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河南省信阳市新县高级中学2024届高三适应性考试(七)数学试题(原卷版+解析版)
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这是一份河南省信阳市新县高级中学2024届高三适应性考试(七)数学试题(原卷版+解析版),文件包含河南省信阳市新县高级中学2024届高三适应性考试七数学试题原卷版docx、河南省信阳市新县高级中学2024届高三适应性考试七数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共26页, 欢迎下载使用。
命题人: 审核人:
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1. 已知集合或,则( )
A. 或B.
C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集概念与运算直接得出结果.
【详解】由题意知,,
所以.
故选:D
2. 设,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得到或,根据范围的大小关系得到答案.
【详解】,即,故或,故“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
3. 设双曲线的焦点为,过作实轴的垂线交双曲线于,且,则以为直角边长的三角形的最小角为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以点O为圆心,a为半径画圆,交y轴于点Q,则以为直角边长的三角形的最小角为,即可求解.
【详解】如图所示:以点O为圆心,a为半径画圆,交y轴于点Q,则以为直角边长的三角形的最小角为,
依题意,,则点,
又,则,得,
则,
得,
得,
解得(负值舍去),
而,
由,得,故,
故选:D
4. 已知幂函数 在第一象限的图象如图所示,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
取,结合图象得出,最后由指数函数的性质得出大小关系.
【详解】由图象可知,当时,,则
故选:B
5. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时,相应水面的面积为;水位为海拔时,相应水面的面积为,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔上升到时,增加的水量约为()( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意只要求出棱台的高,即可利用棱台的体积公式求出.
【详解】依题意可知棱台的高为(m),所以增加的水量即为棱台的体积.
棱台上底面积,下底面积,
∴
.
故选:C.
6. 已知等差数列(公差不为零)和等差数列的前项和分别为,如果关于的实系数方程有实数解那么以下2023个方程中,无实数解的方程最多有( )
A. 1009B. 1010C. 1011D. 1012
【答案】C
【解析】
【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式可得,要想无实根,需满足,结合根的判别式与基本不等式得到至多一个成立,同理分析其它情况而得结论.
【详解】依题意,,其中,
,代入上式得:,
要方程无实数解,则,
显然第1012个方程有解,令方程的判别式为
方程与方程的判别式,
有
,
等号成立的条件是,则至多一个成立,
同理至多一个成立,至多一个成立,且,
所以在所给的2023个方程中,无实数根的方程最多1011个.
故选:C
7. 已知函数,将的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列,对于,则下列说法中正确的是( )
A. B.
C. 数列递增数列D.
【答案】D
【解析】
【分析】的极值点为的变号零点,即为函数与函数图像在交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A选项,利用零点存在性定理及图像可判断选项;BC选项,由图像可判断选项;D选项,注意到,由图像可得单调性,后可判断选项.
【详解】解:的极值点为在上的变号零点.
即为函数与函数图像在交点横坐标.
又注意到时,,时,,
,时,.
据此可将两函数图像画在同一坐标系中,如下图所示.
A选项,注意到时,,,.
结合图像可知当,.
当,.故A错误;
B选项,由图像可知,则,故B错误;
C选项,表示两点与间距离,由图像可知,
随着n的增大,两点间距离越来越近,即为递减数列,故C错误;
D选项,由A选项分析可知,,
又结合图像可知,当时,,即此时,
得在上单调递增,
则,故D正确.
故选:D
【点睛】关键点点睛:本题涉及函数的极值点,因函数本身通过求导难以求得单调性,故将两相关函数画在同一坐标系下,利用图像解决问题.
8. 已知定义在R上的函数满足,当时,,函数,若函数在区间上恰有8个零点,则a的取值范围为( )
A. (2,4)B. (2,5)C. (1,5)D. (1,4)
【答案】A
【解析】
【分析】将题意转化为函数与函数在区间上有8个交点,再根据函数的性质画图,再列式,根据对数函数的不等式解法求解即可
【详解】函数在区间上恰有8个零点,则函数与函数在区间上有8个交点
由知,是R上周期为2的函数,作函数与函数在区间上的图像如下,
由图像知,当时,图像有5个交点,故在上有3个交点即可,则;
故,解得;
故选:A.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.
