江西省南昌市第十九中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷

这是一份江西省南昌市第十九中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A．2B．C．7D．
2．与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是（ ）
A．B．C．D．
3．阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力．某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有的学生写作能力被评为优秀等级．经调查知，该校大约有的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占．现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（ ）
A．0.25B．0.2C．0.15D．0.1
4．椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是（ ）
A．56B．28C．24D．12
7．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
8．将二项式的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知曲线．（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，则是两条直线
10．已知为坐标原点，是抛物线上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点的横坐标为4
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
D．周长的最小值为
11．在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直B．直线与平面平行
C．平面与底面的夹角余弦值为D．点与点到平面的距离相等
12．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．事件与事件不相互独立D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为________．
14．如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为，则电路接通的概率为________．
15．如图，二面角的棱上有两个点，线段和分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面夹角的余弦值为________．
16．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，其中位于第一象限，则的最小值为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知直线经过点．
（1）求直线的方程；
（2）若直线与互相垂直，求直线与两坐标轴围成三角形的面积．
18．如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，点在上，且．
（1）求直线与直线所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
19．已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲､乙､丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲､乙､丙三名考生材料初审合格的概率分别是，面试合格的概率分别是．
（1）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
（2）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率；
（3）求甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为1人或2人的概率．
20．有甲、乙、丙三个厂家生产同种规格的产品，甲、乙、丙三个厂家生产的产品的合格率分别为0.95、0.90、0.80，已知甲、乙、丙三个厂家生产的产品数所占比例为，将三个厂家生产的产品混放在一起，从混合产品中任取1件．
（1）求这件产品为合格品的概率；
（2）已知取到的产品是合格品，问它是哪个厂生产的可能性最大?
21．四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为中点．
（1）证明：；
（2）求二面角的正切值．
22．如图，为坐标原点，椭圆的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3．
南昌十九中2022-2023学年第一学期高二期末考试
数学试卷答案
一、单项选择题
1．C 2．A 3．B 4．A 5．D 6．B 7．A 8．C
二、多项选择题
9．ACD 10．ACD 11．ABC 12．BCD
三、填空题
13． 14． 15． 16．2
四、解答题
17．【详解】（1）直线的斜率，由直线的点斜式方程得，
即直线的方程为：．
（2）直线的斜率为，所以斜率为，
，即，
设直线与轴，轴的交点分别为，
令得，令得，
，即所求三角形的面积为．
18．【详解】（1）在棱长为1的正方体中，以为坐标原点，、所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
的中点的中点，
又点在上，且，则，
直线与直线所成的角为，则，
所以直线与直线所成角的余弦值为．
（2）由（1）知，，
设平面的一个法向量，则，
令，得，
又，所以点到平面的距离．
19．【详解】（1）设事件表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，
事件表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，
则，
甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：
．
（2）设事件表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，
则，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的
对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：
．
（3）记为甲、乙、丙三名考生中获得该高校综合评价录取资格的人数，则甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为1人或2人的概率
，
又，
，
所以．
20．【详解】（1）解：设事件表示取到的产品为合格品，分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．
则，且两两互斥，
由已知，
，
由全概率公式得．
（2）解：由贝叶斯公式得，
．
．
所以，，故这件产品由丙厂生产的可能性最大．
21．【详解】（1）在菱形中，为的中点，
，又，
平面．
（2）过作，垂足为，连结．
由平面，得，
是二面角的平面角；
由，可得，
为中点，．
又，
在中，由余弦定理得，
．
在中，可得．故二面角的正切值为．
22．【详解】（1）由题意可知：，又，
有，故椭圆的方程为：．
（2）由题意知直线的斜率存在，设其方程为，用的横坐标表示的纵坐标，再联立的方程和椭圆的方程，消去得，利用韦达定理化简的纵坐标后可得所求的定值．
设，
联立直线方程和椭圆方程得，消去得，
，且有，
又，
由得，
故，整理得到
故，
．
故点的纵坐标为3．