安徽省华大新高考联盟2024届高三下学期4月教学质量测评二模数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省华大新高考联盟2024届高三下学期4月教学质量测评二模数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

数 学
命题：
本试题卷共4页。满分150分，考试用时120分钟。
祝考试顺利
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。
2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。
3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。
4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则=
A．B．
C．D．
2．已知，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，记经过5次移动后，该质点位于X的位置，则=
A．B．C．D．
4．青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足，已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，，则
A．B．C．D．
5．=
A．tan20°B．tan70°C．-tan10°D．-tan40°
6．已知正方体中，点E是线段上靠近的三等分点，点F是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
7．已知数列的前n项和为，，，且是，的等差中项，则使得成立的最小的n的值为
A．8B．9C．10D．11
8．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若函数在上单调，则实数m的值可以为
A．-1B．C．D．3
10．已知函数，则
A．若，，则将函数的图象向右平移个单位后关于y轴对称
B．若，函数在上有最小值，无最大值，且，则
C．若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为
D．若在上至少有2个解，至多有3个解，则
11．已知抛物线C：的焦点为F，点M，N在抛物线C上，则
A．若M，N，F三点共线，且，则直线MN的倾斜角的余弦值为
B．若M，N，F三点共线，且直线MN的倾斜角为45°，则的面积为
C．若点在抛物线C上，且M，N异于点A，，则点M，N到直线的距离之积为定值
D．若点在抛物线C上，且M，N异于点A，，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．关于双曲线C：，四位同学给出了四个说法：
小明：双曲线C的实轴长为8；
小红：双曲线C的焦点到渐近线的距离为3；
小强：双曲线C的离心率为；
小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1；
若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是______；双曲线C的方程为______．（第一空的横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）
13．已知等边的外接圆O面积为36π，动点M在圆O上，若，则实数λ的取值范围为______．
14．已知空间四面体ABCD满足，，则该四面体外接球的体积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化．
（1）观察散点图可知，天数x与作物高度y之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度y关于天数x的线性回归方程（其中，用分数表示）；
（2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差．
参考公式：，．
参考数据：．
16．（15分）
已知数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在，使得成立，求实数λ的取值范围．
17．（15分）
已知四棱柱如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面内的投影为点，且，∠ABC=120°．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）已知点E在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
18．（17分）
已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若，讨论曲线与曲线的交点个数．
19．（17分）
已知椭圆C：短轴长为2，左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，，，直线与直线MO交于点，直线与直线NO交于点．
（1）若的坐标为，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过点并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足，，成等差数列．求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围；
（3）若，求实数a的取值范围．
机密★启用前（新教材卷）天数x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
作物高度y/cm
9
10
10
11
12
13
13
14
14
14
华大新高考联盟2024届高三4月教学质量测评
数学参考答案和评分标准
一、选择题
1．【答案】D
【命题立意】本题考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合的运算，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
【解析】因为，，则，故选D．
2．【答案】B
【命题立意】本题考查复数的概念、充要条件的判定，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
【解析】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．
3．【答案】D
【命题立意】本题考查互斥事件的概率、二项分布，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．
【解析】依题意，，故选D．
4．【答案】C
【命题立意】本题考查指对数的运算，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．
【解析】依题意，，，两式相减可得，，故，而，故，故选C．
5．【答案】A
【命题立意】本题考查三角函数的诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】依题意
，故选A．
6．【答案】C
