＝3时，分式（﹣x﹣1）÷的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
变式训练 先化简，再求值：，其中．
解：
；
当时，原式．
通过例题讲解，巩固理解分式的加减运算，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用分式的加减运算定理解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.化简的结果是（ ）
A．1 B．C．D．
答案：B
2.化简的结果为（ ）
A．a﹣1 B．a+1C．D．
答案：B
3.若化简的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（ ）
A．2x B．x﹣2 C．x+4 D．4
答案：A
4.（1）先化简：，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为的值代入求值．
（2）先化简：，其中，且是整数，再求值．
解：（1）
，
当a=2，3，-3时，原分式无意义，
故当a=1时，原式=；
（2）
，
当x=0，1，-1时，原分式无意义，
∵-1≤x≤2，x是整数，
∴x=2，故当x=2时，原式=．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.分式的加减法的思路：
2.分式的化简求值：首先利用分式的运算法则对分式进行化简，然后再把已知条件代入化简后的分式或整式求值即可．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P124习题5.6中的T1—T5。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第3课时 分式的加减混合运算
一、.分式的加减混合运算
二、分式的化简求值
三、.分式的加减法的应用
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
1、讨论让学生更明确其理所在，容易接受；演练让老师能更好的发现学生在接受新知识时所遇到的困难和容易犯的错误，有助于及时纠正，应该多采取这种方式。
2、实际问题解决在于对数学模型的理解，对字母表示数的理解，可以在平时教学中不时渗透，使学生用数学的意识增强，数学思想得到提升。
反思，更进一步提升。
课题
第1课时 分式方程的概念
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P125-126
教学目标
1．理解分式方程的概念；
2.能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义。
3．在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力。
教学重难点
重点：分式方程的概念.
难点：根据实际问题列分式方程.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：（课件播放）
在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题。面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务。原计划每月固沙造林多少公顷？
教师提问：（引导式提问）
1.这一问题中有哪些已知量和未知量？
学生回答：已知量：造林总面积2400公顷实际每月造林面积比原计划多30公顷提前4个月完成原任务
未知量：原计划每月固沙造林多少公顷
2.这一问题中有哪些等量关系？
（1）实际每月固沙造林的面积=计划每月固沙造林的面积+30公顷
（2）原计划完成的时间-完成实际的时间=4个月.
我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要＿＿＿个月，实际完成一期工程用了＿＿＿＿个月，根据题意，可得方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
（板书课题：第1课时 分式方程的概念）
为了让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型在解决实际生活问题中作用，利用第一节《认识分式》中一个熟悉的问题，引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
2.实践探究，学习新知
【探究1】列分式方程
甲、乙两地相距1400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8 倍．
教师提问：
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？
师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主解答.教师注意适时引导（可引导学生利用列表格可以帮助我们理清等量关系，列出方程）.
学生归纳：
（1）等量关系：
①乘高铁列车用的时间=乘特快列车所用时间－9 h；
②高铁列车的平均速度=特快列车的平均速度×2.8；
③，
.
（2）.
（3）.
教师点拨：本问题的分析也可以用列表方式表述，如对于问题（2）可以分析如下：
问题（3）可以分析如下：
【探究2】分式方程的概念
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800 元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多 20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？
教师提问：你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
学生归纳：主要的等量关系有：
八年级捐款人数= 七年级捐款人数+ 20人，
七年级捐款总额= 七年级捐款人数×七年级人均捐款额，
八年级捐款总额= 八年级捐款人数×八年级人均捐款额，
七年级人均捐款额= 八年级人均捐款额.
所列方程为：.
教师追问：上面所得到的方程有什么共同特点？这样的方程是什么方程？
、、
学生活动：学生认真观察、独立思考，并用自己的语言描述，然后再组织讨论、交流.
教师引导：注意比较所列方程与整式方程的区别.
学生归纳：这些方程的共同特点是：方程里都含有分式，且分母中含有未知数.而整式方程中的分母不含有未知数。
教师点拨：教师可以作如下解释：分式方程要满足两个条件，一是方程中的代数式都是分式或整式，二是分母中含有未知数.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的特征：（1）是方程；（2）含有分母；（3）分母中含有未知数.
3.分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数.
再次让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用，设置了这么一个例题，关键是引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
.
再次让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用。
通过让学生通过观察、归纳、总结出整式方程与分式方程的异同，从而得出分式方程的概念
3.学以致用，应用新知
考点1 分式方程的定义
例 下列方程不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
变式训练 已知方程：① ；② ；③ ；④ ．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
考点2 根据实际问题列分式方程
例 “五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
变式训练 某中学为准备“十四岁青春仪式”，原计划由八（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务，如果这4个小组的人数相等，设每个小组有学生x名，根据题意可列方程得（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
通过例题讲解，巩固理解分式方程的定义，并且训练学生的分析和建立分式方程模型的能力，体会数学与生活的联系。
通过变式训练巩固所学知识，灵活建立分式方程模型。
4.随堂训练，巩固新知
1.山西省图书馆创始于清宣统元年（1909年），是国内为数不多的百年老馆之一．小聪和小宇作为省图书馆的志愿者，负责整理读者阅览后的图书．已知小聪平均每小时整理图书的数量是小宇平均每小时整理图书的数量的1.3倍，小聪整理156本图书所用的时间比小宇整理100本图书所用的时间多15分钟．问小宇平均每小时整理多少本图书？设小宇平均每小时整理x本图书，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
2.关于x的方程：①＝6；②；③；④；⑤＝4；⑥﹣x．分式方程有 （填序号）．
答案：②④⑤
3.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某公司计划制作48盒粽子送给福利院，为了尽快让福利院拿到粽子，在实际加工过程中加快了制作速度，平均每天多制作了6盒，因此提前4天完成任务，设原计划x天完成，那么根据题意可以列出的方程为： ．
答案：＝6
4.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数比原计划多50%，结果提前4天完成任务，设原计划每天植树x棵，根据题意列出方程 ．
答案：
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的特征：（1）是方程；（2）含有分母；（3）分母中含有未知数.
3.分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P126习题5.7中的T1—T3。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第1课时 分式方程的概念
一、分式方程的概念
投影区
分式方程的特征
与整式方程的区别
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
本节课循序渐进，合理设计教学问题系列，有效组织教学活动，既发挥教师的主导作用，又体现学生的主体地位，较好地完成了教学目标．在本节课堂教学中，学生之所以能够很快列出分式方程，是因为学生在掌握了列分式和分式计算式的基础上，结合过去学过的列一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）、一次函数解应用题方法等，所以才能很快列出分式方程．在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围．
反思，更进一步提升。
课题
第2课时 分式方程的解法
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P126-128
教学目标
1.学生掌握解分式方程的基本方法和步骤；
2.经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.
3.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度；运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信.
教学重难点
重点：熟练掌握解分式方程的一般步骤，明确解分式方程的必要性.
难点：明确分式方程验根的必要性，探讨分式方程的增根问题.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
教师出示数学问题：
1.解一元一次方程的一般步骤是什么？
学生归纳：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；
（4）合并同类项；（5）系数化为1.
2.什么是分式方程？
学生归纳：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
3.上节课我们列出的分式方程，你能设法求解吗？分式方程应怎样求解呢？
这就是我们今天所要研究的内容——分式方程的解法.
（板书课题：第2课时 分式方程的解法）
学生通过回忆解一元一次方程的一般步骤和分式方程的概念，引出新课题——分式方程的解法.同时也为本节课的学习提供迁移和类比方法.
2.实践探究，学习新知
【探究1】解分式方程的基本思路
尝试解方程.
教师引导：方程中含有分母怎么办？
学生回答：去分母乘，最简公分母.
学生活动：学生先独立思考，然后小组讨论、交流，试解此分式方程.
学生解答：学生可能会用多种方法解这个分式方程.
解法1：
解法2：
解法3：1 400–500 = 9x，9x = 900，x=100.
解法4：1 400×2.8-1 400= 2.8x×9，2.8×9x = 1.8×1 400，x=100.
教师提问:通过上题，你能总结解分式方程的基本思路是什么吗？
学生总结：利用分式的基本性质、等式的基本性质将分式方程转化为一元一次方程，再求解.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
解分式方程的基本思路：利用分式的基本性质、等式的基本性质将分式方程转化为一元一次方程，再求解.
【教材例题】
例 解方程：.
学生活动：学生先独立思考，然后小组讨论、交流，试解此分式方程.
教师点拨：两个分式的最简公分母是什么？
学生回答：x（x-2）.
教师强调：解分式方程必须检验.，注意解题步骤和格式的规范.
【探究2】解分式方程及分式方程的增根
议一议：解方程1−xx−2=12−x−2.
教师提问:去分母时方程的两边同乘什么?
小亮的解法如下：
方程两边都乘x-2,得：1-x=-1-2(x-2).
解这个方程，得：x=2
教师提问：
1.你认为x=2是原方程的根吗？与同伴交流.
2.为什么会出现这样的结果？
学生回答：
1.x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，原分式方程无意义；
2.这是在去分母时，方程两边同乘（x-2）恰巧为0.
引出概念：使得原分式方程的分母为零的根，我们称它为原方程的增根．
教师引导：引导学生思考产生增根的原因是什么？
对于分式方程，当分式中分母的值为零时无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.
教师强调：因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.
师生归纳：验根的方法：
方法1：把解直接代入原方程进行检验.
方法2：把解代入分式的最简公分母，看最简公分母的值是否等于零，若等于零，即为增根。
教师追问：解分式方程一般需要经过哪几个步骤？
师生归纳：
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.增根：使得原分式方程的分母为零的根，我们称它为原方程的增根．
2.验根的方法：
方法1：把解直接代入原方程进行检验.
