陕西省宝鸡市第一中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷

这是一份陕西省宝鸡市第一中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若有理数a与3互为相反数，则a的值是( )
A. 3B. -3C. 13D. -13
2.把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若DE/​/AB，则∠1的度数为( )
A. 105°
B. 115°
C. 120°
D. 135°
3.计算2x2⋅(-3x3)的结果是( )
A. -6x5B. 6x5C. -2x6D. 2x6
4.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中，不能使△DAC∽△DCB的是( )
A. ∠ACB=90°B. tanA=BDCDC. AC2=AD⋅ABD. ACAD=BDCD
5.如图，平行四边形ABCD中，∠B=60°.G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF，下列说法不正确的是( )
A. 四边形CEDF是平行四边形
B. 当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形
C. 当∠AEC=120°时，四边形CEDF是菱形
D. 当AE=ED时，四边形CEDF是菱形
6.如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6上时，线段BC扫过的面积为( )
A. 4
B. 8
C. 16
D. 20
7.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=40°，点I是△ABC的内心，BI的延长线交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数为( )
A. 35°
B. 30°
C. 25°
D. 20°
8.已知二次函数y=ax2-2ax+a+2(a≠0)，若-1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为( )
A. 1B. -1C. ±1D. 无法确定
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.实数25的算术平方根是______．
10.若将三个数- 3， 7， 11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______．
11.符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感.如图所示的五角星中，C、D两点都是AB的黄金分割点，若AB=2，则AC的长是______．
12.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A(-2 3,0)，与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=kx(k≠0)上，则k= ______．
13.如图，在正方形ABCD中，AB=2，E为边AB上一点，F为边BC上一点.连接DE和AF交于点G，连接BG.若AE=BF，则BG的最小值为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算：| 5-2|+(2023+π)0+2 5-(-12)-1．
15.(本小题5分)
化简：(1-1a-1)÷2a-4a2-1．
16.(本小题5分)
解不等式组：2x+1≥x3-x6-2x-24>-1，并把它的解集在数轴上表示出来．
17.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，请用尺规作图法，在边AB上求作一点D，使点D到点A的距离与点D到点C的距离相等.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，求证：∠DBC=∠CAB．
19.(本小题5分)
如图，在正方形网格中有三角形ABC．
(1)将三角形ABC进行平移，使得点A的对应点为点A1(如图所示)，画出三角形A1B1C1；
(2)画出(1)中三角形A1B1C1关于B1C1中点成中心对称的图形，所画图形需用实线画出．
20.(本小题6分)
一只不透明袋中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从袋中摸出1个球，记下颜色后放回、揽匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
(1)该小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______(精确到0.001)，由此估出红球有______个；
(2)现从该袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图或列表法求恰好摸到1个白球和1个红球的概率．
21.(本小题6分)
在学习解直角三角形以后，某班数学兴趣小组的同学测量了旗杆的高度，如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为6米，落在斜坡上的影长CD为4米，AB⊥BC，点A，B，F三点共线，且BC/​/EF，同一时刻，光线与旗杆的夹角为30°(米)，测得坡角∠CEF的度数是30°，求旗杆AB的高度为多少米？(结果保留根号)
22.(本小题6分)
在河道A，B两个码头之间有客轮和货轮通行.一天，客轮从A码头匀速行驶到B码头，同时货轮从B码头出发，运送一批物资匀速行驶到A码头，两船距B码头的距离y(km)与行驶时间x(min)之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题：
(1)求客轮距B码头的距离y1(km)与时间x(min)之间的函数表达式；
(2)请问两船出发多久相距35km？
23.(本小题7分)
为保障学生的生命安全和心理健康，市政府开展“安全知识进校园”宣传活动.为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩(成绩取整数)分为“A：90～100分；B：80～89分；C：70～79分；D：69分及以下”四个等级进行统计，得到如图尚不完整的统计图表：
