2023-2024学年湖北省十堰市郧西县九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省十堰市郧西县九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若a与−2互为相反数，则a的值是( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
2.由七个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.把不等式组x>−1x+2≤3的解集表示在数轴上，下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. (xy2)2=xy ​4B. (3xy)3=9x3y
C. (−2a2)2=−4a4D. (−3ab2)2=9a2b ​4
5.一块三角板和一根直尺的位置如图所示，若∠1=110°，则∠2的度数为( )
A. 30°
B. 20°
C. 60°
D. 70°
6.已知点A(x1,y1)B(x2,y2)在反比例函数y=−2x的图象上，且x1<0A. y1+y2<0B. y1+y2>0C. y1−y2<0D. y1−y2>0
7.今年2月，某班准备从《在希望的田野上》、《我和我的祖国》、《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是( )
A. 12B. 13C. 23D. 1
8.一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC=6m，∠ABC=α，则房顶A离地面EF的高度为( )
A. (4+3sinα)m
B. (4+3tanα)m
C. (4+3sinα)m
D. (4+3tanα)m
9.如图，⊙O的弦CD交直径AB于E，OD=DE，CE：DE=3：5.若OE=5，则CD的长为( )
A. 4 5
B. 4 10
C. 3 10
D. 3 5
10.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=−2.下列说法：①abc<0；②c−3a>0；③4a2−2ab≥at(at+b)(t为全体实数)；④若图象上存在点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，当mA. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简：21−x−2x1−x的结果为______．
12.关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
13.一个正n边形的一个外角是45°，那么n= ______．
14.我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两；则①人数为______人；②银子共有______两.
15.如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5，OA：OD=1：4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：(−2)2+|− 3|− 25+(3− 3)0．
17.(本小题6分)
如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F；连接BE、DF.求证：四边形EBFD是菱形．
18.(本小题6分)
随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业.现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
19.(本小题8分)
近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注.某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查.根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图.请根据图中信息解答下列问题：

(1)所抽取的学生人数为______；
(2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；
(3)该校共有学生3000人，请估计该校学生中视力近视的人数．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B(0,2)，与反比例函数y=mx在第四象限内的图象交于点C(6,a)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当kx+b>mx时，请直接写出x的取值范围是多少．
21.(本小题8分)
如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
(1)求证：PE是⊙O的切线；
(2)若sin∠P=13，BP=4，求CD的长．
22.(本小题10分)
某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品，按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算，该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=24−x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
