高考数学专题练 专题二 微专题15　三角函数的图象与性质（含答案）

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典例1 (1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象，则f(x)等于( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(7π,12))) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,12)))
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(7π,12))) D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,12)))
(2)(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
典例2 (1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上单调递增，直线x＝eq \f(π,6)和x＝eq \f(2π,3)为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)))等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝eq \f(1,2)与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝eq \f(π,6)，则f(π)＝________.
典例3 (1)(2023·天津模拟)将函数f(x)＝2sin xcs x－2cs2x＋1，x∈R的图象向左平移eq \f(3π,8)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是( )
A．g(x)是最小正周期为2π的奇函数
B．g(x)是最小正周期为2π的偶函数
C．g(x)在(π，2π)上单调递减
D．g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值为－eq \r(2)
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))中心对称，则( )
A．f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5π,12)))上单调递减
B．f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(11π,12)))上有两个极值点
C．直线x＝eq \f(7π,6)是曲线y＝f(x)的对称轴
D．直线y＝eq \f(\r(3),2)－x是曲线y＝f(x)的切线
[总结提升]
1．三角函数的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)求得．
(2)y＝Acs(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
2．有关三角函数综合问题的求解策略
熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中注意角的范围的判定，防止错解．
1．下列函数中，以eq \f(π,2)为周期且在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增的是( )
A．f(x)＝|cs 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cs|x| D．f(x)＝sin|x|
2.已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，其中A(0，2eq \r(2))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，－2\r(2)))，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2kπ,3)－\f(π,4)，\f(2kπ,3)＋\f(π,12)))(k∈Z)
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2kπ,3)－\f(π,6)，\f(2kπ,3)＋\f(π,6)))(k∈Z)
3．(2023·淄博模拟)已知函数f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为eq \f(π,3)，要得到函数g(x)＝Acs ωx的图象，只需将f(x)的图象( )
A．向左平移eq \f(π,12)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,12)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,18)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,18)个单位长度
4．已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x，给出下列结论，正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期是2π
B．函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(5π,8)))上单调递减
C．函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))中心对称
D．函数f(x)的图象可由函数y＝eq \r(2)sin 2x的图象向右平移eq \f(π,8)个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
5．若f(x)＝cs x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.eq \f(3π,4) D．π
6．(2023·北京模拟)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x＋π)的一个周期为eq \f(π,2)
B．函数f(x＋π)的一个零点为eq \f(π,6)
C．y＝f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度得到
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(3π,2)对称
7．(多选)(2023·沈阳模拟)已知函数f(x)＝tan x＋sin x＋|tan x－sin x|，则( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减
C．f(x)的图象关于原点中心对称
D．f(x)的值域为(－2，＋∞)
8．(多选)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，则( )
A．由f(x1)＝f(x2)＝eq \f(1,2)，可得x1－x2是π的整数倍
B．函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))为偶函数
C．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减
D．函数f(x)在区间(0,10π)上有19个零点
9．(2023·聊城模拟)若G(x，y)是函数y＝cs x图象上的任意一点，则Keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)，2y))是函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)图象上的相应的点，那么f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝________.
10．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cs(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(fx－f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,4)))))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(fx－f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)))))>0的最小正整数x为________．
11．(2023·临沂模拟)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(φ))<\f(π,2)))的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为eq \f(π,2)，则φ＝________.
12．已知函数f(x)＝eq \r(2)sin ωx，g(x)＝eq \r(2)cs ωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．
(1)当ω＝1时，△ABC面积的最小值为______；
(2)若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为________．
专题二 平面向量、三角函数与解三角形
微专题14 三角函数的概念与三角恒等变换
[考情分析] 三角函数的概念与三角恒等变换是高考常考内容，主要考查三角函数的概念、同角三角函数关系式、诱导公式，以及三角恒等变换的综合应用，给值求值问题．试题难度中等，常以选择题、填空题的形式出现．
考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系式
典例1 (1)已知角α的终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(5π,6)，cs \f(5π,6)))，则角α的最小正值为( )
A.eq \f(5π,6) B.eq \f(11π,6) C.eq \f(5π,3) D.eq \f(2π,3)
答案 C
解析 角α的终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(5π,6)，cs \f(5π,6)))，即为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，
在第四象限，且满足cs α＝eq \f(1,2)，sin α＝－eq \f(\r(3),2)，故α的最小正值为eq \f(5π,3).
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan θ＝eq \f(1,2)，则sin θ－cs θ＝________.
答案 －eq \f(\r(5),5)
解析 因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则sin θ>0，cs θ>0，
又因为tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝eq \f(1,2)，
则cs θ＝2sin θ，
且cs2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，
解得sin θ＝eq \f(\r(5),5)或sin θ＝－eq \f(\r(5),5)(舍去)，
所以sin θ－cs θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－eq \f(\r(5),5).