A等级成绩的具体情况是：
根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)请补全条形统计图；
(2)A等级成绩的中位数是 分；
(3)假设全市有12000名学生都参加此次测试，若成绩在80分以上(含80分)为优秀，求全市成绩优秀的学生人数约有多少人．
24.(本小题8分)
如图，在等腰△ABC中AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若CE=1，BD= 5，tanF=34，求FB的值．
25.(本小题8分)
如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为(6,0)，点C坐标为(0,6)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
(3)若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标．
26.(本小题10分)
问题探究：
如图①，已知等边△ABC，在△ABC内求作一点P，使P到各边的距离都相等，画出这个点；
如图②，△ABC中，∠A=60°，AB=8，AC=6，请求出△ABC的内切圆半径的值(结果保留根号)；
问题解决：
如图③，市区有空地位于两条笔直且平行的道路a，b之间，a、b之间的距离为40米，线段BC在b上，且BC=60米，现拟在道路a找一点A，与B、C构成三角形休闲小道，△ABC内建圆形绿化区，要求AB、AC、BC均与圆形绿化区相切，试探究圆形绿化区面积有无最大值？如果有，求面积的最大值及并指出圆心位置；如果没有，请说明理由(道路宽度可忽略不计)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为3的相反数是-3，所以a=-3。
故选：B。
只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。
主要考查相反数的意义。
2.【答案】A
【解析】解：如图，AC和DE交于点G，
由三角板可知：∠D=45°，∠BAC=30°，
∵DE//AB，
∴∠AGD=∠BAC=30°，
∴∠1=180°-∠D-∠AGD=105°，
故选：A．
根据三角板得到∠D=45°，∠BAC=30°，再根据平行线的性质得到∠AGD=∠BAC，最后利用三角形内角和定理计算即可．
本题考查平行线的性质，三角板的性质，三角形内角和，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．
根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．
【解答】
解：2x2⋅(-3x3)，
=2×(-3)⋅(x2⋅x3)，
=-6x5．
故选A．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△DAC∽△DCB，
故A不符合题意；
∵tanA=BDCD，tan∠BCD=BDCD，
∴∠A=∠BCD，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△DAC∽△DCB，
故B不符合题意；
∵AC2=AD⋅AB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴sin∠ACD=sinB，
∴∠ACD=∠B，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CDB，
故C不符合题意；
∵ACAD=BDCD，
∴Rt△DAC的斜边AC和直角边AD与Rt△DCB的两直角边BD和CD对应成比例，
∴不能判定△DAC∽△DCB，
故选：D．
若∠ACB=90°，由余角的性质推出∠A=∠BCD，而∠ADC=∠CDB=90°，即可判定△DAC∽△DCB，由tanA=BDCD，tan∠BCD=BDCD，得到∠A=∠BCD，而∠ADC=∠CDB=90°，判定△DAC∽△DCB，由AC2=AD⋅AB，得到AD：AC=AC：AB，因此sin∠ACD=sinB，得到∠ACD=∠B，又∠ADC=∠CDB=90°，即可判定△ACD∽△CDB，由ACAD=BDCD，不能判定△DAC∽△DCB．
本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．
5.【答案】D
【解析】【解答】
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF/​/ED，
∴∠FCG=∠EDG，
∵G是CD的中点，
∴CG=DG，
在△FCG和△EDG中，
∠FCG=∠EDGCG=DG∠CGF=∠DGE，
∴△FCG≌△EDG(ASA)
∴FG=EG，
∵CG=DG，
∴四边形CEDF是平行四边形，正确；
B、∵四边形CEDF是平行四边形，
∵CE⊥AD，
∴四边形CEDF是矩形，正确；
C、∵四边形CEDF是平行四边形，
∵∠AEC=120°，
∴∠CED=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠B=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，正确；
D、当AE=ED时，不能得出四边形CEDF是菱形，错误；
故选：D．
【分析】
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．根据平行四边形的性质和菱形、矩形的判定判断即可．
6.【答案】C
【解析】解：如图所示．
∵点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0)，
∴AB=3．
∵∠CAB=90°，BC=5，
∴AC=4．
∴A'C'=4．
∵点C'在直线y=2x-6上，
∴2x-6=4，解得x=5．
即OA'=5．
∴CC'=5-1=4．
∴S▱BCC'B'=4×4=16 (面积单位)．
即线段BC扫过的面积为16面积单位．
故选：C．
根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线y=2x-6上时的横坐标即可．
此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积．
7.【答案】C
