广西壮族自治区桂林市奎光学校 2022-2023 学年八年级下学期4月期中考试数学试题

这是一份广西壮族自治区桂林市奎光学校 2022-2023 学年八年级下学期4月期中考试数学试题，共23页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，点P，给出下列判断，正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．在平面直角坐标系中，点P（2，0）在（ ）
A．x轴上B．y轴上C．第一象限D．第四象限
2．在▱ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．10cmB．8cmC．6cmD．5cm
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．12，16，20
C．1，，D．11，40，41
5．如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，若∠A＝60°，∠B＝45°，则∠EDF的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．80°
6．若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．给出下列判断，正确的是（ ）
A．连接平行四边形四条边的中点，一定会得到一个矩形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形
8．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4.2，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．4.2B．5.15C．3.69D．8
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若点D恰好在边BC的垂直平分线上，则∠C的度数为（ ）
A．36°B．30°C．40°D．45°
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为32，∠BAD＝60°，则△OCM的面积是（ ）
A．B．2C．3D．4
11．在长方形ABCD中，AB＝5，CB＝12，连接AC，∠BAC的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（ ）
A．B．C．3D．4
12．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（ ）
①EG＝EF；
②△EFG≌△GBE；
③FB平分∠EFG；
④EA平分∠GEF；
⑤四边形BEFG是菱形．
A．③⑤B．①②④C．①②③④D．①②③④⑤
二.填空题（共6小题，每题3分，共18分）
13．点在第 象限．
14．已知P1（a﹣1，5）和P2（4，b﹣1）关于x轴对称，则a﹣b的值是 ．
15．在▱ABCD中，∠A＝110°，则∠D＝ ．
16．已知某正多边形每一个外角都等于72°，则从此多边形一个顶点出发，可以引的对角线的条数是 条．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝6，D是AB的中点，则AB＝ ．
18．如图所示，将形状大小完全相同的“平行四边形”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“平行四边形”的个数为a1，第2幅图中“平行四边形”的个数为a2，第3幅图中“平行四边形”的个数为a3…，以此类推，的值为 ．
三.解答题（共8小题，共计66分）
19．（6分）如图，OC是∠AOB内的一条射线，D是OC上一点，过点D作DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F，已知OE＝OF，求证：OC是∠AOB的平分线．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
21．（6分）如图，车高AC＝4m，货车卸货时后面挡板AB弯折落在地面A1处，已知点A、B、C在一条直线上，AC⊥A1C，经过测量A1C＝2m，求BC的长．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，1）；B（1，1），C（﹣3，3）．
（1）画出△ABC，判断△ABC的形状是 三角形；
（2）点C关于x轴的对称点C'的坐标为 ．
（3）已知点P是y轴正半轴上一点，若S△ABC＝S△ABP，则点P坐标是 ．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）连接DF、AC，试判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
24．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，连接AE、AF、EF，且∠FAE＝90°．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AB＝12，AE＝13，请求出CF的长．
25．（10分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF．
（1）求证：四边形ABFC是矩形；
（2）若AD＝10，∠AFB＝30°，直接写出▱ABCD的面积．
26．（12分）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．
（1）对角线AC的长是 ，菱形ABCD的面积是 ；
（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否会发生变化？请说明理由；
（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE、OF之间的数量关系，并说明理由．
2022-2023学年广西桂林市秀峰区奎光学校八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．在平面直角坐标系中，点P（2，0）在（ ）
A．x轴上B．y轴上C．第一象限D．第四象限
【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0，即可求解．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（2，0）在x轴上，
故选：A．
【点评】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，掌握坐标轴上的点的坐标的特征是解决本题的关键．
2．在▱ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．10cmB．8cmC．6cmD．5cm
【分析】平行四边形的周长等于两邻边长度之和的二倍．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∵AB＝2cm，BC＝3cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（2+3）＝10（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，是基础题，熟悉“平行四边形对边相等”这一性质是解答关键．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．12，16，20