9. 已知数列满足,则( )
A. 是等差数列
B. 的前项和为
C. 是单调递增数列
D. 数列的最小项为4
【答案】BC
【解析】
【分析】利用等比数列的定义求出可得,再由等比数列求和公式计算可判断AB;根据的通项公式可判断C;根据的单调性可判断D.
【详解】由,得,因为,
所以,从而,
所以是首项为1,公比为的等比数列,所以,
即,所以,
所以,所以A错误,B正确;
由,易知是单调递增数列,C正确;
当时,,
当时,,D错误.
故选:BC.
10. 如图,四边形为正方形,平面,,记三棱锥,,的体积分别为,则( )
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】直接由体积公式计算,连接交于点,连接,由计算出,依次判断选项即可.
【详解】
设,因为平面,,则,
,连接交于点,连接,易得,
又平面,平面,则,又,平面,则平面,
又,过作于,易得四边形为矩形,则,
则,,
,则,,,
则,则,,,故A、B错误;C、D正确.
故选:CD.
11. 已知定义在上的函数在区间上满足,当时,;当时,.若直线与函数的图象有6个不同的交点,各交点的横坐标为,且,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出函数的图象,可判断,结合对数函数性质即可判断A;结合图象可知得,,利用函数图象的对称性可判断B;利用二次函数性质可判断C;利用图象的对称性可推出,从而可得的表达式,结合图象可得参数的范围,即可判断D.
【详解】由题意作出函数的图象如图,
对于A,由题意结合图象可知,
因为,所以,即,
所以,A选项正确;
当时,,所以.
又结合图象得,,所以,
即所以,B选项错误;
因为当时,,
所以当时,的图象关于直线对称,
所以,
又,此时在上单调递增,所以,C选项正确;
因为与,与关于直线对称,所以.
又与关于直线对称,所以,
所以,所以.
结合图象可知,所以,D选项正确,
故选:ACD.
【点睛】方法点睛:根据题意可作出函数的图象,由此可判断的范围,结合各选项,数形结合,即可求解.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 2023年度,网络评选出河南最值得去的5大景点:洛阳龙门石窟,郑州嵩山少林寺,开封清明上河园,洛阳老君山,洛阳白云山,小张和小李打算从以上景点中各自随机选择一个去游玩,则他们都去洛阳游玩,且不去同一景点的概率为__________.
【答案】##0.24
【解析】
【分析】由古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】小张和小李从5个景点中各自选择1个,共有种可能,
5个景点中有3个在洛阳,则他们都选择去洛阳游玩,且不去同一景点的情况有种,
故所求概率.
故答案为:.
13. 已知分别是双曲线的左、右焦点,过点且垂直轴的直线与交于两点,且,若圆与的一条渐近线交于两点,则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由题意可求出双曲线渐近线,利用直线与圆相交的弦长公式即可求.
【详解】
设,
解得,
解得,所以,
所以双曲线的渐近线方程为:,
由双曲线的对称性,不妨取,
又的圆心为,半径为,
所以圆心到直线的距离为,
所以弦长.
故答案为:
14. 已知对,不等式恒成立,则最大值是________.
【答案】
【解析】
【分析】由不等式恒成立,求得,故,只需求的最大值即可.
【详解】下面证明当时不成立:当时,原不等式变形为,,
若,则,而当时,原不等式不成立;
若,当时,,取,则,,原不等式不成立,
故当时不成立,所以.
不等式可化为,
令,则,
当时,单调递减,
当时,单调递增,
所以当时,,即,
所以,
令,则令可得,
当时,单调递增,
当时,单调递减,
故,即,
故答案为:
【点睛】关键点点睛:解答本题的思路是将不等式可化为,然后再构造函数,并对其进行求导,求出函数的最小值为,即,然后求出目标函数的最大值为,即,所以求出的最大值是.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中,角的对边分别为,已知的面积为,周长为9,且满足.
