河南省信阳市新县高级中学2024届高三适应性考试(七)数学试题(原卷版+解析版)-教习网|<title>
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    河南省信阳市新县高级中学2024届高三适应性考试(七)数学试题(原卷版+解析版)

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    这是一份河南省信阳市新县高级中学2024届高三适应性考试(七)数学试题(原卷版+解析版),文件包含河南省信阳市新县高级中学2024届高三适应性考试七数学试题原卷版docx、河南省信阳市新县高级中学2024届高三适应性考试七数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共26页, 欢迎下载使用。

    命题人: 审核人:
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求.
    1. 已知集合或,则( )
    A. 或B.
    C. 或D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据交集概念与运算直接得出结果.
    【详解】由题意知,,
    所以.
    故选:D
    2. 设,则“”是“”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】
    【分析】解不等式得到或,根据范围的大小关系得到答案.
    【详解】,即,故或,故“”是“”的充分不必要条件.
    故选:A
    3. 设双曲线的焦点为,过作实轴的垂线交双曲线于,且,则以为直角边长的三角形的最小角为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】以点O为圆心,a为半径画圆,交y轴于点Q,则以为直角边长的三角形的最小角为,即可求解.
    【详解】如图所示:以点O为圆心,a为半径画圆,交y轴于点Q,则以为直角边长的三角形的最小角为,
    依题意,,则点,
    又,则,得,
    则,
    得,
    得,
    解得(负值舍去),
    而,
    由,得,故,
    故选:D
    4. 已知幂函数 在第一象限的图象如图所示,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    取,结合图象得出,最后由指数函数的性质得出大小关系.
    【详解】由图象可知,当时,,则
    故选:B
    5. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时,相应水面的面积为;水位为海拔时,相应水面的面积为,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔上升到时,增加的水量约为()( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据题意只要求出棱台的高,即可利用棱台的体积公式求出.
    【详解】依题意可知棱台的高为(m),所以增加的水量即为棱台的体积.
    棱台上底面积,下底面积,


    故选:C.
    6. 已知等差数列(公差不为零)和等差数列的前项和分别为,如果关于的实系数方程有实数解那么以下2023个方程中,无实数解的方程最多有( )
    A. 1009B. 1010C. 1011D. 1012
    【答案】C
    【解析】
    【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式可得,要想无实根,需满足,结合根的判别式与基本不等式得到至多一个成立,同理分析其它情况而得结论.
    【详解】依题意,,其中,
    ,代入上式得:,
    要方程无实数解,则,
    显然第1012个方程有解,令方程的判别式为
    方程与方程的判别式,


    等号成立的条件是,则至多一个成立,
    同理至多一个成立,至多一个成立,且,
    所以在所给的2023个方程中,无实数根的方程最多1011个.
    故选:C
    7. 已知函数,将的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列,对于,则下列说法中正确的是( )
    A. B.
    C. 数列递增数列D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】的极值点为的变号零点,即为函数与函数图像在交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A选项,利用零点存在性定理及图像可判断选项;BC选项,由图像可判断选项;D选项,注意到,由图像可得单调性,后可判断选项.
    【详解】解:的极值点为在上的变号零点.
    即为函数与函数图像在交点横坐标.
    又注意到时,,时,,
    ,时,.
    据此可将两函数图像画在同一坐标系中,如下图所示.
    A选项,注意到时,,,.
    结合图像可知当,.
    当,.故A错误;
    B选项,由图像可知,则,故B错误;
    C选项,表示两点与间距离,由图像可知,
    随着n的增大,两点间距离越来越近,即为递减数列,故C错误;
    D选项,由A选项分析可知,,
    又结合图像可知,当时,,即此时,
    得在上单调递增,
    则,故D正确.
    故选:D
    【点睛】关键点点睛:本题涉及函数的极值点,因函数本身通过求导难以求得单调性,故将两相关函数画在同一坐标系下,利用图像解决问题.
    8. 已知定义在R上的函数满足,当时,,函数,若函数在区间上恰有8个零点,则a的取值范围为( )
    A. (2,4)B. (2,5)C. (1,5)D. (1,4)
    【答案】A
    【解析】
    【分析】将题意转化为函数与函数在区间上有8个交点,再根据函数的性质画图,再列式,根据对数函数的不等式解法求解即可
    【详解】函数在区间上恰有8个零点,则函数与函数在区间上有8个交点
    由知,是R上周期为2的函数,作函数与函数在区间上的图像如下,
    由图像知,当时,图像有5个交点,故在上有3个交点即可,则;
    故,解得;
    故选:A.
    二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.
    9. 已知数列满足,则( )
    A. 是等差数列
    B. 的前项和为
    C. 是单调递增数列
    D. 数列的最小项为4
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】利用等比数列的定义求出可得,再由等比数列求和公式计算可判断AB;根据的通项公式可判断C;根据的单调性可判断D.
    【详解】由,得,因为,
    所以,从而,
    所以是首项为1,公比为的等比数列,所以,
    即,所以,
    所以,所以A错误,B正确;
    由,易知是单调递增数列,C正确;
    当时,,
    当时,,D错误.
    故选:BC.
    10. 如图,四边形为正方形,平面,,记三棱锥,,的体积分别为,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】CD
    【解析】
    【分析】直接由体积公式计算,连接交于点,连接,由计算出,依次判断选项即可.
    【详解】
    设,因为平面,,则,
    ,连接交于点,连接,易得,
    又平面,平面,则,又,平面,则平面,
    又,过作于,易得四边形为矩形,则,
    则,,
    ,则,,,
    则,则,,,故A、B错误;C、D正确.
    故选:CD.
    11. 已知定义在上的函数在区间上满足,当时,;当时,.若直线与函数的图象有6个不同的交点,各交点的横坐标为,且,则下列结论正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】作出函数的图象,可判断,结合对数函数性质即可判断A;结合图象可知得,,利用函数图象的对称性可判断B;利用二次函数性质可判断C;利用图象的对称性可推出,从而可得的表达式,结合图象可得参数的范围,即可判断D.
    【详解】由题意作出函数的图象如图,

