2024年山东省济宁市梁山县寿张集初级中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省济宁市梁山县寿张集初级中学中考数学一模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，最小的数是( )
A. 0B. −1C. − 2D. −2
2.中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120亿个用科学记数法表示为( )
A. 1.2×109个B. 12×109个C. 1.2×1010个D. 1.2×1011个
3.用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜贴花黄”和“坐地日行八万里”(只考虑地球的自转)，其中蕴含的图形运动是( )
A. 平移和旋转B. 对称和旋转C. 对称和平移D. 旋转和平移
4.将一副三角尺按如图所示的方式折叠在一起，则∠α的度数是( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 120°
5.如图，在平面直角坐标系中，已知点O0,0，A2,4，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则点B的坐标是
( )
A. 2 5,0B. 2 3,0C. 0,2 5D. 0,2 3
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=−mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.已知二次函数y=a(x−1)2−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−4，则a的值为( )
A. 12或4B. 43或−12C. −43或4D. −12或4
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标系原点，A(3,0)，B(3,1)，C(0,1)，将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则OD所在直线的解析式为( )
A. y=45x
B. y=54x
C. y=34x
D. y=43x
9.若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为( )
A. −2B. −4C. 2D. 4
10.抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴相交于点A(−3,0)，B(1,0).下列结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③3b+2c=0；④若点P(m−2,y1)，Q(m,y2)在抛物线上，且y1A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.函数：y= 1−xx自变量x的取值范围是______．
12.分解因式：5a3−20a= ______．
13.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，与x轴的一个交点是(3,0)，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是______．
14.如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，CD=3cm，点P在AB上，连接DP，则DP的最小值为______cm．
15.如图，在平面直角坐标系中，A(−2,0)，A1(0,2)，点A2，A3，……在直线l上，点B1，B2，B3，……在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，……，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn−1Bn顶点Bn的横坐标为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
先化简再求值(a+2a2−2a+1−aa2−4a+4)÷a−4a，其中a的值从不等式−117.(本小题6分)
如图，已知A(−1,2)，B(3,2)，C(4,4)．
(1)请在网格中画出△ABC；
(2)将△ABC向左平移3个单位长度，则在平移的过程中，线段AC扫过的图形面积为多少？
(3)D为y轴上一点，且S△ABD=4，则D点坐标为______．
18.(本小题7分)
为了了解某校学生的身高状况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制如图所示的统计图表：
已知女生身高在A组的有8人，根据图表中提供的信息，回答下列问题：
(1)男生身高的中位数落在______组(填组别字母序号)；
(2)在样本中，身高在150≤x<155之间的人数共有______人，身高人数最多的在______组(填组别序号)；
(3)已知该校共有男生400人、女生420人，请估计身高不足160cm的学生约有多少人？
19.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．
(1)求证：∠A=∠BCD；
(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．
20.(本小题8分)
某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73.结果精确到0.1km)．
21.(本小题9分)
如图，已知四边形ABCD是正方形，AB=2 2，点E为对角线AC上一动点，连接DE.过点E作EF⊥DE，交射线BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG.连接CG．
(1)连接BE，求证：BE=DE．
(2)求证：矩形DEFG是正方形．