(1)求该产品第一年的利润w(万元)与售价x之间的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
23.(本小题11分)
【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CB=mCA，CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．
【问题探究】
(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：______．
(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
(3)当m= 3，AB=4 7，DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．
24.(本小题12分)
抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(−3,0)，B(1,0)两点，交y轴于点C．
(1)直接写出a，b的值；
(2)点P是抛物线上位于AC上方的一动点，连接OP，交AC于点Q，设P的横坐标为m，试用含m的式子表示代数式PQOQ的值，并求PQOQ的最大值；
(3)如图1，连接AC，BC，点P在抛物线上，且∠PCA=∠BCO，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为a与−2互为相反数，
所以a=2．
故选：D．
只有符号不同的两个数互为相反数，据此作答即可．
本题考查了相反数，解题的关键是熟练掌握相反数的概念．
2.【答案】B
【解析】解：由图可得，
题目中组合体的主视图是，
故选：B．
【分析】本题考查简单组合体的三视图，解答本题的关键是画出相应的图形．
根据题目中的组合体，可以画出主视图，本题得以解决．
3.【答案】D
【解析】解：解不等式x+2≤3，得：x≤1，
所以不等式组的解集为：−1在数轴上表示：
故选：D．
先求出不等式组的解集，然后将解集在数轴上表示即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．也考查了不等式组解集在数轴上的表示方法．
4.【答案】D
【解析】解：(xy2)2=x2y ​4，A选项错误；
(3xy)3=27x3y3，B选项错误；
(−2a2)2=4a4，C选项错误；
(−3ab2)2=9a2b ​4，D选项正确．
故选：D．
利用幂的乘方运算与积的乘方运算计算并判断．
本题考查了幂的乘方运算与积的乘方运算，解题的关键是掌握幂的乘方运算与积的乘方运算．
5.【答案】D
【解析】解：如图，
由题意得：∠ACB=180°−∠1=70°，
∵∠BAC+∠ACB=90°，∠2+∠BAC=90°，
∴∠2=∠ACB，
∴∠2=70°．
故选：D．
由补角的定义可得∠ACB=70°，由题意可得∠BAC+∠ACB=90°，∠2+∠BAC=90°，则有∠2=∠ACB，即可得解．
本题主要考查直尺三角尺中的角度问题，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
6.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=−2x的图象在二、四象限，而x1<0∴点A(x1,y1)在第二象限反比例函数y=−2x的图象上，B(x2,y2)在第四象限反比例函数y=−2x的图象上，
∴y1>0>y2，
∴y1−y2>0，
故选：D．
根据反比例函数的图象和性质，由x1<00>y2，进而得出答案．
本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
7.【答案】B
【解析】解：设A《在希望的田野上》、B《我和我的祖国》、C《十送红军》．
列表如下：
由上表可知，所有可能结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，其中恰好选中前面两首歌曲的结果有2种，
则恰好选中前面两首歌曲的概率为26=13．
故选：B．
列出表格，得出所有等可能的结果共有6种，其中恰好选中前面两首歌曲的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】B
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，
∵它是一个轴对称图形，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BD=12BC=3m，
在Rt△ADB中，
∵tan∠ABC=ADBD，
∴AD=BD⋅tanα=3tanα m．
∴房顶A离地面EF的高度=AD+BE=(4+3tanα)m，
故选：B．
过点A作AD⊥BC于点D，利用直角三角形的边角关系求得AD，用AD+BE即可表示出房顶A离地面EF的高度．
本题主要考查了解直角三角形的意义，轴对称的性质，等腰三角形的三线合一，利用直角三角形的边角关系定理求得AD的长是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：过点O作OF⊥CD于点F，
设CE=3x，DE=5x，
∴OD=DE=5x，CD=8x，
∵OF⊥CD，
∴DF=12CD=4x，
∴EF=x，
在Rt△ODF中，由勾股定理可知：OF= OD2−DF2=3x，
在Rt△OEF中，由勾股定理可知：(3x)2+x2=52，
解得x= 102或x=− 102(舍去)，
∴CD=8x=4 10，
故选：B．
过点O作OF⊥CD于点F，根据垂径定理以及勾股定理即可求出答案．
本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于中等题型．
