人教版七年级上册4.1.1 立体图形与平面图形学案

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知识点01 几何图形的概念
几何图形的概念：
从实物中抽象出的各种图形叫 几何图形 。几何图形分为 立体图形 和 平面图形 。

知识点02 立体图形
立体图形的概念：
有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等），它们的各部分不都在同一个平面内，这样的几何体就是 立体图形 。
常见的立体图形及其构成：
①柱体：分为 圆柱体 和 棱柱体 。

②椎体：分为 圆锥体 和 棱锥体 。

③台体：分为 圆台 和 棱台 。
④球体：一个曲面组成。
题型考点：①判断几何体的及其组成。②利用几何体简单求值。
【即学即练1】
1．如图所示，陀螺是由下面哪两个几何体组合而成的（ ）
A．长方体和圆锥B．长方形和三角形
C．圆和三角形D．圆柱和圆锥
【解答】解：由组成几何体的特征知，上面是圆柱，下面是圆锥．
故选：D．
【即学即练2】
2．下列立体图形中，是圆锥的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：结合图形的特点，根据日常生活中的常识及圆锥的概念和特性判定D是圆锥．
故选：D．
【即学即练3】
3．若一个棱柱有7个面，则它是（ ）
A．七棱柱B．六棱柱C．五棱柱D．四棱柱
【解答】解：∵棱柱有七个面，
∴它有五个侧面，
∴它是五棱柱，
故选：C．
【即学即练4】
4．若一个棱柱有12个顶点，且所有侧棱长的和为30cm，则每条侧棱长为 5 cm．
【解答】解：根据以上分析一个棱柱有12个顶点，
所以它是六棱柱，即有6条侧棱，
又因为所有侧棱长的和是30cm，
所以每条侧棱长是30÷6＝5cm．
故答案为：5．
【即学即练5】
5．一个棱柱有16个顶点，所有侧棱长的和是64cm，则每条侧棱长是 8cm ．
【解答】解：∵一个直棱柱有16个顶点，
∴该棱柱是八棱柱，
∴它的每条侧棱长＝64÷8＝8（cm）．
故答案为：8cm．
知识点03 平面图形
平面图形的概念：
一个图形（如：线段、角、三角形、正方形、圆等）的各部分都在 同一个平面内 ，则这样的图形叫做平面图形。
题型考点：①平面图形的判断。
【即学即练1】
6．下面的四个几何图形中，表示平面图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项中前三个是立体图形，即圆柱体、长方体，球，只有D选项是三角形，是平面图形，
故选：D．
【即学即练2】
7．在长方形、长方体、三角形、球、直线、圆中，有（ ）个平面图形．
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：平面图形有长方形，三角形，直线，圆共4个，故选B．
【即学即练3】
8．以下几种图形：①三角形 ②正方体 ③圆 ④圆锥 ⑤圆柱 ⑥正方形 ⑦梯形 ⑧球⑨等腰三角形，其中不属于平面图形的是（ ）
A．②③④⑧B．②④⑤C．④⑤⑧⑨D．②④⑤⑧
【解答】解：①三角形、③圆、⑥正方形、⑦梯形、⑨等腰三角形都是平面图形．
②正方体、④圆锥 ⑤圆柱、⑧球都是立体图形．
综上所述，不属于平面图形的是：②④⑤⑧．
故选：D．
知识点04 从不同方向看物体（几何体的三视图）
几何体的三视图：
正视图：从几何体正面看得到的图形叫做 正视图 ，可以得到物体的 长度 和 高度 。
左视图：从几何体左面看得到的图形叫做 侧视图 ，可以得到物体的 宽度 和 高度 。
俯视图：从几何体上面看得到的图形叫做 俯视图 ，可以得到物体的 长度 和 宽度 。
注意：中间有看得见的线条用实线表示，有看不见的线条用虚线表示。
题型考点：①判断简单几何体的三视图。
【即学即练1】
9．如图所示，该几何体的左视图为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从几何体的左面看，是一个矩形，因为中间的棱可看见，所以矩形的中间有一条横向的实线．
故选：A．
【即学即练2】
10．如图所示的三视图是下列哪个几何体的三视图（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由已知中的三视图我们可以判断出该几何体是一个圆台，分析四个选项可得C满足条件要求，
故选：C．
【即学即练3】
11．把5个正方体按如图所示方式摆放，沿箭头方向观察这个立体图形，得到的平面图形是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意可知：该立体图形的正视图为A．
故选：A．
知识点05 几何体的展开图
常见几何体的展开图：
正方体的11种展开图：

