甘肃省武威市天祝第一中学、民勤县第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

这是一份甘肃省武威市天祝第一中学、民勤县第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题，共8页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，函数图象连续的函数在区间上，已知，则在上的投影向量为等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第二册第一章~第二章2.3．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间四边形中，等于（ ）
A．B．C．D．
2．设，若，则（ ）
A．1B．C．3D．
3．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数在处的导数为3，则（ ）
A．3B．C．6D．
5．为空间任意一点，若，若四点共面，则（ ）
A．1B．C．D．
6．函数图象连续的函数在区间上（ ）
A．一定存在极小值B．一定存在极大值
C．一定存在最大值D．极小值一定比极大值小
7．已知，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（ ）
A．B．C．D．
10．已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．与夹角的余弦值为D．若，则共面
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极值点为B．的最小值为
C．有两个零点D．直线是曲线的一条切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：）与时间（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为______．
13．已知，则______．
14．已知函数，若成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，在边长为4的正方体中，分别是的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出五点的坐标；
（2）求．
16．（本小题满分15分）
已知函数在点处的切线斜率为-1，且在处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最值．
17．（本小题满分15分）
如图，在半径为的四分之一圆（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形铝皮卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为．
（1）求出体积关于的函数关系式，并指出定义域；
（2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积最大？最大体积是多少？
18．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）若，证明：；
（2）若，都有，求实数的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若的两个极值点分别为，证明:．
2023~2024第二学期第一次月考试卷·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1．C ．故选C．
2．A ，解得．故选A．
3．B 点关于平面的对称点是，故选B．
4．B 函数在处的导数为3，．故选B．
5．C 因为为空间任意一点，若，且四点共面，所以，解得．故选C．
6．C 由函数的最值与极值的概念可知，在上一定存在最大值．故选C．
7．D ，
故在上的投影向量为．故选D．
8．B ，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以的值域为，所以在上单调递增，又，所以的值域为，又，使得，所以解得，即实数的取值范围是．故选B．
9．AC 因为的定义域为，所以在区间上，递增．故选AC．
10．BCD ，又，故A错误；
，则，故B正确；
因为，所以，所以，故C正确；
因为，故D正确．故选BCD．
11．BD ，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极值点为1，又，所以的最小值为，故B正确，A错误；当时，，当时，，所以有且仅有1个零点，故C错误；令，解得，所以切点为，故D正确．故选BD．
12． 因为．故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为．
13． 由，有．
14． 由题得函数的定义域为．因为，所以函数是奇函数．又．所以函数在上单调递增，等价于，所以．所以实数的取值范围为．
15．解：（1）由题可知，
（2）由（1）可知，
则，则．
16．解：（1）由，
根据题意可得
解得，
所以；
（2）由（1）知，
令，
解得，
当时，为增函数，
当时，为减函数，
当时，为增函数，
又，
所以．
17．解：（1）在中，因为，所以，
设圆柱的底面半径为，则，
即，所以；
（2）由（1）得，，
令，得，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，圆柱形罐子的体积最大，最大体积是．
18．（1）证明：若，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以；
（2）解：不妨设，所以，即，
所以在上单调递增，
令在上恒成立，
令．
当时，在上恒成立，又，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，此种情况无解，
当时，在上单调递增，，
在上恒成立，
综上所述的取值范围为．
19．（1）解：在上恰有两个不同的解，
令，所以
解得，即实数的取值范围是；
（2）证明：由（1）知是方程的两个不同的根，所以
所以
，
令，令在上恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以，所以在上单调递减，
所以，
所以．