跟踪训练1 (1)已知α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)等于( )
A．－eq \f(15,17) B.eq \f(15,17) C．－eq \f(8,17) D.eq \f(8,17)
答案 D
解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝cs α·tan α＝sin α，
因为α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,17)))2)＝eq \f(8,17).
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝eq \f(8,17).
(2)若sin θ＝eq \r(5)cs(2π－θ)，则tan 2θ等于( )
A．－eq \f(\r(5),3) B.eq \f(\r(5),3)
C．－eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(5),2)
答案 C
解析 ∵sin θ＝eq \r(5)cs(2π－θ)，
∴sin θ＝eq \r(5)cs θ，得tan θ＝eq \r(5)，
∴tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝eq \f(2\r(5),1－\r(5)2)＝－eq \f(\r(5),2).
考点二 两角和与差的三角函数
典例2 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cs(α＋β)＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sin β，则( )
A．tan(α－β)＝1
B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1
D．tan(α＋β)＝－1
答案 C
解析 由题意得sin αcs β＋cs αsin β＋cs αcs β－sin αsin β＝2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)(cs α－sin α)sin β，整理得sin αcs β－cs αsin β＋cs αcs β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cs(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)已知sin(α－β)＝eq \f(1,3)，cs αsin β＝eq \f(1,6)，则cs(2α＋2β)等于( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,9) C．－eq \f(1,9) D．－eq \f(7,9)
答案 B
解析 因为sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(1,3)，
而cs αsin β＝eq \f(1,6)，
因此sin αcs β＝eq \f(1,2)，
则sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(2,3)，
所以cs(2α＋2β)＝cs 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(1,9).
跟踪训练2 (1)(2023·景德镇模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(5),5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)－α))等于( )
A．－eq \f(\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10) C．－eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(3\r(10),10)
答案 B
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，\f(4π,3)))，
因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(5),5)<0，
所以α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(4π,3)))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))))＝－eq \r(1－\f(5,25))＝－eq \f(2\r(5),5)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))))
＝cs eq \f(3π,4)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋sin eq \f(3π,4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))
＝－eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＋eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＝eq \f(\r(10),10).
(2)(2023·衡阳模拟)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，eq \f(sin2α＋β,sin α)－2cs(α＋β)＝eq \f(1,tan α)，则( )
A．α－β＝－eq \f(π,4)
B．α－β＝eq \f(π,4)
C．α＋β＝eq \f(9π,4)
D．α＋β＝eq \f(5π,2)
答案 D
解析 由eq \f(sin2α＋β,sin α)－2cs(α＋β)＝eq \f(cs α,sin α)，
则sin(2α＋β)－2sin αcs(α＋β)＝cs α，
又sin(2α＋β)＝sin αcs(α＋β)＋cs αsin(α＋β)，
所以cs αsin(α＋β)－sin αcs(α＋β)＝cs α，
即sin β＝cs α，
∴sin β＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))，
∴β＝α＋eq \f(π,2)＋2kπ或β＋α＋eq \f(π,2)＝π＋2kπ，k∈Z，
∴α－β＝－eq \f(π,2)－2kπ或α＋β＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
又α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，
所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，α＋β∈(2π，3π)，
则α－β无解，α＋β＝eq \f(5π,2).
考点三 三角恒等变换
典例3 (1)(2023·青岛模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＋cs 2α等于( )
A．－eq \f(2,3) B.eq \f(2,3) C．－eq \f(7,9) D.eq \f(7,9)
答案 D
解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＋cs 2α＝eq \f(\r(3),2)sin 2α＋eq \f(1,2)cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(7,9).
(2)已知eq \f(tan α,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝－eq \f(2,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值是________．
答案 eq \f(\r(2),10)
解析 eq \f(tan α,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝eq \f(tan α,\f(tan α＋1,1－tan α))＝eq \f(tan α1－tan α,tan α＋1)＝－eq \f(2,3)，解得tan α＝2或tan α＝－eq \f(1,3)，
当tan α＝2时，sin 2α＝eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan α,tan2α＋1)＝eq \f(4,5)，
cs 2α＝eq \f(cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1－tan2α,tan2α＋1)＝－eq \f(3,5)，
此时sin 2α＋cs 2α＝eq \f(1,5)；
同理当tan α＝－eq \f(1,3)时，sin 2α＝－eq \f(3,5)，cs 2α＝eq \f(4,5)，
此时sin 2α＋cs 2α＝eq \f(1,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)(sin 2α＋cs 2α)＝eq \f(\r(2),10).