方法2：把解代入分式的最简公分母，看最简公分母的值是否等于零，若等于零，即为增根。
3.解分式方程的一般步骤：
（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程.
（2）解整式方程：去括号、移项、合并同类项等.
（3）检验：将解代入最简公分母.
（4）作答.
【教材例题】解方程：480x−6002x=45.
解：方程两边都乘2x,得：960-600=90x
解这个方程，得x=4
经检验，x=4是原方程的根。
教师强调：解分式方程容易犯的错误主要有：
1.去分母时，原方程的整式部分漏乘．
2.约去分母后，分子是多项式时，要注意加括号．
3.没有检验，增根不舍掉.
通过教师引导，使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求解。通过教师对例题讲解，让学生明确解分式方程的一般步骤。
本例比较简单，主要展示解题的步骤和格式.
让学生通过解这个方程，并思考问题，展开讨论，了解分式方程会产生增根，体会分式方程检验的必要性。
3.学以致用，应用新知
考点1 分式方程的解法
例 解方程时，去分母得（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
变式训练 方程的解是 ．
答案：x＝2
考点2 分式方程的增根
例 若分式方程＝+2有增根，则m的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
答案：D
变式训练 解关于x的分式方程＝时不会产生增根，则m的取值范围是 ．
答案：m≠﹣1
通过例题讲解，巩固理解分式方程的解法及增根，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，正确解分式方程。
4.随堂训练，巩固新知
1.下列关于分式方程解的情况，正确的是（ ）
A．解为x＝1.5 B．解为x＝﹣1
C．解为x＝﹣0.5 D．无解
答案：B
2.若关于x的方程﹣＝1的解为整数，则整数a的值的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
3.解分式方程：
（1）；
（2）．
答案：（1）方程两边都乘，
得，解这个方程，
得，
检验：当时，，所以是原方程的根.
（2），，
方程两边都乘，
得，解这个方程，
得，
经检验，当时，，
所以是增根，即原分式方程无解.
4.关于x的分式方程﹣＝1．
（1）若方程的增根为x＝3，求a的值；
（2）若方程无解，求a的值．
解：（1）去分母并整理得（a﹣4）x＝﹣21，
因为x＝3是原方程的增根，
所以（a﹣4）×3＝﹣21，
解得a＝3．
（2）去分母并整理得（a﹣4）x＝﹣21，
①当a﹣4＝0时，该整式方程无解，
此时a＝4；
②当3﹣a≠0时，要使原方程无解，
则x（x﹣3）＝0，即x＝0或x＝3，
把x＝0代入整式方程，a的值不存在，
把x＝3代入整式方程，得a＝3．
综合①②得a＝4或a＝3．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1、解分式方程的基本思路是什么？
2、解分式方程有哪几个步骤？
3、什么是分式方程的增根？
4、验根有哪几种方法？
1.解分式方程的基本思路：利用分式的基本性质、等式的基本性质将分式方程转化为一元一次方程，再求解.
2.解分式方程的一般步骤：
（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程.
（2）解整式方程：去括号、移项、合并同类项等.
（3）检验：将解代入最简公分母.
（4）作答.
3.增根：使得原分式方程的分母为零的根，我们称它为原方程的增根．
4.验根的方法：
方法1：把解直接代入原方程进行检验.
方法2：把解代入分式的最简公分母，看最简公分母的值是否等于零，若等于零，即为增根。
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P128习题5.8中的T1—T4。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第2课时 分式方程的解法
一、解分式方程的思路
二、解分式方程的步骤
投影区
增根
验根的方法
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
对于解分式方程，学生已经学过等式的基本性质，分式的通分，一元一次方程的解法，所以，解分式方程的根本是在于去分母，将分式方程化为整式方程，而要去分母，方程的两边要同乘以最简公分母，这是关键，因此，要在解分式方程之前先将最简公分母复习一遍，给学生铺好路，另外要给学生一个例子，就是方程两边都乘以最简公分母时，要求每一项都乘以最简公分母，让学生看到去分母的过程，这样，就可以避免出现很多的问题，也能让学生理解得更透彻。在教学中，注意引导学生理解化归的思想，即将未知的知识转化成已知的知识，分式方程转化为整式方程。
反思，更进一步提升。
课题
第3课时 分式方程的应用
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P129-130
教学目标
1.通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，会检验根的合理性；
2．经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．
3．通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．
教学重难点
重点：将日常生活中的实际问题转化成分式方程应用的过程，会检验根的合理性.
难点：寻求实际问题中的等量关系，不同问题的解决方法.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：
“五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，你能得出什么关系式？
师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
学生回答：.
这就是我们今天所研究的内容——分式方程的应用（板书课题：第3课时 分式方程的应用）
引导学生通过独立思考和小组讨论的形式，用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题，鼓励学生大胆尝试，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．
2.实践探究，学习新知
【探究1】分式方程的应用
做一做（多媒体出示）
某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．
教师提问：
（1）你能找出这一情境的等量关系吗？
教师引导学生从不同角度寻求等量关系是解决这一问题的关键.
学生归纳：第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元．
第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数．
教师提问：
（2）根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要．
学生回答：同学们尽管提出符合情境的问题．
问题可以是：每年各有多少间房屋出租？
问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？
教师引导：下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？
师生共析：
解：设每年各有x间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为元，第二年每间房屋的租金为元.根据题意，得=+500.
解这个方程，得x=12.
经检验x=12是原方程的解，也符合题意．
所以每年各有12间房屋出租．
教师引导：我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？
学生解答：根据第一问的答案可计算，得
第一年每间房屋的租金为=8 000（元），
第二年每间房屋的租金为=8 500（元）．
教师追问：如果没有第一问，该如何解答第二问？
师生共析：
解：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为（x+500）元．第一年租出的房间为间，第二年租出的房间为间，根据题意，得
= .
解得x= 8000.
x+500=8 500（元）.
经检验，x=8 000是原分式方程的解，也符合题意．
所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元．
【探究2】列分式方程解应用题的一般步骤
某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5 m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5 m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用．1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元．超出5 m3的部分每立方米收费多少元？
教师提问：解决实际情境问题，最关键的是什么呢？
学生回答：审清题意，找出题中的等量关系．
教师提问：将该自来水公司水费计算办法用表格表示出来.你们找到题中的等量关系了吗？
学生归纳：该自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）.
用水量
单价
不超过5 m3
1.5元/m3
超过5 m3超出的部分
？元/m3
此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的．
教师追问：怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？
学生回答：根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5 m3的水费与超出5 m3部分的水费．
师生共析：
解：设超出5 m3部分的水每立方米收费为x元，则1月份张家超出5 m3的部分水费为（17．5－1．5×5）元，超出5 m3的用水量为 m3，总用水量为5+ m3；
李家超出5 m3部分的水费为（27.5－1.5×5）元，超出5 m3的用水量为 m3，总用水量为（5+）m3.
根据等量关系，得+5=（+5）×.
解这个方程，得x=2．
经检验x=2是所列方程的根．
所以超出5 m3部分的水每立方米收费2元．
教师点拨：引导学生总结列分式方程解应用题的一般步骤.
列分式方程解应用题的一般步骤：
1.审:清题意，并设未知数；
2.找:相等关系；
3.列:出方程；
4.解:这个分式方程；
5.验:根（包括两方面:(1)是否是分式方程的根；(2)是否符合题意）；
6.写:答案.
这一环节主要通过学生小组对提出的问题解决的过程培养了学生与他人合作的意识，最重要的是学生通过建立建立分式方程的模型解决的实际问题.让学生掌握列分式方程解决问题的方法.
