湖南省衡阳县三校联考2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册第七章
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，复数，则（ ）
A. B. 5C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的乘法运算，结合复数相等及复数模求解即得.
【详解】由，得，而，
因此，所以.
故选：A
2. 已知函数图象一个对称中心为，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助二次函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质逐项计算即可得.
【详解】对A：二次函数不是中心对称图形，故A错误；
对B：当时，，由不是函数的对称中心，
故不是的对称中心，故B错误；
对C：当时，，由不是函数的对称中心，
故不是的对称中心，故C错误；
对D：当时，，由是函数的对称中心，
故是的对称中心，故D正确.
故选；D.
3. 已知随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项分布的方差公式计算.
【详解】随机变量，则.
故选：A
4. 甲与10名同学参加了一场一对一乒乓球友谊赛，这10名同学中有6名同学球技一般，有4名同学球技高超.甲打赢球技一般的同学的概率为0.9，打赢球技高超的同学的概率为0.1.甲从这10名同学中随机选取一名作为对手，则他打赢这场比赛的概率为（ ）
A. 0.54B. 0.58C. 0.60D. 0.64
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合全概率公式，即可求解.
【详解】根据题意，用分别表示甲随机选取的选手时球技一般的同学，球技高超的同学，
用表示甲打赢这场比赛，
可得，
所以由全概率公式，可得.
故选：B.
5. 在中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.
【详解】由，得，整理得.
故选：D
6. 将一个母线长为，底面半径为的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，由圆锥的结构特征可得其内切球的半径与该圆锥过顶点与底面直径的轴截面的内切圆半径相等，借助等面积法求出该半径，结合球的表面积公式即可得.
【详解】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，
该内切球的半径与该圆锥过顶点与直径的轴截面的内切圆半径相等，
画出该轴截面如图，
由母线长为，底面半径为可得该圆锥的高，
设内切球的半径为，则有，
解得，即内切球表面积为.
故选：A.
7. 已知分别是椭圆的左､右焦点，是的右顶点，过的直线与直线交于点，射线与交于点，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意可得，借助相似三角形的性质可得，即可得，，代入椭圆方程计算即可得离心率.
【详解】不妨设点在轴上方，
由，即有，，
则，
由，即，
故，，
故有，整理可得，
故或（大于1，故舍去），
故.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助点的横纵坐标，结合题意得到的，计算出点坐标，再代入椭圆中即可得解.
8. 已知函数满足，则（ ）
A. 10000B. 10082C. 10100D. 10302
【答案】C
【解析】
【分析】赋值得到，利用累加法得到，令得到，赋值得到，从而求出答案.
【详解】中，令得，
，
故，
故，
其中，①
，②
，③
……，
，
上面99个式子相加得，
，
令得，
中，令得，
故.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 2017年至2022年湖南省年生产总量及其增长速度如图所示，则（ ）
A. 2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加
B. 2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为14842.3亿元
C. 2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的众数为
D. 2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的分位数为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定的条形图及折线图，结合极差、众数及分位数的意义判断即得.
【详解】对于A，2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加，A正确；
对于B，2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为（亿元），B正确；
对于C，2017年至2022年湖南省年生产总量增长速度的众数为，C正确；
对于D，2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度从小到大依次为：
，而，所以该组数据的分位数为，D错误.
故选：ABC
10. 已知内角的对边分别为为线段上的一点，且，则（ ）
A. B.
C. D. 的面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由正弦定理得，
因为，所以，即，所以A错误；
对于B中，由，可得，
可得，
由余弦定理，可得，
解得，所以B正确；
对于C、D中，由，可得，
可得，所以，则的面积为，所以C正确，D错误.
故选：BC.
11. 已知集合满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则中的元素的个数为1
B. 若，则中的元素的个数为15
C. 若，则中的元素的个数为45
D. 若，则中的元素的个数为78
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由集合的定义即可列举出集合中所有的元素即可判断；对于B，中的元素均为正奇数，对分类讨论即可验算；对于C，原问题等价于将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲､乙､丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法即可验算；对于D，原问题等价于将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法验算即可.
【详解】由题意得，所以中的元素的个数为，A错误.
由题意得中的元素均为正奇数，在中，
当时，有共5个元素，
当时，有共4个元素，
当时，有共3个元素，
当时，有共2个元素，
当时，有共1个元素，
所以中的元素的个数为，B正确.
，可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲､乙､丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为45，C正确.
，
可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是将问题进行适当的转换，并利用隔板法，由此即可顺利得解.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 双曲线的渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的方程，直接求出渐近线方程即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为，即.
故答案为：
13. 被17除的余数为______．
【答案】15
【解析】
【分析】根据二项式系数的性质得到，再化简得到，得到答案.
