山东省菏泽市第二中学西安路校区2024届高三下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】借助众数定义即可得.
【详解】由数据可知，其中服务次数为4的个数最多，故众数为4.
故选：D.
2. 已知向量满足，则的值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，根据平面向量数量积的运算律即可求解.
【详解】由题意知，.
故选：C
3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（ ）
A. B. 4C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助三角形面积公式及余弦定理计算即可得.
【详解】，由，故，又，
故，，由余弦定理可得：
，
即.
故选：C.
4. 四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据台体的体积公式运算求解.
【详解】由题意可得：四羊方尊的容积约为.
故选：A.
5. 将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分到同一个地区的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人共有多少种分法，再求出甲、乙、丙分到同一个地区的分法数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，
则有3人分到一个地区，分配方法共有种，
其中甲、乙、丙分到同一个地区的分配方法有，
故所求的概率为，
故选：D
6. 辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称. 已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为（ ）
A. 14.4B. 9.6C. 24D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】由题意根据正态分布的对称性求出的值，确定质量在的盘锦大米的袋数，根据二项分布的方差公式，即可求得答案.
【详解】由题意知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，
且，故，
从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数
故，
故选：A
7. 已知函数满足，则（ ）
A. 10000B. 10082C. 10100D. 10302
【答案】C
【解析】
【分析】赋值得到，利用累加法得到，令得到，赋值得到，从而求出答案.
【详解】中，令得，
，
故，
故，
其中，①
，②
，③
……，
，
上面99个式子相加得，
，
令得，
中，令得，
故.
故选：C
8. 已知动点在直线上，过总能作圆的两条切线，切点为，且恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设,，然后得到恒成立，进一步转化为最短即为点到直线的距离，计算即可.
【详解】设，则,
恒成立，即，则恒成立，
最短即为点到直线的距离，则，解得或.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】借助辅助角公式可将函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得的范围.
【详解】，
当，由，则，
则有，，
解得，，
即，，
有，，即，即或，
当时，有，时，有，
故的取值可能在或.
故选：AC.
10. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出集合，根据集合的运算即可判断A，B；结合，可判断C；由，结合判别式，可求得a的范围，即可判断D.
【详解】由题意得，
故，，A错误，B正确；
由于，故，则，C正确；
若，则能取到所有的正数，
即，则或，
即，D正确，
故选：BCD
11. 拋物线的焦点到准线的距离为1，经过点的直线与交于两点，则（ ）
A. 当时，直线斜率的取值范围是
B. 当点与点重合时，
C. 当时，与的夹角必为钝角
D. 当时，为定值（为坐标原点）
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据条件，得到，，再结合各个选项的条件，联立直线与抛物线方程，逐一分析判断，即可求出结果.
【详解】依题意可得，
对于选项A，当时，设直线的方程为，代入，
得，则，得到且，
所以，故选项A错误，
对于选项B，当点与点重合时，直线的方程为，代入，
得，设，
则，
则，所以选项B正确，
当时，直线的方程为，代入，
得，则，，易知异号，所以，则，
所以，得到，所以选项正确，
又当时，在内，则，
又三点不可能共线，所以与的夹角必为钝角，所以选项C正确，
故选：BCD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据元素相邻关系进行捆绑并结合排列问题得出结果.
【详解】服务员随机上这八道菜有种排法，
“沙葱牛肉”，“北京烤鸭”相邻有种排法，
所以所求概率．
故答案为：.
13. 在中，内角的对边分别为，且，则的最小值为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理及条件可得，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】由正弦定理得，，
因为，所以，
当且仅当即等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
14. 已知球O的表面积为，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O为的外心，棱AB与球面交于点P．若平面，平面，平面，平面，且与之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与交于点Q，R，则的周长为______.
【答案】##
【解析】
【分析】结合球的表面积公式，根据正三角形外接圆的性质求得边长，利用三点共线及数量积的运算律求得，然后利用平行平面的性质求得，，再利用余弦定理求得，即可求解的周长.
