江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期第一次（3月）学情调研测试数学试题（3月+3月）

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命题：高一数学备课组审核：朱骏
一、单项选择题，本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. 已知点，，则与向量方向相同的单位向量为
A. B. C. D.
2. 已知单位向量，夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）
A. B. C. D.
3. 计算（）
A. 1B. 2C. D.
4. P是所在平面上一点，满足，则的形状是（）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形
5. 已知，且，则等于（）
A. B. C. D.
6. 已知函数在内有且仅有3个零点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，，，边上的两条中线于点，则（）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系xOy中，，，若点是线段AB上的动点，设，则的最大值为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得3分，不选或有选错得0分．
9. 下列说法中,错误有（）
A. 单位向量都相等B. 模相等的两个平行向量相等
C. 若且,同向,则D. ,若,,则
10. 已知函数，则（）
A. 图象的对称中心为
B. 图象的对称轴方程为
C. 的增区间为
D. 的最大值是，最小值是
11. 定义平面向量的一种运算，其中是与的夹角，下列说法正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C 若，则
D. 若，，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12. 已知，且为锐角，则的值为_________．
13. 青花瓷（blue and white prcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是______．

14. 如图，在中，，，D，E分别是直线AB，AC上的点，，，且，则______．若P是线段DE上的一个动点，则的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共74分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在平面直角坐标系中，已知，.
（1）若，求实数k的值；
（2）若，求实数t的值.
16. 已知，，α，β均为锐角．
（1）求的值；
（2）求的值．
17. 已知是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求在方向上的投影向量．
18. 如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A，B之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D测得另一座高塔底部B和顶部C的视角为45°（即），已知两座高塔的高AD为30m，BC为75m，塔底A，B在同一水平面上，且，．
（1）求两座高塔底部A，B之间的距离；
（2）为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A，B之间的点P处（点P在线段AB上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求∠DPC最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果？
19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
（1）设函数，试求的伴随向量；
（2）记向量伴随函数为，在中，，，求的值；
（3）记向量的伴随函数为，函数，函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，求函数的值域．
20. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存，使得，则称X具有性质P．
（1）设，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
（2）若，且集合具有性质P，求x的值；
（3）若X具有性质P，且，q为常数且，求证：．