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数学七年级上册第三章 一元一次方程3.1 从算式到方程3.1.2 等式的性质精品导学案
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这是一份数学七年级上册第三章 一元一次方程3.1 从算式到方程3.1.2 等式的性质精品导学案，文件包含第11讲方程及其等式的性质-教师版2024年七上数学同步精品讲义人教版docx、第11讲方程及其等式的性质-学生版2024年七上数学同步精品讲义人教版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共29页， 欢迎下载使用。
知识点01 方程的概念
方程的概念：
含有 未知数 的等式叫做方程。
特别说明：两个条件必须满足：①是等式；②等式中含有未知数。
题型考点：判断方程。
【即学即练1】
1．在①2x+3y﹣1；②1+7＝15﹣8+1；③1﹣x＝x+1 ④x+2y＝3中方程有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①2x+3y﹣1，没有“＝”，不是方程；
②1+7＝15﹣8+1，没有未知数，不是方程；
③1﹣x＝x+1，是方程；
④x+2y＝3，是方程．
故选：B．
【即学即练2】
2．下列各式中，不是方程的是（ ）
A．a＝0B．2x+3
C．2x+1＝5D．2（x+1）＝2x+2
【解答】解：根据方程的定义可知，A、C、D都是方程，B不是方程，
故选：B．
知识点02 方程的解
方程的解的概念：
使方程中等号左右两边 相等 的 未知数 的值叫做方程的解。方程有可能不止一个解，也有可能无解。
题型考点：①判断某数是某方程的解。②根据解的定义求值。
【即学即练1】
3．下列方程的解是x＝2的方程是（ ）
A．4x+8＝0B．﹣x+＝0C．x＝2D．1﹣3x＝5
【解答】解：把x＝2代入各方程验证可得出x＝2是方程﹣x+＝0的解．
故选：B．
【即学即练2】
4．若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（ ）
A．﹣4B．4C．﹣8D．8
【解答】解：
把x＝﹣1代入方程2x+m﹣6＝0
可得：2×（﹣1）+m﹣6＝0，
解得：m＝8，
故选：D．
【即学即练3】
5．已知x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，则3a3﹣2a2+a﹣4的值是（ ）
A．1B．﹣1C．16D．14
【解答】解：∵x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，
∴3﹣2+1﹣4+a＝0，
解得，a＝2，
∴3a3﹣2a2+a﹣4＝3×23﹣2×22+2﹣4＝14．
故选：D．
知识点03 一元一次方程
一元一次方程的概念：
只含有 1 个未知数且未知数的次数是 1 的 整式 方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的一般形式：
一元一次方程的一般形式为 或 。由一般形式可知，含未知数的项的系数不能等于 0 。在判断方程是否为一元一次方程时，先化其形式，在进行判断。
题型考点：①根据定义判定一元一次方程。②根据一元一次方程的定义求值。
【即学即练1】
6．下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A．B．2xy＝5C．x＝2x+3D．
【解答】解：A项中分母含有未知数，方程左边不是整式，错误；
B项中含有两个未知数，错误；
C选项正确；
D项中含有两个未知数，错误．
故选：C．
7．下列方程中，一元一次方程共有（ ）个
①4x﹣3＝5x﹣2；②3x﹣4y；③3x+1＝；④+＝0； ⑤x2+3x+1＝0；⑥x﹣1＝12．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①4x﹣3＝5x﹣2，是一元一次方程，符合题意；
②3x﹣4y，不符合一元一次方程的定义，不合题意；
③3x+1＝，是分式方程，不合题意；
④+＝0，是一元一次方程，符合题意；
⑤x2+3x+1＝0，是一元二次方程，不合题意；
⑥x﹣1＝12，是一元一次方程，符合题意．
故选：C．
【即学即练2】
8．若（m﹣2）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，则m等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．任何数
【解答】解：根据一元一次方程的特点可得，
解得m＝1．
故选：A．
9．如果（4﹣m）x|m|﹣3﹣16＝0是关于x的一元一次方程，那么m的值为（ ）
A．±4B．4C．2D．﹣4
【解答】解：∵（4﹣m）x|m|﹣3﹣16＝0是关于x的一元一次方程，
∴|m|﹣3＝1且m﹣4≠0，
解得m＝﹣4．
故选：D．
知识点04 一元一次方程的解
一元一次方程的解得概念：
使一元一次方程等号左右两边 相等 的 未知数 的值是一元一次方程的解。一元一次方程只有一个解。
题型考点：①判断一元一次方程的解。②根据一元一次方程的解求值。
【即学即练1】
10．下列方程中解是x＝2的方程是（ ）
A．3x+6＝0B．﹣2x+4＝0C．D．2x+4＝0
【解答】解：A．将x＝2代入3x+6＝0，可得6+6＝12≠0，
故A不符合题意；
B．将x＝2代入﹣2x+4＝0，可得﹣4+4＝0，
故B符合题意；
C．将x＝2代入，可得＝1≠2，
故C不符合题意；
D．将x＝2代入2x+4＝0，可得4+4＝8≠0，
故D不符合题意；
故选：B．
【即学即练2】
11．若x＝4是方程ax﹣3＝4x+1的解，则a的值为（ ）
A．5B．3C．﹣3D．1
【解答】解：把x＝4代入方程ax﹣3＝4x+1，
得：4a﹣3＝4×4+1，
解得：a＝5，故A正确．
故选：A．
【即学即练3】