10.【答案】C
【解析】解：①由图象开口向下，可知：a<0；
又∵对称轴为直线x=−2，
∴−b2a=−2，整理得：b=4a，即a、b同号．
由图象可知，当x=4时，y<0，
又∵对称轴为直线x=−2，可知：当x=0时，y<0；
即c<0；
∴abc<0，故①正确．
②由①得：b=4a．
代入原解析式得：y=ax2+4ax+c；
由图象可知，当x=−1时，y>0．
即：a×(−1)2+4a×(−1)+c>0，
整理得：c−3a>0，故②正确．
③由①得：b=4a．
不等式4a2−2ab≥at(at+b)，
等价于4a2−2a⋅4a≥at(at+4a)，
整理得：(t+2)2≤0，
∵t为全体实数，
∴(t+2)2≥0，故③错误．
④由题意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c−y1=0的两个根，
从图象上看，因二次函数有对称性，x1、x2关于x=−2对称，
∴当且仅当m<−2即当−5故本题选：C．
①分别判断a、b、c的符号，再判断abc的符号；
②由对称轴为直线x=−2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c−3a的符号．
③用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质(t为全体实数)判断．
④利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断．
本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识．需综合利用二次函数的性质，不等式的性质解题．
11.【答案】2
【解析】解：原式=2−2x1−x
=2(1−x)1−x
=2，
故答案为：2．
根据分式的运算法则进行计算即可．
本题考查分式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】k<1且k≠0
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△>0，即(−2)2−4×k×1>0，
解得k<1且k≠0．
∴k的取值范围为k<1且k≠0．
故答案为：k<1且k≠0．
根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△>0，即(−2)2−4×k×1>0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
13.【答案】8
【解析】解：∵正n边形的一个外角是45°，n边形的外角和为360°，
∴n=360÷45=8．
故答案为：8．
由正n边形的一个外角是45°，n边形的外角和为360°，即可求得n的值．
此题考查了正n边形的性质与多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和为360°．
14.【答案】6 46
【解析】解：设有x人，y两银子，
由题意可得，y−7x=49x−y=8，
解得x=6y=46，
∴有6人，46两银子，
故答案为：6，46．
设有x人，y两银子，列出方程组，解方程组即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键．
15.【答案】( 5−1,2)
【解析】解：∵矩形ABCD的边 AD=5，OA：OD=1：4，
∴OD=4，OA=1，BC=AD=5，AB=CD，AB/​/x轴，∠D=∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠D1OC1，∠BAO=∠D1=90°，
∴△AOB∽△D1C1O，ABD1O=OAD1C1，
由折叠性质得OD1=OD=4，CE=C1E，∠D1=∠D，D1C1=CD=AB，
∴AB4=1AB，则AB=2 (负值舍去)，
∴CD=2，
如图，OC1=OC= CD2+OD2= 22+42=2 5，OF=AB=2，
∴C1F=OC1−OF=2 5−2，
设EF=x，则EC1=CE=5−x，
由EF2+C1F2=EC12得x2+(2 5−2)2=(4−x)2，
解得x= 5−1，
综上，点E坐标为( 5−1,2)，
故答案为：( 5−1,2)
先证明△AOB∽△D1C1O求得AB=CD=2，设EF=x，分别由勾股定理求解OC1=OC=2 5、x值即可．
本题考查矩形的判定与性质、折叠性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解答的关键．
16.【答案】解：原式=4+ 3−5+1
= 3．
【解析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
17.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，O是对角线BD的中点，
∴AD//BC，OB=OD，
∴∠FBO=∠EDO，又∠BOF=∠DOE，
在△BOF和△DOE中，
∠BOF=∠DOEOB=OD∠FBO=∠EDO，
∴△BOF≌△DOE(ASA)，
∴BF=DE，又DE/​/BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形．
【解析】先证明△BOF≌△DOE得到BF=DE，进而证得四边形EBFD是平行四边形，再利用菱形的判定可得结论．
本题考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解答的关键．
18.【答案】解：设A型机平均每小时运送快递x件，则B型机平均每小时运送快递(x−20)件，
根据题意得：700x=500x−20，
解得：x=70，