(3)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
22.(本小题11分)
如图，已知点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上．
(1)求抛物线解析式；
(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−2<− 2<−1<0，
故选：D．
根据实数大小比较法则判断即可．
本题考查了实数的大小比较的应用，掌握正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查一个大于10的数用科学记数法表示的方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
根据科学记数法的表示方法即可得到答案．
【解答】
解：120亿个用科学记数法可表示为：1.2×1010个．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：根据对称和旋转定义可知：
“当窗理云鬓，对镜贴花黄”是对称；
“坐地日行八万里”是旋转．
故选B．
根据对称和旋转定义来判断．
考查学生对对称和旋转的理解能力．要理解：“对镜贴花黄”是指人和镜像的对称关系；“坐地日行八万里”是指人绕地心旋转．
4.【答案】C
【解析】解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠A=30°，∠ACE=∠B=45°，
∴α=30°+45°=75°．
故选：C．
先根据直角三角板的性质得出∠A及∠DCE的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：过点A作AC⊥x轴，如图，
∵点O(0,0)，A(2,4)，
∴OC=2，AC=4，
在Rt△AOC中，OA= OC2+AC2=2 5，
∵以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，
∴OB=OA=2 5，
∴点B的坐标为：(2 5,0)．
故选：A．
过点A作AC⊥x轴，从而可得OC=2，AC=4，利用勾股定理可求得OA=2 5，即OB=2 5，从而可确定点B的坐标．
本题主要考查勾股定理，坐标与图形性质，解答的关键是由勾股定理求得OA的长度．
6.【答案】D
【解析】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2<0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m>0，由直线可知，−m>0，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m<0，由直线可知，−m<0，错误；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m<0，由直线可知，−m>0，正确，
故选：D．
本题可先由一次函数y=−mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致．
本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．
7.【答案】D
【解析】解：y=a(x−1)2−a的对称轴为直线x=1，
顶点坐标为(1,−a)，
当a>0时，在−1≤x≤4，函数有最小值−a，
∵y的最小值为−4，
∴−a=−4，
∴a=4；
当a<0时，在−1≤x≤4，当x=4时，函数有最小值，
∴9a−a=−4，
解得a=−12；
综上所述：a的值为4或−12，
故选：D．
分两种情况讨论：当a>0时，−a=−4，解得a=4；当a<0时，在−1≤x≤4，9a−a=−4，解得a=−12．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键．
根据矩形的性质结合折叠的性质可得出∠EOB=∠EBO，进而可得出OE=BE，设点E的坐标为(m,1)，则OE=BE=3−m，CE=m，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式．
【解答】
解：∵A(3,0)，B(3,1)，C(0,1)，O(0,0)，
∴四边形OABC为矩形，
∴∠EBO=∠AOB．
又∵∠EOB=∠AOB，
∴∠EOB=∠EBO，
∴OE=BE．
设点E的坐标为(m,1)，则OE=BE=3−m，CE=m，
在Rt△OCE中，OC=1，CE=m，OE=3−m，
∴(3−m)2=12+m2，
∴m=43，
∴点E的坐标为(43,1)．
设OD所在直线的解析式为y=kx，
将点E(43,1)代入y=kx中，
1=43k，解得：k=34，
∴OD所在直线的解析式为y=34x.
故选C．
9.【答案】B
【解析】解：由题意得二次函数y=x2+2x+a的图象与x轴的交点情况如图，
则当x=1时，该二次函数的函数值为负数，即3+a<0．
解得a<−3．
故−4满足要求．
故选：B．
根据题意可得二次函数y=x2+2x+a的图象与x轴的交点情况，并作出图象，结合函数图象解答．
本题主要考查了一元二次方程根的分布，解题的关键是根据题意作出函数图象，根据二次函数的性质求得a的取值范围，难度不大．
10.【答案】B
【解析】解：①由题意得：y=ax2+bx+c=a(x+3)(x−1)=ax2+2ax−3a，
∴b=2a，c=−3a，
∵a<0，
∴b<0，c>0，
∴abc>0，
故①是错误的；
②∵抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴相交于点A(−3,0)，B(1,0)，
∴ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b2−4ac>0，
故②是正确的；
③∵b=2a，c=−3a，
∴3b+2c=6a−6a=0，
故③是正确的；
④∵抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴相交于点A(−3,0)，B(1,0)，
∴抛物线的对称轴为：x=−1，
当点P(m−2,y1)，Q(m,y2)在抛物线上，且y1m≤−1或m−2<−1m−(−1)，