【解析】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠ABC=180°-90°-40°=50°，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=25°，
∴∠CAD=∠CBD=25°，
故选：C．
先由三角形内心的性质得到∠ABD=∠CBD，根据圆周角定理得到∠C=90°，利用三角形内角和求出∠ABC，得到∠CBD，最后根据同弧所对的圆周角相等可得结果．
本题主要考查了三角形内心的性质，圆周角定理及其推论，解题的关键是灵活运用所学定理，根据内心得到∠ABD=∠CBD．
8.【答案】C
【解析】解：当a>0时，
∵对称轴为x=--2a2a=1，
当x=1时，y有最小值为2，当x=-1时，y有最大值为4a+2，
∴4a+2-2=4．
∴a=1；
当a<0时，同理可得
y有最大值为2；y有最小值为4a+2，
∴2-(4a+2)=4，
∴a=-1；
综上所述，a的值为±1；
故选：C．
分a>0或a<0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．
9.【答案】5
【解析】解：实数25的算术平方根为5．
故答案为：5．
利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
10.【答案】 11
【解析】解：∵-2<- 3<-1，2< 7<3，3< 11<4，且墨迹覆盖的范围是3～5，
∴能被墨迹覆盖的数是 11．
故答案为： 11．
首先利用估算的方法分别得到- 3， 7， 11前后的整数(即它们分别在那两个整数之间)，从而可判断出被覆盖的数．
本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，关键在于得出无理数的取值范围．
11.【答案】 5-1
【解析】解：∵点C是AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=2，
∴AC= 5-12AB= 5-12×2= 5-1，
故答案为： 5-1．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
12.【答案】-3 3
【解析】解：过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，则CE=DO，CD=EO，
∵A(-2 3,0)，
∴AO=2 3，
由折叠得，AC=AO=2，∠CAO=2∠BAO=60°，
∴Rt△ACD中，∠ACD=30°，
∴AD=12AC= 3，CD= (2 3)2-( 3)2=3
∴DO=AO-AD=2 3- 3= 3，OE=3，
又∵点C在第二象限，
∴C(- 3,3)，
∵点C在双曲线y=kx(k≠0)上，
∴k=- 3×3=-3 3，
故答案为：-3 3．
先过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，构造矩形CDOE，再根据折叠的性质求得AC=2 3，∠ACD=30°，根据直角三角形的性质以及勾股定理，求得AD与CD的长，得出点C的坐标，最后计算反比例函数解析式即可．
本题以折叠问题为背景，主要考查了直角三角形的性质，以及勾股定理的应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形求出点C的坐标．
13.【答案】 5-1
【解析】解：如图，取AD的中点T，连接BT，GT．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=2，∠DAE=∠ABF=90°，
在△DAE和△ABF中，
DA=AB∠DAE=∠ABFAE=BF,
∴△DAE≌△ABF(SAS)，
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠BAF+∠DAF=90°，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
∵DT=AT，
∴GT=12AD=1，
∵BT= AT2+AB2= 12+22= 5，
∴BG≥BT-GT，
∴BG≥ 5-1，
∴BG的最小值为 5-1．
故答案为： 5-1．
如图，取AD的中点T，连接BT，GT.首先利用全等三角形的性质证明∠AGD=90°，求出GT=1，BT= 5，根据BG≥BT-GT，可得结论．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，求出GT，BT是解题的关键．
14.【答案】解：| 5-2|+(2023+π)0+2 5-(-12)-1
= 5-2+1+2 5-(-2)
= 5-2+1+2 5+2
=3 5+1．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15.【答案】解：(1-1a-1)÷2a-4a2-1
=a-1-1a-1÷2(a-2)(a+1)(a-1)
=a-2a-1×(a+1)(a-1)2(a-2)
=12(a+1)．
【解析】先把括号里的式子进行通分，再把后面分式的分子分母分别进行因式分解，进而化简即可．
本题考查的是分式的化简，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则．
16.【答案】解：2x+1≥x①3-x6-2x-24>-1②，
解不等式①得x≥-1，
解第二个不等式得x<0．
故不等式组的解集为-1≤x<0．
在数轴上表示：
．
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集等知识点的理解和掌握，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
17.【答案】解：如图，点D即为所求．

【解析】作线段AC的垂直平分线交AB于点D，点D即为所求．
本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAE=∠CAB，
在△DAE和△CAB中，
AD=AC∠DAE=∠CABAE=AB，
∴△DAE≌△CAB(SAS)．
∴∠AED=∠ABC，
∵∠AED=∠CAB+∠ABE，∠ABC=∠DBC+∠ABE，
∴∠DBC=∠CAB．
【解析】先证△DAE≌△CAB(SAS)，根据性质可得∠AED=∠ABC，再根据三角形的外角性质即可求证．
本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质以及三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