题型考点：①根据几何体判断展开图或根据展开图判断几何体。②判断正方体的展开图。
【即学即练1】
12．下列图形是棱锥侧面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：四棱锥的侧面展开图是四个三角形．
故选：D．
【即学即练2】
13．下面的平面展开图与图下方的立体图形名称不相符的是（ ）
A．三棱锥B．长方体
C．正方体D．圆柱体
【解答】解：选项A中的图形，折叠后形成的几何体是三棱柱，不是三棱锥，因此选项A符合题意；
选项B的图形折叠后成为长方体，因此选项B不符合题意；
选项C的图形折叠后成为正方体，因此选项C不符合题意；
选项D的图形折叠后成为圆柱体，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【即学即练3】
14．如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱B．四棱柱C．圆柱D．圆锥
【解答】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥．
故选：D．
【即学即练4】
15．如图四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、是三棱柱的平面展开图；
B、是三棱锥的展开图，故不是；
C、是四棱锥的展开图，故不是；
D、两底在同一侧，也不符合题意．
故选：A．
【即学即练5】
16．如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（ ）
A．三棱柱B．三棱锥C．五棱柱D．五棱锥
【解答】解：由题意可知，该几何体为五棱锥，所以它的底面是五边形．
故选：D．
【即学即练6】
17．观察如图所示图形，其中不是正方体的展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，B，C选项可以拼成一个正方体，而D选项，上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图．
故选：D．
【即学即练7】
18．下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据正方体展开图的“田凹应弃之”可得选项C中的图形不能折叠出正方体，
故选：C．
【即学即练8】
19．把如图所示的正方体展开，则选项中哪一个图形不是这个正方体的展开图（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题知ACD三个选项中的图案都是原正方体的展开图，
B选项中黑色小圆圈与一个白色小圆圈相对了，故B选项中的图形不是原正方体的展开图，
故选：B．
【即学即练9】
20．如图，下面的平面图形是左边正方体展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据正方体的展开图的性质可得C为正方体的展开图，故C符合题意．
故选：C．
知识点06 正方体展开图找相对面
正方体展开图找相对面的两种方法：
①间隔面法：若在一条线上存在三个或四个面，则中间间隔一个面的那两个面正方体的相对面。
②“Z”字两端法：若两个面能够构成“2”字的两端，则这两个面试正方体的相对面。
在判断相对面时，优先用间隔面法。
题型考点：①找正方体展开图的相对面。
【即学即练1】
21．“从明天起，做一个幸福的人，喂马，劈柴，周游世界”．如图所示，已知一个正方体展开图六个面依次书写“明”“天”“喂”“马”“劈”“柴”，则折叠后与“明”相对的是（ ）
A．天B．马C．劈D．柴
【解答】解：根据正方体的展开图可知：
折叠后与“明”相对的是“柴”．
故选：D．
【即学即练2】
22．如图是正方体的一种展开图，表面上的语句为北京冬奥会和冬残奥会的主题口号“一起向未来！”，那么在正方体的表面与“！”相对的汉字是（ ）
A．一B．起C．向D．未
【解答】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，
由图形可知，与“!”字相对的字是“向”．
故选：C．
【即学即练3】
23．如图是一个正方体纸盒的展开图，按虚线折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则ca+b＝（ ）
A．﹣8B．9C．﹣3D．2
【解答】解：由图可知，a，b，c的对面分别是0，﹣3，2，
∵相对面上的两个数互为相反数，
∴a，b，c所表示的数分别是0，3，﹣2．
∴ca+b＝（﹣2）0+3＝﹣8．
故选：A．
题型01 几何图形的认识
【典例1】
下列几何体是圆柱体的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项A是圆柱体，选项B是三棱锥，选项C是球体，选项D是六棱柱．
故选：A．
【典例2】
下列几何体中，属于棱柱的有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【解答】解：第一、第三、第六个几何体是棱柱，共有3个．
故选：D．
【典例3】
下面各图中的阴影部分，（ ）是扇形．
A．B．
C．D．
【解答】解：由扇形的定义知：B中的阴影部分是扇形．
故选B．
【典例4】
如图所示是一间房子的平面示意图，组成这幅图的简单几何图形是（ ）
A．三角形、长方形
B．三角形、正方形、长方形
C．三角形、正方形、长方形、梯形
D．正方形、长方形、梯形
【解答】解：图中的几何图形有：三角形，正方形，矩形以及梯形．
故选：C．
题型02 判断简单几何体的三视图
【典例1】
在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不一样的是（ ）
正方体 B．长方体
C．圆柱 D．圆锥
【解答】解：A、左视图与主视图都是正方形，故A不符合题意；
B、左视图与主视图不相同，分别是正方形和长方形，故B符合题意；
C、左视图与主视图都是矩形，故C不符合题意；
D、左视图与主视图都是等腰三角形．故D不符合题意．
故选：B．
【典例2】
在①长方体、②球、③圆锥、④圆柱、⑤三棱柱这五种几何体中，其主视图、左视图、俯视图都完全相同的是 ② （填上序号即可）．
【解答】解：①长方体主视图是长方形、左视图是长方形、俯视图也是长方形，但是长方形的边长不一样长；
②球主视图、左视图、俯视图都是圆；
③圆锥主视图、左视图都是三角形，俯视图是带圆心的圆；
④圆柱主视图、左视图都是长方形，俯视图是圆；
⑤三棱柱主视图是长方形，中间还有一条竖线；左视图是长方形，俯视图是三角形；
故答案为：②．
【典例3】
如图所示的几何体从上面看到的形状图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形，上层有2个小正方形．
故选：D．
【典例4】
如图所示的钢块零件的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从上面看是：
．
故选：D．
题型03 常见图形的展开图
【典例1】
如图，圆柱体的表面展开后得到的平面图形是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：圆柱体的侧面展开后得到的平面图形是矩形，上下两底是两个圆．
故选B．
【典例2】
下面四个立体图形的展开图中，是圆锥展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．这个立体图形是长方体，故本选项不符合题意；
B．圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个立体图形是圆锥，故本选项符合题意；
C．这个立体图形是三棱柱，故本选项不符合题意；
D．这个立体图形是圆柱，故本选项不符合题意；
故选：B．
【典例3】
一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的形状是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱
【解答】解：由几何体的表面展开图可知，该几何体的形状是三棱柱．
故选：B．
题型04 正方体的展开图
【典例1】
下列各图形是正方体表面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：图ABC中上面两块小正方形会重合在一起．
D都是正方体的展开图．
故选：D．
【典例2】
下列图形中，不是正方体展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可得，
不是正方体的表面展开图，
故选：D．

