2024年安徽省合肥市新站区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 在、、0、这四个数中，最大的数是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查有理数比较大小，根据负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴最大的数是；
故选D．
2. 某物体如图所示，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看到的图形是，
故选：A．
3. 芯片技术作为当今社会信息化的核心基础，其在各个领域的应用已经愈发广泛．然而，由于长期以来受制于技术和市场等多重因素的制约，中国芯片技术存在着“卡脖子现象”，目前中国的芯片制造工艺达到了14纳米（其中1纳米=0.000000001米），这是国内半导体产业中的主流技术，而世界最先进芯片制造工艺已经达到了3纳米．其中14纳米用科学记数法表示为（ ）米
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：∵1纳米=0.000000001米，即1纳米米，
14纳米米米．
故答案为：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据运算法则逐一计算判断即可，本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
故A不合题意．
∵，
∴B不合题意．
∵，
∴C不合题意．
∵，
∴D合题意．
故选：D．
5. 小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象．根据密度质量体积，从图象中比较每种物质的质量和体积，即可得到答案．
【详解】解：甲和丙的体积相等，
甲的质量丙的质量，
甲的质量大；
乙和丁的体积相等，
乙的质量丁的质量，
乙的质量大；
甲和乙的质量相等，
甲的体积乙的体积，
甲的质量大．
故选：A．
6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，根据平行线的性质求得，再根据三角形的外角性质求得，然后利用对顶角相等求解即可．
【详解】解：∵光线平行于主光轴，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7. 小明学习完生物遗传知识后，了解到双眼皮是由显性基因R决定的，单眼皮由隐性基因r决定的，若一个人体细胞中含显性基因R，则表现为双眼皮，不含显性基因R则为单眼皮，为了探究一对都是双眼皮夫妇生出单眼皮孩子的可能性有多大，小明进行了模拟试验：用红色纸剪成大小一样的圆形纸片2张，分别写上R和r，装入写有“父亲”字的信封，用蓝色纸剪成大小一样的椭圆形纸片2张，分别写上R和r，装入写有“母亲”字的信封，现从两个信封各摸一张纸片组成孩子的性状基因对，则摸出的性状基因对是单眼皮的可能性是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
【详解】解：根据题意列出树状图，如图所示：
∵有4种等可能的情况数，其中摸出的性状基因对是单眼皮的有一种情况，
∴摸出的性状基因对是单眼皮的可能性是，
故选：A．
8. 如图，在中，，，平分，交于点E，于点F，交于点G，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平行线的性质定理，等腰三角形的性质，以及勾股定理的应用，先求出，过点E作于点N，于点M．利用角平分线的性质定理可得出，根据，求出，利用角平行线的定义以及等腰三角形性质得出，最后利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
过点E作于点N，于点M．
∵平分，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图所示，直角边为2的等腰直角三角形和长为4宽为2的矩形在同一水平线上，等腰直角三角形沿该水平线从左向右匀速穿过矩形．设穿过的时间为x，等腰直角三角形与矩形重叠部分的面积为y，则y与x的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的动点变化过程中面积的变化关系．此题可分为三段求解，当或或时，列出面积随动点变化的函数关系式即可．
【详解】解：由题意得的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，
∴，
当时，如图，
∴，
；
当时，如图，
；
当时，如图，
，
，
∴与之间的函数关系，
由函数关系式可看出D中的函数图象与所求的分段函数对应．
故选：D．
10. 如图，P是线段上一动点，四边形和四边形是位于直线同侧的两个正方形，点C，D分别是的中点，若，则下列结论错误的是（ ）
A. 为定值B. 当时，的值为
C. 周长的最小值为D. 面积的最大值为2
【答案】C
【解析】
【分析】求出，得到均为定值，判断A选项，过点作，得到四边形为矩形，利用勾股定理求出的值，判断B选项，设设，则：，分别利用勾股定理求出的值，利用周长公式结合完全平方公式的非负性，判断C选项，分割法得到，转化为二次函数求最值，判断D选项．
【详解】解：∵四边形和四边形是位于直线同侧的两个正方形，
∴，
∵点C，D分别是的中点，
∴，
∴，
∴均为定值，
∴也为定值；故A选项正确；
过点作，则四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；故选项B正确；
设，则：，
∴，，，
∴，
∴，，
，
∴的周长
，
∵，
∴的周长的最小值为；故选项C错误；
∵
，
整理得：；
∴当时，面积的最大值为2；故选项D正确；
故选C．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，求角的正切值，二次函数求最值等知识点，综合性强，难度大，属于选择题中的压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力．根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】解：，
，
，
则，
故答案为：．
12. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，先将方程化为一般式，再根据求出答案．
【详解】，
整理，得，
∴，
解得．
故答案为：．
13. 如图，是一个4×4的网格，小正方形边长为1，某同学在正方形网格上用圆规画了一段经过格点A，B，C的圆弧，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求扇形面积．证明，利用勾股定理求得，再利用阴影部分的面积为，计算即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为：
，
故答案为：．
14. 如图，直线与，轴相交于点，，与反比例函数的图象在第一象限内相交于点，且．
（1）________;