本例既密切联系学生生活实际，又关注社会热点——水资源问题.引导学生从不同角度寻求等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识
3.学以致用，应用新知
考点1 销售问题
例 一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则两次共购进这种太阳伞 把．
答案：600
变式训练 为促进学生加强体育锻炼，某学校准备购买一些篮球和足球．已知篮球单价比足球的单价多20元，购买篮球花费7000元，购买足球花费2500元，篮球数量是足球数量的2倍．求篮球和足球的单价分别是多少元？
解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，由题意得
＝×2，
解得x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解且符合题意，
∴x+20＝70，
答：篮球的单价为70元，足球的单价为50元．
考点2 行程问题
例 甲、乙两人分别从距目的地6 km和10 km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3 ：4，结果甲比乙提前20 min到达目的地．求甲、乙的速度分别是多少．
解：设甲的速度为3x km/h，则乙的速度为4x km/h．
根据题意，得﹣＝，
解得x＝1.5，
经检验，x＝1.5是分式方程的解，且符合题意，
则3x＝4.5，4x＝6．
答：甲的速度为4.5 km/h，乙的速度为6 km/h．
变式训练 近年来，市区住建部门加快推进“空转绿”“微添绿”等项目建设，新增大小游园数十个，让市民开门即见绿，休憩有绿荫．老王和小王两父子准备从家匀速步行前往位于城西新建的祥泰公园散步，由于小王有事耽搁，比老王晚出发8分钟，小王的步行速度是老王的1.2倍，结果两人同时到达公园．已知老王家与公园相距2.4 km，求老王步行的速度．
解：设老王平均每小时行x千米，则小王平均每小时行1.2x千米，
根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的根，
答：老王步行的速度3 km/h．
考点3 工程问题
例 某项工程，需要在规定的时间内完成．若由甲队去做，恰能如期完成；若由乙队去做，需要超过规定日期三天．现在由甲乙两队共同做2天后，余下的工程由乙队独自去做，恰好在规定的日期内完成，求规定的日期是多少天？
解：设规定的日期为x天，则乙队需要（x+3）天完成，
根据题意得：2×（+）+（x﹣2）×＝1，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
答：规定的日期为了6天．
变式训练 为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠1800米，由甲、乙两个施工队同时开工合作修建，直至完工．甲施工队每天修建灌溉水渠100米，乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米．
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m米，则技术更新后每天修建水渠（1+20%）m米，
1800÷2＝900（米），
由题意得，
解得m＝90，
经检验，m＝90是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
通过例题讲解，巩固理解所学知识，训练学生的分析和建立数学模型的能力，体会数学与生活的联系。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用分式方程解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木2000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前4天完成任务．则实际每天植树 棵．
答案：125
2.某鞋店春节后进行促销活动，客户每购买一双某款运动鞋，可优惠50元，若同样用5500元购买此款运动鞋，促销活动后可购买的数量比促销活动前可购买的数量多10%，求这款运动鞋促销前的售价．
解：设这款运动鞋促销前的售价为x元，则进行促销活动时的售价为（x﹣50）元，
由题意得（1+10%）＝，
解得x＝550，
经检验，x＝550是原方程的解，且符合题意，
答：这款运动鞋促销前的售价为550元．
3.某工程队修建一条1800米的道路，由于施工过程中采用了新技术，所以工作效率提高了20%，结果提前3天完成任务．
（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？
（2）这项工程，如果要求工程队提前6天完成任务，那么实际的工作效率比原计划增加百分之几？
解：（1）设这个工程队原计划每天修建道路x米，由题意得﹣＝3，
解得x＝100，
经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意，
答：这个工程队原计划每天修建道路100米．
（2）设这个工程队实际每天修道路y米，由题意得
﹣＝6，
解得y＝150，
经检验，y＝150是所列方程的解，且符合题意，
则（150﹣100）÷100×100%＝50%，
答：实际的工作效率比原计划增加50%．
4.甲、乙两车站相距450 km，一列货车从甲车站开出3 h后，因特殊情况在中途站多停了一会，耽误了30 min，后来把货车的速度提高为原来的1.2倍，结果准时到达乙站，求这列货车原来的速度．
解：设货车原来的速度为x km/h，根据题意得
﹣＝，解得x＝75．
经检验，x＝75是原方程的解．
答：货车原来的速度是75 km/h．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
列分式方程解应用题的一般步骤：
1.审:清题意，并设未知数；
2.找:相等关系；
3.列:出方程；
4.解:这个分式方程；
5.验:根（包括两方面:(1)是否是分式方程的根；(2)是否符合题意）；
6.写:答案.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P130习题5.9中的T1—T3。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第3课时 列分式方程解应用题
列分式方程解应用题的一般步骤
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
本节课循序渐进，合理设计教学问题系列，有效组织教学活动，既发挥教师的主导作用，又体现学生的主体地位，较好地完成了教学目标．教学中应结合具体的数学内容采用想“问题情境-建立模型-解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心．在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围．
反思，更进一步提升。
一、个人备课情况
1 认识分式
第1课时 分式的概念
1 认识分式
第2课时 分式的基本性质
2 分式的乘除法
3 分式的加减法
第1课时 同分母分式的加减
3 分式的加减法
第2课时 异分母分式的加减
3 分式的加减法
第3课时 分式的加减混合运算
4 分式方程
第1课时 分式方程的概念
4 分式方程
第2课时 分式方程的解法
4 分式方程
第3课时 分式方程的应用
第五章
本章所需课时数
9课时
课标要求
1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加减乘除运算.
2.能根据具体问题中的数量关系列出分式方程，体会分式方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
3.能解可化为一元一次方程的分式方程.
4.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
教材分析
第1节“认识分式”.通过土地沙化、上海世博会等实例中存在的数量关系引入分式概念，体会分式的模型作用；通过类比分数的基本性质，理解分式的基本性质.
第2 节“分式的乘除法”.通过类比分数乘除法的法则，获得分式乘除法的法则，并会用法则进行分式运算.
第3 节“分式的加减法”.通过类比分数加减法的法则，获得分式加减法的法则，并会用法则进行分式运算.
第4 节“分式方程”.通过列出刻画行程、捐款等实例的方程，分析所列出方程的共同特征，理解分式方程的概念，进而学习怎样解分式方程，并会用分式方程解决简单的实际问题.
主要内容
本章内容主要包括：
（1）因式分解的相关概念，整式乘法与因式分解的关系；
（2）因式分解的两种方法——提公因式法和公式法，利用因式分解解决实际问题等.
教学目标
1.经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程，了解分式、最简分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号意识.
2.经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质、分式乘除法则、分式加减法则的过程，发展合情推理能力与代数式恒等变形能力，积累类比的活动经验.
3.熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，会求分式的值，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根，发展运算能力.
4.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，发展分析问题、解决问题的能力和应用意识.
教学重难点
教学重点：约分和通分；分式的加、减、乘除运算；解可化为一元一次方程的分式方程.
教学难点：分式的加、减、乘除以及混合运算；了解产生增根的原因，并会验根；列分式方程解应用题.
教与学建议
1.要让学生充分经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，发展学生的符号意识.
2.要抓住本章的学习特点——类比，发展学生的合情推理能力.
3.要落实本章的教学重点——分式的四则运算，发展学生的运算能力.
4.要抓住分式方程教学的核心——转化与应用，发展学生的化归意识，体会模型思想.
章节课时分配
1 认识分式 （2课时）
分式的概念
分式的化简
2 分式的乘除法 （1课时）
3 分式的加减法 （3课时）
同分母分式的加减
异分母分式的加减
异分母分式的加减
4 分式方程 （3课时）
分式方程的概念
分式方程的解法
列分式方程解应用题
回顾与思考 （2课时）
课题
第1课时 分式的概念
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P108-110
教学目标
1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别；
2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型；
3、培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流．
教学重难点
重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
难点：能熟练地求出分式有意义的条件.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：（课件播放）
中国是世界上受荒漠化、沙化危害最严重的国家之一，全国荒漠化、沙化土地面积占国土面积约40%.
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林 2 400 hm2，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 hm2，结果提前完成原计划的任务.如果设原计划每月固沙造林 x hm2，那么
（1）原计划完成造林任务需要多少个月？
（2）实际完成造林任务用了多少个月？
师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
学生回答：（1）.（2）.（教师板书）
（板书课题：第1课时 分式的概念）
通过同学们身边的生活实例，进一步丰富代数式的实际背景，让学生感受字母表示数的意义，发展他们的符号感，并在这一过程中初步感受分式的模型作用，初步体会分式的意义.
2.实践探究，学习新知
【探究1】分式的概念
做一做
（1）2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内的统计结果显示，前 a 天日均参观人数 35 万人，后 b 天日均参观人数 45 万人，这（a + b）天日均参观人数为多少万人？
（2）文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册 a 元，现每册降价 x 元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为 b 元.降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？
师生活动：由学生来汇报自己的答案，结果是人；书店这种图书的库存量为本.
教师提问：对于以上四个代数式，，，，通过分析，你发现它们有什么共同特征，它们与整式有什么区别？
师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结.教师注意适时引导.
学生回答：
(1)这四个代数式都有分母，分母中都有字母，并且分母不为零.
（2）这四个代数式都是分式，因为它们都有分母，分母中都有字母，这是它们与整式的区别.
教师提问：请你再举出2个和它们类似的例子，并尝试总结分式的概念.
学生回答：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成 的形式，如果B中含有字母，式子 就叫做分式.其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零.（教师板书）
教师追问：请同学们思考判断一个代数式如果是分式应具备哪些条件？
学生归纳：两个条件：分母中有字母，分母不为零.
教师追问：为什么中B不能为零？
学生回答：因为B等于零时分母为零，分式无意义.
师生活动：教师强调分式的定义和判断一个代数式是否是分式的条件，学生练习，展示汇报答案.
判断下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
分式的概念：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成 的形式，如果B中含有字母，式子 就叫做分式.其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零.
【教材例题】例 （1）当 a=1，2时，分别求分式的值；
解：（1）当a=1时，
当 a=2时，
（2）当a取何值时，分式有意义？
解：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义．
由分母2a=0，得a=0，
所以，当a取零以外的任何数时，分式都有意义．
【探究2】分式有无意义和分式值为零的条件
教师提问：我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？请同学们思考，使分式有意义或无意义的条件？
学生归纳：分式有意义的条件是分母B不为零；使分式无意义的条件是分母B为零.
教师提问：当取何值时，下列分式的值为零.
（1）（2）
师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主解答.教师注意适时引导.
教师追问：使分式值为零的条件？
学生归纳：使分式值为零，分子A为零，分母B不等于零.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.分式的概念：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成 的形式，如果B中含有字母，式子 就叫做分式.其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零.
2.分式有意义的条件：分母不等于零.
3.分式无意义的条件：分母等于零.