(1)求的值;
(2)若.
(i)求的值;
(ii)求的值.
【答案】(1)
(2)(i);(ii)
【解析】
【分析】(1)由题意结合正弦定理求解即可;
(2)(i)由(1)知,求出,再由余弦定理求解即可;(ii)由同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦和余弦公式及两角差的正弦公式求解即可.
【小问1详解】
在中,由结合正弦定理可得:
得:,而,
解得.
【小问2详解】
(i)由(1)知且解得:,
则,
(ii)由,
,
则,
,
则
16. 已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线垂直,求实数的值;
(2)当时,若对于任意,均有成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【解析】
【分析】(1)求出函数的导数,根据导数的几何意义,列式计算,即可求得答案;
(2)由题意知时,恒成立,分离参数,即得恒成立,构造函数,利用导数求得其最小值,即可求得答案.
【小问1详解】
因为,所以,
所以曲线在处的切线的斜率为,
因为该切线与直线垂直,
所以,解得.
【小问2详解】
当时,因为当时,恒成立,即恒成立,
即恒成立,
所以,
令,则,
显然在上为增函数,且,
所以当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增,
所以,
所以,
即实数的取值范围是.
17. 如图所示,在梯形中,,四边形为矩形,且平面,.
(1)求证:平面;
(2)点M在线段上运动,当点M在什么位置时,平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
【答案】(1)证明见解析(2)为线段的中点.
【解析】
【分析】(1)通过证明平面,结合,可证平面;
(2)以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量可求出结果.
【详解】(1)因为,所以梯形为等腰梯形,
因为,所以,所以,
因为,所以,所以,即,
因为平面,所以,
因为,所以平面,
因为四边形为矩形,所以,
所以平面.
(2)以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系:
设,则,
则,,,,
设,则,,
设平面的法向量,
则,取,得,,
所以,
取平面的法向量,
则,解得或(舍),
所以为线段的中点.
【点睛】关键点点睛:(1)中,转化为证明平面是解题关键;(2)中,以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解是解题关键.
18. 设椭圆的左、右焦点分别为,左右顶点分别为,已知椭圆过点,且长轴长为6.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点是椭圆上一点(不与顶点重合),直线交轴于点,且满足,若,求直线的方程.
【答案】(1);
(2)或
【解析】
【分析】(1)根据题意列出方程组计算即可;
(2)设直线的方程,含参表示M、N纵坐标,利用两点坐标表示三角形面积比,计算即可.
【小问1详解】
由题意得:,解之得,
所以椭圆的标准方程方程为;
【小问2详解】
由(1)知:,如图,设,
由题意知直线的斜率不等于0,设直线的方程为:,
令,得:,
由,得:,
因为,所以:,
由题意得:,
又因为,
由,得:,
易知同号,则,得:,
故直线方程为或.
19. 对于数列,,…,,定义变换,将数列变换成数列,,…,,,记,,.对于数列,,…,与,,…,,定义.若数列,,…,满足,则称数列为数列.
(1)若,写出,并求;
(2)对于任意给定的正整数,是否存在数列,使得若存在,写出一个数列,若不存在,说明理由:
(3)若数列满足,求数列A的个数.
【答案】(1);;
(2)不存在适合题意的数列;
(3).
【解析】
【分析】(1)利用变换的定义即;
(2)利用数列的定义,记中有个,有个,则,进而即得;
(3)由题可得,进而可得,然后结合条件即得.
【小问1详解】
由,
可得,
,
∴;
【小问2详解】
∵,
由数列A为数列,所以,
对于数列,,…,中相邻的两项,
令,若,则,若,则,
记中有个,有个,则,
因为与的奇偶性相同,而与的奇偶性不同,
故不存在适合题意的数列;
【小问3详解】
首先证明,
对于数列,,…,,有,,…,,,
,,…,,,,,…,,,
,,…,,,,,…,,,
∵,
,
∴,
故,
其次,由数列为数列可知,,
解得,
这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次,
若数列中的个数为个,此时数列有个,
所以数列的个数为个.