（2）在正半轴上取点，作轴交反比例函数图象于点，以为边向上作正方形，若该反比例函数的图象恰好经过的中点，则的长为________．
【答案】 ① 8 ②. 1
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
（1）先求出点、坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，继而求出值；
（2）设点坐标为，则， ，，利用中点坐标求出点坐标，代入反比例函数解析式求出值，最后计算线段长即可．
【详解】解：（1）在一次函数中，令，则；令，则，
，，
，
，
在反比例函数图象上，
；
故答案为：8．
（2）由（1）可知反比例函数解析式为：；
设点坐标为，则， ，，
是的中点，
，
点在反比例函数图象上，
，
解得或（舍去），
，
，
故答案为：1．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂运算法则和二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
16. 春节燃放烟花给节日增添了喜庆，同时存在危险和污染，因此各地政府倡导“绿色春节”的同时，对烟花燃放的地点及企业的安全生产进行了严格的管理．检查发现某企业生产的一款烟花，使用的快引线燃尽时间仅为5秒，存在安全隐患．为了延长燃尽时间，给原快引线加长了一段慢引线，这样引线的总长达到了15cm，从而燃尽时间延长了80%，已知每秒钟快引线燃烧的长度比慢引线多2cm，求慢引线燃烧的速度
【答案】慢引线燃烧得速度为．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设慢引线的速度为，根据“引线的总长达到了15cm”列方程，解方程即可求解．
【详解】解：设慢引线的速度为，则快引线燃烧的速度为，
，
解得：，
答：慢引线燃烧得速度为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，线段的端点在格点（网格线的交点）上．
（1）将线段向右平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度得到线段，请画出线段；
（2）将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，请画出线段；
（3）描出线段上到O距离最近的点C．（只能使用无刻度直尺，保留痕迹）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换、点到直线的距离，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、点到直线的距离是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）利用网格，过点作线段的垂线，与的交点即为点．
【小问1详解】
解：如图，线段即为所求．
；
【小问2详解】
解：如图，线段即为所求；
【小问3详解】
解：如图，点即为所求．
18. 观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…；
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2），见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字的变化规律，观察等式并找到规律是解题关键．
（1）按照所给的等式，逐项的探究规律，写出第6个等式即可；
（2）根据（1）得到的规律，写出第n个等式，再通分，利用分式的加减法则计算即可解答此题．
【小问1详解】
解：（1）第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：．
第六个等式为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：猜想第个等式为：．
证明：左边，
右边，
左边右边，
猜想成立；
故答案为：．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）

【答案】座板距地面的最大高度为．
【解析】
【分析】过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，利用和的余弦值求出，，然后利用线段的和差和矩形的性质求解即可．
【详解】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，

由题意可得，四边形和四边形是矩形，
∴，，
∵秋千链子的长度为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴座板距地面的最大高度为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
20. 已知：如图，为的直径，点为上一点，过点作，交点、．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，点为上一点，连接交直径于点，连接，若，求证：．
【答案】（1）4 （2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理及平行线的性质，熟记圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
（1）根据垂径定理求出，再根据勾股定理求解即可；
（2）连接，根据圆周角定理求出，根据平行线性质求出，，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，再根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出，再根据三角形外角性质求解即可．
【小问1详解】
解：如图1，连接，
为的直径，，
，
，，
，
，
；
【小问2详解】
证明：如图2，连接，
为的直径，
，
，
∵，
，，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
．
六、（本题满分12分）
21. 为了解A、B两款品质相近的无人机在充满一次电后运行的最长时间，有关人员随机调查了A、B两款无人机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息：
10架A款无人机充满一次电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．
10架B款无人机充满一次电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．根据以上信息，解答下列问题：
两款无人机运行最长时间统计表
（1）上述图表中_________，________，________;
（2）根据以上数据，你认为哪款无人机运行性能更好?请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若仓库有A款无人机200架、B款无人机120架，估计两款无人机运行性能在中等及以上的共有多少架?