【详解】设与之间的距离为d，设球O的半径为R，则由题意得，解得，
所以，所以，所以，
由A，P，B三点共线，故存在实数使得，
所以，所以，即，
解得，所以，所以，所以，
又且与之间的距离为d，则，，
所以，，所以，
又，所以的周长为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查学生的空间想象能力，解题关键是找到点的位置．本题中应用正四面体的性质结合球的半径，求出边长，利用平行平面的距离，得到所求三角形的边长即可求解.
四、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得答案；
（2）由（1）的结果可得的表达式，利用分组求和法，即可证明结论.
【小问1详解】
由题意可知，当时，；
当时，由得，，
两式作差可得，，
也适合该式，故；
【小问2详解】
证明：由题意知，
故
，
由于，则，故，
即.
16. 2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sra”，Sra模型可以生成最长60秒的高清视频．Sra一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Pythn编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Pythn编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分．
已知甲同学参加“Pythn编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7．
（1）若甲同学先进行“Pythn编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【答案】（1）分布列见详解
（2）先回答“Pythn编程语言”考试这类问题，理由见详解.
【解析】
【分析】（1）由已知可得的所有可能取值，分别计算概率即可求解；
（2）设甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分，求解的分布列，分别计算，的期望，比较大小，即可求解.
【小问1详解】
由题意的所有可能取值为，，，
所以，，
，
所以的分布列为
【小问2详解】甲同学选择先回答“Pythn编程语言”考试这类问题，理由如下：
由（1）可知，
甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分，
则的所有可能取值为，，，
，，
，
所以的分布列为
，
所以，
所以甲同学选择先回答“Pythn编程语言”考试这类问题.
17. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，．
（1）证明：平面；
（2）若，点满足，求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直性质定理得证线面垂直后可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明结论成立；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【小问1详解】
过作于点，平面平面，且平面平面，平面，
故平面．又平面，．
又，，平面，平面，
所以平面，
【小问2详解】
由（1）平面，平面,故,
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,0,，，,1,，，
故，,所以,
，
设平面的法向量，
则，令有，故，
平面法向量，
则，
又二面角所成角为锐角，
二面角所成角的余弦值为，角的大小为．
18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.
（1）求离心率；
（2）若△的重心为，点，求的最小值；
（3）若△的垂心为，求动点的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）
（3）（去除点）.
【解析】
【分析】（1）将点代入双曲线的方程求出值，即可求得的离心率；
（2）根据三角形的重心公式求得动点的轨迹方程，根据两点间距离公式求出的最小值；
（3）根据求动点的轨迹方程.
【小问1详解】
因双曲线经过点，所以，解得，
所以的离心率，
【小问2详解】
易知.设.
因为△的重心为 ，所以,解得,
因为，所以，即.
因为不共线，所以 且，
所以的轨迹不含两点.
故，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为.
【小问3详解】
因为为△的垂心，所以，
设，
当直线或的斜率为0时，点的坐标为或，
此时点与点重合，不合题意，舍.
当直线或的斜率不为0时，直线与的斜率存在，
则，
由（2）知，则，
则.
因为，所以，
，则，得，
则，因为构成三角形，故不能在轨迹上，
综上，动点的轨迹方程为（去除点）.
19. 大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据漏斗”软件对数列进行操作后得到，设前n项和为．
（1）求；
（2）是否存在不同的实数，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由；
（3）若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以4余数为0，1项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合题意可得，借助等比数列前项和公式计算即可得；
（2）借助反证法，假设存在，结合等差数列的性质得到与假设矛盾之处即可得；
（3）借助题意，计算出后，可得，，即可得，，再得到，，
即可得，设出，从而证明，分、、、逐个证明即可得.
【小问1详解】
由，知：当时，；
当时，故，，
则，；
【小问2详解】
假设存在，由单调递增，不妨设，，，，，
化简得，∵，∴，
∴，∴，
与“，且，”矛盾，故不存在；
【小问3详解】
由题意，，则，，，
所以保留，，则，，，
又，，，，，
将，删去，得到，则，，
，，，
即：，，，
即：，，
记，下面证明：，
由，，，，
时，，，
；
时，，，
；
时，，，
；
时，，，
，
综上，对任意的，都有，原命题得证．
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于由题意得到的通项公式后，设出，从而证明，此时需分、、、逐个证明.