新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学2023-2024学年高三下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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总分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题先化简集合，再根据判断是的子集，最后直接求的取值范围即可.
【详解】解：因为，所以，因为，所以是的子集，故，
故选：D．
【点睛】本题考查根据集合运算判断集合的基本关系并求参数，是基础题.
2. 若复数满足方程（为虚数单位），则复数的共轭复数对应的点在（ ）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先令，代入中，利用等式两边对应项系数相等，可求出的值，从而可得复数的共轭复数对应的点，由此可确定出其所在的象限.
【详解】解：设，则由得，则，解得，则，在复平面内对应的点为，位于第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查复数的运算及其几何意义，利用了复数在复平面内对应的点的坐标为，属于基础题．
3. 经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1:3:6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n=
A. 30 B. 40 C. 60 D. 80
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件的比例关系求解出老年人和青年人的人数 即可.
【详解】由题设老年人和青年人人数分别为x,y,
由分层抽样得x:12:y=1:3:6解得x=4,y=24, 则n=4+12+24=40
故选B.
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件比例关系求解出老年人和青年人的人数是解决本题的关键．
4. 已知对任意实数，有，，且时，导函数分别满足，，则时，成立的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导函数的正负和原函数的增减，以及奇偶性在对称区间上的单调性求解.
【详解】解：，
在上为奇函数，
，
在上为增函数，
在为增函数，
即 ，
，
是偶函数，
因为时，，
在上为减函数，
则在为增函数，
所以．
故选：B．
5. 直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. 或D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】
求出直线恒过定点，根据题意，该定点必在椭圆内或椭圆上，根据点与椭圆的位置关系，代入点的坐标，即可求得结果.
【详解】由于直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，且直线y＝kx＋1与椭圆总有公共点，
所以点(0，1)必椭圆内或椭圆上，则且m≠5，解得m≥1且m≠5.
故选：D.
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于直线恒过的点在椭圆上或椭圆的内部，属于中档题.
6. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】f(x)在上单调递增，等价于恒成立，据此即可求出a的范围．
【详解】由题可知，恒成立，
故，即．
故选：A﹒
7. 已知，，则（ ）（是的半角）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用半角公式求解即可
【详解】∵，∴，
∴．
故选：A
8. 已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式、求和公式及等差中项计算，分两类讨论即可求出.
【详解】因为，，成等差数列，
所以,
若，则，解得，不符合题意；
当时，，
化简得，
即，
所以，
解得，
又，
所以，
解得，
故选：A
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，求和公式，等差中项，分类讨论的思想，属于中档题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设，，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 面积的最小值为8
C. 以焦半径为直径的圆与直线相切
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】求抛物线的焦点和准线，设直线为，联立方程结合韦达定理可得，，进而结合抛物线方程和定义逐项分析判断.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，
显然直线的斜率不为0，且可以不存在，此时直线与抛物线必相交，
设直线为，
联立方程，消去x得，
则，，
对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，
原点到直线的距离，
所以面积，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为8，故B正确；
对于选项C：由题意可知：线段的中点，
则到y轴的距离为，
所以以焦半径为直径的圆与直线相切，故C正确；
对于选项D：因为
，
即，故D错误；
故选：BC.
10. 下面命题正确的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 不等式的解集为
C. 不等式在是恒成立，则实数的取值范围为
D. 函数在区间内有一个零点，则实数的范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，利用因式分解直接解一元二次不等式即可；对于B，先将分式不等式转化为再解不等式即可；对于C，可将不等式恒成立问题转化成函数的最大值小于0，然后对参数进行分类讨论即可；对于D，根据时函数在区间内有一个零点，与题干矛盾，即可判断.
【详解】对于A，不等式即为，解得，所以不等式的解集为，选项A正确；
对于B，不等式可转化为，解得，不等式的解集为，选项B错误；
对于C，可将不等式恒成立问题转化成函数的最大值小于0，
当时，恒成立；
当时，函数，为开口向上的二次函数，对称轴为，此时函数在区间上为增函数，
所以当时，函数有最大值，所以，解得；
当时，函数，为开口向下二次函数，对称轴为，此时函数在区间上为减函数，
所以当时，函数有最大值， 恒成立，此时满足题意；
综上，实数m的取值范围为，选项C正确；
对于D，当时，，
令，解得或，可知在区间内，满足在区间内有一个零点，则选项D错误.
故选：AC.
11. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 如果，那么
C. 如果与互斥，那么
D. 如果与相互独立，那么
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐个分析判断即可
【详解】对于选项A，，故选项A错误；
对于选项B，如果 ， 那么，选项B正确；
对于选项C， 如果与互斥，那么 ， 所以选项C正确；
对于选项D，如果与相互独立，那么
，所以选项D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．
12. 已知向量满足，且与的夹角为60°，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的定义、结合数量积的运算律利用向量模的运算求解即可.
【详解】因为，与的夹角为60°，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
13. 若一个正棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为，则的最小值为______
【答案】6
【解析】
【分析】根据正棱台的结构，利用棱数列不等式求解即可.