【点睛】数学中的新定义题目解题策略:①仔细阅读,理解新定义的内涵;②根据新定义,对对应知识进行再迁移.
命题人: 审核人:
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1. 已知集合或,则( )
A. 或B.
C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集概念与运算直接得出结果.
【详解】由题意知,,
所以.
故选:D
2. 设,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得到或,根据范围的大小关系得到答案.
【详解】,即,故或,故“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
3. 设双曲线的焦点为,过作实轴的垂线交双曲线于,且,则以为直角边长的三角形的最小角为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以点O为圆心,a为半径画圆,交y轴于点Q,则以为直角边长的三角形的最小角为,即可求解.
【详解】如图所示:以点O为圆心,a为半径画圆,交y轴于点Q,则以为直角边长的三角形的最小角为,
依题意,,则点,
又,则,得,
则,
得,
得,
解得(负值舍去),
而,
由,得,故,
故选:D
4. 已知幂函数 在第一象限的图象如图所示,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
取,结合图象得出,最后由指数函数的性质得出大小关系.
【详解】由图象可知,当时,,则
故选:B
5. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时,相应水面的面积为;水位为海拔时,相应水面的面积为,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔上升到时,增加的水量约为()( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意只要求出棱台的高,即可利用棱台的体积公式求出.
【详解】依题意可知棱台的高为(m),所以增加的水量即为棱台的体积.
棱台上底面积,下底面积,
∴
.
故选:C.
6. 已知等差数列(公差不为零)和等差数列的前项和分别为,如果关于的实系数方程有实数解那么以下2023个方程中,无实数解的方程最多有( )
A. 1009B. 1010C. 1011D. 1012
【答案】C
【解析】
【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式可得,要想无实根,需满足,结合根的判别式与基本不等式得到至多一个成立,同理分析其它情况而得结论.
【详解】依题意,,其中,
,代入上式得:,
要方程无实数解,则,
显然第1012个方程有解,令方程的判别式为
方程与方程的判别式,
有
,
等号成立的条件是,则至多一个成立,
同理至多一个成立,至多一个成立,且,
所以在所给的2023个方程中,无实数根的方程最多1011个.
故选:C
7. 已知函数,将的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列,对于,则下列说法中正确的是( )
A. B.
C. 数列递增数列D.
【答案】D
【解析】
【分析】的极值点为的变号零点,即为函数与函数图像在交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A选项,利用零点存在性定理及图像可判断选项;BC选项,由图像可判断选项;D选项,注意到,由图像可得单调性,后可判断选项.
【详解】解:的极值点为在上的变号零点.
即为函数与函数图像在交点横坐标.
又注意到时,,时,,
,时,.
据此可将两函数图像画在同一坐标系中,如下图所示.
A选项,注意到时,,,.
结合图像可知当,.
当,.故A错误;
B选项,由图像可知,则,故B错误;
C选项,表示两点与间距离,由图像可知,
随着n的增大,两点间距离越来越近,即为递减数列,故C错误;
D选项,由A选项分析可知,,
又结合图像可知,当时,,即此时,
得在上单调递增,
则,故D正确.
故选:D
【点睛】关键点点睛:本题涉及函数的极值点,因函数本身通过求导难以求得单调性,故将两相关函数画在同一坐标系下,利用图像解决问题.
8. 已知定义在R上的函数满足,当时,,函数,若函数在区间上恰有8个零点,则a的取值范围为( )
A. (2,4)B. (2,5)C. (1,5)D. (1,4)
【答案】A
【解析】
【分析】将题意转化为函数与函数在区间上有8个交点,再根据函数的性质画图,再列式,根据对数函数的不等式解法求解即可
【详解】函数在区间上恰有8个零点,则函数与函数在区间上有8个交点
由知,是R上周期为2的函数,作函数与函数在区间上的图像如下,
由图像知,当时,图像有5个交点,故在上有3个交点即可,则;
故,解得;
故选:A.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.
