云南省昭通市水富市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合，，则（ ）
A. B.
C D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
3. 已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（ ）
A. 13B. C. 3或D. 或13
4. 圆与圆公切线条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 下列区间中，函数单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则成立的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知等比数列的前项积为，公比，则（ ）
A. B.
C. 当时，最小D. 当时，最大
11. 已知抛物线的焦点为，且，B，C三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ）
A. 点的坐标为
B. 若直线过点F，O为坐标原点，则
C. 若，则线段的中点到轴距离的最小值为
D. 若直线，是圆的两条切线，则直线的方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则__________.
13. 已知等差数列满足，则数列的通项公式为__________；记数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为__________.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，且，，则的离心率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的公差为，数列与数列满足且．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和与数列的前项和．
16. 如图1，在矩形中，，点分别是上一点，且，过点作于点，将剪掉，并将四边形沿直线折叠，使（如图2），连接，取中点，连接.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17. 已知椭圆的焦距为4，短半轴长为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，点是线段AB的中点，求直线l的方程.
18. Unidentified Flying Object，简称UFO，俗称飞碟，通常被人们看作是外地文明派到地球的使者．为了调查国内网友对UFO的了解情况，资深UFO爱好者李磊，在网上发起了一项“UFO”有奖问答，共有10000名网友参加，李磊随机抽取了1000名（得分都在60～100分之间），将得分分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）李磊决定根据得分从高到低，对参与活动的高分网友发放奖品，试估计这次有奖问答的获奖分数线；（保留一位小数）
（2）用分层随机抽样的方法从，两个分数段共抽取出4名网友，再从这4名网友中随机抽取2名依次分享UFO时间供大家交流，求第一个分享的网友得分在的概率．
19. 已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若函数恰有两个零点，求的取值范围.