经检验，x=70是原分式方程的根，且符合题意，
∴x−20=70−20=50，
答：A型机平均每小时运送快递70件，B型机平均每小时运送快递50件．
【解析】设A型机平均每小时运送快递x件，则B型机平均每小时运送快递(x−20)件，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】200
【解析】解：(1)所抽取的学生人数为：90÷45%=200．
故答案为：200；
(2)样本中“中度近视”的人数为：200×15%=30(人)，
“高度近视”的人数为：200−90−70−30=10(人)，
补全条形统计图如下：
扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：360°×70200=126°；
(3)3000×(1−45%)=1650(人)，
答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数约1650人．
(1)由“视力正常人数及其所占百分比可得总人数；
(2)用(1)的结论乘15%可得“中度近视”的人数，进而得出“高度近视”的人数，再补全条形统计图；用360°乘“轻度近视”所占比例可得扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；
(3)用3000乘样本中视力近视的人数所占比例可得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】解：(1)∵点A(4,0)点B(0,2)，
∴直线AB解析式为y=−12x+2，
∵点C(6,a)在直线AB上，
∴a=−12×6+2=−1，
∴C(6,−1)，
∵点C(6,−1)在反比例函数y=mx的图象上，
∴m=−6，
∴反比例函数解析式为：y=−6x；
(2)联立方程组y=−12x+2y=−6x，
解得x1=6，x2=−2，
当kx+b>mx时，自变量x的取值范围为：0【解析】(1)根据点AB的坐标求出直线AB解析式，代入点C的横坐标求出a值即可得到k值；
(2)联立方程组得到两个交点的横坐标，根据两个函数图象和性质直接写出不等式kx+b>mx的解集即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，两个函数的交点满足两个函数解析式．
21.【答案】(1)证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠OAE=∠DAE，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠DAE=∠OEA，
∴OE/​/AD，
∵ED⊥AC，
∴OE⊥PD，
∵OE是⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
(2)解：∵sin∠P=13=OEOP，BP=4，OB=OE，
∴OEOE+4=13，
∴OE=2，
∴AB=2OE=4，
∴AP=AB+BP=8，
在Rt△APD中，sin∠P=ADAP=13，
∴AD=13AP=83，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°=∠AEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
在△AEB和△AEC中
∵∠AEB=∠AECAE=AE∠BAE=∠CAE
∴△AEB≌△AEC(ASA)，
∴AB=AC=4，
∴CD=AC−AD=4−83=43，
∴CD的长为43．
【解析】(1)连接OE，证明OE/​/AD，即可得到结论；
(2)根据锐角三角函数先求出半径和AD的长，然后证明△AEB≌△AEC(ASA)，AB=AC=4，进而根据线段的和差即可解决问题．
本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．
22.【答案】解：(1)根据题意得：w=(x−8)(24−x)−60=−x2+32x−252；
(2)①∵该产品第一年利润为4万元，
∴4=−x2+32x−252，
解得：x1=x ​2=16，
答：该产品第一年的售价是16元．
②∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过13万件，
∴x≤1624−x≤13，
解得11≤x≤16，
设第二年利润是w′万元，
w′=(x−6)(24−x)−4=−x2+30x−148，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=15，又11≤x≤16，
∴x=11时，w′有最小值，最小值为(11−6)×(24−11)−4=61(万元)，
答：第二年的利润至少为61万元．
【解析】(1)根据总利润=每件利润×销售量−投资成本，列出式子即可；
(2)①构建方程即可求出该产品第一年的售价；
②根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质即可解决问题；
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)AD⊥BE
(2)(1)中的结论成立，理由如下：
如图2，延长BE交AC于点H，交AD于N，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵DCCE=ACBC=1m，
∴△DCA∽△ECB，
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°，
∴∠ANB=90°，
∴AD⊥BE，
(3)如图3，当点E在线段AD上时，连接BE，
∵△DCA∽△ECB，
∴BEAD=BCAC=m= 3，