4.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
以生活中的实际问题引入，在学生已有的认识基础上，先让学生解决一些具体的数的运算问题，逐步让学生体会和接触分式的概念。
通过例题讲解，让学生从两方面来理解，一是分式分式中的字母可以表示使分式有意义的任何数；二是分式可与分数类比，分式的分母也不能为零。让学生体会分式的意义，理解如果a的取值使得分母的值为零，则分式没有意义，反之有意义．
通过分式有无意义和值为零的条件探究活动，让学生亲历发现事物特征、规律的过程，激发学生的学习兴趣，增强自信心，引发主动学习的内在动机。
3.学以致用，应用新知
考点1 分式的定义
例 代数式，，，，中，属于分式的有（ ）
A．1个 B．2个C．3个D．4个
答案：B
变式训练 在式子①；②；③；④；⑤；⑥中，分式有 个．
答案：4
考点2 分式有（无）意义的条件及分式的值
例 分式有意义，则x应满足的条件是 ．
答案：x≠2
变式训练 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．±2 B．0 C．﹣2 D．2
答案：D
考点3 根据实际问题列分式
例 一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需t小时，如果该车的速度每小时增加v千米，那么从A城到B城需要（ ）小时．
A． B．C．D．
答案：B
变式训练 一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为m千米/时，下山速度为b千米/时．则货车上、下山的平均速度为（ ）千米/时．
A．B．C．D．
答案：C
通过例题讲解，巩固理解所学知识，训练学生的分析和建立数学模型的能力，体会数学与生活的联系。
通过变式训练巩固分式的相关知识，灵活运用所学知识解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.下列各式：中，分式有（ ）
答案：D
2.当x＝3时，分式没有意义，则b的值为（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
答案：D
3.若分式的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x B．0
C．x＞0 D．x且x≠0
答案：A
4.【新趋势 开放性问题】已知分式满足条件“只含有字母x，且当x＝0时分式的值为0”，请写出一个这样的分式 ．
答案：
5.用漫灌方式给绿地浇水，a天用水10吨，改用喷灌方式后，10吨水可以比原来多用5天，那么喷灌比漫灌平均每天节约用水 吨．
答案：
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
分式定义；分式有意义、无意义时的条件；
分式有意义、无意义时的条件；
分式的值为零的条件.
1.分式的概念：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成 的形式，如果B中含有字母，式子 就叫做分式.其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零.
2.分式有意义的条件：分母不等于零.
3.分式无意义的条件：分母等于零.
4.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零
.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P109习题5.1中的T1—T5。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第1课时 分式的概念
一、分式的概念
二、分式有无意义的条件
三、分式值为0的条件
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
1、概念的创新教学
在学习分式概念时，避免传统教学中对于概念直接给出，叫学生死记硬背，忽略了学生学的过程，也不考虑学生是否真正理解，本课时是让学生通过观察、归纳、总结整式与分式的异同，从而得出分式概念．
2、注重能力培养
新课标注重学生探索，创新、合作能力的培养，本课时观察分式与整式的异同时，就是采取学生自主探索，合作交流的形式．
3、课堂反馈效果良好
对学生学习效果的反馈采用有我校特色的“举反馈牌”的方法，能较全面的了解学生的学习情况，对不足之及时补充，有良好效果．
4、需要加强的方面
在学习中，要注意观察学生的情感变化，是否遇到困难，积极性、热情是否发挥出来，投入的程度有多少，是否每个学生都参与其中等等，作为教师应时刻关注这些，以便适时的引导他们，调动他们，鼓励他们．
反思，更进一步提升。
课题
第2课时 分式的基本性质
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P110-113
教学目标
1.理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分；
2.通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察，类比，推理的能力；
3.让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力．
教学重难点
重点：理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分.
难点：准确灵活地运用分式的基本性质化简分式.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
教师提问：我们来看如何做不同分母的分数的加法：+.
学生解答：+=+=+=.
教师追问：这里将异分母化为同分母，==,
==.这是根据什么呢？
学生回答：根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.
教师引导：分式是一般化了的分数，我们是否可以推想分式也有分数的这一类似的性质呢？
这就是我们今天所要研究的内容——分式的基本性质.
（板书课题：第2课时 分式的基本性质）
通过分数的约分复习分数的基本性质，通过类比来学习分式的基本性质．
2.实践探究，学习新知
【探究1】分式的基本性质
教师提问：你认为分式与相等吗？与呢？与同伴交流.
学生回答：分式与相等，在分式中，a≠0，所以==;
分式与也是相等的.在分式中，n≠0，所以==.
教师提问：由此，类比对照分数的基本性质，你能推想出分式的基本性质吗？
学生归纳：分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
教师追问：在运用此性质时，应特别注意什么？
学生归纳：应特别强调分式的分子、分母都乘（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”.
教师总结：我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形.同样我们利用分式的基本性质也可以对分式进行等值变形.
【教材例题】下列等式的右边是怎样从左边得到的？（多媒体出示）
（1）=（y≠0）；（2）=.
学生回答：（1）因为y≠0，利用分式的基本性质，在的分子、分母中同乘y，即可得到右边，即==；
教师提问：在（1）中，题目中已说明y≠0，因此我们可用分式的基本性质直接求得.可（2）中右边又是如何从左边得到的呢？
学生回答：在（2）中，可以分子、分母同除以x得到，即==.
教师追问：“x”如果等于“0”呢？还是“x”确定不会等于“0”呢？
师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主解答.教师注意适时引导.
学生归纳：在中，x不会为“0”，如果是“0”，中分母就为“0”，分式将无意义，所以（2）中虽然没有直接告诉我们x≠0，但要由得到，必须有意义，即bx≠0由此可得b≠0且x≠0.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
【探究2】分式的约分
教师提问：利用分数的基本性质可以对分数进行化简.利用分式的基本性质也可以对分式化简.
例 （多媒体出示）化简下列各式：
（1）;（2）.
教师引导：在分数化简中，我们约去了分子、分母的公约数，那么在分式化简中，我们应怎么做？
学生回答：约去分子、分母中的公因式.（1）中a2bc可分解为ac·（ab）.分母中也含有因式ab,因此利用分式的基本性质：
解：（1）===ac.
教师追问：我们可以注意到（1）中的分式，分子、分母都是单项式，把公有的因式分离出来，然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可.这样的公因式如何分离出来呢？同学们可小组讨论.
学生总结：如果分子、分母是单项式，公因式应取系数的最大公约数，相同的字母取它们中最低次幂.
教师提问：（2）中的分式，分子、分母都是多项式，又如何化简呢？
学生回答：分子、分母是多项式的分式，通过对分子、分母因式分解，找到它们的公因式.
解：（2）==.
教师总结：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称为分式的约分.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称为分式的约分.
【探究3】最简分式
做一做（多媒体出示）化简下列分式：
（1）;（2）.
教师提问：议一议：在化简时，小颖是这样做的：=.你对上述做法有何看法？与同伴交流.
学生总结：我认为小颖的做法中，中还有公因式5x，没有化简完，也就是说没有化成最简结果.
解：（1）==;
（2）=.
教师强调：如果化简成，说明化简的结果中已没有公因式，这种分式称为最简分式.因此，我们通常使结果成为最简分式或者整式.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
最简分式：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式.在化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式.
让学生通过观察，类比，推理出分式的基本性质，并让学生明白类比的理由是字母可以表示任何数．加强学生抽象概括能力的培养，使学生进一步概括出分式的基本性质.
加深学生对分式的基本性质的理解和应用，让学生了解把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．引导学生找出他们的公因式，并学会利用分式的基本性质进行约分，使结果为最简分式或整式．
通过做一做，和议一议，检查学生对分式的约分的掌握情况，对于错误及时指出并纠正．引出最简分式的概念.
3.学以致用，应用新知
考点1 分式的基本性质
例 下列代数式变形正确的是（ ）
A． B．＝
C． D．
答案：B
变式训练 如果将分式中的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍
C．缩小为原来的 D．不改变
答案：D
考点2 约分及最简分式
例 下列约分：①＝； ②＝；③＝；④＝1；⑤＝a﹣1；⑥＝﹣．其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个C．5个 D．6个
答案：A
变式训练 下列分式是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
考点3 分式的化简求值
例 化简得 ；当m＝﹣1时，原式的值为 ．
答案： 1
变式训练 若m为整数，则能使也为整数的m有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
通过例题讲解，巩固理解分式的基本性质及约分，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用分式的基本性质解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.若x、y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
2.小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（ ）
A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1
C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1
答案：A
3.把分式约分得到的结果是__________．
答案：
4.先化简，再求值：
（1），其中a＝1；
（2），其中b＝2a．
解：（1）
＝
＝，
当a＝1时，上式＝＝﹣6，即＝﹣6.
（2），
＝
＝﹣．
当b＝2a时，上式＝﹣＝1，即＝1．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
2.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称为分式的约分.
3.最简分式：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式.在化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P113习题5.2中的T1—T4。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第2课时 分式的化简
一、分式的基本性质
二、分式的约分
三、最简分式
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
1．在分式的约分教学中，要及时发现学生的错误，并当作错误例题进行全班范围的分析，找出原因，让其他学生也认识到这种错误，不能只是改正答案．
2．在让学生小组讨论之前应给学生一定的时间独立思考，不要让一些思维活跃的同学的回答代替了其他学生的思考，从而掩盖了其他学生的疑问和错误．教师应对学生的讨论给予引导，对学习困难的学生给予及时的帮助，是小组合作学习更具实效性．
3．找公因式是约分的关键，应设计一些找公因式的练习，作为铺垫，这样学生可能对约分掌握得更好．
反思，更进一步提升。
课题
2 分式的乘除法
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P114-116
教学目标
1.类比分数的乘除运算法则，探索分式的乘除运算法则。
2.理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算
3.能解决一些与分式有关的简单的实际问题。
4.通过师生讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力。
教学重难点
重点：分式乘除法的法则及应用.
难点：分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：
问题1:一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b，当容器内的水占容积的时，水高多少?
学生回答:长方体容器的高为，,水高为.
问题2:大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
学生回答:大拖拉机的工作效率是公顷/天,小拖拉机的工作效率是公顷/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.
和，一个是分式的乘法运算，一个是分式的除法运算，那么分式的惩处应该怎样运算呢？（板书课题：2 分式的乘除法）
数学来源于实际生活，使学生感受到生活中处处有数学。通过结合日常生活中的具体情境，提高学生兴趣，激发学生学习激情。同时引出分式的乘除法，使进入新知识的学习顺理成章。
2.实践探究，学习新知
【探究1】分式的乘除法
教师提问:上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？
探索、交流——观察下列算式：
×=,×=,
÷=×=,÷=×=。
猜一猜×=?÷=?与同伴交流。
学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结题目答案.