C．1，，D．11，40，41
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、122+162＝202，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、112+402≠412，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，若∠A＝60°，∠B＝45°，则∠EDF的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．80°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再由D、E、F分别是△ABC三边的中点得出DE∥BC，DF∥AC，从而可得四边形DFCE是平行四边形，进而可得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴∠EDF＝∠C＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
6．若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】设这个多边形的边数为x，根据多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360°列出方程，从而解决此题．
【解答】解：设这个多边形的边数为x．
由题意得，180°（x﹣2）＝360°×3．
∴x＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360度是解决本题的关键．
7．给出下列判断，正确的是（ ）
A．连接平行四边形四条边的中点，一定会得到一个矩形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形
【分析】根据平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：A、连接平行四边形四条边的中点，一定会得到一个平行四边形，故不符合题意；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不符合题意；
D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
8．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4.2，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．4.2B．5.15C．3.69D．8
【分析】过D点作DH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝4.2，再根据垂线段最短进行判断即可．
【解答】解：过D点作DH⊥OB于点H，如图所示：
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DH＝DE＝4.2，
∵F是射线OB上的任一点，
∴DF≥4.2，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短等，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若点D恰好在边BC的垂直平分线上，则∠C的度数为（ ）
A．36°B．30°C．40°D．45°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，得到∠DBC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠C＝30°．
【解答】解：∵点D恰好在边BC的垂直平分线上，
∴DC＝DB，
∴∠DBC＝∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠ABD＝∠C，
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB是解题的关键．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为32，∠BAD＝60°，则△OCM的面积是（ ）
A．B．2C．3D．4
【分析】根据题意可得△ABD等边三角形，根据边长可求出其面积，而△OCM的面积等于△BCD面积的，进而可得出结果．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为32，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴S△BCD＝×AB2＝×82＝16，
∵M为CD中点，
∴S△OCM＝S△COD＝S△BCD＝4，
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形四边相等的性质是解题关键．
11．在长方形ABCD中，AB＝5，CB＝12，连接AC，∠BAC的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（ ）
A．B．C．3D．4
【分析】作EF⊥AC于点F，由∠B＝90°，AB＝5，CB＝12，根据勾股定理求得AC＝13，由角平分线的性质得FE＝BE，再证明Rt△AFE≌Rt△ABE，得AF＝AB＝5，则CF＝8，再由勾股定理得BE2+82＝（12﹣BE）2，即可求得BE＝．
【解答】解：作EF⊥AC于点F，则∠AFE＝∠CFE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，CB＝12，
∴∠B＝90°，
∴EB⊥AB，AC＝＝＝13，
∵AE平分∠BAC，
∴FE＝BE，
在Rt△AFE和Rt△ABE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），
∴AF＝AB＝5，
∵FE2+CF2＝CE2，且CF＝13﹣5＝8，CE＝12﹣BE，
∴BE2+82＝（12﹣BE）2，
∴BE＝，
故选：A．
【点评】此题重点考查矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
12．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（ ）
①EG＝EF；
②△EFG≌△GBE；
③FB平分∠EFG；
④EA平分∠GEF；
⑤四边形BEFG是菱形．
A．③⑤B．①②④C．①②③④D．①②③④⑤
【分析】由中点的性质可得出EF∥CD，且EF＝CD＝BG，结合平行即可证得②正确，由BD＝2BC得出BO＝BC，即而得出BE⊥AC，由中线的性质可知GP∥BE，且GP＝BE，AO＝EO，证△APG≌△EPG得出AG＝EG＝EF得出①正确，再证△GPE≌△FPE得出④再求，证出四边形BEFG是平行四边形，⑤③不正确；此题得解．
【解答】解：设GF和AC的交点为点P，如图：