【详解】因为正棱台的侧棱有条，底面有条棱，所以正棱台共有条棱，
由，得，所以的最小值为6.
故答案为：6
14. 已知函数，在区间上的单调函数，其中是直线l的倾斜角，则的所有可能取值区间为______．
【答案】，
【解析】
【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，结合x的范围，求出角的范围即可．
【详解】求导
在区间上是单调函数，
则有在恒大于等于0或恒小于等于0，
若在区间上单调减，则，
故即
若在区间上单调增，则，
,
所以即
综上所述，，，
故答案为，
【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效．
15. 中的内角、、的对边分别是、、，若，.
（1）求；
（2）若，点为边上一点，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边角互化结合二倍角的正弦公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值；
（2）利用余弦定理求出，可得出的长，求出的值，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1），，
由正弦定理得，，
又，，；
（2），，由余弦定理得，，
，即，解得或（舍），
，，，则为锐角，，
因此，.
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
16. 已知正项数列中，，前项和为，且______．请从下面两个条件中任选一个条件填在题目横线上，再作答．
条件：①；②．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）若选①，通过因式分解化简递推公式，得是公差为2的等差数列，结合可求数列的通项公式；
若选②，时，求出，利用公式，化简后证得数列为等差数列，由条件求出公差，即可得出数列的通项公式；
（2）利用放缩法及裂项相消求和法证明不等式.
【小问1详解】
若选①，由，得(，
即(，
因为为正项数列，所，
∴是公差为2的等差数列，又，
∴.
若选②，，当时，，
两式作差得：，则，
两式作差得：，
即，所以数列为等差数列，
时，，可得
公差，
∴.
【小问2详解】
∵，
∴.
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，点E在上，且．
（1）在棱上是否存在一点F，使得平面?若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由；
（2）求二面角的平面角的大小．
【答案】（1）当F是棱的中点时，平面，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分别取中点，中点，连接，先证明面面平行即平面平面，从而得线面平行平面.
（2）作交于，作于，连接，然后由线面垂直证明线线垂直即，从而得即为所求二面角，再结合几何知识从而可求解.
【小问1详解】
当是棱的中点时，平面，证明如下：
取的中点，连接，记与交于点O，连接．
易得平面平面 平面．
由是的中点，知是的中点，
由四边形是正方形，知O为中点，所以，
平面平面平面．
又，平面，∴平面平面，
平面平面.
【小问2详解】
作交于G，作于H，连接，
由平面，知平面，
平面，平面，
又平面，，
是二面角的平面角．
由题意得，
在中，，
∴二面角的平面角的大小为.
18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，且该抛物线经过点，其焦点在轴上.
（Ⅰ）求过点且与直线垂直的直线的方程；
（Ⅱ）设过点的直线交抛物线于，两点，，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）12.
【解析】
【详解】试题分析：（I）设抛物线方程为，由点在上，得，从而得点的坐标为，又直线的斜率为1，从而其垂线的斜率为-1，根据点斜式可得结果；（II）直线的方程是，.将代入，有，利用求根公式求得，由知 ，化简得，根据两点间距离公式，可化为，利用基本不等式求解即可.
试题解析：（Ⅰ）设抛物线方程为，由点在上，得.从而点的坐标为.又直线的斜率为1，从而其垂线的斜率为-1，因此所求直线方程为.
（Ⅱ）设点和的坐标为和，直线的方程是，.
将代入，有，解得.
由知 ，化简得.
因此 .
所以 ，当且仅当时取等号，即的最小值为12.
19. 设函数，
（1）当时，求函数的单调增区间；
（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；
（3）若函数在区间内存在两个极值点，，且，求的取值范围.
【答案】（1），.
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)把代入求导，再求出导函数大于0的不等式解集即可；
(2)由函数的导函数在上恒小于等于0即可出a的范围；
(3)根据给定条件可得函数在区间内的两个极值一正一负，再列出不等式求解即得.
【小问1详解】
当时，，则，由解得：或，
所以函数的单调增区间是，.
【小问2详解】
函数，则，因函数在区间上为减函数，则，成立，
即，，显然在上单调递减，即，，则，
所以a的取值范围是.
【小问3详解】
由(2)知，，因函数在区间内存在两个极值点，，则在区间内有两个不等根，，
即有，解得，且有，
不妨令，则，当或时，，当时，，
则在处取得极大值，在取得极小值，显然，，
由两边平方得，
而，即，
整理得：，
把代入上述不等式并整理得：，解得，
综上得，
所以实数a的取值范围是.
【点睛】含有多个变量的处理方法是减少变量的个数，减少变量方法有：
（1）若这些变量之间有关系可以用它们之间的关系消元，如在本题中不等式含有三个变量，可以通过韦达定理代入的办法消去，，只剩下关系的不等式.
（2）若这些变量之间没有关系可以通过构造比值或差值消元，如证明不等式时可变形为后构造消元，只剩下关于的不等式；证明不等式时可变形为后构造消元，只剩下关于的不等式.