12．关于x的一元一次方程2xm﹣2+n＝4的解是x＝1，则m+n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：∵关于x的一元一次方程2xm﹣2+n＝4的解是x＝1，
∴，
解得：，
∴m+n＝3+2＝5．
故选：B．
知识点05 等式的基本性质
等式的基本性质：
性质1：等式左右两边同时加上（减去） 同一个 数（式子），等式 仍然成立 。
性质2：等式左右两边同时乘 同一个 的数（式子）或同时除以 同一个不为0 的数（式子），等式 仍然成立 。
性质3：对称性：，则 。
性质4：传递性：，，则 。又称等量代换。
题型考点：①利用等式的基本性质变形。②利用等式的基本性质解简单的方程。
【即学即练1】
13．下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果a+5＝5﹣b，那么a＝bB．若，则a＝b
C．若2x＝2a﹣b，则x＝a﹣bD．若x2＝6x，则x＝6
【解答】解：若，
则c≠0，
则，
故选：B．
【即学即练2】
14．下列变形错误的是（ ）
A．由x+7＝5得x+7﹣7＝5﹣7
B．由3x﹣2＝2x+1得x＝3
C．由﹣2x＝3得x＝﹣
D．由4﹣3x＝4x﹣3得4+3＝4x+3x
【解答】解：A．∵x+7＝5，
∴x+7﹣7＝5﹣7，故本选项不符合题意；
B．∵3x﹣2＝2x+1，
∴3x﹣2x＝1+2，
∴x＝3，故本选项不符合题意；
C．∵﹣2x＝3，
∴x＝﹣，故本选项符合题意；
D．∵4﹣3x＝4x﹣3，
∴4+3＝4x+3x，故本选项不符合题意；
故选：C．
【即学即练3】
15．用等式性质解下列方程：
（1）4x﹣7＝13
（2）3x+2＝x+1．
【解答】解：（1）4x﹣7＝13
移项得：4x＝20，
方程两边同时除以4得：
x＝5；
（2）3x+2＝x+1
移项得：3x﹣x＝﹣2+1，
合并同类项得：
2x＝﹣1，
解得：x＝﹣．
题型01 方程与一元一次方程的判断
【典例1】
下列各式中，是方程的个数为（ ）
①x＝0；②3x﹣5＝2x+1；③2x+6；④x﹣y＝0；⑤＝5y+3；⑥a2+a﹣6＝0．
A．2个B．3个C．5个D．4个
【解答】解：①、②、④、⑤、⑥是方程，符合题意；
③不是等式，故不是方程，不符合题意；
故选：C．
【典例2】
下列各式中：①2x﹣1＝5；②4+8＝12；③5y+8；④2x+3y＝0；⑤2a+1＝1；⑥2x2﹣5x﹣1．是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
【解答】解：①2x﹣1＝5符合方程的定义，故本小题符合题意；
②4+8＝12不含有未知数，不是方程，故本小题不合题意；
③5y+8不是等式，故本小题不合题意；
④2x+3y＝0符合方程的定义，故本小题符合题意；
⑤2a+1＝1符合方程的定义，故本小题符合题意；
⑥2x2﹣5x﹣1不是等式，故本小题不合题意．
故选：C．
【典例3】
下列方程是一元一次方程的个数是（ ）
①x+y＝1，②x﹣1＝3，③2x2＝1，④5x+5＝﹣1，⑤xy＝10，⑥2x+4＝0，⑦x＝0
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解答】解：①x+y＝1是二元一次方程的定义，不是一元一次方程；
②x﹣1＝3符合一元一次方程的定义，是一元一次方程；
③2x2＝1属于一元二次方程，不是一元一次方程；
④5x+5＝﹣1符合一元一次方程的定义，是一元一次方程；
⑤xy＝10属于二元二次方程，不是一元一次方程；
⑥2x+4＝0符合一元一次方程的定义，是一元一次方程．
⑦x＝0符合一元一次方程的定义，是一元一次方程．
是一元一次方程的个数是4个，
故选：B．
【典例4】
已知下列方程：①；②0.3x＝1；③；④x2﹣4x＝3；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：①是分式方程，故①不符合题意；
②0.3x＝1，即0.3x﹣1＝0，符合一元一次方程的定义．故②符合题意；
③，即9x+2＝0，符合一元一次方程的定义．故③符合题意；
④x2﹣4x＝3的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程．故④不符合题意；
⑤x＝6，即x﹣6＝0，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意；
⑥x+2y＝0中含有2个未知数，属于二元一次方程．故⑥不符合题意．
综上所述，一元一次方程的个数是3个．
故选：B．
题型02 根据一元一次方程的定义求值
【典例1】
若方程（a﹣1）x|a|﹣1＝5是关于x的一元一次方程，则a的值为（ ）
A．±1B．2C．±2D．﹣1
【解答】解：由题意，得
|a|＝1且a﹣1≠0，
解得a＝﹣1，
故选：D．
【典例2】
若关于x的方程2xm﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【解答】解：根据题意得：
m﹣1＝1，
解得：m＝2．
故选：D．
【典例3】
若方程（k﹣1）x|k﹣2|＝3是关于x的一元一次方程，则k是（ ）
A．1B．2C．﹣1D．3
【解答】解：∵（k﹣1）x|k﹣2|＝3是关于x的一元一次方程，
∴k﹣1≠0且|k﹣2|＝1，
解得：k＝3．
故选：D．
【典例4】
已知方程（1﹣m）x|2m|﹣1+9＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．D．0
【解答】解：由（1﹣m）x|2m|﹣1+9＝0是关于x的一元一次方程，得
|2m|﹣1＝1且1﹣m≠0．
解得m＝﹣1．
故选：B．
题型03 方程的解与一元一次方程的解的判断
【典例1】
下列方程中，以x＝﹣1.5为解的方程是（ ）
A．2x＝3B．3x＝x+3C．x＝3x+3D．x＝3x﹣3
【解答】解：A、把x＝﹣1.5代入方程得：左边＝﹣3≠右边，则不是方程的解，选项错误；
B、把x＝﹣1.5代入方程，得左边＝﹣4.5，右边＝1.5，则左边≠右边，不是方程的解，选项错误；