【详解】由题意得，
因为
，
所以所求的余数为15．
故答案为：15
14. 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】可以看作两点距离的平方，即可转化为研究直线上的点到曲线的距离的平方的最小值，借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】可以看作两点距离的平方，
动点在函数的图象上，动点在直线上，
，当曲线在处的切线与平行时，最小，
则，得或（负根舍去），所以切点），
到的距离，
所以的最小值为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列为等差数列，且．
（1）求；
（2）若，数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）根据（1）结论及指数的运算，利用分组求和法、等比数列的前项和公式及裂项相消法即可求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，则
，
数列的通项公式为，即.
【小问2详解】
由（1）知，，，
，
,
,
.
16. 如图，在正方体中，分别为的中点，点在的延长线上，且.
（1）证明：平面.
（2）求平面与平面夹角余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由（1）的坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.
【小问1详解】
在正方体中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
令，则，
于是，显然，
则，而平面；
所以平面.
【小问2详解】
由（1）知平面的一个法向量为，，
设平面的一个法向量，则，取，得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值是.
17. 已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，且到直线的距离之和等于.
（1）求的方程；
（2）若的斜率大于，在第一象限，过与垂直的直线和过与轴垂直的直线交于点，且，求的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由因为到直线的距离之和等于，根据抛物的定义和焦点弦长，列出方程，求得的值，即可求解；
（2）设，联立方程组，得到，结合跑线的焦点弦长得到，再设，求得，根据，求得的值，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，
则到准线的距离之和等于，
因为到直线的距离之和等于，可得，
解得，所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
解：由焦点，可得设且，
联立方程组，整理得，
则且，
所以，
设，由，可得，
即，
所以，
由，可得，
代入，可得，解得，
所以直线的方程为.
18. A盒子中有6个小球，B盒子中有8个小球，甲､乙两人玩摸球游戏，约定：甲先投掷一枚质地均匀的骰子，若骰子朝上的点数为偶数，则从A盒子中取出2个小球放入B盒子，否则从A盒子中取出3个小球放入B盒子，乙再投掷一枚质地均匀的骰子，若骰子朝上的点数大于4，则从B盒子中取出3个小球放入A盒子，否则从B盒子中取出2个小球放入A盒子，整个游戏过程为一个回合.
（1）求第一个回合后两个盒子中小球个数相同的概率；
（2）两个回合后，记两个盒子中小球的个数分别为，求的分布列与期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）分别计算出每种情况的概率后借助相互独立事件的乘法公式计算即可得；
（2）分别计算出每个回合的各种情况的概率后，借助相互独立事件的乘法公式计算两个回合的不同情况的概率即可得.
【小问1详解】
由题意可得从A盒子中取出2个小球放入B盒子的概率为，
从A盒子中取出3个小球放入B盒子的概率也为，
从B盒子中取出3个小球放入A盒子的概率为，
从B盒子中取出2个小球放入A盒子的概率为，
设、分别表示从盒子和从盒子中拿出个小球放入另一个盒子的情况，
则第一个回合后两个盒子中小球个数相同的概率为：
；
【小问2详解】
一个回合中，从A盒子中取出个小球后再从B盒子中取出个小球的概率为:
，此时A盒子、B盒子中分别有个、个小球，
从A盒子中取出个小球后再从B盒子中取出个小球的概率为：
，此时A盒子、B盒子中分别有个、个小球，
从A盒子中取出个小球后再从B盒子中取出个小球的概率为：
，此时A盒子、B盒子中分别有个、个小球，
从A盒子中取出个小球后再从B盒子中取出个小球的概率为：
，此时A盒子、B盒子中分别有个、个小球，
即一个回合中，甲盒子中减少一球的概率为，
甲盒子中小球数量不变的概率为，
甲盒子中小球数量增加一个的概率为，
设第一回合中甲盒子中小球减少一球、数量不变及增加一个的情况分别为,,,
第二回合中甲盒子中小球减少一球、数量不变及增加一个的情况分别为,,,
则的可能取值为、、、、，
，
，
，
，
，
即其分布列为：
其期望为.
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值集合；
（3）若存在，且，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论导函数值正负即可得解.
（2）由已知可得，再利用（1）的结论求出函数的最小值，并构造函数探讨函数最大值即得.
（3）根据条件，将问题转化为函数在和存在零点，再分类讨论并借助导数、零点存在性定理探讨零点即得.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，由，得，递减，由，得，递增，
所以当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在单调递增.
【小问2详解】
依题意，，由恒成立，得，则，
由（1）知，，令，
求导得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，
因此，由恒成立，得，则，
所以的取值集合为.
【小问3详解】
由，得，
令，依题意，函数在和上存在零点，
求导得，在，当时，，
当时，，函数在上单调递增，，
函数在上无零点，不符合题意，
当时，令，求导得，
当时，，函数，即在上单调递增，
，，则存在，使得，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
因此，，则函数上存在唯一零点；
当时，令，求导得，
令，求导得，
函数在上单调递增，，
则，使得，当时，，函数递减，
当时，，函数递增，则，
于是，使得，当时，，函数，即递减，
当时，，函数，即递增，则，
因此，使得，当时，，函数递增，
当时，，函数递减，则，，
从而函数在上存在唯一零点，
则当，函数在和上各存在一个零点，
所以的取值范围是.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．