学生总结：观察上面运算，可知：
两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘。
即×=；
÷=×=。
这里字母a,b,c,d都是整数，但a,c,d不为零。
教师引导：如果让字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法。尝试总结分式的乘除法的法则，与同伴交流.
教师活动：根据学生交流后的回答总结分式的乘除法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。（教师板书）
教师提问：与有什么关系？
师生活动：一般地，当n是正整数时，=…=.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.分式的乘除法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
2.分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方.
【探究2】例题讲解
例1 计算：（1）·；（2）·.
教师点拨：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式。
解：（1）·=
==；
（2）·
==.
例2 计算：（1）3xy2÷；（2）÷
教师点拨：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路。
解：（1）3xy2÷=3xy2·==x2；
（2）÷
=×
=
=
=.
【探究3】分式的乘除法的实际应用
做一做：通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多。因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V=πR3（其中R为球的半径），那么
（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？
（3）你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？与同伴交流。
解：我们不妨设西瓜的半径为R,根据题意，可得：
（1）整个西瓜的体积为V1=πR3；
西瓜瓤的体积为V2=π（R－d）3。
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比为：
==
=（）3=（1－）3。
（3）我认为买大西瓜合算。
由=（1－）3可知，R越大，即西瓜越大，的值越小，（1－）的值越大，（1－）3也越大，则的值也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大，因此，买大西瓜更合算。
师生活动：尝试总结乘法运算的步骤.
当分式的分子与分母都是单项式时：
(1)乘法运算步骤是：
①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；
②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；
③约分.
(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。
当分式的分子、分母中有多项式，
①先分解因式；
②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.
③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面.
最后的计算结果必须是最简分式.
让学生观察运算，通过小组讨论交流，并与分数的乘除法的法则类比，让学生自己总结出分式的乘除法的法则。
通过例题讲解，使学生会根据法则，理解每一步的算理，从而进行简单的分式的乘除法运算，并能解决一些与分式有关的简单的实际问题，增强学生代数推理的能力与应用意识。需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式，对于这一点，很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到结果要化简
利用生活中的实例，进一步丰富分式的乘除法的背景，增强学生的应用意识，使学生能解决一些与分式有关的简单的实际问题。
3.学以致用，应用新知
考点1 分式的乘法
例 计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
变式训练 计算： ．
答案：
考点2 分式的除法
例 的计算结果为 .
答案：
变式训练
化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
考点3 分式的乘方
例 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
变式训练 计算的结果是 .
答案：
考点4 分式乘除法的混合运算
例 计算：÷·= .
答案：
变式训练 下列各分式运算结果正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
答案：C
通过例题讲解，巩固理解分式的乘除法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用分式的乘除法解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.分式的化简结果为（ ）
A． B．
C． D．2
答案：C
2.计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
3.计算_________．
答案：
4.计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.分式的乘除法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
2.分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方.
3.乘法运算的步骤
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P116习题5.3中的T1—T4。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
2 分式的乘除法
一、分式的乘除法法则
二、分式的乘除法的应用
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
1、学生对于法则的运用不难，但是较差班级的学生在运用法则计算时遇到单项式乘单项式，单项式乘多项式或多项式乘多项式即整式的乘法运算时，情况较差，另外在结果的化简上存在问题，化简意识不够，应该在复习分数的乘除法时复习分数的约分，通过对分数的约分类比分式的约分，加强化简意识和能力。还有因式分解的基础知识不扎实，这些直接影响这节课的学习，这充分体现了数学知识是相关相联的，所以课前有必要巩固整式的乘法运算和因式分解这两方面的知识，进行有针对的练习。
2、类比的学习方法是学习新知识的好方法。
反思，更进一步提升。
课题
第1课时 同分母分式的加减
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P117-119
教学目标
1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。
2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。
3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。
教学重难点
重点：会进行同分母分式加减法及简单的异分母分式的加减法的运算.
难点：正确运用运算法则，灵活运用解题技巧进行分式的加减运算.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
教师提问：在小学阶段，我们学习过同分母分数的加减法，你们还记得其算法是什么吗？
这些计算题，请同学们快速的出答案？（出示幻灯片）
教师提问：同分母分数相加减要如何计算，其法则是什么？
学生回答：同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减。
教师活动：类比同分母分数加减法，猜一猜，同分母的分式应该如何加减？这就是我们今天所要研究的内容——同分母分式的加减.
（板书课题：第1课时 同分母分式的加减）
通过几道同分母分数加减题，让学生回顾同分母分数法则.
2.实践探究，学习新知
【探究1】分母相同的分式的加减法
类比同分母分数加减法，计算下列式子.
教师提问：类比同分母分数加减法，同分母的分式应该如何加减？
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
用式子表示为：.
【教材例题】
例 计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
学生解答：
教师点拨：
（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
（2）分子相减时，一定要把减式的分子加上括号，否则易出现符号错误.
（3）最后的结果必须是最简分式或整式．
【探究2】分母互为相反数的分式的加减法
例 计算：
（1）； （2）.
教师提问：（引导式提问）
（1）这两个分式的分母相同吗？有什么关系？
（2）用什么方法可以将它们化成同分母？
（3）分子的符号、分母的符号、分式的符号之间有何关系？
教师追问：根据上题，请尝试给出分母互为相反数的分式进行加减运算的方法.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
方法总结：分式的分母是互为相反数时，可以把其中一个分母提出负号，把分母转化为同分母．再根据同分母分式相加减的法则进行运算．
过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性，从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容。
教学生如何运用法则进行运算，通过这4道例题，让学生学会加减法运算并注意运算时可能出现的问题。
这是一组分母互为相反式的分式加减的题目，实则是简单的异分母分式的加减法，解答时只要将后一分母前的运算符号变为相反，即可按同分母分式的加减法法则进行运算。旨在初现异分母分式加减的运算，实则化成同分母的分式，这要求学生能够熟练掌握，为下节课一般的异分母加减做好准备。
3.学以致用，应用新知
考点1 分母相同的分式的加减法
例 计算 的结果是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
变式训练 计算的结果为（ ）
A．1B．3C．D．
答案：D
考点2 分母互为相反数的分式的加减法
例 计算的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．D．
答案：D
变式训练 化简的结果是（ ）
A．1B．aC．a﹣1D．
答案：C
通过例题讲解，巩固理解同分母分式的加减法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用同分母分式的加减法解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.计算的结果为（ ）
A．m﹣1B．m+1C．D．
答案：D
2.若，则□中的数是（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．任意实数
答案：B
3.计算：＝ ．
答案：﹣1
4.计算：
（1）；
（2）.
解：（1）原式
.
（2）原式=﹣
＝
＝
＝﹣1．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
（2）分子相减时，一定要把减式的分子加上括号，否则易出现符号错误.
（3）用转化的思想将分母互为相反数的分式加减运算转化成同分母分式的加减运算.
（4）最后的结果必须是最简分式或整式．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P118习题5.4中的T1—T4。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第1课时 同分母分式的加减
一、分母相同的分式加减法法则
二、分母互为相反数的分式的加减法
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
1、不能脱离教材： 教材为我们提供了最基本有效的教学素材，我们应该充分挖掘这些素材，把他们转化成本节课的实质内容，并能湿透教学目标，让学生通过对这些素材的把握，做到举一反三，灵活运用。
2、因势利导，由浅入深：鼓励学生通过与分数类比，抛出分式加减运算法则后，应该先讲用再让用，顺水推舟给出例2，演练结合，讲纠互补，注意对关键点的引导。
3、课后多虑：作为运算，那还是应该多练，扎实基本功，毕竟课堂时间有限。
反思，更进一步提升。
课题
第2课时 异分母分式的加减
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P119-122
教学目标
会找最简公分母，能进行分式的通分；
理解并掌握异分母分式加减法的法则；
经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。
培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识。
教学重难点
重点：异分母分式的加减法法则及其运用.
难点：正确确定最简公分母和运用运算法则.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
活动内容：
问题1:同分母分式是怎样进行加减运算的?
问题2:异分母分数又是如何进行加减运算的?
问题3:那么等于多少?你是怎么做的?
学生回答:
1.同分母的分式相加减，分母不变,把分子相加减。
2.异分母的分数相加减可以把它们先转化为同分母的分数再相加减。
3.计算，可以把它们转化为同分母分式的加法进行计算。
师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
教师提问：想一想：简便运算的依据是什么？
学生回答：乘法分配律逆用.
（板书课题：第2课时 异分母分式的加减）
通过回忆同分母分式的加减法法则、异分母分数的加减法运算，来引出本节课的内容，同时又对问题3点明了类比的思想方法，使进入新知识的学习顺理成章。
2.实践探究，学习新知
【探究1】分式的通分
议一议：
小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母的分式的加减问题就变成了同分母的分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同：
小明：.
小亮：.
教师提问：
这两种方法有什么相同之处？不同之处呢？
你对这两种做法有何评论？与同伴交流。
学生总结：
相同之处：都利用分式的基本性质将异分母分式加减法变成同分母分式加减法.
不同之处：所变分母不一样，小亮的做法更简单.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.分式的通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.
2.最简公分母：异分母分式通分时，为了方便计算，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母.
3.确定最简公分母的一般方法：
（1）确定系数：把各分式分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
（2）确定相同因式：把相同字母（或因式分解后得到的相同因式）的最高次幂作为最简公分母的一个因式；
（3）把只在一个分式的分母中出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式.
【探究2】例题讲解
教师提问：将下列各组分式通分：
.
学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主解题.教师注意适时引导.
教师提问：尝试总结通分的一般步骤，与同伴交流.