C、把x＝﹣1.5代入，左边＝﹣1.5，右边＝﹣1.5，左边＝右边，是方程的解，选项正确；
D、把x＝﹣1.5代入，左边＝﹣1.5，右边＝﹣4.5﹣3＝﹣7.5，左边≠右边，则不是方程的解，选项错误．
故选：C．
【典例2】
下列方程中，解为x＝2的是（ ）
A．2x＝6B．（x﹣3）（x+2）＝0
C．x2＝3D．3x﹣6＝0
【解答】解：A、把x＝2代入，左边＝4≠右边，则不是方程的解，选项错误；
B、把x＝2代入方程，左边＝﹣4≠右边，则不是方程的解，选项错误；
C、把x＝2代入方程，左边＝4≠右边，则不是方程的解，选项错误；
D、把x＝2代入方程，左边＝0＝右边，则是方程的解，选项正确．
故选：D．
【典例3】
下列方程中，解是x＝﹣3的是（ ）
A．2x+6＝1B．3x﹣8＝1C．3x﹣1＝0D．﹣2x﹣6＝0
【解答】解：A．2×（﹣3）+6＝0≠1，故不符合题意；
B．3×（﹣3）﹣8＝﹣17≠1，故不符合题意；
C．3×（﹣3）﹣1＝﹣10≠0，故不符合题意；
D．﹣2×（﹣3）﹣6＝0，故符合题意；
故选：D．
【典例4】
下列方程中，解为x＝2的是（ ）
A．3x+6＝0B．3﹣2x＝0C．﹣x＝1D．﹣x+＝0
【解答】解：A、将x＝2代入3x+6＝0，左边＝12≠右边＝0，故本选项不合题意；
B、将x＝2代入3﹣2x＝0，左边＝﹣1＝右边＝0，故本选项不合题意；
C、将x＝2代入＝1，左边＝﹣1≠右边＝1，故本选项不合题意；
D、将x＝2代入＝0，左边＝0≠右边＝0，故本选项符合题意．
故选：D．
题型04 根据方程的解求值
【典例1】
已知x＝2是关于x的方程3x+a＝0的一个解，则a的值是（ ）
A．﹣6B．﹣3C．﹣4D．﹣5
【解答】解：把x＝2代入方程得：6+a＝0，
解得：a＝﹣6．
故选：A．
【典例2】
已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，则a的值是（ ）
A．2B．3C．7D．8
【解答】解：把x＝5 代入方程ax﹣8＝20+a，
得：5a﹣8＝20+a，
解得：a＝7，
故选：C．
【典例3】
若x＝1是关于x的一元一次方程ax﹣b﹣2＝0（a≠0）的一个根，则a﹣b的值等于（ ）
A．2B．1C．0D．3
【解答】解：把x＝1代入方程得：a﹣b﹣2＝0，
则a﹣b＝2，
故选：A．
【典例4】
若x＝2是关于x的一元一次方程mx+n＝3的解，则代数式6m+3n﹣2的值是（ ）
A．2B．3C．7D．9
【解答】解：把x＝2代入方程可得2m+n＝3，
∴6m+3n﹣2
＝3（2m+n）﹣2
＝3×3﹣2
＝7．
故选：C．
题型05 利用等式的基本性质变形
【典例1】
下列利用等式的性质，错误的是（ ）
A．由a＝b，得到1﹣a＝1﹣bB．由＝，得到a＝b
C．由a＝b，得到ac＝bcD．由ac＝bc，得到a＝b
【解答】解：当c＝0时，ac＝bc＝0，
但a不一定等于b
故D错误
故选：D．
【典例2】
下列变形中，不正确的是（ ）
A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝bB．若，则a＝b
C．若a＝b，则D．若ac＝bc，则a＝b
【解答】解：A选项，等式两边都加3，故该选项不符合题意；
B选项，∵c≠0，
∴等式两边都乘c，故该选项不符合题意；
C选项，∵c2+1＞0，
∴等式两边都除以（c2+1），故该选项不符合题意；
D选项，题中没有说c≠0，等式两边不能都除以c，故该选项符合题意；
故选：D．
【典例3】
下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
A．若x＝y，则x+5＝y+5B．若x＝y，则＝
C．若x＝y，则1﹣3x＝1﹣3yD．若a＝b，则ac＝bc
【解答】解：A、若x＝y，则x+5＝y+5，正确，不合题意；
B、若x＝y，则＝，a≠0，故此选项错误，符合题意；
C、若x＝y，则1﹣3x＝1﹣3y，正确，不合题意；
D、若a＝b，则ac＝bc，正确，不合题意．
故选：B．
【典例4】
下列运用等式的性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果x+2＝y+2，则x＝yB．如果x＝y，则
C．如果mx＝my，则x＝yD．如果，则x＝y
【解答】解：A、如果x+2＝y+2，则x＝y，故A不符合题意；
B、如果x＝y，则＝，故B不符合题意；
C、如果mx＝my（m≠0），则x＝y，故C符合题意；
D、如果，则x＝y，故D不符合题意；
故选：C．
题型06 利用等式的性质解方程
【典例1】
利用等式的性质解方程：
（1）5+x＝﹣2
（2）3x+6＝31﹣2x．
【解答】（1）5+x＝﹣2
5+x﹣5＝﹣2﹣5
x＝﹣7；
（2）3x+6＝31﹣2x
3x+6+2x﹣6＝31﹣2x+2x﹣6
5x＝25
x＝5．
【典例2】
利用等式的性质解方程：
（1）5﹣x＝﹣2
（2）3x﹣6＝﹣31﹣2x．
【解答】解：（1）两边都减5，得﹣x＝﹣7，
两边都除以﹣1，得
x＝7；
（2）两边都加（2x+6），得
5x＝﹣25，
两边都除以5，得
x＝﹣5．
【典例3】
利用等式性质解方程
①﹣x﹣5＝4
②4x﹣2＝2．
【解答】①解：两边同时加5得，
﹣x﹣5+5＝4+5，
两边同时乘以﹣3得，
﹣x×（﹣3）＝9×（﹣3），
即x＝﹣27；
②解：两边同时加2得，
4x﹣2+2＝2+2，
即4x＝4，
两边同时除以4得，
4x÷4＝4÷4，
即x＝1．
1．下列各式中，属于方程的是（ ）
A．6+（﹣2）＝4B．C．7x＞5D．2x﹣1＝5
【解答】解：A、6+（﹣2）＝4不含未知数，不是方程，不符合题意；
B、x﹣2不是等式，故不是方程，不符合题意；
C、7x＞5不是等式，故不是方程，不符合题意；
D、2x﹣1＝5是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：D．
2．下列所给条件，不能列出方程的是（ ）
A．某数比它的平方小6
B．某数加上3，再乘以2等于14
C．某数与它的的差
D．某数的3倍与7的和等于29
