2023-2024学年辽宁省鞍山市千山区九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山市千山区九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数中，无理数是( )
A. −2B. 0C. 17D. 3
2.如图，箭头所指的是某陶艺工作室用于垫放陶器的5块相同的耐火砖搭成的几何体，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列计算中，正确的是( )
A. a+3a=3a2B. a4−a3=aC. a⋅a2=a3D. a5÷a=5
5.下列说法不正确的是( )
A. 方程x2=x有一根为0B. 方程x2−1=0的两根互为相反数
C. 方程(x−1)2−1=0的两根互为相反数D. 方程x2−x+2=0无实数根
6.关于x的方程2ax+3a−x=34的解为x=1，则a=( )
A. 1B. 3C. −1D. −3
7.把直线y=−x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是( )
A. 11D. m<4
8.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组( )
A. 11x=9y(8x+y)−(10y+x)=13B. 11x=9y(10y+x)−(8x+y)=13
C. 9x=11y(8x+y)−(10y+x)=13D. 9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13
9.绿色出行，健康出行，你我同行，某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面平行，∠BCD=68°，∠BAC=52°，已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为( )
A. 70°B. 68°C. 60°D. 50°
10.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD=1，则CE的长是( )
A. 2B. 22C. 2D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：2x2−2= ______．
12.舌尖上的浪费让人触目惊心，曾统计我国每年浪费的粮食约350亿千克，接近全国粮食总产量的6%，则350亿用科学记数法应表示为______．
13.如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小灯泡发光.任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等______．
14.如图，点P为函数y=12x+1与函数y=mx(x>0)图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B，点M是函数y=mx(x>0)图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD=12，则点M的坐标为______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20cm，D，E分别为边AB，BC上的动点，且AD=2BE，作DF⊥AC，垂足为F，连接EF.当△DEF是直角三角形时，BE的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.某学校“体育课外活动兴趣小组”，开设了以下体育课外活动项目：A.足球 B.乒乓球C.羽毛球 D.篮球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______人，在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数为______；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算
(1)| 3−1|−2sin60°+(16)−1+3−27．
(2)先化简，再求值：(1+1x−1)÷x2+xx2−2x+1，其中x=2．
18.(本小题8分)
某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．
(1)A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？
(2)该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
19.(本小题8分)
某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y(千瓦时)关于已行驶路程x(千米)的函数图象如图所示．
(1)根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35(千瓦时)时汽车已行驶的路程为______千米；
(2)当0≤x<150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；
(3)当150≤x<200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
20.(本小题8分)
某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行(即A，B所在的直线与CD平行)，层高AD为8m，坡角∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A，B之间必须达到一定的距离．
(1)要使身高1.8m的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A，B之间的距离至少要多少米(精确到0.1m)？
(2)如果自动扶梯改为由AE，EF，FC三段组成(如图中虚线所示)，中间段EF为平台(即EF//DC)，AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度(精确到0.1m)．
(参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36)