【典例3】
正方体的表面展开图可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由正方体四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，B，D选项不可以拼成一个正方体，选项C可以拼成一个正方体．
故选：C．
题型05 正方体的相对面
【典例1】
正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．强B．富C．美D．高
【解答】解：正方体的表面展开图相对的面之间一定相隔一个正方形，
“盐”与“高”是相对面，
“城”与“富”是相对面，
“强”与“美”是相对面，
故选：D．
【典例2】
如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“海”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．教B．育C．腾D．飞
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
原正方体中与“海”字所在的面相对的面上标的字是“育”．
故选：B．
【典例3】
如图，若要使图中的平面展开图折叠成正方形，相对面上两个数相等，则x+y＝ 4 ．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“1”与“x”是相对面，
“3”与“y”是相对面，
∵相对面上两个数相同，
∴x＝1，y＝3，
∴x+y＝1+3＝4．
故答案为：4．
【典例4】
如图是一个长方体墨水瓶纸盒的表面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
（1）填空：a＝ 0 ，b＝ 2 ，c＝ ﹣6 ；
（2）求（a+b）c﹣（b+c）a+的值．
【解答】解：（1）∵纸盒中相对两个面上的数互为相反数，
∴观察图形可知，a＝0，b＝2，c＝﹣6．
故答案为：0，2，﹣6；
（2）（a+b）c﹣（b+c）a+
＝（0+2）×（﹣6）一[2+（﹣6）]×0+
＝﹣12﹣0﹣
＝﹣12．
1．如图所示几何体中：棱柱有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由棱柱的特征可知第3个和第5个几何体是棱柱．
故选：B．
2．下面几种几何图形中，属于平面图形的是（ ）
①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱．
A．①②④B．①②③C．①②⑥D．④⑤⑥
【解答】解：①三角形；②长方形；④圆，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形；
③正方体；⑤四棱锥；⑥圆柱属于立体图形．
故选：A．
3．如图，是一个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆柱B．三棱柱C．长方体D．三棱锥
【解答】解：∵该几何体的上下底面是三角形，侧面是三个长方形，
∴该几何体是三棱柱，
故选：B．
4．如图几何体中，从正面和左面看到的形状图相同的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：球体从正面和左面看到的形状图都是圆；
该三棱柱的主视图是三角形，左视图是矩形，故从正面和左面看到的形状图不相同；
圆锥从正面和左面看到的形状图都是等腰三角形；
圆柱从正面和左面看到的形状图都是矩形．
所以从正面和左面看到的形状图相同的有3个．
故选：C．
5．由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：这个组合体的俯视图为：
故选：B．
6．一个棱柱有10个面，那么它的棱数是（ ）
A．16B．20C．22D．24
【解答】解：一个棱柱有10个面，那么这个棱柱是八棱柱，
它的棱数为3×8＝24；
故选：D．
7．如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意知，图形经过折叠能围成题中正方体纸盒，
故选：B．
8．已知一个直棱柱有21条棱，x个面和y个顶点，则3x﹣2y的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．2D．1
【解答】解：由21÷3＝7知，此棱柱是七棱柱，
∴这个七棱柱有9个面，有14个顶点，
∴x＝9，y＝14，
∴3x﹣2y＝27﹣28＝﹣1．
故选：A．
9．在圆柱、圆锥、长方体这三种几何体中，截面不可能是长方形的是 圆锥 ．
【解答】解：对于圆柱，当截面垂直于圆柱的底面时，则截面是长方形；
对于圆锥，无论截面怎样放置都截不出长方形；
对于长方体，当截面平行正方体的一个面时，则截面是长方形．
综上所述：截面不可能是长方形的是圆锥．
故答案为：圆锥．
一个小正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．将它按如图所示的方式顺时针滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2023次时，小正方体朝下一面标有的数字是 ．