【命题立意】本题考查空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】作出图形如图所示；不妨设AB=6，分别延长AE，交于点G，此时，连接FG交于H，连接EH，设平面AEF与平面的交线为l，则，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，设，则，此时，故；连接AI，则五边形AIFHE为所求截面图形，故选C．
7．【答案】D
【命题立意】本题考查数列的递推关系、等比数列的定义、累加法、错位相减法，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
【解析】依题意，，故，而，故数列是公比为2的等比数列，则，由累加法可知，，故，，两式相减可得，，令，即，
∵在上单调递减，解得，故选D．
8．【答案】B
【命题立意】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】依题意，，故，令，，由可得是的极小值点，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，．由，得，则对任意的恒成立，令，，则，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，则，故，故选B．
二、选择题
9．【答案】CD
【命题立意】本题考查二次函数的图象与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】令，则或或或解得或，故选CD．
10．【答案】ACD
【命题立意】本题考查三角函数的图象与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】，其图象关于y轴对称，故A正确；当时，有最小值，所以，所以，所以，因为在区间上有最小值，无最大值，所以，即，令，得，故B错误；令则或，故C正确；令或，则或，则需要上述相邻三个根的距离不超过，相邻四个根（距离较小的四个）的距离超过，即解得，故D正确；故选ACD．
11．【答案】BCD
【命题立意】本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的综合性问题，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】对A，设直线MN的倾斜角为，则或，解得，故A错误；对B，，故B正确；对C，此时抛物线C：，设直线AM：，设，，联立则，故或，则点M到直线的距离为，则点N到直线的距离为，故所求距离之积为，故C正确；对D，此时抛物线C：，设直线AM：，与抛物线方程联立可得，则，则，用替换可得，则，则，，故直线MN：，即，则点F到直线MN的距离，
而
，
令，故，当且仅当时等号成立，故D正确；故选BCD．
三、填空题
12．【答案】小强；．
【命题立意】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】分析可知，小明、小红、小强三个人中必有1位同学说法错误，则小同的说法一定是正确的，即，则小明和小红正确，即双曲线C：，故小强的说法错误．
13．【答案】．
【命题立意】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】依题意，，故，在中由正弦定理得，则；取线段AC的中点N，；取线段BN的中点P，则，，故，则．
14．【答案】36π．
【命题立意】本题考查空间几何体的表面积与体积，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】设E，F分别为BC，AD的中点，连接AE，DE，BF，CF，由已知，AB=DB，AC=BC，BC=BC，故；因为E是BC的中点，所以AE=DE；因为AF=DF，故，即EF是线段AD的垂直平分线，同理可得，EF是线段BC的垂直平分线，故球心在EF上，设球的半径为R，则即故，当且仅当O为线段AD的中点时等号成立，故所求外接球体积的最小值为36π．
四、解答题
15．【命题立意】本题考查回归直线方程的概念与运算，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．
【解析】（1）依题意，，
，
故，
，故所求回归直线方程为．
（2）由（1）可知，当时，，
故所求残差为．
16．【命题立意】本题考查数列的递推关系、裂项相消法，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
【解析】（1）当时，，解得；
当时，，，
两式相减可得，，
则，，…，．
累加可得，，则；
而，2时也符合题意，故；
（2）依题意，，
故；
解法一：故；
则；
而（当且仅当时取等号），
故实数λ的取值范围为．
解法二：故，
当即时，，
则，故实数λ的取值范围为．
17．【命题立意】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】不妨设AD=1．
（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，故；
在中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，
由余弦定理，，得；
故，则．
因为，所以AD⊥平面；
而平面，所以平面平面．
（2）由（1）知，DA，DB，两两垂直，以D为坐标原点，分别以向量，，的方向为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，，
∴，
所以，，
设，则，即．
所以；
设为平面的一个法向量，则
即
令，则，，取；
易知DB⊥平面，故为平面的一个法向量；
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，故．
18．【命题立意】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】（1）依题意，，
故，
而，故所求切线方程为，即；
（2）令，故，
令，
，令，
，
①当时，，，，
∴，∴在上为减函数，即在上为减函数，
又，，
∴在上有唯一的零点，设为，即．
∴在上为增函数，在上为减函数．
又，，
，
∴在上有且只有一个零点，在上无零点；
②当时，，单调递减，
又，，
∴在内恰有一零点；
③当时，为增函数，
∴，
∴单调递增，又，，
∴存在唯一，使得，当时，，递减；
当时，，递增，，
∴在内无零点．
综上所述，曲线与曲线的交点个数为2．
19．【命题立意】本题考查圆锥曲线的方程、直线与圆锥曲线综合问题．考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】依题意，，故椭圆C：；
（1）易知点为的重心，则，故，
代入椭圆方程得∴椭圆C的方程为；
（2）∵，，成等差数列，．∴．
设，，AD中点．，由弦长公式，
∵，∴，同理，代入可得，
①当AB斜率存在时两式作差可得，，
∴，∴弦AD的中垂线方程为，
当时，，即AD的中垂线的纵截距．
∵在椭圆C内，∴，得，且．
②当AB斜率不存在时，此时AD：，．
∴综上所述，即弦AD的中垂线的纵截距的取值范围为．
（3）解法一：易知点，分别为，的重心，设，，设点，，则根据重心性质及面积公式得，
，
而∴，
∴，∴，
解法二：易知点为的重心，，
∴，，，
此时，设点，，，，则根据重心的性质可得，
∴，，，
∴，；；
而，∴
∴，；
设直线l：，则联立椭圆方程得
消元化简得，，
∴，，
∴，
∴对任意的t恒成立，
即，故实数a的取值范围为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
D
C
A
C
D
B
CD
ACD
BCD