2024年河南省郑州市九年级中考数学模拟预测题（一）（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 贵阳轨道交通3号线是中国贵州省贵阳市第三条地铁线路，标志色为中国红．3号线总长为43030m，将43030用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：43030用科学记数法表示为，
故选：B．
2. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答．
【详解】解：A、没有意义，故A不符合题意；
B、不是二次根式，故B不符合题意；
C、是二次根式，故C符合题意；
D、当时，是二次根式，当时，没有意义，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
3. 若与是同类项，则的值为（ ）
A. 2027B. 2021C. 4051D. 4045
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了同类项的知识，根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，求出m和n的值代入即可求出结果．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，
∴，
故选A．
4. 下列关于反比例函数，结论正确的是（ ）
A. 图象必经过B. 图象在一，三象限内
C. y随x的增大而增大D. 图象关于原点中心对称
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质；
根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：A.∵，
∴图象不经过，结论错误；
B.∵，
∴图象在二，四象限内，结论错误；
C.∵，
∴图象在二，四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，结论错误；
D.图象关于原点中心对称，正确；
故选：D．
5. 已知点与点关于原点对称，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的性质；
根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标互为相反数”求解即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴，，
故选：A．
6. 如图，是的直径，点C、D在上，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理；
先求出，再根据圆周角定理得出的大小．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
7. 如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；
（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（ ）
A. 20cm3以上，30cm3以下B. 30cm3以上，40cm3以下C. 40cm3以上，50cm3以下D. 50cm3以上，60cm3以下
【答案】C
【解析】
【详解】设玻璃球的体积为x，根据题意可得
不等式组，
解得40＜x＜50，
则一颗玻璃球的体积在40cm3以上，50cm3以下．
故答案选C．
8. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 点在函数图象上
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出的正负；利用对称轴为直线，可得出与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出与的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为，再结合对称轴为直线，可得出另一个交点坐标．
【详解】解：A、由二次函数的图形可知：，所以．故本选项不符合题意；
B、因为二次函数的对称轴是直线，则，即．故本选项符合题意；
C、因为抛物线与x轴有两个交点，所以，即．故本选项不符合题意；
D、因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，所以它与x轴的另一个交点的坐标为．故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与各项系数的关系，正确求得a，b，c的正负以及巧妙利用抛物线的对称轴是解决问题的关键．
9. 如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（ ）
A. 2r，B. 0，C. 2r，D. 0，
【答案】D
【解析】
【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，连接．
∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．
10. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ）

A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可．
【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
∴三点在以为圆心直径的圆上，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论．
二．填空题
11. 计算 的结果等于_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式进行计算即可.
【详解】
故填13.
【点睛】本题考查平方差公式及二次根式的运算，熟练掌握公式是解题关键.
12. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿方向平移到的位置，，平移距离为4，则阴影部分面积为______．
【答案】18
【解析】
【分析】根据平移的性质得出，，则，则，根据梯形的面积公式即可求解．
【详解】解:由平移的性质知，，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出是解题的关键．
13. 在以“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛中，只剩甲，乙，丙，丁四名同学进入决赛时段，则甲，乙同学获得前两名的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率；
画出树状图，根据树状图得出所有情况数和甲，乙同学获得前两名的情况数，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如图：
由树状图可得：共有12种等可能的结果，其中甲，乙同学获得前两名的情况有2种，
所以甲，乙同学获得前两名的概率是，
故答案为：．
14. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________．
【答案】18
【解析】
【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．
【详解】根据正n边形的中心角的度数为，
则，
故这个正多边形的边数为18，
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
15. 如图，的半径为1，为的切线，切点为A，B，，点M为劣弧上一动点，过点M作的切线，分别交于点E，F，的最小值 ___________．

【答案】
【解析】
【分析】由切线的性质定理，可得，从而得到，再证明可得，，从而得到，设的外心为点C，作于点H，连接，根据三角形外心的性质，可得，从而得到，，再由，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵为的切线，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
设的外心为点C，作于点H，连接，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题考查有关圆的最值问题，关键是掌握切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形外心的性质．
16. 如图，以面积为20cm2的Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若，则AC＋BC＝_____．
【答案】##厘米
【解析】
【分析】连接，延长交于点，连接，先根据圆周角定理和圆的性质可得，再根据特殊角的三角函数值可得，从而可得，作，交于点，从而可得，然后在中，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，设，从而可得，利用直角三角形的面积公式可求出的值，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，延长交于点，连接，
都是的直径，
，
，
，
在中，，
，
平分，且，
，
，
，
，
如图，作，交于点，
，
在中，，
，
设，则，
，
，
解得或（不符题意，舍去），
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、圆周角定理、含角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形是解题关键．
三、解答题
17. 先化简，再求值：并在2，3，-3，4这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】－；a=4时，原式=-3．
【解析】
【分析】按照先乘除后加减进行化简，再代入能使原式有意义的a值4即可求出结论；
【详解】解：原式=
=
＝－．
∵a≠-3，2，3，
∴取a=4，
原式=－=-3．
【点睛】本题考查分式的化简求值，代入求值时代入的数值必须能使分式有意义．
18. 如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠C＝∠D．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE＝3，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．