9. 已知数列满足,则( )
A. 是等差数列
B. 的前项和为
C. 是单调递增数列
D. 数列的最小项为4
【答案】BC
【解析】
【分析】利用等比数列的定义求出可得,再由等比数列求和公式计算可判断AB;根据的通项公式可判断C;根据的单调性可判断D.
【详解】由,得,因为,
所以,从而,
所以是首项为1,公比为的等比数列,所以,
即,所以,
所以,所以A错误,B正确;
由,易知是单调递增数列,C正确;
当时,,
当时,,D错误.
故选:BC.
10. 如图,四边形为正方形,平面,,记三棱锥,,的体积分别为,则( )
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】直接由体积公式计算,连接交于点,连接,由计算出,依次判断选项即可.
【详解】
设,因为平面,,则,
,连接交于点,连接,易得,
又平面,平面,则,又,平面,则平面,
又,过作于,易得四边形为矩形,则,
则,,
,则,,,
则,则,,,故A、B错误;C、D正确.
故选:CD.
11. 已知定义在上的函数在区间上满足,当时,;当时,.若直线与函数的图象有6个不同的交点,各交点的横坐标为,且,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出函数的图象,可判断,结合对数函数性质即可判断A;结合图象可知得,,利用函数图象的对称性可判断B;利用二次函数性质可判断C;利用图象的对称性可推出,从而可得的表达式,结合图象可得参数的范围,即可判断D.
【详解】由题意作出函数的图象如图,
对于A,由题意结合图象可知,
因为,所以,即,
所以,A选项正确;
当时,,所以.
又结合图象得,,所以,
即所以,B选项错误;
因为当时,,
所以当时,的图象关于直线对称,
所以,
又,此时在上单调递增,所以,C选项正确;
因为与,与关于直线对称,所以.
又与关于直线对称,所以,
所以,所以.
结合图象可知,所以,D选项正确,
故选:ACD.
【点睛】方法点睛:根据题意可作出函数的图象,由此可判断的范围,结合各选项,数形结合,即可求解.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 2023年度,网络评选出河南最值得去的5大景点:洛阳龙门石窟,郑州嵩山少林寺,开封清明上河园,洛阳老君山,洛阳白云山,小张和小李打算从以上景点中各自随机选择一个去游玩,则他们都去洛阳游玩,且不去同一景点的概率为__________.
【答案】##0.24
【解析】
【分析】由古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】小张和小李从5个景点中各自选择1个,共有种可能,
5个景点中有3个在洛阳,则他们都选择去洛阳游玩,且不去同一景点的情况有种,
故所求概率.
故答案为:.
13. 已知分别是双曲线的左、右焦点,过点且垂直轴的直线与交于两点,且,若圆与的一条渐近线交于两点,则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由题意可求出双曲线渐近线,利用直线与圆相交的弦长公式即可求.
【详解】
设,
解得,
解得,所以,
所以双曲线的渐近线方程为:,
由双曲线的对称性,不妨取,
又的圆心为,半径为,
所以圆心到直线的距离为,
所以弦长.
故答案为:
14. 已知对,不等式恒成立,则最大值是________.
【答案】
【解析】
【分析】由不等式恒成立,求得,故,只需求的最大值即可.
【详解】下面证明当时不成立:当时,原不等式变形为,,
若,则,而当时,原不等式不成立;
若,当时,,取,则,,原不等式不成立,
故当时不成立,所以.
不等式可化为,
令,则,
当时,单调递减,
当时,单调递增,
所以当时,,即,
所以,
令,则令可得,
当时,单调递增,
当时,单调递减,
故,即,
故答案为:
【点睛】关键点点睛:解答本题的思路是将不等式可化为,然后再构造函数,并对其进行求导,求出函数的最小值为,即,然后求出目标函数的最大值为,即,所以求出的最大值是.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中,角的对边分别为,已知的面积为,周长为9,且满足.
(1)求的值;
(2)若.
(i)求的值;
(ii)求的值.
