苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形课时训练

这是一份苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形课时训练，共13页。试卷主要包含了4　矩形、菱形、正方形等内容，欢迎下载使用。
第3课时 正方形
基础过关全练
知识点6 正方形的定义与性质
1.(2023江苏无锡梁溪期中)正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相垂直
B.对角线互相平分
C.对角线相等
D.四个角都是直角
2.(2023四川自贡中考)如图,边长为3的正方形OBCD的两边与坐标轴正半轴重合,则点C的坐标是( )
A.(3,-3)
B.(-3,3)
C.(3,3)
D.(-3,-3)
3.【教材变式·P94T19】如图,已知点E、F分别是正方形ABCD的边AD、CD上的点,且AE=DF,连接BE、AF,交点为G,则BE与AF的数量与位置关系是 .
知识点7 正方形的判定
4.【新考向·开放型试题】(2023黑龙江鹤岗中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件: ,使得矩形ABCD为正方形.
5.如图,在四边形纸片ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在边BC,CD上,将AB,AD分别沿AE,AF折叠,使得点B,D恰好都和EF上的点G重合,其中∠EAF=45°.求证:四边形ABCD是正方形.
能力提升全练
6.(2023上海实验学校期末,19,★☆☆)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,那么添加下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是( )
A.AB=AD且AC⊥BD
B.AC⊥BD且AC和BD互相平分
C.∠BAD=∠ABC且AC=BD
D.AC=BD且AB=AD
7.【半角模型】(2023江苏徐州鼓楼月考,8,★★☆)如图,正方形ABCD的边长为3,将等腰直角三角板的45°角的顶点放在点B处,BF与AD交于点G,BH与CD交于点E,若CE=1,则DG的长为( )
A.12 B.32 C.20 D.3
8.【一线三等角模型】(2023江苏扬州广陵期中,15,★☆☆)如图,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角,且E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是 .
9.(2023湖南怀化中考,15,★☆☆)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线AB的距离为 .
10.【对角互补模型】(2023江苏无锡江阴期中,18,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且两条对角线相交于点O,连接OC.若AC=3,OC=32,则BC的长为 .
11.(2023浙江绍兴中考,22,★★☆)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH;
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
12.【新考向·实践探究题】(2023内蒙古通辽中考,22,★★☆)综合与实践课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动,有一位同学的操作过程如下:
操作一:对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;
操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在正方形内部点M处,把纸片展平,连接PM、BM,延长PM交CD于点Q,连接BQ.
(1)如图1,当点M在EF上时,∠EMB= 度;
(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图2,判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.
图1 图2
素养探究全练
13.【推理能力】(2023江苏扬州广陵月考)如图,正方形OABC的边OA、OC在坐标轴上,点B的坐标为(-4,4).点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动;点Q从点O同时出发,以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时,点P、Q都停止运动.连接BP,过P点作BP的垂线,与过点Q且平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E,连接PE.设点P运动的时间为t s.
(1)∠PBD的度数为 ,点D的坐标为 (用含t的式子表示);
(2)在P、Q的运动过程中,直线OD的解析式发生变化吗?如果不变,请直接写出直线OD的解析式;
(3)探索△POE的周长是否随时间t的变化而变化,若变化,说明理由;若不变,试求这个定值.
答案全解全析
基础过关全练
1.A A.正方形的对角线互相垂直平分,矩形的对角线互相平分但不一定互相垂直,故本选项符合题意;
B.正方形和矩形的对角线都互相平分,故本选项不符合题意;
C.正方形和矩形的对角线都相等,故本选项不符合题意;
D.正方形和矩形的四个角都是直角,故本选项不符合题意.
故选A.
2.C ∵边长为3的正方形OBCD的两边与坐标轴正半轴重合,∴∠OBC=∠ODC=90°,OB=BC=3,∴C(3,3),故选C.
3.答案 BE=AF,BE⊥AF
解析 ∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAE=∠D=90°,
在△BAE和△ADF中,AB=DA,∠BAE=∠DAE=DF,,
∴△BAE≌△ADF(SAS),
∴BE=AF,∠BEA=∠AFD,
∵∠AFD+∠FAD=90°,∴∠BEA+∠FAD=90°,
∴∠AGE=90°,∴BE⊥AF.
故答案为BE=AF,BE⊥AF.
4.答案 AB=AD(答案不唯一)
解析 四边形ABCD是矩形,当一组邻边相等或者对角线互相垂直时,该矩形是正方形,故可填AB=AD(答案不唯一).
5.证明 由题意得,∠BAE=∠EAG,∠DAF=∠FAG,
∴∠BAD=2∠EAF=90°,
又∵∠B=∠D=90°,∴四边形ABCD是矩形,
∵AB=AG,AD=AG,
∴AB=AD,∴四边形ABCD是正方形.
能力提升全练
6.D A.只能判定四边形是菱形,不符合题意;
B.只能判定四边形是菱形,不符合题意;
C.只能判定四边形是矩形,不符合题意;
D.∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,又AB=AD,∴四边形ABCD是正方形,符合题意.
故选D.
7.B 如图,将△BCE绕点B逆时针旋转90°得到△BAM.连接EG.
