2023-2024学年重庆市荣昌中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市荣昌中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知平面向量a=(x,3),b=(3,1)，且a//b，则x等于( )
A. −1B. 1C. 9D. −9
2.已知|a|=|b|=3，e是与向量b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为32e，则a与b的夹角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
3.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对应的边，S△ABC=12 (ab)2−(a2+b2−c22)2=12 (bc)2−(b2+c2−a22)2=12 (ac)2−(a2+c2−b22)2，若c2=2sinCsinA，csB=35，a>b>c，则利用“三斜求积术”求△ABC的面积为( )
A. 54B. 34C. 35D. 45
4.如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请找出D点的位置，计算AB⋅AD的值为( )
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
5.在△ABC中，A=120°，b=5，且△ABC的面积为154 3，则△ABC的周长为( )
A. 15B. 12C. 16D. 20
6.在△ABC中，∠B=60°，AB=2，M是BC的中点，AM=2 3，则AC=( )
A. 2 13B. 4C. 3 13D. 4 13
7.在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得AB⋅CE=0；②存在△ABC，使得CE//(CB+CA)；它们的成立情况是( )
A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立
C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立
8.在△ABC中，点D满足AD=13DB且CD⊥CB，则当角A最大时，csA的值为( )
A. −45B. 35C. 45D. 5 3434
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. AB+BA=0
B. 若a，b为单位向量，则a=b
C. 若a/​/b、b/​/c，则a/​/c
D. 对于两个非零向量a，b，若|a+b|=|a−b|，则a⊥b
10.已知平面向量a=(1,2)，b=(−2,1)，c=(2,t)，下列说法正确的是( )
A. 若(a+b)//c，则t=6
B. 若(a+b)⊥c，t=23
C. |a+c|≥3
D. 若tcsB恒成立
C. 若B=π3，a=2 3，且△ABC有两解，则b的取值范围是(3,2 3)
D. 若∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=1，则4a+c的最小值为9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设平面向量AB=(3,−6)，点A(−1,2)，则点B的坐标为______．
13.为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km处不能收到手机信号，检查员抽查某区一考点，在考点正西 3km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，如果以每小时12km的速度沿公路行驶，则最长需要______分钟检查员开始收不到信号．
14.设e1，e2为单位向量，满足|2e1−e2|≤ 2，a=e1+e2，b=3e1+e2，设a，b的夹角为θ，则cs2θ的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b满足|a|=5，|b|=4，(a+b)⊥b．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)求|2a+b|．
16.(本小题15分)
已知在△ABC中，N是边AB的中点，且4BM=BC，设AM与CN交于点P.记AB=a，AC=b．
(1)用a，b表示向量AM，CN；
(2)若2|a|=|b|，且CP⊥AB，求〈a,b〉的余弦值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，已知3csinA=4bsinC，csC=23；
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若△ABC的面积为2 5，点D在线段AB上，且BD=2DA，求CD的长．
18.(本小题17分)
在△ABC中，AC= 13,D为∠ABC的角平分线上一点，且与B分别位于边AC的两侧，若∠ADC=150°，AD=2．
(1)求△DAC的面积；
(2)若∠ABC=120°，求BD的长．
19.(本小题17分)
已知a1，a2是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作OA1=a1，OA2=a2，以O为原点，分别以射线OA1、OA2为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如图(1).我们把这个由基底a1，a2确定的坐标系xOy称为基底{a1,a2}坐标系xOy.当向量a1，a2不垂直时，坐标系xOy就是平面斜坐标系，简记为{O；a1,a2}.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对(x,y)，使得OP=xa1+ya2，则称实数对(x,y)为点P在斜坐标系{O；a1,a2}中的坐标．

今有斜坐标系{O；e1,e2}(长度单位为米，如图(2))，且|e1|=|e2|=1，〈e1,e2〉=120°，设Op=(1,2)
(1)计算|OP|的大小；
(2)质点甲在x上距O点4米的点A处，质点乙在y上距O点1米的点B处，现在甲沿x的方向，乙沿y的方向同时以3米/小时的速度移动．
①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用e1，e2，表示CD；
②若t时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：平面向量a=(x,3),b=(3,1)，且a//b，
可得x=3×3=9．
故选：C．
直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．