【解答】解：设某数为x，
A、x2﹣x＝6，是方程，故本选项错误；
B、2（x+3）＝14，是方程，故本选项错误；
C、x﹣x，不是方程，故本选项正确；
D、3x+7＝29，是方程，故本选项错误．
故选：C．
3．若x＝2是方程4x+2m﹣14＝0的解，则m的值为（ ）
A．10B．4C．3D．﹣3
【解答】解：把x＝2代入4x+2m﹣14＝0，得
4×2+2m﹣14＝0，
解得m＝3．
故选：C．
4．已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+6＝0是关于x的一元一次方程，则a的值为（ ）
A．±2B．﹣2C．1D．2
【解答】解：由题意，得
|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
故选：B．
5．小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得
2×（9﹣3）﹣■＝9+1，
解得■＝2；
故选：C．
6．小李在解方程5a﹣x＝13（x为未知数）时，误将﹣x看作+x，得方程的解为x＝﹣2，则原方程的解为（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【解答】解：由题意得，5a﹣2＝13，
解得，a＝3，
∴原方程为15﹣x＝13，
解得，x＝2；
故选：C．
7．下列变形中，正确的是（ ）
A．若5x﹣6＝7，则5x＝7﹣6
B．若﹣3x＝5，则
C．若5x﹣3＝4x+2，则5x﹣4x＝2+3
D．若5b2﹣3c2﹣（3b2﹣3c2）+c2+2016abc，则2（x﹣1）+3（x+1）＝1
【解答】解：A、若5x﹣6＝7，则5x＝7+6，故此选项错误．
B、若﹣3x＝5，则，故此选项错误．
C、5x﹣3＝4x+2，则5x﹣4x＝2+3，正确．
D、若5b2﹣3c2﹣（3b2﹣3c2）+c2+2016abc，则2（x﹣1）+3（x+1）＝6，故此选项错误．
故选：C．
8．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若a＝b，则＝
B．若a＝b，则ac＝bc
C．若a（x2+1）＝b（x2+1），则a＝b
D．若x＝y，则x﹣3＝y﹣3
【解答】解：A．若a＝b，c≠0，则＝，所以A选项符合题意；
B．若a＝b，则ac＝bc，所以B选项不符合题意；
C．若a（x2+1）＝b（x2+1），则a＝b，所以C选项不符合题意；
D．若x＝y，则x﹣3＝y﹣3，所以D选项不符合题意；
故选：A．
9．写出一个解为x＝3的方程： ．
【解答】解：∵方程的解为x＝3，
∴方程为x﹣3＝0，
故答案为：x﹣3＝0（答案不唯一）．
10．已知（a﹣3）x|a|﹣2﹣5＝8是关于x的一元一次方程，则a的值为 ．
【解答】解：根据题意得：
|a|﹣2＝1，
解得a＝3或a＝﹣3，
因为a﹣3≠0，
所以a≠3，
综上可知：a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
11．已知5a+8b＝3b+10，利用等式性质可求得a+b+1＝ ．
【解答】解：5a+8b＝3b+10，
5a+8b﹣3b＝3b﹣3b+10，
5a+5b＝10，
5（a+b）＝10，
a+b＝2，
∴a+b+1＝2+1＝3．
故答案为：3．
12．已知x＝1是关于x的方程3x﹣m＝x+2n的解，则式子的值为 ．
【解答】解：∵x＝1是关于x的方程3x﹣m＝x+2n的解，
∴3﹣m＝1+2n，
则m+2n＝2，
∴m+n＝1，
则式子＝1+2022＝2023．
故答案为：2023．
13．已知方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值及方程的解．
（2）求代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（xm+2）的值．
【解答】解：（1）∵方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程，
∴1﹣m2＝0且﹣（m+1）≠0，
∴m＝1，
原一元一次方程化为：﹣2x+8＝0，解得x＝4；
（2）∵5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（xm+2）
＝5x2﹣2x﹣4x2﹣x﹣6
＝x2﹣3x﹣6，
当x＝4时，原式＝42﹣4×3﹣6＝﹣2，
即代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（xm+2）的值是﹣2．
14．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则该方程为“差解方程”，例如：2x＝4的解为x＝2，且2＝4﹣2，则方程2x＝4是差解方程．
（1）判断方程3x＝4.5是否是差解方程；
（2）若关于x的一元一次方程5x﹣m＝1是差解方程，求m的值．
【解答】解：（1）∵3x＝4.5，
解得：x＝1.5，
∵4.5﹣3＝1.5，
∴方程3x＝4.5是差解方程；
（2）∵5x﹣m＝1，
解得：，
∵关于x的一元一次方程5x﹣m＝1是差解方程，
∴，
解得：．
15．阅读材料：求1+2+22+23+42+⋅⋅⋅+22019的值．
解：设S＝1+2+22+23+42+⋅⋅⋅+22019
将等式两边同时乘以2，得2S＝2+22+23+42+25+⋅⋅⋅+22019+22020
将下式减去上式，得S＝22020﹣1
即1+2+22+23+42+⋅⋅⋅+22019＝22020﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+5+52+53+⋅⋅⋅+510
（2）
【解答】解：（1）根据材料，设M＝1+5+52+53+⋅⋅⋅+510①，
∴将等式两边同时乘以5，则5M＝5+52+53+⋅⋅⋅+510+511②，
由②﹣①，得：4M＝511﹣1，
∴，
∴．
（2）根据材料，设③，
∴将等式两边同时乘以3，④，