解得：m<0，
故④是错误的，
故选：B．
根据二次函数的性质及数形结合思想进行判定．
本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．
11.【答案】x≤1且x≠0
【解析】解：由题意得
1−x≥0，且x≠0．
解得x≤1且x≠0，
故答案为：x≤1且x≠0．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】5a(a+2)(a−2)
【解析】解：5a3−20a
=5a(a2−4)
=5a(a+2)(a−2)．
故答案为：5a(a+2)(a−2)．
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13.【答案】x=3或x=−1
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，与x轴的一个交点是(3,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为x=3或x=−1．
故答案为：x=3或x=−1．
利用“方程的解即为对应函数与x轴的交点横坐标”和二次函数的对称性求解两根．
本题考查了函数与方程的联系，即“函数与x轴的交点横坐标就是y=0时的方程的解”，同时也考查了二次函数的轴对称性．
14.【答案】3
【解析】解：作DP′⊥AB于P′，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DP′⊥AB
∴DP′=DC=3cm，
则DP的最小值为3cm，
故答案为：3．
作DP′⊥AB于P′，根据角平分线的性质求出DP′，根据垂线段最短得到答案．
本题考查的是角平分线的性质、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15.【答案】2n+1−2
【解析】解：∵A(−2,0)，A1(0,2)，
∴OA=OA1=2，
∵△A1OB1为等腰直角三角形，
∴OB1=OA1=2，
同理可得：B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，……，
∴B1(2,0)，B2(6,0)，B3(14,0)，……，
∵2=22−2，6=23−2，14=24−2，……，
∴Bn的横坐标为2n+1−2，
故答案为：2n+1−2．
先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．
本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：(a+2a2−2a+1−aa2−4a+4)÷a−4a
=[a+2a(a−2)+1−a(a−2)2]⋅aa−4
=[(a+2)(a−2)a(a−2)2+a(1−a)a(a−2)2]⋅aa−4
=a2−4+a−a2a(a−2)2⋅aa−4
=a−4a(a−2)2⋅aa−4
=1(a−2)2，
∵3< 10<4，−1∴−1由分式的意义可知a≠2且a≠0且a≠4，所以取a=1，
∴原式=1(1−2)2=1．
【解析】先对括号里进行通分，去括号后对分子分母进行分解因式后约分即可化简，估算出 10的范围，选取合适的数时要注意保证分式的化简有意义．
本题考查的是分式的化简求值及无理数的估算，熟练掌握分式的化简是关键．
17.【答案】(0,4)或(0,0)
【解析】解：(1)如图所示，△ABC即为所求；
(2)线段AC平移扫过的图形：
是一个以3为底，2为高的平行四边形，
所以S=3×2=6；
(3)∵A(−1,2)，B(3,2)，
∴AB=3−(−1)=4，
又AB||x轴，D为y轴上一点，且S△ABD=4，
设点D的坐标为(0,a)，则点D到AB的距离为|a−2|，
∴S△ABD=12×4⋅|a−2|=4
解得a=4或a=0，
∴点D的坐标为(0,4)或(0,0)．
(1)根据点A(−1,2)，B(3,2)，C(4,4)即可在网格中画出△ABC；
(2)根据△ABC向左平移3个单位长度，即可求出线段AC扫过的图形面积；
(3)根据D为y轴上一点，且S△ABD=4，即可求出D点坐标．
本题考查了作图−应用与设计作图、三角形的面积、坐标与图形变化−平移，解决本题的关键是掌握平移的性质．
18.【答案】解：(1)D；
(2)16；C；
(3)400×2+4+1240+420×(30%+30%+20%)=516(人)，
故估计身高不足160cm的学生约有516人．
【解析】解：(1)∵在样本中，共有2+4+8+12+14=40人，
∴中位数是第20和第21人的平均数，
∴男生身高的中位数落在D组，
故答案为：D；
(2)在样本中，男生身高在150≤x<155之间的人数共有4人，
女生样本总人数为8÷20％=40人，身高在150≤x<155之间占30%，
∴女生身高在150≤x<155之间的人数共有40×30％=12人
身高在150≤x<155之间的人数共有4+12=16人．
同理算出其他组的人数，对比可知身高人数最多的在C组，
故答案为：16、C；
(3)400×2+4+1240+420×(30%+30%+20%)=516(人)，
故估计身高不足160cm的学生约有516人．
(1)根据中位数的定义解答即可；
(2)将位于这一小组内的频数相加即可求得结果；
(3)分别用男、女生的人数，相加即可得解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
19.【答案】(1)证明：∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠DCA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠DCB=∠A；
(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时，直线DM与⊙O相切；
解：连接DO，
∵DO=CO，
∴∠1=∠2，
∵DM=CM，
∴∠4=∠3，
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴直线DM与⊙O相切，
故当MC=MD(或点M是BC的中点)时，直线DM与⊙O相切．