师生归纳：
（1）将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应因式分解；
（2）确定最简公分母；
（3）用最简公分母分别除以各分式的分母求商；
（4）用所得的商分别乘各分式的分子、分母，使分母变为最简公分母.
【探究2】异分母分式的加减法
问题1:怎样才能进行异分母分式的加减运算?根据以上学习，并结合异分母的分数加减法法则，尝试总结异分母分式的加减法法则.
与异分母的分数加减法法则类似，异分母的分式加减法法则是：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
用式子表示为：.
教师提问：计算:
【探究3】分式加减法的实际应用
小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km，其中小丽走的是平路，骑车速度2v km/h．小刚需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h．那么
（1）小刚从家到学校需要多长时间？
（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
通过具体材料来引导学生分析小明与小亮做法的异同之处，激发学生兴趣，引出最简公分母和通分的概念，为后面异分母分式的加减做铺垫.
通过例题探究，激发学生自主探究的兴趣；引导学生探究的方法；渗透转化、整体、分类讨论的数学思想。
类比分数，猜想异分母的分式加减法的法则.在教学中，要鼓励学生类比分数的运算法则，尝试用自己的理解表述.在交流的基础上形成法则，并要求学生用式子表示，同时让学生想一想式子中的字母a，b，c，d 可以表示什么.
通过这个实例，提高学生运用分式表达数量之间的关系，并运用分式的加减运算解决实际问题的能力，和增强学生用数学解决问题的意识。
3.学以致用，应用新知
考点1 分式的通分
例 要把分式与通分，分式的最简公分母是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
变式训练 对分式通分后，的结果是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
考点2 异分母分式的加减法
例 计算： ．
答案：1
变式训练 计算：______．
答案：
考点3 分式加减法的实际应用
例 中国首列商用磁浮列车平均速度为a km/h，计划提速20 km/h，已知从A地到B地路程为360 km，那么提速后从A地到B地节约的时间为（ ）
A．h B．h
C．h D．h
答案：C
变式训练 某农场原计划用m天完成n公顷的播种任务，如果要提前a天结束，那么平均每天比原计划要多播种
公顷．
答案：
通过例题讲解，巩固理解分式的通分及异分母分式的加减法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用异分母分式的加减法解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
2.把，，通分过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2
B．＝
C．＝
D．＝
答案：D
3.计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式＝＝．
（2）原式＝
＝
＝
＝
4.福州市的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一块边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基他是边长为（a﹣1）m的正方形，两块实取种植基地的茉莉花都收获了500 kg．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？
解：根据题意，
“飘香1号”茉莉花单位面积产量为（kg/m2），
“飘香2号”茉莉花单位面积产量为（kg/m2），
∵﹣＝＝＜0，
∴“飘香2号”茉莉花单位面积产量更高．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.分式的通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.
2.最简公分母：异分母分式通分时，为了方便计算，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母.
3.确定最简公分母的一般方法.
4.通分的一般步骤.
5.异分母的分式加减法法则是：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P121习题5.5中的T1—T5。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第2课时 异分母分式的加减
一、分式的通分
二、异分母分式的加减法法则
投影区
确定最简公分母
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
1、例题和习题采取梯度设置，有助于学生循序渐进的获得知识，对知识的掌握更容易且更牢靠，教学效果很好。
2、讨论让学生更明确其理所在，容易接受；演练让老师能更好的发现学生在接受新知识时所遇到的困难和容易犯的错误，有助于及时纠正，应该多采取这种方式。
3、实际问题解决在于对数学模型的理解，对字母表示数的理解，可以在平时教学中不时渗透，使学生用数学的意识增强，数学思想得到提升。
反思，更进一步提升。
课题
第3课时 分式的加减混合运算
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P122-124
教学目标
1、会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算；
2、提高学生对代数式化简变形的能力；
3、能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值；
4、会运用分式建立数学模型，从而解决实际问题，增强学生用数学的意识。
教学重难点
重点：异分母分式的加减乘除混合运算及运算顺序.
难点：灵活运用法则，选择合适的运算法则进行分式的混合运算.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
教师提问：同分母分式是怎样进行加减运算的？
学生回答：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
教师提问：异分母分式是怎样进行加减运算的？
学生回答：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
练一练：
；；.
师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
今天我们所要研究的内容是——分式的加减混合运算（板书课题：第3课时 分式的加减混合运算）
通过回忆同分母分式、异分母分式的加减法运算法则，来加深学生对所学知识的认识，也为这节课铺下理论基础。同时又通过练一练的三道题，检查学生对法则的运用情况，加强对法则的理解应用，为本节课的学习扫平障碍。
2.实践探究，学习新知
【探究1】分式的加减运算
例 .
教师点拨：第（2）题是一个分式与整式加减运算题.回顾分数与整数的加减运算.我们类比分数与整数的加减运算，思考分式与整式的加减运算.
学生归纳：整式可以看成分母为1的分式，然后通分计算即可.
教师强调：要注意的是第（2）题-x + 1前面的“-”号，通分添括号时，要注意符号的变化.这是本题的难点与易错点.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
分式的加减法的思路：
【探究2】分式的化简求值
已知，求的值.
教师提问：你还有其他解法吗？与同伴交流.
教师总结：本题有两种变形途径解决问题：
1、变已知，即书中提到的由得，消元法的思想去解决；
2、变所求，即将要求的式子朝已知的形式去变形。
【探究3】分式加减法的实际应用
教师提问：做一做：根据规划设计，某工程队准备修建一条长1 120 m的盲道．由于采用新
的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10 m，从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道x m，那么
（1）原计划修建这条盲道需要多少天？实际修建这条盲道用了多少天？
（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？
师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主解答.教师注意适时引导.
这三道题从难度上较上节课有一点攀升，涵盖了分母是多项式要先分解再通分、分式与整式的且有整体思想的混合运算、多项但分母间分解后就有公分母的运算，所以作为例题来讲解，也是本节课所要达到的能力目标之一，是教科书的基本素材，同时又能巩固异分母分式加减运算的能力。
从一个新的角度来提升分式加减法的运用——求值，也是我们分式变形最终的一个落脚点——分式求值，而此类题型在初一学生就训练了很多，一般都是直接给出x、y的值，这个例题又以新的角度考查，要求学生对代数式的变形能力明显提高。
从生活实际出发要求学生会用所学习的知识，通过实例,提高学生的运算能力和“数学化”的能力，去建立数学模型并解决实际问题。旨在考查学生的综合应用能力。
3.学以致用，应用新知
考点1 整式与分式的加减运算
例 计算的结果是（ ）
A． B． C．a+1 D．a2
答案：A
变式训练 若，则“（ ）”中的式子是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
考点2 分式的混合运算
例 分式化简结果是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
变式训练 计算．
解：
考点3 分式的化简求值
例 当x＝3时，分式（﹣x﹣1）÷的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
变式训练 先化简，再求值：，其中．
解：
；
当时，原式．
通过例题讲解，巩固理解分式的加减运算，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用分式的加减运算定理解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.化简的结果是（ ）
A．1 B．C．D．
答案：B
2.化简的结果为（ ）
A．a﹣1 B．a+1C．D．
答案：B
3.若化简的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（ ）
A．2x B．x﹣2 C．x+4 D．4
答案：A
4.（1）先化简：，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为的值代入求值．
（2）先化简：，其中，且是整数，再求值．
解：（1）
，
当a=2，3，-3时，原分式无意义，
故当a=1时，原式=；
（2）
，
当x=0，1，-1时，原分式无意义，
∵-1≤x≤2，x是整数，
∴x=2，故当x=2时，原式=．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.分式的加减法的思路：
2.分式的化简求值：首先利用分式的运算法则对分式进行化简，然后再把已知条件代入化简后的分式或整式求值即可．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P124习题5.6中的T1—T5。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第3课时 分式的加减混合运算
一、.分式的加减混合运算
二、分式的化简求值
三、.分式的加减法的应用
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
1、讨论让学生更明确其理所在，容易接受；演练让老师能更好的发现学生在接受新知识时所遇到的困难和容易犯的错误，有助于及时纠正，应该多采取这种方式。
2、实际问题解决在于对数学模型的理解，对字母表示数的理解，可以在平时教学中不时渗透，使学生用数学的意识增强，数学思想得到提升。
反思，更进一步提升。
课题
第1课时 分式方程的概念
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P125-126
教学目标
1．理解分式方程的概念；
2.能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义。
3．在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力。
教学重难点
重点：分式方程的概念.
难点：根据实际问题列分式方程.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：（课件播放）
在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题。面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务。原计划每月固沙造林多少公顷？
教师提问：（引导式提问）
1.这一问题中有哪些已知量和未知量？
学生回答：已知量：造林总面积2400公顷实际每月造林面积比原计划多30公顷提前4个月完成原任务
未知量：原计划每月固沙造林多少公顷
2.这一问题中有哪些等量关系？
（1）实际每月固沙造林的面积=计划每月固沙造林的面积+30公顷
（2）原计划完成的时间-完成实际的时间=4个月.
我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要＿＿＿个月，实际完成一期工程用了＿＿＿＿个月，根据题意，可得方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
（板书课题：第1课时 分式方程的概念）
为了让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型在解决实际生活问题中作用，利用第一节《认识分式》中一个熟悉的问题，引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
2.实践探究，学习新知
【探究1】列分式方程
甲、乙两地相距1400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8 倍．
教师提问：
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？
师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主解答.教师注意适时引导（可引导学生利用列表格可以帮助我们理清等量关系，列出方程）.
学生归纳：
（1）等量关系：
①乘高铁列车用的时间=乘特快列车所用时间－9 h；
②高铁列车的平均速度=特快列车的平均速度×2.8；
③，
.