由④﹣③，得：，
∴，
∴．
课程标准
学习目标
①方程与方程的解得概念
②一元一次方程的概念
③等式的基本性质
掌握方程的概念以及方程的解得概念，并能够熟悉判定以及熟练应用。
掌握一元一次方程的概念并能够熟练判断，能够根据一元一次方程的概念解决相应的题目。
掌握等式的基本性质，并对其熟练应用。
知识点01 方程的概念
方程的概念：
含有 未知数 的等式叫做方程。
特别说明：两个条件必须满足：①是等式；②等式中含有未知数。
题型考点：判断方程。
【即学即练1】
1．在①2x+3y﹣1；②1+7＝15﹣8+1；③1﹣x＝x+1 ④x+2y＝3中方程有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①2x+3y﹣1，没有“＝”，不是方程；
②1+7＝15﹣8+1，没有未知数，不是方程；
③1﹣x＝x+1，是方程；
④x+2y＝3，是方程．
故选：B．
【即学即练2】
2．下列各式中，不是方程的是（ ）
A．a＝0B．2x+3
C．2x+1＝5D．2（x+1）＝2x+2
【解答】解：根据方程的定义可知，A、C、D都是方程，B不是方程，
故选：B．
知识点02 方程的解
方程的解的概念：
使方程中等号左右两边 相等 的 未知数 的值叫做方程的解。方程有可能不止一个解，也有可能无解。
题型考点：①判断某数是某方程的解。②根据解的定义求值。
【即学即练1】
3．下列方程的解是x＝2的方程是（ ）
A．4x+8＝0B．﹣x+＝0C．x＝2D．1﹣3x＝5
【解答】解：把x＝2代入各方程验证可得出x＝2是方程﹣x+＝0的解．
故选：B．
【即学即练2】
4．若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（ ）
A．﹣4B．4C．﹣8D．8
【解答】解：
把x＝﹣1代入方程2x+m﹣6＝0
可得：2×（﹣1）+m﹣6＝0，
解得：m＝8，
故选：D．
【即学即练3】
5．已知x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，则3a3﹣2a2+a﹣4的值是（ ）
A．1B．﹣1C．16D．14
【解答】解：∵x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，
∴3﹣2+1﹣4+a＝0，
解得，a＝2，
∴3a3﹣2a2+a﹣4＝3×23﹣2×22+2﹣4＝14．
故选：D．
知识点03 一元一次方程
一元一次方程的概念：
只含有 1 个未知数且未知数的次数是 1 的 整式 方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的一般形式：
一元一次方程的一般形式为 或 。由一般形式可知，含未知数的项的系数不能等于 0 。在判断方程是否为一元一次方程时，先化其形式，在进行判断。
题型考点：①根据定义判定一元一次方程。②根据一元一次方程的定义求值。
【即学即练1】
6．下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A．B．2xy＝5C．x＝2x+3D．
【解答】解：A项中分母含有未知数，方程左边不是整式，错误；
B项中含有两个未知数，错误；
C选项正确；
D项中含有两个未知数，错误．
故选：C．
7．下列方程中，一元一次方程共有（ ）个
①4x﹣3＝5x﹣2；②3x﹣4y；③3x+1＝；④+＝0； ⑤x2+3x+1＝0；⑥x﹣1＝12．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①4x﹣3＝5x﹣2，是一元一次方程，符合题意；
②3x﹣4y，不符合一元一次方程的定义，不合题意；
③3x+1＝，是分式方程，不合题意；
④+＝0，是一元一次方程，符合题意；
⑤x2+3x+1＝0，是一元二次方程，不合题意；
⑥x﹣1＝12，是一元一次方程，符合题意．
故选：C．
【即学即练2】
8．若（m﹣2）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，则m等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．任何数
【解答】解：根据一元一次方程的特点可得，
解得m＝1．
故选：A．
9．如果（4﹣m）x|m|﹣3﹣16＝0是关于x的一元一次方程，那么m的值为（ ）
A．±4B．4C．2D．﹣4
【解答】解：∵（4﹣m）x|m|﹣3﹣16＝0是关于x的一元一次方程，
∴|m|﹣3＝1且m﹣4≠0，
解得m＝﹣4．
故选：D．
知识点04 一元一次方程的解
一元一次方程的解得概念：
使一元一次方程等号左右两边 相等 的 未知数 的值是一元一次方程的解。一元一次方程只有一个解。
题型考点：①判断一元一次方程的解。②根据一元一次方程的解求值。
【即学即练1】
10．下列方程中解是x＝2的方程是（ ）
A．3x+6＝0B．﹣2x+4＝0C．D．2x+4＝0
【解答】解：A．将x＝2代入3x+6＝0，可得6+6＝12≠0，
故A不符合题意；
B．将x＝2代入﹣2x+4＝0，可得﹣4+4＝0，
故B符合题意；
C．将x＝2代入，可得＝1≠2，
故C不符合题意；
D．将x＝2代入2x+4＝0，可得4+4＝8≠0，
故D不符合题意；
故选：B．
【即学即练2】
11．若x＝4是方程ax﹣3＝4x+1的解，则a的值为（ ）
A．5B．3C．﹣3D．1
【解答】解：把x＝4代入方程ax﹣3＝4x+1，
得：4a﹣3＝4×4+1，
解得：a＝5，故A正确．
故选：A．
【即学即练3】
12．关于x的一元一次方程2xm﹣2+n＝4的解是x＝1，则m+n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：∵关于x的一元一次方程2xm﹣2+n＝4的解是x＝1，
∴，
解得：，
∴m+n＝3+2＝5．
故选：B．
知识点05 等式的基本性质
等式的基本性质：
性质1：等式左右两边同时加上（减去） 同一个 数（式子），等式 仍然成立 。