    对于A,由题意结合图象可知,
    因为,所以,即,
    所以,A选项正确;
    当时,,所以.
    又结合图象得,,所以,
    即所以,B选项错误;
    因为当时,,
    所以当时,的图象关于直线对称,
    所以,
    又,此时在上单调递增,所以,C选项正确;
    因为与,与关于直线对称,所以.
    又与关于直线对称,所以,
    所以,所以.
    结合图象可知,所以,D选项正确,
    故选:ACD.
    【点睛】方法点睛:根据题意可作出函数的图象,由此可判断的范围,结合各选项,数形结合,即可求解.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 2023年度,网络评选出河南最值得去的5大景点:洛阳龙门石窟,郑州嵩山少林寺,开封清明上河园,洛阳老君山,洛阳白云山,小张和小李打算从以上景点中各自随机选择一个去游玩,则他们都去洛阳游玩,且不去同一景点的概率为__________.
    【答案】##0.24
    【解析】
    【分析】由古典概型概率计算公式即可求解.
    【详解】小张和小李从5个景点中各自选择1个,共有种可能,
    5个景点中有3个在洛阳,则他们都选择去洛阳游玩,且不去同一景点的情况有种,
    故所求概率.
    故答案为:.
    13. 已知分别是双曲线的左、右焦点,过点且垂直轴的直线与交于两点,且,若圆与的一条渐近线交于两点,则__________.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】由题意可求出双曲线渐近线,利用直线与圆相交的弦长公式即可求.
    【详解】
    设,
    解得,
    解得,所以,
    所以双曲线的渐近线方程为:,
    由双曲线的对称性,不妨取,
    又的圆心为,半径为,
    所以圆心到直线的距离为,
    所以弦长.
    故答案为:
    14. 已知对,不等式恒成立,则最大值是________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由不等式恒成立,求得,故,只需求的最大值即可.
    【详解】下面证明当时不成立:当时,原不等式变形为,,
    若,则,而当时,原不等式不成立;
    若,当时,,取,则,,原不等式不成立,
    故当时不成立,所以.
    不等式可化为,
    令,则,
    当时,单调递减,
    当时,单调递增,
    所以当时,,即,
    所以,
    令,则令可得,
    当时,单调递增,
    当时,单调递减,
    故,即,
    故答案为:
    【点睛】关键点点睛:解答本题的思路是将不等式可化为,然后再构造函数,并对其进行求导,求出函数的最小值为,即,然后求出目标函数的最大值为,即,所以求出的最大值是.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 在中,角的对边分别为,已知的面积为,周长为9,且满足.
    (1)求的值;
    (2)若.
    (i)求的值;
    (ii)求的值.
    【答案】(1)
    (2)(i);(ii)
    【解析】
    【分析】(1)由题意结合正弦定理求解即可;
    (2)(i)由(1)知,求出,再由余弦定理求解即可;(ii)由同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦和余弦公式及两角差的正弦公式求解即可.
    【小问1详解】
    在中,由结合正弦定理可得:
    得:,而,
    解得.
    【小问2详解】
    (i)由(1)知且解得:,
    则,
    (ii)由,