（2）.
（3）.
教师点拨：本问题的分析也可以用列表方式表述，如对于问题（2）可以分析如下：
问题（3）可以分析如下：
【探究2】分式方程的概念
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800 元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多 20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？
教师提问：你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
学生归纳：主要的等量关系有：
八年级捐款人数= 七年级捐款人数+ 20人，
七年级捐款总额= 七年级捐款人数×七年级人均捐款额，
八年级捐款总额= 八年级捐款人数×八年级人均捐款额，
七年级人均捐款额= 八年级人均捐款额.
所列方程为：.
教师追问：上面所得到的方程有什么共同特点？这样的方程是什么方程？
、、
学生活动：学生认真观察、独立思考，并用自己的语言描述，然后再组织讨论、交流.
教师引导：注意比较所列方程与整式方程的区别.
学生归纳：这些方程的共同特点是：方程里都含有分式，且分母中含有未知数.而整式方程中的分母不含有未知数。
教师点拨：教师可以作如下解释：分式方程要满足两个条件，一是方程中的代数式都是分式或整式，二是分母中含有未知数.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的特征：（1）是方程；（2）含有分母；（3）分母中含有未知数.
3.分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数.
再次让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用，设置了这么一个例题，关键是引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
.
再次让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用。
通过让学生通过观察、归纳、总结出整式方程与分式方程的异同，从而得出分式方程的概念
3.学以致用，应用新知
考点1 分式方程的定义
例 下列方程不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
变式训练 已知方程：① ；② ；③ ；④ ．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
考点2 根据实际问题列分式方程
例 “五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
变式训练 某中学为准备“十四岁青春仪式”，原计划由八（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务，如果这4个小组的人数相等，设每个小组有学生x名，根据题意可列方程得（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
通过例题讲解，巩固理解分式方程的定义，并且训练学生的分析和建立分式方程模型的能力，体会数学与生活的联系。
通过变式训练巩固所学知识，灵活建立分式方程模型。
4.随堂训练，巩固新知
1.山西省图书馆创始于清宣统元年（1909年），是国内为数不多的百年老馆之一．小聪和小宇作为省图书馆的志愿者，负责整理读者阅览后的图书．已知小聪平均每小时整理图书的数量是小宇平均每小时整理图书的数量的1.3倍，小聪整理156本图书所用的时间比小宇整理100本图书所用的时间多15分钟．问小宇平均每小时整理多少本图书？设小宇平均每小时整理x本图书，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
2.关于x的方程：①＝6；②；③；④；⑤＝4；⑥﹣x．分式方程有 （填序号）．
答案：②④⑤
3.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某公司计划制作48盒粽子送给福利院，为了尽快让福利院拿到粽子，在实际加工过程中加快了制作速度，平均每天多制作了6盒，因此提前4天完成任务，设原计划x天完成，那么根据题意可以列出的方程为： ．
答案：＝6
4.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数比原计划多50%，结果提前4天完成任务，设原计划每天植树x棵，根据题意列出方程 ．
答案：
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的特征：（1）是方程；（2）含有分母；（3）分母中含有未知数.
3.分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P126习题5.7中的T1—T3。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第1课时 分式方程的概念
一、分式方程的概念
投影区
分式方程的特征
与整式方程的区别
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
本节课循序渐进，合理设计教学问题系列，有效组织教学活动，既发挥教师的主导作用，又体现学生的主体地位，较好地完成了教学目标．在本节课堂教学中，学生之所以能够很快列出分式方程，是因为学生在掌握了列分式和分式计算式的基础上，结合过去学过的列一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）、一次函数解应用题方法等，所以才能很快列出分式方程．在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围．
反思，更进一步提升。
课题
第2课时 分式方程的解法
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P126-128
教学目标
1.学生掌握解分式方程的基本方法和步骤；
2.经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.
3.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度；运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信.
教学重难点
重点：熟练掌握解分式方程的一般步骤，明确解分式方程的必要性.
难点：明确分式方程验根的必要性，探讨分式方程的增根问题.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
教师出示数学问题：
1.解一元一次方程的一般步骤是什么？
学生归纳：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；
（4）合并同类项；（5）系数化为1.
2.什么是分式方程？
学生归纳：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
3.上节课我们列出的分式方程，你能设法求解吗？分式方程应怎样求解呢？
这就是我们今天所要研究的内容——分式方程的解法.
（板书课题：第2课时 分式方程的解法）
学生通过回忆解一元一次方程的一般步骤和分式方程的概念，引出新课题——分式方程的解法.同时也为本节课的学习提供迁移和类比方法.
2.实践探究，学习新知
【探究1】解分式方程的基本思路
尝试解方程.
教师引导：方程中含有分母怎么办？
学生回答：去分母乘，最简公分母.
学生活动：学生先独立思考，然后小组讨论、交流，试解此分式方程.
学生解答：学生可能会用多种方法解这个分式方程.
解法1：
解法2：
解法3：1 400–500 = 9x，9x = 900，x=100.
解法4：1 400×2.8-1 400= 2.8x×9，2.8×9x = 1.8×1 400，x=100.
教师提问:通过上题，你能总结解分式方程的基本思路是什么吗？
学生总结：利用分式的基本性质、等式的基本性质将分式方程转化为一元一次方程，再求解.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
解分式方程的基本思路：利用分式的基本性质、等式的基本性质将分式方程转化为一元一次方程，再求解.
【教材例题】
例 解方程：.
学生活动：学生先独立思考，然后小组讨论、交流，试解此分式方程.
教师点拨：两个分式的最简公分母是什么？
学生回答：x（x-2）.
教师强调：解分式方程必须检验.，注意解题步骤和格式的规范.
【探究2】解分式方程及分式方程的增根
议一议：解方程1−xx−2=12−x−2.
教师提问:去分母时方程的两边同乘什么?
小亮的解法如下：
方程两边都乘x-2,得：1-x=-1-2(x-2).
解这个方程，得：x=2
教师提问：
1.你认为x=2是原方程的根吗？与同伴交流.
2.为什么会出现这样的结果？
学生回答：
1.x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，原分式方程无意义；
2.这是在去分母时，方程两边同乘（x-2）恰巧为0.
引出概念：使得原分式方程的分母为零的根，我们称它为原方程的增根．
教师引导：引导学生思考产生增根的原因是什么？
对于分式方程，当分式中分母的值为零时无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.
教师强调：因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.
师生归纳：验根的方法：
方法1：把解直接代入原方程进行检验.
方法2：把解代入分式的最简公分母，看最简公分母的值是否等于零，若等于零，即为增根。
教师追问：解分式方程一般需要经过哪几个步骤？
师生归纳：
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.增根：使得原分式方程的分母为零的根，我们称它为原方程的增根．
2.验根的方法：
方法1：把解直接代入原方程进行检验.
方法2：把解代入分式的最简公分母，看最简公分母的值是否等于零，若等于零，即为增根。
3.解分式方程的一般步骤：
（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程.
（2）解整式方程：去括号、移项、合并同类项等.
（3）检验：将解代入最简公分母.
（4）作答.
【教材例题】解方程：480x−6002x=45.
解：方程两边都乘2x,得：960-600=90x
解这个方程，得x=4
经检验，x=4是原方程的根。
教师强调：解分式方程容易犯的错误主要有：
1.去分母时，原方程的整式部分漏乘．
2.约去分母后，分子是多项式时，要注意加括号．
3.没有检验，增根不舍掉.
通过教师引导，使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求解。通过教师对例题讲解，让学生明确解分式方程的一般步骤。
本例比较简单，主要展示解题的步骤和格式.
让学生通过解这个方程，并思考问题，展开讨论，了解分式方程会产生增根，体会分式方程检验的必要性。
3.学以致用，应用新知
考点1 分式方程的解法
例 解方程时，去分母得（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
变式训练 方程的解是 ．
答案：x＝2
考点2 分式方程的增根
例 若分式方程＝+2有增根，则m的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
答案：D
变式训练 解关于x的分式方程＝时不会产生增根，则m的取值范围是 ．
答案：m≠﹣1
通过例题讲解，巩固理解分式方程的解法及增根，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，正确解分式方程。
4.随堂训练，巩固新知
1.下列关于分式方程解的情况，正确的是（ ）
A．解为x＝1.5 B．解为x＝﹣1
C．解为x＝﹣0.5 D．无解
答案：B
2.若关于x的方程﹣＝1的解为整数，则整数a的值的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
3.解分式方程：
（1）；
（2）．
答案：（1）方程两边都乘，
得，解这个方程，
得，
检验：当时，，所以是原方程的根.
（2），，
方程两边都乘，
得，解这个方程，
得，
经检验，当时，，
所以是增根，即原分式方程无解.
4.关于x的分式方程﹣＝1．
（1）若方程的增根为x＝3，求a的值；
（2）若方程无解，求a的值．
解：（1）去分母并整理得（a﹣4）x＝﹣21，
因为x＝3是原方程的增根，
所以（a﹣4）×3＝﹣21，
解得a＝3．
（2）去分母并整理得（a﹣4）x＝﹣21，
①当a﹣4＝0时，该整式方程无解，
此时a＝4；
②当3﹣a≠0时，要使原方程无解，
则x（x﹣3）＝0，即x＝0或x＝3，
把x＝0代入整式方程，a的值不存在，
把x＝3代入整式方程，得a＝3．
综合①②得a＝4或a＝3．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1、解分式方程的基本思路是什么？
2、解分式方程有哪几个步骤？
3、什么是分式方程的增根？
4、验根有哪几种方法？
1.解分式方程的基本思路：利用分式的基本性质、等式的基本性质将分式方程转化为一元一次方程，再求解.