【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）先证明 再证明 从而可得结论；
（2）先证明可得 再结合平行四边形的性质可得答案．
【详解】解：（1）证明：∵∠A＝∠F，
∴DF∥AC，
∴∠C＝∠FEC，
又∵∠C＝∠D，
∴∠FEC＝∠D，
∴DB∥EC，
∴四边形BCED是平行四边形；
（2）∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN，
∵BD∥EC，
∴∠DBN＝∠BNC，
∴∠CBN＝∠BNC，
∴CN＝BC，
又∵四边形BCED平行四边形；
BC＝DE＝3，
∴CN＝3．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质与判定，掌握平行四边形的判定方法与等腰三角形的判定是解题的关键．
19. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）

（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到）．
【答案】（1）4.2米；（2）14米
【解析】
【分析】（1）可得，在中由即可求AG；
（2）设，利用三角函数由x表示DH、CH，由DH-CH=8列方程即可求解．
【详解】解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，

∴，，．
在中，，，
∵，，．
∴（米）
答：屋顶到横梁的距离约是4.2米．
（2）过点作于点，设，
在中，，，
∵，∴，
在中，，，
∵，∴．
∵，
∴，
∵，，
解得．
∴（米）
答：房屋的高约是14米．
【点睛】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题．
20. 如图，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝4．
（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）若反比例函数的图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标．
【答案】（1）点A在该反比例函数的图象上，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝4，G是CD的中点，所以P（4，）；
（2）易求D（6，0），E（8，），待定系数法求出DE的解析式为y＝x﹣，联立反比例函数与一次函数即可求点Q．
【小问1详解】
解：点A在该反比例函数的图象上，理由如下：
过点P作x轴垂线PG，连接BP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝4，
∴BP＝4，G是CD的中点，
∴，
∴P（4，），
∵P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝，
∴反比例函数解析式为y＝，
由正六边形的性质可知，A（2，），
∴点A在反比例函数图象上；
【小问2详解】
解：由（1）得D（6，0），E（8，），
设DE的解析式为y＝mx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣，
由方程，
解得x＝（负数舍去），
∴Q点横坐标为．
．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．
21. 某校政治实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）政治实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；
（2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）政治实践小组进行专题讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A．通讯；B．民法典；C．北斗导航”中抽签（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择A、B话题发言的概率．
【答案】（1）200 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率：
（1）用B的人数除以其人数占比即可得到答案；
（2）先求出C的人数，进而求出A的人数，再补全统计图即可；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两个小组选择A、B话题发言的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：调查的学生共有：（人），
故答案为：200；
【小问2详解】
解：选择C的学生有：（人），
∴选择A的学生有：（人），
补全的条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：画树状图如下：

共有6个等可能的结果，甲、乙两个小组选择A、B话题发言的结果有2个，
∴两个小组选择A、B话题发言的概率为．
22. 如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交与点G．
（1）证明：是的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线；
（2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径，即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：设的半径为r，，
∵在中，，
∴，
解得，
即的半径为3．
【点睛】本题为圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键．
23. 如图，在中，，，，点是上一动点（不与点，）重合，，．
（1）求度数；
（2）在点运动过程中，的值是否为定值？说明理由；
（3）当时，连接，三边上分别有动点、、，（点在上），当的周长取最小值时，求的长．
【答案】（1）
（2）的值为定值，理由见解析．
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据题干的条件得出为等腰直角三角形，求出，再结合，即可解题．
（2）作交的延长线于点，交于点，构造三角形全等，将转化为，再利用等腰三角形“三线合一”的性质，即可解题．
（3）根据对称的性质和“两点之间线段最短”，将的周长转移到同一直线上，再利用等腰三角形顶角一定时，腰长越短，底边越短和垂线段最短，即可解题．
【小问1详解】
解：中，，，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：的值为定值，理由如下：
作交的延长线于点，交于点，如图所示：
，，
，，
，即有为的角平分线，
，
，
，，有为等腰三角形，，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：在上取一点，作关于对称，关于对称，
连接与交于点，与交于点，如图所示：
由对称性质可知：，，，，，所以为等腰三角形，
，
，
，
大小一定，当等腰三角形顶角一定时，腰长越短，底边越短，
当，最短时，最短，
即当最短时，的周长最小，
最短时为，即，
，
．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定、三角形的外角、平行线的性质、全等三角形的性质与判定和对称的性质，解题关键在于灵活运用性质定理构造辅助线，再结合图形和题干的条件解决问题．
24. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【答案】（1）；（2）；（3）70米
【解析】
【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．
【详解】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得，
∴y1与x之间的函数关系式为．
（2）∵时，，
∵的图象是过原点的抛物线，
∴设，
∴点，抛物线上．
∴，即，
解得，
∴．
答：与的函数关系式为．
（3）设小钢球和无人机的高度差为米，
由得或.
①时，
，
∵，∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，的最大值为；
②时，
，
∵，∴拋物线开口向上，
又∵对称轴是直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，的最大值为70．
∵，
∴高度差的最大值为70米．
答：高度差的最大值为70米．
【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．