【答案】(1)
(2)(i);(ii)
【解析】
【分析】(1)由题意结合正弦定理求解即可;
(2)(i)由(1)知,求出,再由余弦定理求解即可;(ii)由同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦和余弦公式及两角差的正弦公式求解即可.
【小问1详解】
在中,由结合正弦定理可得:
得:,而,
解得.
【小问2详解】
(i)由(1)知且解得:,
则,
(ii)由,
,
则,
,
则
16. 已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线垂直,求实数的值;
(2)当时,若对于任意,均有成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【解析】
【分析】(1)求出函数的导数,根据导数的几何意义,列式计算,即可求得答案;
(2)由题意知时,恒成立,分离参数,即得恒成立,构造函数,利用导数求得其最小值,即可求得答案.
【小问1详解】
因为,所以,
所以曲线在处的切线的斜率为,
因为该切线与直线垂直,
所以,解得.
【小问2详解】
当时,因为当时,恒成立,即恒成立,
即恒成立,
所以,
令,则,
显然在上为增函数,且,
所以当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增,
所以,
所以,
即实数的取值范围是.
17. 如图所示,在梯形中,,四边形为矩形,且平面,.
(1)求证:平面;
(2)点M在线段上运动,当点M在什么位置时,平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
【答案】(1)证明见解析(2)为线段的中点.
【解析】
【分析】(1)通过证明平面,结合,可证平面;
(2)以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量可求出结果.
【详解】(1)因为,所以梯形为等腰梯形,
因为,所以,所以,
因为,所以,所以,即,
因为平面,所以,
因为,所以平面,
因为四边形为矩形,所以,
所以平面.
(2)以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系:
设,则,
则,,,,
设,则,,
设平面的法向量,
则,取,得,,
所以,
取平面的法向量,
则,解得或(舍),
所以为线段的中点.
【点睛】关键点点睛:(1)中,转化为证明平面是解题关键;(2)中,以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解是解题关键.
18. 设椭圆的左、右焦点分别为,左右顶点分别为,已知椭圆过点,且长轴长为6.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点是椭圆上一点(不与顶点重合),直线交轴于点,且满足,若,求直线的方程.
【答案】(1);
(2)或
【解析】
【分析】(1)根据题意列出方程组计算即可;
(2)设直线的方程,含参表示M、N纵坐标,利用两点坐标表示三角形面积比,计算即可.
【小问1详解】
由题意得:,解之得,
所以椭圆的标准方程方程为;
【小问2详解】
由(1)知:,如图,设,
由题意知直线的斜率不等于0,设直线的方程为:,
令,得:,
由,得:,
因为,所以:,
由题意得:,
又因为,
由,得:,
易知同号,则,得:,
故直线方程为或.
19. 对于数列,,…,,定义变换,将数列变换成数列,,…,,,记,,.对于数列,,…,与,,…,,定义.若数列,,…,满足,则称数列为数列.
(1)若,写出,并求;
(2)对于任意给定的正整数,是否存在数列,使得若存在,写出一个数列,若不存在,说明理由:
(3)若数列满足,求数列A的个数.
【答案】(1);;
(2)不存在适合题意的数列;
(3).
【解析】
【分析】(1)利用变换的定义即;
(2)利用数列的定义,记中有个,有个,则,进而即得;
(3)由题可得,进而可得,然后结合条件即得.
【小问1详解】
由,
可得,
,
∴;
【小问2详解】
∵,
由数列A为数列,所以,
对于数列,,…,中相邻的两项,
令,若,则,若,则,
记中有个,有个,则,
因为与的奇偶性相同,而与的奇偶性不同,
故不存在适合题意的数列;
【小问3详解】
首先证明,
对于数列,,…,,有,,…,,,
,,…,,,,,…,,,
,,…,,,,,…,,,
∵,
,
∴,
故,
其次,由数列为数列可知,,
解得,
这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次,
若数列中的个数为个,此时数列有个,
所以数列的个数为个.
【点睛】数学中的新定义题目解题策略:①仔细阅读,理解新定义的内涵;②根据新定义,对对应知识进行再迁移.