2.解分式方程的一般步骤：
（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程.
（2）解整式方程：去括号、移项、合并同类项等.
（3）检验：将解代入最简公分母.
（4）作答.
3.增根：使得原分式方程的分母为零的根，我们称它为原方程的增根．
4.验根的方法：
方法1：把解直接代入原方程进行检验.
方法2：把解代入分式的最简公分母，看最简公分母的值是否等于零，若等于零，即为增根。
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P128习题5.8中的T1—T4。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第2课时 分式方程的解法
一、解分式方程的思路
二、解分式方程的步骤
投影区
增根
验根的方法
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
对于解分式方程，学生已经学过等式的基本性质，分式的通分，一元一次方程的解法，所以，解分式方程的根本是在于去分母，将分式方程化为整式方程，而要去分母，方程的两边要同乘以最简公分母，这是关键，因此，要在解分式方程之前先将最简公分母复习一遍，给学生铺好路，另外要给学生一个例子，就是方程两边都乘以最简公分母时，要求每一项都乘以最简公分母，让学生看到去分母的过程，这样，就可以避免出现很多的问题，也能让学生理解得更透彻。在教学中，注意引导学生理解化归的思想，即将未知的知识转化成已知的知识，分式方程转化为整式方程。
反思，更进一步提升。
课题
第3课时 分式方程的应用
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P129-130
教学目标
1.通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，会检验根的合理性；
2．经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．
3．通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．
教学重难点
重点：将日常生活中的实际问题转化成分式方程应用的过程，会检验根的合理性.
难点：寻求实际问题中的等量关系，不同问题的解决方法.
教学准备
多媒体课件
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：
“五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，你能得出什么关系式？
师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
学生回答：.
这就是我们今天所研究的内容——分式方程的应用（板书课题：第3课时 分式方程的应用）
引导学生通过独立思考和小组讨论的形式，用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题，鼓励学生大胆尝试，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．
2.实践探究，学习新知
【探究1】分式方程的应用
做一做（多媒体出示）
某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．
教师提问：
（1）你能找出这一情境的等量关系吗？
教师引导学生从不同角度寻求等量关系是解决这一问题的关键.
学生归纳：第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元．
第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数．
教师提问：
（2）根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要．
学生回答：同学们尽管提出符合情境的问题．
问题可以是：每年各有多少间房屋出租？
问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？
教师引导：下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？
师生共析：
解：设每年各有x间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为元，第二年每间房屋的租金为元.根据题意，得=+500.
解这个方程，得x=12.
经检验x=12是原方程的解，也符合题意．
所以每年各有12间房屋出租．
教师引导：我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？
学生解答：根据第一问的答案可计算，得
第一年每间房屋的租金为=8 000（元），
第二年每间房屋的租金为=8 500（元）．
教师追问：如果没有第一问，该如何解答第二问？
师生共析：
解：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为（x+500）元．第一年租出的房间为间，第二年租出的房间为间，根据题意，得
= .
解得x= 8000.
x+500=8 500（元）.
经检验，x=8 000是原分式方程的解，也符合题意．
所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元．
【探究2】列分式方程解应用题的一般步骤
某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5 m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5 m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用．1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元．超出5 m3的部分每立方米收费多少元？
教师提问：解决实际情境问题，最关键的是什么呢？
学生回答：审清题意，找出题中的等量关系．
教师提问：将该自来水公司水费计算办法用表格表示出来.你们找到题中的等量关系了吗？
学生归纳：该自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）.
用水量
单价
不超过5 m3
1.5元/m3
超过5 m3超出的部分
？元/m3
此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的．
教师追问：怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？
学生回答：根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5 m3的水费与超出5 m3部分的水费．
师生共析：
解：设超出5 m3部分的水每立方米收费为x元，则1月份张家超出5 m3的部分水费为（17．5－1．5×5）元，超出5 m3的用水量为 m3，总用水量为5+ m3；
李家超出5 m3部分的水费为（27.5－1.5×5）元，超出5 m3的用水量为 m3，总用水量为（5+）m3.
根据等量关系，得+5=（+5）×.
解这个方程，得x=2．
经检验x=2是所列方程的根．
所以超出5 m3部分的水每立方米收费2元．
教师点拨：引导学生总结列分式方程解应用题的一般步骤.
列分式方程解应用题的一般步骤：
1.审:清题意，并设未知数；
2.找:相等关系；
3.列:出方程；
4.解:这个分式方程；
5.验:根（包括两方面:(1)是否是分式方程的根；(2)是否符合题意）；
6.写:答案.
这一环节主要通过学生小组对提出的问题解决的过程培养了学生与他人合作的意识，最重要的是学生通过建立建立分式方程的模型解决的实际问题.让学生掌握列分式方程解决问题的方法.
本例既密切联系学生生活实际，又关注社会热点——水资源问题.引导学生从不同角度寻求等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识
3.学以致用，应用新知
考点1 销售问题
例 一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则两次共购进这种太阳伞 把．
答案：600
变式训练 为促进学生加强体育锻炼，某学校准备购买一些篮球和足球．已知篮球单价比足球的单价多20元，购买篮球花费7000元，购买足球花费2500元，篮球数量是足球数量的2倍．求篮球和足球的单价分别是多少元？
解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，由题意得
＝×2，
解得x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解且符合题意，
∴x+20＝70，
答：篮球的单价为70元，足球的单价为50元．
考点2 行程问题
例 甲、乙两人分别从距目的地6 km和10 km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3 ：4，结果甲比乙提前20 min到达目的地．求甲、乙的速度分别是多少．
解：设甲的速度为3x km/h，则乙的速度为4x km/h．
根据题意，得﹣＝，
解得x＝1.5，
经检验，x＝1.5是分式方程的解，且符合题意，
则3x＝4.5，4x＝6．
答：甲的速度为4.5 km/h，乙的速度为6 km/h．
变式训练 近年来，市区住建部门加快推进“空转绿”“微添绿”等项目建设，新增大小游园数十个，让市民开门即见绿，休憩有绿荫．老王和小王两父子准备从家匀速步行前往位于城西新建的祥泰公园散步，由于小王有事耽搁，比老王晚出发8分钟，小王的步行速度是老王的1.2倍，结果两人同时到达公园．已知老王家与公园相距2.4 km，求老王步行的速度．
解：设老王平均每小时行x千米，则小王平均每小时行1.2x千米，
根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的根，
答：老王步行的速度3 km/h．
考点3 工程问题
例 某项工程，需要在规定的时间内完成．若由甲队去做，恰能如期完成；若由乙队去做，需要超过规定日期三天．现在由甲乙两队共同做2天后，余下的工程由乙队独自去做，恰好在规定的日期内完成，求规定的日期是多少天？
解：设规定的日期为x天，则乙队需要（x+3）天完成，
根据题意得：2×（+）+（x﹣2）×＝1，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
答：规定的日期为了6天．
变式训练 为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠1800米，由甲、乙两个施工队同时开工合作修建，直至完工．甲施工队每天修建灌溉水渠100米，乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米．
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m米，则技术更新后每天修建水渠（1+20%）m米，
1800÷2＝900（米），
由题意得，
解得m＝90，
经检验，m＝90是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
通过例题讲解，巩固理解所学知识，训练学生的分析和建立数学模型的能力，体会数学与生活的联系。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用分式方程解决问题。
4.随堂训练，巩固新知
1.“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木2000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前4天完成任务．则实际每天植树 棵．
答案：125
2.某鞋店春节后进行促销活动，客户每购买一双某款运动鞋，可优惠50元，若同样用5500元购买此款运动鞋，促销活动后可购买的数量比促销活动前可购买的数量多10%，求这款运动鞋促销前的售价．
解：设这款运动鞋促销前的售价为x元，则进行促销活动时的售价为（x﹣50）元，
由题意得（1+10%）＝，
解得x＝550，
经检验，x＝550是原方程的解，且符合题意，
答：这款运动鞋促销前的售价为550元．
3.某工程队修建一条1800米的道路，由于施工过程中采用了新技术，所以工作效率提高了20%，结果提前3天完成任务．
（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？
（2）这项工程，如果要求工程队提前6天完成任务，那么实际的工作效率比原计划增加百分之几？
解：（1）设这个工程队原计划每天修建道路x米，由题意得﹣＝3，
解得x＝100，
经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意，
答：这个工程队原计划每天修建道路100米．
（2）设这个工程队实际每天修道路y米，由题意得
﹣＝6，
解得y＝150，
经检验，y＝150是所列方程的解，且符合题意，
则（150﹣100）÷100×100%＝50%，
答：实际的工作效率比原计划增加50%．
4.甲、乙两车站相距450 km，一列货车从甲车站开出3 h后，因特殊情况在中途站多停了一会，耽误了30 min，后来把货车的速度提高为原来的1.2倍，结果准时到达乙站，求这列货车原来的速度．
解：设货车原来的速度为x km/h，根据题意得
﹣＝，解得x＝75．
经检验，x＝75是原方程的解．
答：货车原来的速度是75 km/h．
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
列分式方程解应用题的一般步骤：
1.审:清题意，并设未知数；
2.找:相等关系；
3.列:出方程；
4.解:这个分式方程；
5.验:根（包括两方面:(1)是否是分式方程的根；(2)是否符合题意）；
6.写:答案.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P130习题5.9中的T1—T3。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第3课时 列分式方程解应用题
列分式方程解应用题的一般步骤
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
本节课循序渐进，合理设计教学问题系列，有效组织教学活动，既发挥教师的主导作用，又体现学生的主体地位，较好地完成了教学目标．教学中应结合具体的数学内容采用想“问题情境-建立模型-解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心．在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围．
反思，更进一步提升。
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