【解析】(1)根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；
(2)当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．
此题主要考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
20.【答案】解：由题意得，AB=40×2=80(海里)，∠CAB=30°，∠ABC=45°，
过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴AD= 3CD,BD=CD，
∵AB=80海里，
∴ 3CD+CD=80，
解得CD=40 3−40≈29.2，
答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2海里．
【解析】由题意得，AB=40×2=90(海里)，∠CAB=30°，∠ABC=45°，过C作CD⊥AB于D，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形应用−方向角问题、勾股定理的应用等知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
21.【答案】(1)证明：连接BE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=DA，∠BAE=∠DAE，
在△ABE和△ADE中，
AB=AD ∠BAE=∠DAE AE=AE ，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE；
(2)证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：

∵正方形ABCD
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°
且NE=NC，
∴四边形EMCN为正方形
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°
∴∠DEN=∠MEF，
又∠DNE=∠FME=90°，
在△DEN和△FEM中，
∠DNE=∠FME EN=EM ∠DEN=∠FEM ，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴ED=EF，
∴矩形DEFG为正方形，
(3)解：CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
AD=CD ∠ADE=∠CDG DE=DG ，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE=CG
∴AC=AE+CE= 2AB= 2×2 2=4，
∴CE+CG=4 是定值．
【解析】(1)根据正方形性质得出BA=DA，∠BAE=∠DAE，即可证明结论；
(2)作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE=EF即可；
(3)同(2)的方法证出△ADE≌△CDG得到CG=AE，得出CE+CG=CE+AE=AC=4即可．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．
22.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，
将C(0,1)代入得−3a=1，
解得：a=−13，
∴抛物线的解析式为y=−13x2+23x+1．
(2)过点P作PD⊥x，交BC与点D．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则3k+b=0b=1，
解得：k=−13，
∴直线BC的解析式为y=−13x+1．
设点P(x,−13x2+23x+1)，
则D(x,−13x+1)
∴PD=(−13x2+23x+1)−(−13x+1)=−13x2+x，
∴S△PBC=12OB⋅DP
=12×3×(−13x2+x)=−12x2+32x.
又∵S△PBC=1，
∴−12x2+32x=1，整理得：x2−3x+2=0，
解得：x=1或x=2，
∴点P的坐标为(1,4343)或(2,1)．
(3)存在．
如图：
∵A(−1,0)，C(0,1)，
∴OC=OA=1
∴∠BAC=45°．
∵∠BQC=∠BAC=45°，
∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．
设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°．
设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，
由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，
即2x2=10，解得：x= 5(负值已舍去)，
∵AC的垂直平分线的为直线y=−x，
AB的垂直平分线为直线x=1，
∴点M为直线y=−x与x=1的交点，
即M(1,−1)，
∴Q的坐标为(1,−1− 5).
【解析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，将C(0,1)代入求得a的值即可；
(2)过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y=−13x+1，设点P(x,−13x2+23x+1)，则D(x,−13x+1)，然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；
(3)首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y=−x与x=1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．组别
身高(cm)
A
x<150
B
150≤x<155
C
155≤x<160
D
160≤x<165
E
x≥165