19.【答案】解：(1)如图，三角形A1B1C1即为所求．
(2)如图，三角形A2B1C1即为所求．

【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)先取B1C1的中点，再根据中心对称的性质作图即可．
本题考查作图-平移变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
20.【答案】0.334 2
【解析】解：(1)利用表中数据，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是0.033(精确到0.001)，
设红球有x个，则11+x=0.334，
解得x≈2，
由此估出红球的个数为2个．
故答案为：0.033，2；
(2)列表为：
共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球和1个红球的有4种，
所以恰好摸到1个白球和1个红球的概率为46=23．
(1)利用频率估计概率，通过大量的实验，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数可作为摸到白球的概率，进而可求解；
(2)利用列表法得到所有的等可能结果，再找出符合条件的结果数，然后利用求概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了频率估计概率．
21.【答案】解：过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CG⊥DH于点G，

∵AF⊥EF，
∴DH//EF，
∴∠CDG=∠CEF=30°，
∴CG=12CD=2米，DG=CDcs30°=4× 32=2 3(米)，
∵AB⊥BC，
∴四边形BCGH是矩形，
∴BH=CG=2米，GH=BC=6米，
∴DH=2 3+6米，
在Rt△AHD中，AH=DHtan∠A=2 3+6 33=6+6 3(米)，
∴AB=AH-BH=6+6 3-2=4+6 3(米)，
答：旗杆AB的高度为(4+6 3)米．
【解析】过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CG⊥DH于点G，先计算CG，DG的长，然后证明四边形BCGH是矩形，得到BH，GH，DH的长，再求AH的长，即可进一步得到答案．
本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，添加辅助线、构造直角三角形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设y1=k1x+b，
由图象可知：DE为客轮行驶的函数图象，点(0,80)，(40,0)在该图象上，
∴b=8040k1+b=0，
解得：k1=-2b=80，
∴y1(km)与时间x(min)之间的函数表达式为y1=-2x+80(0≤x≤40)．
(2)设y2=k2x，
由图象可知：OC为货轮行驶的函数图象，点(160,80)在该图象上，
∴160k2=80，
解得：k2=12，
∴y2=12x(0≤x≤160)，
∵两船出发多久相距35km，
∴|y1-y2|=35，
当0≤x≤40时，|y1-y2|=|-2x+80-12x|=35，
解得：x1=18，x2=46(舍去)，
当40解得：x=70，
综上所述：两船出发18min或70min相距35km．
【解析】(1)设y1=k1x+b，根据图象，把(0,80)，(40,0)代入得出关于k1、b的二元一次方程组，解方程组求出k1、b的值即可得答案；
(2)设y2=k2x，把(160,80)代入求出k2的值，即可得出y2与x的关系式，令|y1-y2|=35，求出对应的x的值即可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题时注意分段函数思想的应用，熟练掌握待定系数法求函数的表达式是解题的关键．
23.【答案】97
【解析】解：(1)B的人数为：40-(5+12+13)=40-30=10，
补全条形统计图如右图所示：
(2)A等级共有13名学生，按照从小到大的顺序排列是
93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99，
这组数据为中位数是97．
故答案为：97．
(3)12000×10+1340=6900(人)，
答：该校成绩优秀的学生人数约有6900人．
(1)用总人数减去A、B、D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统计图即可；
(2)A组共有13人，把数据按照从小到大(从大到小)的顺序排列，找到中间第七个数据即可；
(3)用12000乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数．
本题主要考查的是条形统计图，解题的关键是掌握中位数的概念以及掌握用样本估计总体的方法．
24.【答案】(1)证明：如图1，连接OD，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ACB=∠ODB，
∴OD/​/AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴OD⊥EF，
又∵OD是半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：连接AD，如图2，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AB=AC，BD= 5，
∴DC=BD= 5，
∵CE=1，∠DEC=90°，
∴DE= ( 5)2-12=2，
∵∠ADC=∠DEC=90°，
∴∠DAE=∠EDC=90°，∠C+∠EDC=90°，
∴∠DAE=∠EDC，
∴△ADE∽△DCE，
∴AEDE=DECE，
∴AE2=21，
解得AE=4，
∴AB=AC=4+1=5，
∵tanF=34，
∴AEFE=4FE=34，
解得：FE=163，
∴AF= (163)2+42=203，
∴FB=AF-AB=203-5=53．
【解析】(1)连接OD，根据AB=AC得到∠ABC=∠ACB，根据OB=OD得到∠OBD=∠ODB，即可得到∠ACB=∠ODB，从而得到OD/​/AC结合DE⊥AC即可得到证明；
(2)先求出CD，根据勾股定理求出DE，再证明△ADE∽△DCE，即可求出AE，再根据tanF=34求出FE，结合勾股定理求出AF即可得到答案．