21.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，与弦AF交于G，过点F的直线分别与AB，CD的延长线交于M，N，FN=GN．
(1)求证：MN是⊙O的切线；
(2)若BM=1，sinM=45，求AF的长．
22.(本小题12分)
根据以下素材，探索完成任务．
23.(本小题12分)
综合与实践
如图1，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．
【数学活动】
将三角形纸片ABC进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将△ABC沿折痕DE展开，然后将△DEC绕点D逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C的对应点分别是点F，G，直线GF与边AC所在直线交于点M(点M不与点A重合)，与边AB所在直线交于点N．

【数学思考】
(1)折痕DE的长为______；
(2)△DEC绕点D旋转至图1的位置时，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】
(3)△DEC绕点D旋转至图2、图3所示位置时，探究下列问题：
①如图2，当直线GF经过点B时，AM的长为______；
②如图3，当直线GF/​/BC时，AM的长为______；
【问题延伸】
(4)在△DEC绕点D旋转的过程中，连接AF，则AF的取值范围是______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.−2是整数，属于有理数；
B.0是整数，属于有理数；
D.17是分数，属于有理数；
D. 3是无理数．
故选：D．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2.【答案】D
【解析】解：观察图形可知，几何体的主视图是．
故选：D．
根据各层耐火砖的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．
此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
3.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，正确理解定义是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.a+3a=4a，该选项不正确，不符合题意；
B.a4和a3不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；
C.a⋅a2=a3，该选项正确，符合题意；
D.a5÷a=a4，该选项错误，不符合题意．
故选：C．
分别计算各选项即可．
本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，考核学生的计算能力，牢记这些法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了一元二次方程的解法，考查了利用根的判别式不解方程判断方程解的情况，是一道基础题．
A、把方程右边的项移动方程左边后，利用因式分解的方法即可求出方程的解；
B、把方程左边的−1移项到方程右边，然后利用直接开平方的方法即可求出方程的解；
C、把方程左边的−1移项到方程右边后，利用直接开平方的方法即可求出方程的解；
D、根据方程找出a，b和c的值，然后求出Δ=b2−4ac，根据△的符号即可判断出方程解的情况．
【解答】
解：
A、x2=x，移项得：x2−x=0，因式分解得：x(x−1)=0，
解得x=0或x=1，所以有一根为0，此选项正确；
B、x2−1=0，移项得：x2=1，直接开方得：x=1或x=−1，
所以此方程的两根互为相反数，此选项正确；
C、(x−1)2−1=0，移项得：(x−1)2=1，
直接开方得：x−1=1或x−1=−1，解得x=2或x=0，两根不互为相反数，此选项错误；
D、x2−x+2=0，找出a=1，b=−1，c=2，
则Δ=1−8=−7<0，所以此方程无实数根，此选项正确．
所以说法错误的选项是C．
故选：C．
6.【答案】D
【解析】解：把x=1代入原方程得，2a+3a−1=34
去分母得，8a+12=3a−3．
解得a=−3．
故选：D．
根据方程的解的定义，把x=1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值．
解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
7.【答案】C
【解析】解：直线y=−x+3向上平移m个单位后可得：y=−x+3+m，
联立两直线解析式得：y=−x+3+my=2x+4，
解得：x=m−13y=2m+103，
即交点坐标为(m−13,2m+103)，
∵交点在第一象限，
∴m−13>02m+103>0，
解得：m>1．
故选：C．
直线y=−x+3向上平移m个单位后可得：y=−x+3+m，求出直线y=−x+3+m与直线y=2x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．
本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横坐标大于0、纵坐标大于0．
8.【答案】D
【解析】解：依题意，得9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13．
故选：D．
根据“甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了数学常识，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵AB，CD都与地面平行，∠BCD=68°，
∴∠ABC=∠BCD=68°，
∵∠BAC=52°，
∴∠ACB=180°−∠ABC−∠BAC=60°，
∵AM与CB平行，
∴∠BAC=∠ACB=60°．
故选：C．
由平行线的性质可得∠ABC=∠BCD=68°，再由三角形的内角和可求得∠ACB=60°，再次利用平行线的性质即可求∠MAC的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
10.【答案】A
【解析】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB=∠CHE=90°，