性质2：等式左右两边同时乘 同一个 的数（式子）或同时除以 同一个不为0 的数（式子），等式 仍然成立 。
性质3：对称性：，则 。
性质4：传递性：，，则 。又称等量代换。
题型考点：①利用等式的基本性质变形。②利用等式的基本性质解简单的方程。
【即学即练1】
13．下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果a+5＝5﹣b，那么a＝bB．若，则a＝b
C．若2x＝2a﹣b，则x＝a﹣bD．若x2＝6x，则x＝6
【解答】解：若，
则c≠0，
则，
故选：B．
【即学即练2】
14．下列变形错误的是（ ）
A．由x+7＝5得x+7﹣7＝5﹣7
B．由3x﹣2＝2x+1得x＝3
C．由﹣2x＝3得x＝﹣
D．由4﹣3x＝4x﹣3得4+3＝4x+3x
【解答】解：A．∵x+7＝5，
∴x+7﹣7＝5﹣7，故本选项不符合题意；
B．∵3x﹣2＝2x+1，
∴3x﹣2x＝1+2，
∴x＝3，故本选项不符合题意；
C．∵﹣2x＝3，
∴x＝﹣，故本选项符合题意；
D．∵4﹣3x＝4x﹣3，
∴4+3＝4x+3x，故本选项不符合题意；
故选：C．
【即学即练3】
15．用等式性质解下列方程：
（1）4x﹣7＝13
（2）3x+2＝x+1．
【解答】解：（1）4x﹣7＝13
移项得：4x＝20，
方程两边同时除以4得：
x＝5；
（2）3x+2＝x+1
移项得：3x﹣x＝﹣2+1，
合并同类项得：
2x＝﹣1，
解得：x＝﹣．
题型01 方程与一元一次方程的判断
【典例1】
下列各式中，是方程的个数为（ ）
①x＝0；②3x﹣5＝2x+1；③2x+6；④x﹣y＝0；⑤＝5y+3；⑥a2+a﹣6＝0．
A．2个B．3个C．5个D．4个
【解答】解：①、②、④、⑤、⑥是方程，符合题意；
③不是等式，故不是方程，不符合题意；
故选：C．
【典例2】
下列各式中：①2x﹣1＝5；②4+8＝12；③5y+8；④2x+3y＝0；⑤2a+1＝1；⑥2x2﹣5x﹣1．是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
【解答】解：①2x﹣1＝5符合方程的定义，故本小题符合题意；
②4+8＝12不含有未知数，不是方程，故本小题不合题意；
③5y+8不是等式，故本小题不合题意；
④2x+3y＝0符合方程的定义，故本小题符合题意；
⑤2a+1＝1符合方程的定义，故本小题符合题意；
⑥2x2﹣5x﹣1不是等式，故本小题不合题意．
故选：C．
【典例3】
下列方程是一元一次方程的个数是（ ）
①x+y＝1，②x﹣1＝3，③2x2＝1，④5x+5＝﹣1，⑤xy＝10，⑥2x+4＝0，⑦x＝0
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解答】解：①x+y＝1是二元一次方程的定义，不是一元一次方程；
②x﹣1＝3符合一元一次方程的定义，是一元一次方程；
③2x2＝1属于一元二次方程，不是一元一次方程；
④5x+5＝﹣1符合一元一次方程的定义，是一元一次方程；
⑤xy＝10属于二元二次方程，不是一元一次方程；
⑥2x+4＝0符合一元一次方程的定义，是一元一次方程．
⑦x＝0符合一元一次方程的定义，是一元一次方程．
是一元一次方程的个数是4个，
故选：B．
【典例4】
已知下列方程：①；②0.3x＝1；③；④x2﹣4x＝3；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：①是分式方程，故①不符合题意；
②0.3x＝1，即0.3x﹣1＝0，符合一元一次方程的定义．故②符合题意；
③，即9x+2＝0，符合一元一次方程的定义．故③符合题意；
④x2﹣4x＝3的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程．故④不符合题意；
⑤x＝6，即x﹣6＝0，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意；
⑥x+2y＝0中含有2个未知数，属于二元一次方程．故⑥不符合题意．
综上所述，一元一次方程的个数是3个．
故选：B．
题型02 根据一元一次方程的定义求值
【典例1】
若方程（a﹣1）x|a|﹣1＝5是关于x的一元一次方程，则a的值为（ ）
A．±1B．2C．±2D．﹣1
【解答】解：由题意，得
|a|＝1且a﹣1≠0，
解得a＝﹣1，
故选：D．
【典例2】
若关于x的方程2xm﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【解答】解：根据题意得：
m﹣1＝1，
解得：m＝2．
故选：D．
【典例3】
若方程（k﹣1）x|k﹣2|＝3是关于x的一元一次方程，则k是（ ）
A．1B．2C．﹣1D．3
【解答】解：∵（k﹣1）x|k﹣2|＝3是关于x的一元一次方程，
∴k﹣1≠0且|k﹣2|＝1，
解得：k＝3．
故选：D．
【典例4】
已知方程（1﹣m）x|2m|﹣1+9＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．D．0
【解答】解：由（1﹣m）x|2m|﹣1+9＝0是关于x的一元一次方程，得
|2m|﹣1＝1且1﹣m≠0．
解得m＝﹣1．
故选：B．
题型03 方程的解与一元一次方程的解的判断
【典例1】
下列方程中，以x＝﹣1.5为解的方程是（ ）
A．2x＝3B．3x＝x+3C．x＝3x+3D．x＝3x﹣3
【解答】解：A、把x＝﹣1.5代入方程得：左边＝﹣3≠右边，则不是方程的解，选项错误；
B、把x＝﹣1.5代入方程，得左边＝﹣4.5，右边＝1.5，则左边≠右边，不是方程的解，选项错误；
C、把x＝﹣1.5代入，左边＝﹣1.5，右边＝﹣1.5，左边＝右边，是方程的解，选项正确；
D、把x＝﹣1.5代入，左边＝﹣1.5，右边＝﹣4.5﹣3＝﹣7.5，左边≠右边，则不是方程的解，选项错误．
故选：C．
【典例2】
下列方程中，解为x＝2的是（ ）
A．2x＝6B．（x﹣3）（x+2）＝0
C．x2＝3D．3x﹣6＝0
【解答】解：A、把x＝2代入，左边＝4≠右边，则不是方程的解，选项错误；