【答案】（1）72，70.5，10
（2）A款无人机运行性能更好，理由见解析
（3）估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，方差以及用样本估计总体，解题关键是从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
（1）根据众数的定义可得的值，根据中位数的定义可得的值，用“1”减去其他两组所占百分百可得的值；
（2）可比较中位数，众数与方差得出结论；
（3）利用样本估计总体可求解．
【小问1详解】
解：款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数，
把款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，故中位数，
，即．
故答案为：72，70.5，10；
【小问2详解】
解：款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：
虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于款智能玩具飞机，
所以款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：（架，
答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．
七、（本题满分12分）
22. 【原题呈现】如图1，在等边中，D、E是、上的点，且，求度数．
解答过程：
在等边中，，
又，
【操作探究】如图2，将绕点C逆时针旋转到，连接，连接交于点O，求证：
【深入思考】如图3，延长交于点P，若点P恰好是的中点．
①请直接写出 ；
②若，求的长．
【答案】操作探究：见解析；深入思考：①；②
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．
操作探究：延长至点G，使得，连接，先证明是等边三角形，再利用等边三角形性质证明，即可求解；
深入思考：①先证明四边形是菱形，再证明，理由相似三角形的性质即可求解；②连接，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得，再根据勾股定理和解直角三角形求出的长，通过证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】操作探究：延长至点G，使得，连接，如图
，且，
是等边三角形，
，，
又，
，
，
在与中，，
，
；
【深入思考】①由【操作探究】知，，∴，
，
∴，
，
四边形是平行四边形，
又，四边形是菱形，
∴，
∴，
，
；
②连接，如图，

是等边三角形
，，
由①知，
，，
由【操作探究】知，，
，
又，，
，
，
，
是中点，
，，，
，
中，，
中，，
由①知，，
，，
，
，
，
．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过点A．
（1）求A、B两点的坐标;
（2）若直线与抛物线的对称轴交于点E．
①若点E为抛物线的顶点，求a的值；
②若点E在第四象限并且在抛物线的上方，记的面积为，记的面积为，，求S与x的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】（1），
（2）①；②；S的最大值为．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合题，数形结合，灵活运用分类讨论的思想是正确解答此类题的关键．
（1）令，解方程，即可求解；
（2）①先求得直线解析式为：，顶点坐标为，根据直线过点，列式计算即可求解；
②根据题意画出示意图，利用三角形面积公式列式得到，，再求得，据此求解即可．
【小问1详解】
解：令，则有：
，
即，
，，
，；
【小问2详解】
解：直线经过，
，
，
直线解析式为：，
抛物线配方得，
其顶点坐标为；
①当E为顶点时：即过，
，
，（舍去），
；
②根据题意可画出示意图，
设直线交y轴于F，交抛物线对称轴于E点，且点E在第四象限并且在抛物线的上方，
则，，，
又，
，
，
．
，
∵，
∴当，S的最大值为．类别
平均数
70
70
中位数
71
众数
67
方差
30.4
26.6