∴AF//GH，
∵AD/​/BC，∠AFH=90°，
∴四边形AFHG是矩形，
∴∠G=∠AFH=∠FHG=∠FAG=90°，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，∠BAE=90°，
∵∠FAG=∠BAE，
∴∠BAF=∠EAG，
∵∠AFB=∠G=90°，
∴△AFB≌△AGE(AAS)，
∴AF=AG，
∴矩形AFHG是正方形，
∴AG=GH，
∵AG/​/BC，
∴∠C=∠EDG=45°，
∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，
∴DG=EG，CH=EH，
∴AD=EH=1，
∴CH=1，
由勾股定理得：CE= 12+12= 2．
故选：A．
如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB=∠CHE=90°，证明四边形AFHG是正方形，则AG=GH，再证明△CHE和△DGE是等腰直角三角形，则DG=EG，CH=EH，最后根据勾股定理可得结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，矩形和正方形的性质和判定等知识，正确作辅助线构建△AFB和△AGE全等是解本题的关键．
11.【答案】2(x−1)(x+1)
【解析】解：2x2−2=2(x2−1)=2(x−1)(x+1)．
故答案为：2(x−1)(x+1)．
先提公因式再利用平方差公式法进行因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
12.【答案】3.5×1010
【解析】解：350亿=35000000000=3.5×1010．
故答案为：3.5×1010．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】14
【解析】解：共有4个开关，闭合其中一个开关，有4种情况，
只有闭合D才能使灯泡发光，
∴小灯泡发光的概率=14．
故答案为：14．
让小灯泡发光的情况数除以总情况数即为发光的概率．
本题主要考查概率，解答本题的关键是掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】(8,3)
【解析】解：∵点P纵坐标为4，
∴4=12x+1，解得x=6，
∴P(6,4)
∴4=m6，
∴m=24．
∵tan∠PMD=12，
∴PDPM=12，
设PD=t(t>0)，则DM=2t，
当M点在P点右侧，
∴M点的坐标为(6+2t,4−t)，
∴(6+2t)(4−t)=24，
解得：t1=1，t2=0(舍去)，
当t1=1时，M(8,3)，
∴M点的坐标为(8,3)，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为(6−2t,4+t)，
∴(6−2t)(4+t)=24，
解得：t1=0，t2=−1，均舍去．
综上，M点的坐标为(8,3)．
故答案为：(8,3)．
根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m的值，利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图象交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．
15.【答案】5cm或8cm
【解析】解：∵D，E分别为边AB，BC上的动点，AD=2BE，
当AD=0时，BE=0，此时△DEF不存在；
当AD>0时，BE>0，
∵∠C=90°，DF⊥AC，
∴△CFE为直角三角形，∠DFC=90°，
∴∠DFE=90°−∠EFC<90°，
∴∠DFE为锐角，
当∠FDE=90°时，如图，设AD=2m，
∵AD=2BE，
∴BE=m，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，
∴BC=12AB=12×20=10，AC= AB2−BC2= 202−102=10 3，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=∠DFC=∠C=90°=∠FDE，
∴DF=12AD=12×2m=m，
四边形DECF是矩形，
∴CE=DF=m，
∴BC=CE+BE=m+m=10，
∴m=5，
∴BE=5(cm)，
当∠FED=90°时，
如图，设AD=2n，
∵AD=2BE，
∴BE=n，
∴CE=BC−BE=10−n，
∵∠AFD=90°，∠A=30°，
∴DF=12AD=12×2n=n，AF= AD2−DF2= (2n)2−n2= 3n，
∴CF=AC−AF=10 3− 3n=(10−n) 3，
∴EF= CF2+CE2= [(10−n) 3]2+(10−n)2=2(10−n)，
∵∠AFD=∠C=90°，
∴DF//BC，
∴∠EFD=∠CEF，
∵∠FED=∠C=90°，
∴△EFD∽△CEF，
∴FDEF=EFCE，
∴n2(10−n)=2(10−n)10−n，
解得：n=8，
∴BE=8(cm)，
综上所述，BE的长为5cm或8cm，
故答案为：5cm或8cm．
说明∠DFE只能为锐角，根据直角三角形的性质求出BC=10，AC=10 3，然后分∠FDE=90°或∠FED=90°两种情况求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，运用了分类讨论的思想．理解题意并运用分类讨论是解题的关键．
16.【答案】解：(1)200 72°
(2)C类人数为200−80−20−40=60(人)，
完整条形统计图为：
(3)画树状图如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．
所以P(恰好选中甲、乙两位同学)=212=16．
【解析】解：(1)20÷36°360∘=200，
所以这次被调查的学生共有200人，
在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数=40200×360°=72°；
故答案为200，72°；
(2)(3)见答案
【分析】(1)利用扇形统计图得到A类的百分比为10%，则用A类的频数除以10%可得到样本容量；然后用B类的百分比乘以360°得到在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数；