B、把x＝2代入方程，左边＝﹣4≠右边，则不是方程的解，选项错误；
C、把x＝2代入方程，左边＝4≠右边，则不是方程的解，选项错误；
D、把x＝2代入方程，左边＝0＝右边，则是方程的解，选项正确．
故选：D．
【典例3】
下列方程中，解是x＝﹣3的是（ ）
A．2x+6＝1B．3x﹣8＝1C．3x﹣1＝0D．﹣2x﹣6＝0
【解答】解：A．2×（﹣3）+6＝0≠1，故不符合题意；
B．3×（﹣3）﹣8＝﹣17≠1，故不符合题意；
C．3×（﹣3）﹣1＝﹣10≠0，故不符合题意；
D．﹣2×（﹣3）﹣6＝0，故符合题意；
故选：D．
【典例4】
下列方程中，解为x＝2的是（ ）
A．3x+6＝0B．3﹣2x＝0C．﹣x＝1D．﹣x+＝0
【解答】解：A、将x＝2代入3x+6＝0，左边＝12≠右边＝0，故本选项不合题意；
B、将x＝2代入3﹣2x＝0，左边＝﹣1＝右边＝0，故本选项不合题意；
C、将x＝2代入＝1，左边＝﹣1≠右边＝1，故本选项不合题意；
D、将x＝2代入＝0，左边＝0≠右边＝0，故本选项符合题意．
故选：D．
题型04 根据方程的解求值
【典例1】
已知x＝2是关于x的方程3x+a＝0的一个解，则a的值是（ ）
A．﹣6B．﹣3C．﹣4D．﹣5
【解答】解：把x＝2代入方程得：6+a＝0，
解得：a＝﹣6．
故选：A．
【典例2】
已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，则a的值是（ ）
A．2B．3C．7D．8
【解答】解：把x＝5 代入方程ax﹣8＝20+a，
得：5a﹣8＝20+a，
解得：a＝7，
故选：C．
【典例3】
若x＝1是关于x的一元一次方程ax﹣b﹣2＝0（a≠0）的一个根，则a﹣b的值等于（ ）
A．2B．1C．0D．3
【解答】解：把x＝1代入方程得：a﹣b﹣2＝0，
则a﹣b＝2，
故选：A．
【典例4】
若x＝2是关于x的一元一次方程mx+n＝3的解，则代数式6m+3n﹣2的值是（ ）
A．2B．3C．7D．9
【解答】解：把x＝2代入方程可得2m+n＝3，
∴6m+3n﹣2
＝3（2m+n）﹣2
＝3×3﹣2
＝7．
故选：C．
题型05 利用等式的基本性质变形
【典例1】
下列利用等式的性质，错误的是（ ）
A．由a＝b，得到1﹣a＝1﹣bB．由＝，得到a＝b
C．由a＝b，得到ac＝bcD．由ac＝bc，得到a＝b
【解答】解：当c＝0时，ac＝bc＝0，
但a不一定等于b
故D错误
故选：D．
【典例2】
下列变形中，不正确的是（ ）
A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝bB．若，则a＝b
C．若a＝b，则D．若ac＝bc，则a＝b
【解答】解：A选项，等式两边都加3，故该选项不符合题意；
B选项，∵c≠0，
∴等式两边都乘c，故该选项不符合题意；
C选项，∵c2+1＞0，
∴等式两边都除以（c2+1），故该选项不符合题意；
D选项，题中没有说c≠0，等式两边不能都除以c，故该选项符合题意；
故选：D．
【典例3】
下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
A．若x＝y，则x+5＝y+5B．若x＝y，则＝
C．若x＝y，则1﹣3x＝1﹣3yD．若a＝b，则ac＝bc
【解答】解：A、若x＝y，则x+5＝y+5，正确，不合题意；
B、若x＝y，则＝，a≠0，故此选项错误，符合题意；
C、若x＝y，则1﹣3x＝1﹣3y，正确，不合题意；
D、若a＝b，则ac＝bc，正确，不合题意．
故选：B．
【典例4】
下列运用等式的性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果x+2＝y+2，则x＝yB．如果x＝y，则
C．如果mx＝my，则x＝yD．如果，则x＝y
【解答】解：A、如果x+2＝y+2，则x＝y，故A不符合题意；
B、如果x＝y，则＝，故B不符合题意；
C、如果mx＝my（m≠0），则x＝y，故C符合题意；
D、如果，则x＝y，故D不符合题意；
故选：C．
题型06 利用等式的性质解方程
【典例1】
利用等式的性质解方程：
（1）5+x＝﹣2
（2）3x+6＝31﹣2x．
【解答】（1）5+x＝﹣2
5+x﹣5＝﹣2﹣5
x＝﹣7；
（2）3x+6＝31﹣2x
3x+6+2x﹣6＝31﹣2x+2x﹣6
5x＝25
x＝5．
【典例2】
利用等式的性质解方程：
（1）5﹣x＝﹣2
（2）3x﹣6＝﹣31﹣2x．
【解答】解：（1）两边都减5，得﹣x＝﹣7，
两边都除以﹣1，得
x＝7；
（2）两边都加（2x+6），得
5x＝﹣25，
两边都除以5，得
x＝﹣5．
【典例3】
利用等式性质解方程
①﹣x﹣5＝4
②4x﹣2＝2．
【解答】①解：两边同时加5得，
﹣x﹣5+5＝4+5，
两边同时乘以﹣3得，
﹣x×（﹣3）＝9×（﹣3），
即x＝﹣27；
②解：两边同时加2得，
4x﹣2+2＝2+2，
即4x＝4，
两边同时除以4得，
4x÷4＝4÷4，
即x＝1．
1．下列各式中，属于方程的是（ ）
A．6+（﹣2）＝4B．C．7x＞5D．2x﹣1＝5
【解答】解：A、6+（﹣2）＝4不含未知数，不是方程，不符合题意；
B、x﹣2不是等式，故不是方程，不符合题意；
C、7x＞5不是等式，故不是方程，不符合题意；
D、2x﹣1＝5是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：D．
2．下列所给条件，不能列出方程的是（ ）
A．某数比它的平方小6
B．某数加上3，再乘以2等于14
C．某数与它的的差
D．某数的3倍与7的和等于29
【解答】解：设某数为x，
A、x2﹣x＝6，是方程，故本选项错误；
B、2（x+3）＝14，是方程，故本选项错误；
C、x﹣x，不是方程，故本选项正确；
D、3x+7＝29，是方程，故本选项错误．
故选：C．
3．若x＝2是方程4x+2m﹣14＝0的解，则m的值为（ ）
A．10B．4C．3D．﹣3
【解答】解：把x＝2代入4x+2m﹣14＝0，得
4×2+2m﹣14＝0，