∴BE= 3AD= 3(4+AE)，
∵AD⊥BE，
∴AB2=AE2+BE2，
∴112=AE2+3(4+AE)2，
∴AE=2或AE=−8(舍去)，
∴BE=6 3，
当点D在线段AE上时，连接BE，
∵△DCA∽△ECB，
∴BEAD=BCAC=m= 3，
∴BE= 3AD= 3(AE−4)，
∵AD⊥BE，
∴AB2=AE2+BE2，
∴112=AE2+3(AE−4)2，
∴AE=8或AE=−2(舍去)，
∴BE=4 3，
综上所述：BE=6 3或4 3．
【解析】解：(1)如图1，延长BE交AC于点H，交AD于N，
当m=1时，DC=CE，CB=CA，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
DC=CE∠ACD=∠BCECA=CB,
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°，
∴∠ANB=90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：AD⊥BE；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠DAC=∠CBE，由余角的性质可证AD⊥BE；
(2)通过证明△DCA∽△ECB，可得∠DAC=∠CBE，由余角的性质可证AD⊥BE；
(3)分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得BE= 3AD，由勾股定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24.【答案】解：(1)把A(−3,0)、B(1,0)代入y=ax2+bx+3得，
9a−3b+3=0a+b+3=0，
解得a=−1b=−2，
∴a=−1，b=−2；
(2)过点P作PD/​/y轴，交AC与点D，如图1，

由(1)可得，抛物线解析式为y=−x2−2x+3，
把x=0代入y=−x2−2x+3得：y=3，
∴C(0,3)，
∴OC=3，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A(−3,0)，C(0,3)代入y=kx+b得，
0=−3k+b3=b，
解得k=1b=3，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
∵点P的横坐标为 m，
∴点P的纵坐标为−m2−2m+3，点D的横坐标为m，
∴点D的纵坐标为m+3，
∴PD=−m2−2m+3−(m+3)=−m2−3m，
∵PD/​/y轴，
∴△DPQ∽△COQ，
∴PQOQ=PDOC=−m2−3m3，
∵PQOQ=−m2−3m3=−13m2−m=−13(m+32)2+34，
∴当m=−32时，PQOQ的最大值为34；
(3)∵A(−3,0)，B(0,1)，C(0,3)，
∴OA=3，OB=1，OC=3，
∴tan∠OCB=OBOC=13，
当∠PCA=∠BCO时，分两种情况进行讨论：
①当点P在直线AC下方时，如图，过点A作AD⊥CP，过点D作DE⊥y轴，交y轴于点F，过点A作AE⊥DE，则：四边形AEFO为矩形，如图2，

∴AE=OF，EF=AO=3，tan∠PCA=tan∠OCB=ADCD=13，
∵∠AED=∠ADC=∠CFD=90°，
∴∠EAD=∠CDF=90°−∠ADE，
∴△AED∽△DFC，
∴AEDF=DECF=ADCD=13，
∴DF=3AE，CF=3DE，
设AE=OF=x，则：CF=3+x，
∴DF=3x,DE=1+x3，
∴EF=DF+DE=3x+1+x3=3，
∴x=35，
∴DF=95，OF=35，
∴D(−95,−35)，
设直线CP的解析式为y=k1x+3，把D(−95,−35)代入，得：−35=−95k1+3，
解得：k1=2，
∴y=2x+3，
联立y=2x+3y=−x2−2x+3，
解得：x=0y=3或x=−4y=−5，
∴P(−4,−5)；
②当点P在直线AC上方时，过点A作AH⊥PC，过点H作HM⊥x轴，过点C作CN⊥HM，则四边形CNMO为矩形，如图3，

∴CN=OM，MN=OC=3，tan∠PCA=tan∠OCB=AHCH=13，
同法可得：△AMH∽△HNC，
∴AMNH=HMCN=AHCH=13，
∴NH=3AM，CN=3HM，
设AM=t，则：CN=OM=3+t，
∴NH=3t,MH=1+t3，
∴MN=NH+MH=3t+1+t3=3，
∴t=35，
∴AM=35,HM=65，
∴OM=3+35=185，
∴H(−185,65)，
设CP的解析式为：y=nx+3，把H(−185,65)代入得：
65=−185n+3，
解得：n=12，
∴y=12x+3，
联立y=12x+3y=−x2−2x+3，
解得：x=0y=3或x=−52y=74，
∴P(−52,74)；
综上：P(−52,74)或P(−4,−5)．
【解析】(1)利用待定系数法解答即可求解；
(2)过点P作PD/​/y轴，交AC与点D，求出直线AC的解析式，进而求出PD的长，证明△DPQ∽△COQ，得到PQOQ=PDOC=−m2−3m3，转化为二次函数求最值即可；
(3)利用锐角三角函数求出tan∠OCB=OBOC=13，分点P在直线AC的上方和下方，两种情况，构造相似三角形，求出直线CP的解析式，联立直线CP的解析式与二次函数的解析式，求出交点即可．
本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键时正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．歌曲
A
B
C
A
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)