(2)先计算出C类的频数，然后补全统计图；、
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
17.【答案】解：(1)| 3−1|−2sin60°+(16)−1+3−27
= 3−1−2× 32+6−3
= 3−1− 3+6−3
=2；
(2)(1+1x−1)÷x2+xx2−2x+1
=x−1+1x−1×(x−1)2x(x+1)
=x−1x+1，
当x=2时，
原式=2−12+1=13．
【解析】(1)直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、立方根等，分别化简得出答案；
(2)直接将括号里面通分运算以及利用分式的混合运算法则化简，再把符合题意的x值代入即可．
此题主要考查了分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
18.【答案】解：(1)设A型汽车每辆的价格为x万元，B型汽车每辆的价格为y万元，
依题意，得：4x+7y=31010x+15y=700，
解得x=25y=30，
答：A型汽车每辆的价格为25万元，B型汽车每辆的价格为30万元；
(2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车(10−m)辆，根据题意得：
m<10−m25m+30(10−m)≤285
解得：3≤m<5，
∵m是整数，
∴m=3或4，
当m=3时，该方案所用费用为：25×3+30×7=285(万元)；
当m=4时，该方案所用费用为：25×4+30×6=280(万元)．
∵285>280，
∴最省的方案是购买A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元．
答：最省的方案是购买A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元．
【解析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组和方程组，利用方程和不等式的性质解答．
(1)设A型汽车每辆的价格为x万元，B型汽车每辆的价格为y万元，根据“购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)根据题意列出不等式组解答即可．
19.【答案】150
【解析】解：(1)由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．
故答案为：150；
(2)1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：15060−35=6千米；
(3)设y=kx+b(k≠0)，
把点(150,35)，(200,10)代入，
得150k+b=35①200k+b=10②，
②−①得：50k=−25，
k=−0.5，
把k=−0.5代入②得b=110，
∴k=−0.5b=110，
∴y=−0.5x+110，
当x=180时，y=−0.5×180+110=20，
答：当150⩽x⩽200时，函数表达式为y=−0.5x+110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．
(1)由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，
(2)据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；
(3)运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x=180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键：(1)熟练运用待定系数法就解析式；(2)找出剩余油量相同时行驶的距离．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
20.【答案】解：(1)如图，连接AB，过点B作BM⊥AB交AC于点M，
∵AB/​/CD，
∴∠BAM=∠ACD=20°，
∵tan∠BAM=BMAB，
∴AB=BMtan∠BAM≈(米)，
答：A，B之间的距离至少要5.0米；
(2)如图，延长FE交AD于点H，过点C作CG⊥EF，交EF的延长线于点G，
设AH=x米，则HD=CG=(8−x)米，
∵AE段和FC段的坡度i=1：2，
∴HE=2x米，FG=2(8−x)米，
在Rt△ACD中，∠ACD=20°，
则CD=ADtan∠ACD≈80.36≈22.22(米)，
则EF=CD−EH−FG=22.22−2x−(16−2x)≈6.2(米)，
答：平台EF的长度约为6.2米．
【解析】(1)连接AB，过点B作BM⊥AB交AC于点M，根据正切的定义求出AB；
(2)延长FE交AD于点H，过点C作CG⊥EF，交EF的延长线于点G，设AH=x米，根据坡度的概念用x表示出HE、FG，根据正切的定义求出CD，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记坡度的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：连接OF，如图，
∵FN=GN，
∴∠NFG=∠NGF，
∵∠NGF=∠AGE，
∴∠NFG=∠AGE．
∵CD⊥AB，
∴∠AGE+∠A=90°，
∵OF=OA，
∴∠A=∠OFA，
∴∠OFA+∠NFG=90°．
即∠OFN=90°，
∴OF⊥MN．
∵OF为⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线；
(2)解：连接BF，
在Rt△MOF中，
∵sinM=OFOM=45，
∴设OF=4a，则OM=5a，OB=OF=4a，AB=2OF=8a，
∴BM=OM−OB=a=1，MF= OM2−OF2=3a=3．
∴AB=8．
∵MN是⊙O的切线，
∴∠MFB=∠A．
∵∠M=∠M，
∴△MBF∽△MFA，
∴MBMF=BFAF，
∴BFAF=13．
设BF=x，则AF=3x，
∵BF2+AF2=AB2，
∴x2+(3x)2=82，
∵x>0，
∴x=4 105，
∴AF=12 105．
【解析】(1)连接OF，利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，垂直的定义和圆的切线的判定定理解答即可；