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，且EF＝CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠FEG＝∠BGE，
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AB＝CD＝FE，
在△EFG和△GBE中，，
∴△EFG≌△GBE（SAS），即②正确，
∴∠EGF＝∠GEB，GF＝BE，
∴GF∥BE，
∵BD＝2BC，点O为平行四边形对角线交点，
∴BO＝BD＝BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥OC，
∴GP⊥AC，
∴∠APG＝∠EPG＝90°
∵GP∥BE，G为AB中点，
∴P为AE中点，即AP＝PE，且GP＝BE，
在△APG和△EGP中，，
∴△APG≌△EPG（SAS），
∴AG＝EG＝AB，
∴EG＝EF，即①正确，
∵EF∥BG，GF∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形，
∴GF＝BE，
∵GP＝BE＝GF，
∴GP＝FP，
∵GF⊥AC，
∴∠GPE＝∠FPE＝90°
在△GPE和△FPE中，，
∴△GPE≌△FPE（SAS），
∴∠GEP＝∠FEP，
∴EA平分∠GEF，即④正确．
∵BG＝FE，GF＝BE，
∴四边形BEFG是平行四边形，
没有条件得出BEFG是菱形，⑤③不正确；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．
二.填空题（共6小题，每题3分，共18分）
13．点在第 四 象限．
【分析】根据各象限内点的坐标的符号特征判断即可．
【解答】解：∵点的横坐标大于零，纵坐标小于零，
∴点在第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
14．已知P1（a﹣1，5）和P2（4，b﹣1）关于x轴对称，则a﹣b的值是 9 ．
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可．
【解答】解：∵P1（a﹣1，5）和P2（4，b﹣1）关于x轴对称，
∴a﹣1＝4，b﹣1＝﹣5，
∴a＝5，b＝﹣4，
∴a﹣b＝5﹣（﹣4）＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
15．在▱ABCD中，∠A＝110°，则∠D＝ 70° ．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠A+∠D＝180°，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝110°，
∴∠D＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，能根据性质推出∠A+∠D＝180°是解此题的关键．
16．已知某正多边形每一个外角都等于72°，则从此多边形一个顶点出发，可以引的对角线的条数是 2 条．
【分析】利用多边形的外角和是360°，多边形的每个外角都是72°，即可求出这个多边形的边数，再根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可求答案．
【解答】解：360°÷72°＝5，
5﹣3＝2．
故这个正多边形从一个顶点出发可以作的对角线条数是2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了多边形的对角线，多边形的外角和定理，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝6，D是AB的中点，则AB＝ 12 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AB＝2CD＝2×6＝12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
18．如图所示，将形状大小完全相同的“平行四边形”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“平行四边形”的个数为a1，第2幅图中“平行四边形”的个数为a2，第3幅图中“平行四边形”的个数为a3…，以此类推，的值为 ．
【分析】先根据已知图形得出an＝n（n+1），代入再利用裂项化简可得答案．
【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，
∴an＝n（n+1），
∴
＝
＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出an＝n（n+1）及．
三.解答题（共8小题，共计66分）
19．（6分）如图，OC是∠AOB内的一条射线，D是OC上一点，过点D作DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F，已知OE＝OF，求证：OC是∠AOB的平分线．
【分析】根据垂直的定义和HL证明Rt△EOD与Rt△FOD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F，
∴∠DEO＝∠DFO＝90°，
在Rt△EOD与Rt△FOD中，
，
∴Rt△EOD≌Rt△FOD（HL），
∴∠EOD＝∠FOD，
即OC是∠AOB的平分线．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据HL证明Rt△EOD与Rt△FOD全等解答．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AC＝2AB＝6，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到BC＝3，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，
∴AC＝2AB＝6，
在△ACD中，AC＝6，CD＝8，AD＝10，
∵82+62＝102，即AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，即△ACD是直角三角形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝6，
∴BC＝＝3，
∴Rt△ABC的面积为•AB•BC＝×3×3＝，
又∵Rt△ACD的面积为•AC•CD＝×8×6＝24，
∴四边形ABCD的面积为：+24．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
21．（6分）如图，车高AC＝4m，货车卸货时后面挡板AB弯折落在地面A1处，已知点A、B、C在一条直线上，AC⊥A1C，经过测量A1C＝2m，求BC的长．
【分析】设BC＝x m，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，在Rt△A1BC中利用勾股定理列出方程22+x2＝（4﹣x）2，进而解答即可．
【解答】解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA1＝90°，
设BC＝x m，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，