    则,


    16. 已知函数.
    (1)若曲线在处的切线与直线垂直,求实数的值;
    (2)当时,若对于任意,均有成立,求实数的取值范围.
    【答案】(1)
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)求出函数的导数,根据导数的几何意义,列式计算,即可求得答案;
    (2)由题意知时,恒成立,分离参数,即得恒成立,构造函数,利用导数求得其最小值,即可求得答案.
    【小问1详解】
    因为,所以,
    所以曲线在处的切线的斜率为,
    因为该切线与直线垂直,
    所以,解得.
    【小问2详解】
    当时,因为当时,恒成立,即恒成立,
    即恒成立,
    所以,
    令,则,
    显然在上为增函数,且,
    所以当时,,在上单调递减;
    当时,,在上单调递增,
    所以,
    所以,
    即实数的取值范围是.
    17. 如图所示,在梯形中,,四边形为矩形,且平面,.

    (1)求证:平面;
    (2)点M在线段上运动,当点M在什么位置时,平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
    【答案】(1)证明见解析(2)为线段的中点.
    【解析】
    【分析】(1)通过证明平面,结合,可证平面;
    (2)以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量可求出结果.
    【详解】(1)因为,所以梯形为等腰梯形,
    因为,所以,所以,
    因为,所以,所以,即,
    因为平面,所以,
    因为,所以平面,
    因为四边形为矩形,所以,
    所以平面.
    (2)以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系:
    设,则,
    则,,,,
    设,则,,
    设平面的法向量,
    则,取,得,,
    所以,
    取平面的法向量,
    则,解得或(舍),
    所以为线段的中点.
    【点睛】关键点点睛:(1)中,转化为证明平面是解题关键;(2)中,以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解是解题关键.
    18. 设椭圆的左、右焦点分别为,左右顶点分别为,已知椭圆过点,且长轴长为6.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)点是椭圆上一点(不与顶点重合),直线交轴于点,且满足,若,求直线的方程.
    【答案】(1);
    (2)或
    【解析】
    【分析】(1)根据题意列出方程组计算即可;
    (2)设直线的方程,含参表示M、N纵坐标,利用两点坐标表示三角形面积比,计算即可.
    【小问1详解】
    由题意得:,解之得,
    所以椭圆的标准方程方程为;
    【小问2详解】
    由(1)知:,如图,设,
    由题意知直线的斜率不等于0,设直线的方程为:,
    令,得:,
    由,得:,
    因为,所以:,
    由题意得:,
    又因为,
    由,得:,
    易知同号,则,得:,
    故直线方程为或.
    19. 对于数列,,…,,定义变换,将数列变换成数列,,…,,,记,,.对于数列,,…,与,,…,,定义.若数列,,…,满足,则称数列为数列.
    (1)若,写出,并求;
    (2)对于任意给定的正整数,是否存在数列,使得若存在,写出一个数列,若不存在,说明理由:
    (3)若数列满足,求数列A的个数.
    【答案】(1);;
    (2)不存在适合题意的数列;
    (3).
    【解析】
    【分析】(1)利用变换的定义即;
    (2)利用数列的定义,记中有个,有个,则,进而即得;
    (3)由题可得,进而可得,然后结合条件即得.
    【小问1详解】
    由,
    可得,

    ∴;
    【小问2详解】
    ∵,
    由数列A为数列,所以,
    对于数列,,…,中相邻的两项,
    令,若,则,若,则,
    记中有个,有个,则,
    因为与的奇偶性相同,而与的奇偶性不同,
    故不存在适合题意的数列;
    【小问3详解】
    首先证明,
    对于数列,,…,,有,,…,,,
    ,,…,,,,,…,,,
    ,,…,,,,,…,,,
    ∵,

    ∴,
    故,
    其次,由数列为数列可知,,
    解得,
    这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次,
    若数列中的个数为个,此时数列有个,
    所以数列的个数为个.
    【点睛】数学中的新定义题目解题策略:①仔细阅读,理解新定义的内涵;②根据新定义,对对应知识进行再迁移.

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