2024届湖南省益阳市高三下学期三模考试数学试题

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（时量：120分钟满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知为虚数单位，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则是方程的解的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
3．顶角为36°的等腰三角形，常称为“最美三角形”．已知，则“最美三角形”的底边长与腰长的比为（ ）
A．B．C．D．
4．已知数列满足且，则（ ）
A．128B．64C．32D．16
5．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．2023年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小Y哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒1瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在远小于365时，近似地，，其中．如果要保证直播间至少两个人的生日在同一天的概率不小于，那么来到直播间的人数最少应该为（ ）
A．21B．22C．23D．24
7．如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为，另一种金属晶体的原子半径为，则和的关系是（ ）
A．B．C．D．
8．已知的定义域为是的导函数，且，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．函数与表示同一函数
B．函数与是同一函数
C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点
D．函数，则0
10．如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆与横杆组成，为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆始终保持水平．如图2所示，以点为原点，水平方向为轴正方向建立平面直角坐标系．若点距水平地面的高度为1米，转动杆的长度为1.6米，横杆的长度为2米，绕点在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角（ ）
图1 图2
A．则点运动的轨迹方程为（其中）
B．则点运动的轨迹方程为（其中）
C．若绕点从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角，则横杆距水平地面的高度为米
D．若绕点从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角，则点运动轨迹的长度为米
11．在中，角所对的边依次为，已知，则下列结论中正确的是（ ）
A．：
B．为钝角三角形
C．若．则的面积是
D．若的外接圆半径是，内切圆半径为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为______．
13．已知，且，则满足且的的最大值为______．
14．已知函数的定义域为．对任意的恒有，且．则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）求证：．
16．（本小题满分15分）
新鲜是水果品质的一个重要指标。某品牌水果销售店，为保障所销售的某种水果的新鲜度，当天所进的水果如果当天没有销售完毕，则第二天打折销售直至售罄．水果销售店以每箱进货价50元、售价100元销售该种水果，如果当天卖不完，则剩下的水果第二天将在原售价的基础上打五折特价销售，而且要整体支付包装更换与特别处理等费用30元．这样才能保障第二天特价水果售罄，并且不影响正价水果销售，水果销售店经理记录了在连续50天中该水果的日销售量x（单位：箱）和天数y（单位：天）如下表所示：
（1）为能减少打折销售份额，决定70%地满足顾客需求（即在100天中，大约有70天可以满足顾客需求）．请根据上面表格中的数据，确定每天此种水果的进货量t的值。（以箱为单位，结果保留一位小数）
（2）以这50天记录的日需求量的频率作为日需求量的概率，设（1）中所求的值满足，请以期望作为决策依据，帮销售店经理判断每天购进此种水果是箱划算还是箱划算？
17．（本小题满分15分）
如图所示，四边形为梯形，，以为一条边作矩形，且，平面平面．
（1）求证：；
（2）甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为，它们的面积分别记为和，则．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段上存在点，使得．请你对乙同学发现的结论进行证明．
18．（本小题满分17分）
已知直线与椭圆相交于点，点在第一象限内，分别为椭圆的左、右焦点．
（1）设点到直线的距离分别为，求的取值范围；
（2）已知椭圆在点处的切线为．
（1）求证：切线的方程为；
（2）设射线交于点，求证：为等腰三角形．
19．（本小题满分17分）
我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）．
（1）若空间向量，求及；
（2）对于空间向量．若，求证：，若，则；
（3）若空间向量的坐标满足，当时，求证：． 日销售量x（单位：箱）
22
23
24
25
26
天数y（单位：天）
10
10
15
9
6