在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，
即：22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝1.5．
答：BC的长为1.5米．
【点评】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，1）；B（1，1），C（﹣3，3）．
（1）画出△ABC，判断△ABC的形状是 直角 三角形；
（2）点C关于x轴的对称点C'的坐标为 （﹣3，﹣3） ．
（3）已知点P是y轴正半轴上一点，若S△ABC＝S△ABP，则点P坐标是 （0，3） ．
【分析】（1）根据△ABC各点坐标画出△ABC即可，根据勾股定理逆定理可判断△ABC的形状；
（2）根据关于x轴对称的点坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出点C′坐标；
（3）根据点P是y轴正半轴上一点，且S△ABC＝S△ABP，AB∥x轴，可知点P与点C纵坐标相同，即可求出点P坐标．
【解答】解：（1）△ABC如图所示：
∵AB2＝[1﹣（﹣4）]2＝25，AC2＝（﹣3+4）2+（3﹣1）2＝5，BC2＝（﹣3﹣1）2+（3﹣1）2＝20，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）点C关于x轴的对称点C'的坐标为（﹣3，﹣3），
故答案为：（﹣3，﹣3）；
（3）∵点P是y轴正半轴上一点，且S△ABC＝S△ABP，
又∵AB∥x轴，
∴点P与点C纵坐标相同，
∴点P坐标为（0，3），
故答案为：（0，3）．
【点评】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的面积，关于x轴对称的点坐标，熟练掌握这些知识是解题的关键．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）连接DF、AC，试判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠D＝∠ECF，根据ASA即可判定△ADE≌△FCE；
（2）由△ADE≌△FCE可得AE＝EF，再由DE＝CE，可得四边形ACFD是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∴∠D＝∠ECF，
∵点E是CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）解：平行四边形．
如图，
∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，
∵DE＝CE，
∴四边形ACFD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
24．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，连接AE、AF、EF，且∠FAE＝90°．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AB＝12，AE＝13，请求出CF的长．
【分析】（1）由题目已知证得△ABE≌△ADF，根据全等的性质可得结论；
（2）在Rt△ABE中，用勾股定理求出BE，由（1）的性质求出DF，进而可求CF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°，
又∵∠FAE＝90°，
∴∠EAD+∠FAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（ASA），
∴AE＝AF；
（2）解：在Rt△ABE中，
由勾股定理得：，
由（1）知：BE＝DF＝5，AB＝CD＝12，
∴CF＝CD+DF＝17．
【点评】此题考查了正方形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，解题的关键是判断出三角形全等．
25．（10分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF．
（1）求证：四边形ABFC是矩形；
（2）若AD＝10，∠AFB＝30°，直接写出▱ABCD的面积．
【分析】（1）利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形；
（2）先证△ADF是等边三角形，进而可求出▱ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
（2）解：∵∠AFB＝30°，
∴∠AFD＝60°，
∵AD＝AF＝10．
∴△ADF是等边三角形，
∴CD＝AD＝5，
∴AC＝CD＝5，
∴▱ABCD的面积＝DC•AC＝5×5＝25．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26．（12分）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．
（1）对角线AC的长是 12 ，菱形ABCD的面积是 96 ；
（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否会发生变化？请说明理由；
（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE、OF之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）连接AC与BD相交于点G，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BG，再利用勾股定理列式求出AG，然后根据AC＝2AG计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解；
（2）连接AO，根据S△ABD＝S△ABO+S△ADO列式计算即可得解；
（3）连接AO，根据S△ABD＝S△ABO﹣S△ADO列式整理即可得解．
【解答】解：（1）如图，连接AC与BD相交于点G，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG＝BD＝×16＝8，
由勾股定理得，AG＝＝＝6，
∴AC＝2AG＝2×6＝12，
菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12×16＝96；
故答案为：12；96；
（2）如图1，连接AO，则S△ABD＝S△ABO+S△ADO，
所以，BD•AG＝AB•OE+AD•OF，
即×16×6＝×10•OE+×10•OF，
解得OE+OF＝9.6是定值，不变；
（3）如图2，连接AO，则S△ABD＝S△ABO﹣S△ADO，
所以，BD•AG＝AB•OE﹣AD•OF，
即×16×6＝×10•OE﹣×10•OF，
解得OE﹣OF＝9.6，是定值，不变，
所以，OE+OF的值变化，OE、OF之间的数量关系为：OE﹣OF＝9.6．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的面积，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，（2）（3）作辅助线构造出两个三角形是解题的关键．