本题考查向量共线的充要条件的应用，是基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
根据题意，设a与b的夹角为θ，由数量积的计算公式求出a⋅b，进而可得csθ的值，结合θ的范围分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，设a与b的夹角为θ，若向量a在向量b上的投影向量为32e，则a⋅b=32e⋅b=92，则有csθ=a⋅b|a|⋅|b|=12，又0°≤θ≤180°，所以θ=60°．
故选：B．
3.【答案】D
【解析】解：因为c2=2sinCsinA，由正弦定理asinA=csinC得：c2=2ca，则ac=2，
又由余弦定理csB=a2+c2−b22ac=35，得：a2+c2−b22=35ac=65，
则由“三斜求积术”得S△ABC=12 (ac)2−(a2+c2−b22)2=12 4−(65)2=45，
故选：D．
由正弦定理可得ac=2，由余弦定理可得a2+c2−b22=65，再结合已知“三斜求积术”即可求△ABC的面积．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：以A为原点，建立如图所示的坐标系，
则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，
平行四边形ABCD，则AB=DC，
设D(x,y)，
∴(4,1)=(6−x,4−y)，
∴4=6−x，1=4−y，
解得x=2，y=3，
∴D(2,3)，
∴AB⋅AD=2×4+3×1=11，
故选：B．
以A为原点，建立如图所示的坐标系，根据四边形为平行四边形可得AB=DC，即可求出D的坐标，再根据向量的数量积计算即可．
本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为A=120°，b=5，且△ABC的面积为154 3，
所以S△ABC=12bcsinA=12×5c× 32=154 3，解得c=3，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA=52+32−2×5×3×(−12)=49，
所以a=7，则C△ABC=a+b+c=15．
故选：A．
由面积公式求出c，由余弦定理求出a，即可得解．
本题考查三角形面积公式的应用及余弦定理的应用，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：因为∠B=60°，AB=2，M是BC的中点，AM=2 3，
所以在△ABM中，由余弦定理AM2=AB2+BM2−2AB⋅BM⋅csB，可得12=4+BM2−2×2×BM×12，整理可得BM2−2BM−8=0，
解得BM=4，或−2(舍去)，
所以BC=2BM=8，
所以由余弦定理可得AC= AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csB= 22+82−2×2×8×12=2 13．
故选：A．
由题意在△ABM中，由余弦定理可得BM2−2BM−8=0，解方程可得BM的值，从而可求BC的值，进而由余弦定理可得AC的值．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：不妨设A(2x,2y)，B(−1,0)，C(1,0)，D(0,0)，E(x,y)，
①AB=(−1−2x,−2y)，CE=(x−1,y)，
若AB⋅CE=0，则−(1+2x)(x−1)−2y2=0，即−(1+2x)(x−1)=2y2，
满足条件的(x,y)存在，例如(0, 22)，满足上式，所以①成立；
②F为AB中点，(CB+CA)=2CF，CF与AD的交点即为重心G，
因为G为AD的三等分点，E为AD中点，
所以CE与CG不共线，即②不成立．
故选：B．
设A(2x,2y)，B(−1,0)，C(1,0)，D(0,0)，E(x,y)，由向量数量的坐标运算即可判断①；F为AB中点，可得(CB+CA)=2CF，由D为BC中点，可得CF与AD的交点即为重心G，从而可判断②
本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：△ABC中，设三边长分别为a、b、c，∵点D满足AD=13DB∴AD=c4，BD=3c4，
Rt△BCD中，csB=aBD=4a3c．
△ABC中，由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac，∴a2+c2−b22ac=4a3c，∴a2=25(c2−b2).
csA=b2+c2−a22bc=4b2+c25bc．
由于A为锐角，当角A最大时，csA=4b2+c25bc 最小．
再利用基本不等式可得4b2+c25bc≥4bc5bc=45，当且仅当2b=c时，等号成立，
故csA的最小值为45，
故选：C．
由题意利用直角三角形中的边角关系求出csB的值，△ABC中利用余弦定理求得csB的值，可得a2=25(c2−b2)，可得csA的解析式，再利用基本不等式求出它的最小值，即为所求．
本题主要考查直角三角形中的边角关系，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：选项A，根据相反向量，知AB+BA=0，
故A正确；
选项B，由a，b为单位向量，
即|a|=|b|=1，
而a，b方向不一定相同，
故B错误；
选项C，规定零向量与任意向量共线，
即当b=0时，
则a/​/b，且b/​/c均成立，
而a，c为任意向量，它们不一定共线，
故C错误；
选项D，由|a+b|=|a−b|，
得|a+b|2=|a−b|2，
则a2+2a⋅b+b2=a2−2a⋅b+b2，
整理得a⋅b=0，
又已知a，b是两个非零向量，
故a⊥b．
故D正确．
故选：AD．
A项，由相反向量与加法运算几何意义可得；B项，单位向量a，b的方向不一定相同；C项，由零向量的规定它与任何向量共线可得；D项，两边平方展开化简可得．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量模的运算，属中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：由a=(1,2),b=(−2,1),c=(2,t)，则a+b=(−1,3)，
对于A，若(a+b)//c，则−t−3×2=0，t=−6，故A错误；
对于B，若(a+b)⊥c，则−2+3t=0,t=23，故B正确；
对于C，a+c=(3,t+2),|a+c|= 9+(t+2)2≥3，故C正确；
对于D，若tπ2−B>0，
由正弦函数y=sinx在(0,π2)单调递增，则sinA>sin(π2−B)=csB，
故B正确．
选项C，如图，若△ABC有两解，则asinB