跟踪训练3 (1)(2023·聊城模拟)若eq \f(3sin2α－6sin αcs α,sin2α－2cs 2α－2)＝2，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A．－eq \f(5,3) B.eq \f(5,3)
C．－eq \f(1,3)或－1 D.eq \f(1,3)或1
答案 A
解析 由eq \f(3sin2α－6sin αcs α,sin2α－2cs 2α－2)
＝eq \f(3sin2α－6sin αcs α,sin2α－4cs2α)＝eq \f(3tan2α－6tan α,tan2α－4)＝2，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan2α－6tan α＋8＝0，,tan2α≠4，))得tan α＝4，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝－eq \f(5,3).
(2)(2023·淄博模拟)eq \f(cs 10°,2sin 10°)－2cs 10°等于( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
答案 A
解析 eq \f(cs 10°,2sin 10°)－2cs 10°＝eq \f(cs 10°－4sin 10°cs 10°,2sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－2sin 20°,2sin 10°)＝eq \f(cs 10°－2sin30°－10°,2sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－cs 10°－\r(3)sin 10°,2sin 10°)＝eq \f(\r(3),2).
[总结提升]
三角函数的化简与求值遵循的“三看”原则
一看角，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式；
二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常用的有“切化弦”；
三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变化的方向，常见的有“通分、去根号、降幂”．
1．(2023·岳阳模拟)已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点A是角α的终边与单位圆的交点，若点A的横坐标为－eq \f(4,5)，则cs 2α等于( )
A．－eq \f(2,5) B.eq \f(2,5) C．－eq \f(7,25) D.eq \f(7,25)
答案 D
解析 因为点A的横坐标为－eq \f(4,5)，所以cs α＝－eq \f(4,5)，
所以cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(7,25).
2．(2023·烟台模拟)已知tan(α＋β)＝3，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－3，则tan β等于( )
A．－eq \f(1,5) B.eq \f(1,5) C．－eq \f(1,7) D.eq \f(1,7)
答案 D
解析 taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝－3，解得tan α＝2，
则tan β＝tan[(α＋β)－α]＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)＝eq \f(3－2,1＋3×2)＝eq \f(1,7).
3．(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cs θ)等于( )
A．－eq \f(6,5) B．－eq \f(2,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(6,5)
答案 C
解析 方法一 因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(2,\r(5))，,cs θ＝－\f(1,\r(5))))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝－\f(2,\r(5))，,cs θ＝\f(1,\r(5))，))
所以eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cs θ)＝eq \f(sin θsin θ＋cs θ2,sin θ＋cs θ)
＝sin θ(sin θ＋cs θ)
＝sin2θ＋sin θcs θ＝eq \f(4,5)－eq \f(2,5)＝eq \f(2,5).
方法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2，
所以eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cs θ)＝eq \f(sin θsin θ＋cs θ2,sin θ＋cs θ)
＝sin θ(sin θ＋cs θ)＝eq \f(sin2θ＋sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)
＝eq \f(tan2θ＋tan θ,1＋tan2θ)＝eq \f(4－2,1＋4)＝eq \f(2,5).
方法三 (正弦化余弦法)因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cs θ.
则eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cs θ)＝eq \f(sin θsin θ＋cs θ2,sin θ＋cs θ)
＝sin θ(sin θ＋cs θ)＝eq \f(sin2θ＋sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)
＝eq \f(4cs2θ－2cs2θ,4cs2θ＋cs2θ)＝eq \f(4－2,4＋1)＝eq \f(2,5).
4．已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，若eq \f(sinα＋β,cs β)＝4，则tan(α＋β)等于( )
A．－eq \f(16,7) B．－eq \f(7,8) C.eq \f(16,7) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 因为sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4)，
因为eq \f(sinα＋β,cs β)＝eq \f(sin αcs β＋cs αsin β,cs β)＝sin α＋cs α·tan β＝eq \f(3,5)－eq \f(4,5)tan β＝4，
所以tan β＝－eq \f(17,4)，
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－\f(3,4)－\f(17,4),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4))))＝eq \f(16,7).
5．若cs α－sin α＝－eq \f(1,2)，则eq \f(sin αcs α,tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))等于( )
A．－eq \f(21,4) B.eq \f(21,4) C．－eq \f(21,8) D.eq \f(21,8)
答案 D
解析 因为(cs α－sin α)2＝cs2α＋sin2α－2sin αcs α＝eq \f(1,4)，
所以sin αcs α＝eq \f(3,8).
又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)－cs αsin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)(sin α－cs α)＝eq \f(\r(2),4)，
所以cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝1－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(7,8)，
故tan2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))),cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝eq \f(1,7).
所以eq \f(sin αcs α,tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝eq \f(3,8)×7＝eq \f(21,8).