本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形正切的运用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
25.【答案】解：(1)把点B坐标为(6,0)，点C坐标为(0,6)代入抛物线y=-12x2+bx+c得：
-12×36+6b+c=0c=6，
解得：b=2c=6，
∴y=-12x2+2x+6=-12(x-2)2+8，
∴D(2,8)；
(2)如图1，过F作FG⊥x轴于点G，
设F(x,-12x2+2x+6)，则FG=|-12x2+2x+6|，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴FGBG=BEDE，
∵B(6,0)，D(2,8)，
∴E(2,0)，BE=4，DE=8，OB=6，
∴BG=6-x，
∴|-12x2+2x+6|6-x=48=12，
当点F在x轴上方时，有6-x=2(-12x2+2x+6)，
解得x=-1或x=6(舍去)，
此时F点的坐标为(-1,72)；
当点F在x轴下方时，有6-x=2(12x2-2x-6)，
解得x=-3或x=6(舍去)，
此时F点的坐标为(-3,-92)；
综上可知F点的坐标为(-1,72)或(-3,-92)；
(3)设P(m,-12m2+2m+6)，
有四种情况：
①如图2，当G在y轴上时，过P作PQ⊥y轴于Q，作PM⊥x轴于M，
∵四边形PBFG是正方形，
∴PG=PB，
∵∠PQG=∠PMB=90°，∠QPG=∠MPB，
∴△PQG≌△PMB，
∴PQ=PM，
即m=-12m2+2m+6，
解得：m1=1+ 13，m2=1- 13(舍)，
∴P的横坐标为1+ 13，
②当F在y轴上时，如图3，过P作PM⊥x轴于M，
同理得：△PMB≌△BOF，
∴OB=PM=6，
即-12m2+2m+6=6，
m1=0(舍)，m2=4，
∴P的横坐标为4，
③当F在y轴上时，如图4，此时P与C重合，
此时P的横坐标为0，
④当G在y轴上时，如图5，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，
同理得：△GPN≌△BPM，
∴PN=PM，
∴-m=-12m2+2m+6，
解得：m=3± 21，
由图5可知：P在第二象限，
∴m=3- 21，
此时P的横坐标为3- 21，
综上所述，点P的横坐标为1+ 13或4或0或3- 21．
【解析】(1)由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；
(2)过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；
(3)设P(m,-12m2+2m+6)，有四种情况：
①如图2，当G在y轴上时，过P作PQ⊥y轴于Q，作PM⊥x轴于M，
证明△PQG≌△PMB，则PQ=PM，列方程可得m的值；
②当F在y轴上时，如图3，过P作PM⊥x轴于M，同理得结论；
③当F在y轴上时，如图4，此时P与C重合；
④当G在y轴上时，如图5，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，列方程可得m的值．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形和全等三角形的判定和性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中构造三角形相似是解题的关键，注意有两种情况，在(3)中确定出P的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
26.【答案】解：问题探究：分别以点B、C为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM，
再分别以点A、C为圆心，以大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点N，作射线BN，
AM与BN交于点P，点P即为所求作，如图①；

如图②，过点C作CD⊥AB于点D，连接PA，PB，PC，设⊙P的半径为r，

则∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACD=90°-∠BAC=30°，
∴AD=12AC=3，CD= 3AD=3 3，
∴BD=AB-AD=5，
∴BC= BD2+CD2=2 13，
∵S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC，
∴12AB⋅CD=12AB⋅r+12BC⋅r+12AC⋅r，
∴8×3 3=8r+2 13r+6r，
∴r=7 3- 393，
故△ABC的内切圆半径为7 3- 393；
问题解决：圆形绿化区面积有最大值．理由如下：
当AB=AC时，圆形绿化区面积最大，设半径为r，过点A作AD⊥BC于点D，
则BD=CD=12BC=30，
∵AD=40，
∴AB=AC= AD2+BD2=50，
由图②知，60×40=(60+50+50)r，
∴r=15，
∴S=πr2=225π．
故圆形绿化区面积最大为225πm2，圆心到各边的距离均为15m．

【解析】问题探究：图①根据等边三角形的性质，作边BC，AC的垂直平分线，即角平分线，两条角平分线的交点即为内切圆的圆心；
图②过点C作CD⊥AB于点D，连接PA，PB，PC，设⊙P的半径为r，根据含30°的直角三角形性质得到AD=3，CD=3 3，得到BD=5，由勾股定理得到BC=2 13，运用三角形面积公式求得r=7 3- 393；
问题解决：当AB=AC时，圆形绿化区面积最大，设半径为r，过点A作AD⊥BC于点D，则BD=CD=30，根据勾股定理得到AB=50，运用图②方法求得r=15，S=πr2=225π．
本题属于圆的综合题，主要考查了三角形的内切圆，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，角平分线性质，含30°的直角三角形性质，圆切线性质，三角形内心性质，等腰三角形性质，面积法求三角形的高．摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数
72
93
130
334
532
667
摸到白球的频率
0.3600
0.3100
0.3250
0.3340
0.3325
0.3335
分数/分
93
95
97
98
99
人数/人
2
3
5
2
1
白
红
红
白
红白
红白
红
白红
红红
红
白红
红红