(2)连接BF，在Rt△MOF中，利用直角三角形的边角关系定理得到sinM=OFOM=45，设OF=4a，则OM=5a，OB=OF=4a，AB=2OF=8a，利用同圆的半径相等得到BM=a=1，则AB=8，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质得到BF与AF的关系式，利用勾股定理解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直的定义，勾股定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
22.【答案】解：(1)∵上边缘抛物线的顶点坐标为(−3,2.5)，
∴设上边缘抛物线的函数表达式为y=a(x+3)2+2.5，
将(0,1.6)代入得1.6=9a+2.5，
解得a=−110，
∴y=−110(x+3)2+2.5；
(2)上边缘抛物线的表达式：y=−110(x+3)2+2.5，
将y=0代入得0=−110(x+3)2+2.5，
解得x1=2(舍去)，x2=−8，
∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点，
∴下边缘抛物线的表达式：y=−110x2+1.6，
将y=0代入得0=−110x2+1.6，
解得x1=4(舍去)，x2=−4，
∵路边的绿化带宽4米，
−4−(−8)=4(米)，
∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带；
(3)根据题意得，将x=−6代入y=−110(x+3)2+2.5，
y=1.6>1.5，
∴有影响，
设针打在离地面h米的高度不受影响，
则1.6【解析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式；
(2)根据上边缘与下边缘抛物线的解析式分别求与x轴交点的横坐标，进而求解；
(3)根据题意，将x=−6代入y=−110(x+3)2+2.5，求出y的值与1.5比较，即可求解．
本题考查了二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数关系式，二次函数的性质，建立二次函数模型是解题的关键．
23.【答案】3 74 3 2≤AF≤8
【解析】解：(1)由折叠的性质得AE=EC，DE⊥AC，
∴DE/​/AB，
∴CDBD=ECAE=1，
∴DC=BD，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB=3．
故答案为：3．
(2)MF=ME，证明如下：
如图，连接DM，
由旋转的性质得DE=DF，∠DFM=∠DEM=90°，
∴Rt△DMF≌Rt△DME(HL)，
∴MF=ME；
(3)①由旋转的性质得∠DGB=∠C，DG=DC，DB=DC，
∴DG=DB，
∴∠DGB=∠DBG，
∴∠MBC=∠C，
∴BM=MC，
设BM=MC=x，
在Rt△ABM中，BM2=AB2+AM2，
∴62+(8−x)2=x2，
解得x=254．
∴AM=AC−CM=8−254=74．
故答案为：74．
②如图，过A作AH⊥BC于H，交FG于K，
则四边形DFKH是矩形，
∴DF=KH=3，
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC= AB2+AC2= 62+82=10，
∵AH⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AH=12AB⋅AC，
∴AH=AB⋅ACBC=245，
∴AK=AH−KH=95，
∵GF/​/BC，
∴△AKM∽△AHC，
∴AKAH=AMAC，
即95245=AM8，
解得AM=3．
故答案为：3．
(4)如图，连接AD，AF，
则AD−DF≤AF≤AD+DF，
当A、F、D三点共线，且点F在线段AD上时，AF+DF=AD，
此时AF+DF的值最小，AF最小，
∵∠BAC=90°，BD=CD．
∴AD=12BC=5，
∵DF=DE=3，
∴AF的最小值=AD−DF=5−3=2，
当A、F、D三点共线，且点FAD延长线上时，AF=AD+DF，
此时，AF最大，
∴AF=AD+DF=5+3=8，
∴2≤AF≤8．
故答案为：2≤AF≤8．
(1)由折叠可知AE=EC，DE⊥AC，再证DE是△ABC的中位线，即可得出结论；
(2)连接DM，由旋转知，DE=DF，∠DFM=∠DEM=90°，再证Rt△DMF≌Rt△DME(HL)，即可得出结论；
(3)①由旋转的性质和等腰三角形的性质得∠MBC=∠C，则BM=MC，设BM=MC=x，在Rt△ABM中，由勾股定理求出x的值，即可解决问题；
②过A作AH⊥BC于H，交FG于K.则四边形DFKH是矩形，得DF=KH=3，再由三角形面积求出AH=245，然后证△AKM∽△AHC，得AKAH=AMAC，即可得出结论；
(4)连接AD，则AD−DF≤AF≤AD+DF，当A、F、D三点共线，且点F在线段AD上时，AF=AD−DF，此时AF最小，由直角三角形的性质得AD=12BC=5，即可求得AF最小值为2：A、F、D三点共线，且点F在AD延长线上时，AF=AD+DF，此时AF最大，求得AF最值为8，即可求解．
本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．绿化带灌溉车的操作方案
素材1
一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．
素材2
路边的绿化带宽4米
素材3
绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”.针一般打在离地面1.5米到2米的高度(包含端点)．
问题解决
任务1
确定上边缘水流形状
建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式．
任务2
探究灌溉范围
灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理由．
任务3
拟定设计方案
灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针筒容易造成针筒脱落.那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针“是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围．