解得m＝3．
故选：C．
4．已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+6＝0是关于x的一元一次方程，则a的值为（ ）
A．±2B．﹣2C．1D．2
【解答】解：由题意，得
|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
故选：B．
5．小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得
2×（9﹣3）﹣■＝9+1，
解得■＝2；
故选：C．
6．小李在解方程5a﹣x＝13（x为未知数）时，误将﹣x看作+x，得方程的解为x＝﹣2，则原方程的解为（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【解答】解：由题意得，5a﹣2＝13，
解得，a＝3，
∴原方程为15﹣x＝13，
解得，x＝2；
故选：C．
7．下列变形中，正确的是（ ）
A．若5x﹣6＝7，则5x＝7﹣6
B．若﹣3x＝5，则
C．若5x﹣3＝4x+2，则5x﹣4x＝2+3
D．若5b2﹣3c2﹣（3b2﹣3c2）+c2+2016abc，则2（x﹣1）+3（x+1）＝1
【解答】解：A、若5x﹣6＝7，则5x＝7+6，故此选项错误．
B、若﹣3x＝5，则，故此选项错误．
C、5x﹣3＝4x+2，则5x﹣4x＝2+3，正确．
D、若5b2﹣3c2﹣（3b2﹣3c2）+c2+2016abc，则2（x﹣1）+3（x+1）＝6，故此选项错误．
故选：C．
8．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若a＝b，则＝
B．若a＝b，则ac＝bc
C．若a（x2+1）＝b（x2+1），则a＝b
D．若x＝y，则x﹣3＝y﹣3
【解答】解：A．若a＝b，c≠0，则＝，所以A选项符合题意；
B．若a＝b，则ac＝bc，所以B选项不符合题意；
C．若a（x2+1）＝b（x2+1），则a＝b，所以C选项不符合题意；
D．若x＝y，则x﹣3＝y﹣3，所以D选项不符合题意；
故选：A．
9．写出一个解为x＝3的方程： ．
【解答】解：∵方程的解为x＝3，
∴方程为x﹣3＝0，
故答案为：x﹣3＝0（答案不唯一）．
10．已知（a﹣3）x|a|﹣2﹣5＝8是关于x的一元一次方程，则a的值为 ．
【解答】解：根据题意得：
|a|﹣2＝1，
解得a＝3或a＝﹣3，
因为a﹣3≠0，
所以a≠3，
综上可知：a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
11．已知5a+8b＝3b+10，利用等式性质可求得a+b+1＝ ．
【解答】解：5a+8b＝3b+10，
5a+8b﹣3b＝3b﹣3b+10，
5a+5b＝10，
5（a+b）＝10，
a+b＝2，
∴a+b+1＝2+1＝3．
故答案为：3．
12．已知x＝1是关于x的方程3x﹣m＝x+2n的解，则式子的值为 ．
【解答】解：∵x＝1是关于x的方程3x﹣m＝x+2n的解，
∴3﹣m＝1+2n，
则m+2n＝2，
∴m+n＝1，
则式子＝1+2022＝2023．
故答案为：2023．
13．已知方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值及方程的解．
（2）求代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（xm+2）的值．
【解答】解：（1）∵方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程，
∴1﹣m2＝0且﹣（m+1）≠0，
∴m＝1，
原一元一次方程化为：﹣2x+8＝0，解得x＝4；
（2）∵5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（xm+2）
＝5x2﹣2x﹣4x2﹣x﹣6
＝x2﹣3x﹣6，
当x＝4时，原式＝42﹣4×3﹣6＝﹣2，
即代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（xm+2）的值是﹣2．
14．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则该方程为“差解方程”，例如：2x＝4的解为x＝2，且2＝4﹣2，则方程2x＝4是差解方程．
（1）判断方程3x＝4.5是否是差解方程；
（2）若关于x的一元一次方程5x﹣m＝1是差解方程，求m的值．
【解答】解：（1）∵3x＝4.5，
解得：x＝1.5，
∵4.5﹣3＝1.5，
∴方程3x＝4.5是差解方程；
（2）∵5x﹣m＝1，
解得：，
∵关于x的一元一次方程5x﹣m＝1是差解方程，
∴，
解得：．
15．阅读材料：求1+2+22+23+42+⋅⋅⋅+22019的值．
解：设S＝1+2+22+23+42+⋅⋅⋅+22019
将等式两边同时乘以2，得2S＝2+22+23+42+25+⋅⋅⋅+22019+22020
将下式减去上式，得S＝22020﹣1
即1+2+22+23+42+⋅⋅⋅+22019＝22020﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+5+52+53+⋅⋅⋅+510
（2）
【解答】解：（1）根据材料，设M＝1+5+52+53+⋅⋅⋅+510①，
∴将等式两边同时乘以5，则5M＝5+52+53+⋅⋅⋅+510+511②，
由②﹣①，得：4M＝511﹣1，
∴，
∴．
（2）根据材料，设③，
∴将等式两边同时乘以3，④，
由④﹣③，得：，
∴，
∴．
课程标准
学习目标
①方程与方程的解得概念
②一元一次方程的概念
③等式的基本性质
掌握方程的概念以及方程的解得概念，并能够熟悉判定以及熟练应用。
掌握一元一次方程的概念并能够熟练判断，能够根据一元一次方程的概念解决相应的题目。
掌握等式的基本性质，并对其熟练应用。
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