6．(2023·宣城模拟)已知eq \r(3)sin α－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)－2α))等于( )
A．－eq \f(7,25) B.eq \f(9,25) C.eq \f(7,25) D.eq \f(24,25)
答案 C
解析 由题意可知，eq \r(3)sin α－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(3)sin α－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin α＋\f(1,2)cs α))＝eq \f(\r(3),2)sin α－eq \f(1,2)cs α ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)－2α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)－2α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))＝－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6))))) ＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2))＝eq \f(7,25).
7．(多选)(2023·湛江模拟)若5sin 2α＋5cs 2α＋1＝0，则tan α的值可能为( )
A．2 B．3 C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(1,2)
答案 BD
解析 因为5sin 2α＋5cs 2α＋1＝0，
所以10sin αcs α＋5(cs2α－sin2α)＋cs2α＋sin2α＝0，
整理得2sin2α－5sin αcs α－3cs2α＝0，
则2tan2α－5tan α－3＝0，
解得tan α＝3或tan α＝－eq \f(1,2).
8．(多选)(2023·张家口模拟)已知sin θcs θ＋eq \r(3)cs2θ＝cs θ＋eq \f(\r(3),2)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则θ等于( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,12) D.eq \f(π,18)
答案 BD
解析 sin θcs θ＋eq \r(3)cs2θ
＝eq \f(1,2)sin 2θ＋eq \r(3)×eq \f(1＋cs 2θ,2)
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,6)))＋eq \f(\r(3),2)
＝cs θ＋eq \f(\r(3),2)，
故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,6)))＝cs θ，
所以2θ－eq \f(π,6)＝θ＋2kπ或2θ－eq \f(π,6)＝－θ＋2kπ(k∈Z)，
故θ＝eq \f(π,6)＋2kπ或θ＝eq \f(π,18)＋eq \f(2kπ,3)(k∈Z)．
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq \f(π,6)或eq \f(π,18).
9．(2023·襄阳模拟)已知锐角α，β满足eq \f(sin 2α,cs 2α－1)＝eq \f(1－tan β,1＋tan β)，则cs(α＋β)＝________.
答案 －eq \f(\r(2),2)
解析 由题意，eq \f(sin 2α,cs 2α－1)＝eq \f(1－tan β,1＋tan β)，
由二倍角公式与同角三角函数的关系可得eq \f(2sin αcs α,－2sin2α)＝eq \f(1－tan β,1＋tan β)，
即－eq \f(1,tan α)＝eq \f(1－tan β,1＋tan β)，
整理可得tan β＋tan α＝tan αtan β－1，
故tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－1，
又α，β为锐角，故α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝eq \f(3π,4)，
故cs(α＋β)＝cs eq \f(3π,4)＝－eq \f(\r(2),2).
10．(2023·陕西宝鸡中学模拟)sin(θ＋75°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)＝________.
答案 0
解析 sin(θ＋75°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°＋60°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)cs 60°＋cs(θ＋15°)sin 60°＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)
＝eq \f(1,2)sin(θ＋15°)＋eq \f(\r(3),2)cs(θ＋15°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)
＝eq \f(1,2)sin(θ＋15°)－eq \f(\r(3),2)cs(θ＋15°)＋cs(θ＋45°)
＝sin 30°sin(θ＋15°)－cs 30°cs(θ＋15°)＋cs(θ＋45°)
＝－cs(θ＋45°)＋cs(θ＋45°)＝0.
11．(2023·淄博模拟)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，θ∈(0，π)，则cs θ＝________.
答案 eq \f(1－2\r(6),6)
解析 ∵θ∈(0，π)，
∴θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，
又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，
若θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，
则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))>sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，
与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)矛盾，
∴θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6))))＝－eq \f(2\r(2),3)，
∴cs θ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)＝－eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1－2\r(6),6).
12．(2023·福建联考)已知θ∈(0,2π)，角θ的终边上有点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(4π,5)＋sin \f(4π,5)，cs \f(4π,5)＋sin \f(4π,5)))，则θ＝________.
答案 eq \f(39π,20)
解析 tan θ＝eq \f(cs \f(4π,5)＋sin \f(4π,5),－cs \f(4π,5)＋sin \f(4π,5))＝－eq \f(1＋tan \f(4π,5),1－tan \f(4π,5))＝－eq \f(tan \f(π,4)＋tan \f(4π,5),1－tan \f(π,4)·tan \f(4π,5))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,5)＋\f(π,4)))
＝－tan eq \f(21π,20)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21π,20)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(21π,20)))＝tan eq \f(19π,20)，
故θ＝eq \f(19π,20)＋kπ(k∈Z)，－cs eq \f(4π,5)＋sin eq \f(4π,5)>0，cs eq \f(4π,5)＋sin eq \f(4π,5)＝eq \r(2)sin eq \f(21π,20)<0，
故θ在第四象限，θ＝eq \f(19π,20)＋π＝eq \f(39π,20)