由旋转的性质得△BCE≌△BAM,∴BE=BM,∠CBE=∠ABM,
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD=3,∠ABC=90°,
∵∠GBE=45°,∴∠CBE+∠GBA=∠ABM+∠GBA=∠GBM=45°,
∵BG=BG,∠GBM=∠GBE,BM=BE,∴△BGM≌△BGE,∴EG=GM=AM+AG=AG+CE,
设AG=x,则DG=3-x,GE=1+x,在Rt△DGE中,
∵GE2=DG2+DE2,∴(3-x)2+22=(x+1)2,∴x=32,∴DG=32.故选B.
方法解读 半角模型:由一个大角和它的一半小角组成共面点且大角两边相等的基本几何模型.常见的半角模型有“45°半角模型”“60°半角模型”,基本图形如下:
解半角模型的一般步骤:①找旋转点(含半角的角的顶点),构造旋转;②证全等;③利用全等得到边角关系.
8.答案 8
解析 ∵四边形ACDF是正方形,
∴AC=FA,∠CAF=90°,∴∠CAE+∠FAB=90°,
∵∠CEA=90°,∴∠CAE+∠ACE=90°,
∴∠ACE=∠FAB,
又∵∠AEC=∠FBA=90°,∴△AEC≌△FBA,
∴CE=AB=4,∴S阴影=12AB·CE=8,
故答案为8.
方法解读 当在一条线段上,存在三个相等的角(锐角或直角或钝角),且有一组边相等时,考虑用“一线三等角模型”.如图,点P在线段AB上,∠1=∠2=∠3=90°,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD),则△APC≌△BDP.
9.答案 3
解析 如图,过点P作PF⊥AB于点F,∵四边形ABCD为正方形,∴AC平分∠DAB,∵PE⊥AD,PF⊥AB,∴PF=PE=3,∴点P到直线AB的距离为3.故答案为3.
10.答案 5
解析 如图,过O作OF⊥BC于F,过A作AM⊥OF于M,
∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°,∴四边形ACFM是矩形,∴AM=CF,MF=AC=3,∵四边形ABDE为正方形,∴∠AOB=90°,OA=OB,∴∠AOM+∠BOF=90°,∵∠AMO=90°,∴∠AOM+∠OAM=90°,∴∠OAM=∠BOF,又∵∠AMO=∠OFB=90°,∴△AOM≌△OBF(AAS),∴AM=OF,OM=FB,∴OF=CF,∵∠CFO=90°,∴△CFO是等腰直角三角形,∴OC=OF2+CF2=2CF2=2OF2,∵OC=32,∴CF=OF=4,∴BF=OM=OF-FM=4-3=1,∴BC=CF+BF=4+1=5.故答案为5.
方法解读 对角互补模型通常包括:
两个对角是90°和90°、60°和120°,其中BD平分∠ABC.通常过D点作垂线,构造全等三角形,利用全等三角形的性质解决问题.
11.解析 (1)证明:∵在正方形ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD,∴∠ADE=∠GEC=90°,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.
(2)AH⊥EF,理由如下:连接GC交EF于点O,如图,
∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ADG=∠CDG=45°,又∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠DAG=∠DCG.在正方形ABCD中,∠ECF=90°,GE⊥CD,GF⊥BC,∴四边形FCEG为矩形,∴OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC,又由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC,∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,
∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.
12.解析 (1)如图,连接AM,
由操作可知,BM=AB,EF垂直平分AB,∴AM=BM,
∴AM=BM=AB,
∴△ABM是等边三角形,∴∠AMB=60°,∵EM⊥AB,∴ME平分∠AMB,∴∠EMB=12∠AMB=30°.
故答案为30.
(2)∠MBQ=∠CBQ,理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠BAD=∠C=90°.
由折叠可得AB=BM,∠BAD=∠BMP=90°,
∴BM=BC,∠BMQ=∠C=90°.
又∵BQ=BQ,
∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL),
∴∠MBQ=∠CBQ.
素养探究全练
13.解析 (1)45°;(t,t).
详解:由题可得AP=OQ=1×t=t.∴AO=PQ.
∵四边形OABC是正方形,
∴AO=AB=BC=OC,
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°.
∵DP⊥BP,∴∠BPD=90°,
∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ.
∵AO=PQ,AO=AB,∴AB=PQ.
在△BAP和△PQD中,
∠BAP=∠PQD,∠BPA=∠PDQ,AB=PQ,∴△BAP≌△PQD(AAS).
∴AP=QD,BP=PD,∴∠PBD=∠PDB=45°.
∵AP=t,∴DQ=t.
∴点D的坐标为(t,t).
(2)不变化,∵D(t,t),∴点D在直线y=x上,即直线OD的解析式为y=x.
(3)延长OA到点F,使得AF=CE,连接BF,如图所示.
在△FAB和△ECB中,
AB=CB,∠BAF=∠BCE,AF=CE,∴△FAB≌△ECB(SAS).
∴FB=EB,∠FBA=∠EBC.
∵∠EBP=45°,∠ABC=90°,
∴∠ABP+∠EBC=45°,
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=45°,
∴∠FBP=∠EBP.
在△FBP和△EBP中,
BF=BE,∠FBP=∠EBP,BP=BP,∴△FBP≌△EBP(SAS),
∴FP=EP,∴EP=CE+AP,∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=4+4=8.
∴△POE的周长是定值,该定值为8.