【解答】解：由图可知：
1和6相对，2和5相对，3和4相对，
将正方体沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，正方体朝下一面的点数依次为2，3，5，4，且依次循环，
∵2023÷4＝505……3，
∴滚动第2023次后，骰子朝下一面的点数是：5，
故答案为：5．
11．用棱长相同的小正方体摆成如图所示的几何体，第1层有1个正方体，第2层有3个正方体，第3层有6个正方体，按图中摆放的方法类推，第10层有 个正方体．
【解答】解：第1层：1个，
第2层：1+2＝3（个），
第3层：1+2+3＝6（个），
第4层：1+2+3+4＝10（个），
……
第10层：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55（个），
故答案为：55．
12．如图，是一个正方体的表面展开图，折成正方体后其相对面上的两个数互为相反数，则a﹣b+2c的值为 ．
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“a+c”与“﹣2”相对，
“c”与“3”相对，
“﹣1”与“b”相对，
又∵相对面上的两个数互为相反数，
∴a＝5，b＝1，c＝﹣3，
∴a﹣b+2c＝5﹣1﹣6＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．如（1）、（2）、（3）图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，请在原图上画出所添的面．
【解答】解：如图，添加一个正方形，折叠后才能围成一个正方体，
，，，．
14．如图，在一个正方形⽹格中有五个⼩正方形，每个⾯上分别标有一个数值，在⽹格中添上一个正方形，使之能折叠成一个正方体，且使相对⾯上的两个数字之和相等．
（1）在图中画出添上的正方形；（要求：在⽹格中⽤阴影形式描出，并描出所有符合条件的正⽅形）
（2）求添上的正方形⾯上的数值．
【解答】解：（1）画出添上的正方形如图所示：
（2）设添上的正方形⾯上的数值为a，
∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴a与6相对，2x﹣1与2相对，3x与﹣5相对，
∵相对面上的两个数字之和相等，
∴a+6＝2x﹣1+2＝3x﹣5，
∴a＝7，x＝6，
∴添上的正方形⾯上的数值是7．
15．如图，观察下列几何体并回答问题．
（1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 （n+2） 个面， 3n 条棱， 2n 个顶点，n棱锥有 （n+1） 个面， 2n 条棱， （n+1） 个顶点；
（2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫做多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 V+F﹣E＝2 ．
【解答】解：（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点，n棱锥有（n+1）个面，2n条棱，（n+1）个顶点；
故答案为：（n+2），3n，2n，n，（n+1），2n，（n+1）；
（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，
如图：
根据上表总结出这个关系为V+F﹣E＝2．
故答案为：V+F﹣E＝2．
课程标准
学习目标
①认识几何图形，立体图形，平面图形
②几何体的三视图
③几何体的展开图
认识几何图形、立体图形、平面图形并且能够熟练的进行判断。
掌握立体图形的三视图，可以熟练的判断简单几何体的三视图。
掌握常见几何体的展开图，正方体的11种展开图，能够判断正方体展开图的相对面。