山东省泰安市泰山国际学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 若向量与满足且，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
2. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
4. 在中，，，边上的中线，则的面积S为( )
A. B. C. D.
5. 在中，角所对的边分别为，且，则的形状为（ ）
A. 正三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形
6. 在中，．若的最长边的长为．则最短边的长为（ ）
A. B. C. 2D.
7. 已知的外接圆圆心为，，，则在上的投影向量为（ ）
A B.
C. D.
8. 如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中，能使恰有一个解的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 在正三角形中，，的夹角为
B. 若，且，则
C 若且，则
D. 对于非零向量，“”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件
11. 在中，，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 在中，内角所对的边分别为，若的面积为16，则下列结论正确的是（ ）
A. 是直角三角形
B. 是等腰三角形
C. 周长为32
D. 的周长为
第II卷（非选择题）
三、填空题
13. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则__________.
14. 在中，、、对边分别为a、b、c，若、、，则______．
15. 已知：点和向量，若，则点B的坐标是______．
16. 已知平面向量均为单位向量，且，则向量与的夹角为______，的最小值为______．
四、解答题
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，．
（1）求角A的大小；
（2）求的值；
（3）求的面积.
18. 已知向量，，．
（1）若，，求的值；
（2）若，求与的夹角的余弦值．
19. 在中，分别是上的点，且与相交于点.
（1）用表示；
（2）若，求面积的最大值.
20. 在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB､BC､CD､DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.

（1）若米，求烧烤区的面积？
（2）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？（精确到0.1米）
（3）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
21. 在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且，设，.
（1）试用基底，表示，，；
（2）若G为长方形所在平面内一点，且，求证：三点不能构成三角形.
22. 如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点，，设，.

（1）若，，求的值；
（2）若点为线段的中点，求的最小值.