江苏省无锡市江南中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 实数4的算术平方根是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用算术平方根的定义分析得出即可．本题主要考查了算术平方根的定义，正确把握定义是解题关键．
【详解】实数4的算术平方根是2．
故选：A．
2. 函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查函数式有意义时自变量的取值范围．此题考虑分母不为0即可．
【详解】
自变量的取值范围只要满足分母
即．
故选：C．
3. 下列4组数中，不是二元一次方侱的解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，将各选项代入方程的左边进行计算即可求解．
【详解】解：A.将代入方程左边右边，则是二元一次方侱的解，故该选项不符合题意；
B. 将代入方程左边右边，则是二元一次方侱的解，故该选项不符合题意；
C. 将代入方程左边右边，则是二元一次方侱的解，故该选项不符合题意；
D. 将代入方程左边右边，则不是二元一次方侱的解，故该选项符合题意；
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方．
【详解】A.，此选项不合题意；
B.与不是同类项，不能合并，此选项不合题意；
C.与不是同类项，不能合并，此选项不合题意；
D.，此选项正确．
故选：D．
5. 将函数的图象向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数与几何变换．题中图象向下平移3个单位长度，只需要的值即1减去3即可．
【详解】解：函数的图象向下平移3个单位长度得
．
故选：A．
6. 已知一组数据：，，，，，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了确定一组数据的中位数和众数，将数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可.
【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为： ，，，， ，
其中出现次数最多，
这组数据的众数是，中位数是，
故选：B．
7. 下列结论中，说法正确的是（ ）
A. 直五棱柱有12个顶点B. 用平面截一个圆柱，截面不可能是正方形
C. 各边相等的多边形叫正多边形D. 球体的三视图都是圆
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查直棱柱的顶点，圆柱的截面，正多边形定义，球的三视图．
【详解】A.直五棱柱有10个顶点，此选项不合题意；
B.用平面截一个圆柱，截面可能是正方形，此选项不合题意；
C.各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形，此选项不合题意；
D.球体的三视图都是圆，此选项符合题意．
故选：D．
8. 如图，在中，，，，是由绕点旋转所得，边交边于点．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质，余角性质，由勾股定理可得，由旋转可得，，，进而可得，得到，再得到，，又根据余角性质可得，得到，即可求出的长，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：在中，，， ，
∴，
∵将绕点旋转至，
∴，，，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9. 如图，已知点为轴负半轴上一点，M、N是函数图像上的两个动点，且，若的最小值为10，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点为B，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：最小值，由时，最小，再通过即可求出的长，从而得出A点的坐标．
【详解】假设中点为点，连接，根据直角三角形斜边中线定理可得
∵
∴（即定点A到直线上动点的最短距离为5）
∵的图象与x、y轴交于C、D两点，
∴，，
根据垂线段最短可得，直线时，如图所示
在中，由勾股定理得：
中，
中，
∴，
∴
∵点A在轴的负半轴
∵
∴
∴点A的纵坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标，勾股定理，以及垂线段最短和三角函数等知识，得出垂线段长是解决问题的关键．
10. 如图，在中，，，是边上一点，且．是延长线上一点，连接交于点，若，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，正确应用性质定理是解题的关键．
作于，根据等腰三角形性质以及等腰三角形三线合一的性质得出，，利用勾股定理求得，证得，求得，证得，求得，根据即可求解．
【详解】解：作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 分解因式：x2－9＝______．
【答案】(x＋3)(x－3)
【解析】
【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）.
12. 2022年2月4日北京冬奥会开幕，据统计当天约有人次访问了奥林匹克官方网站，这个访问量可以用科学计数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 方程的解是：__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先方程两边乘以最简公分母去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，最后一定要检验．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验：把代入最简公分母中：，
∴原分式方程的解为： ，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了分式方程的解法，做题过程中关键是不要忘记检验，很多同学忘记检验，导致错误．
14. 用一个半径为6的半圆形纸片制作一圆锥的侧面，那么这个圆锥底面圆的半径是______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算及扇形弧长计算的知识，解题的关键是牢固掌握弧长公式，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可．
【详解】设圆锥底面圆的半径为r，
则，
解得：，
即圆锥的底面半径为3．
故答案为：3
15. 写出一个函数表达式，使它的图象经过点，且函数值随自变量的增大而减小：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数增减性是解题关键．
直接利用一次函数的性质分析得出答案．
【详解】解：一个函数表达式，使其图象经过点，且函数随的增大而减小，
设此函数是一次函数，则可以设此函数解析式为：，
将代入得，，
解得：，
故函数表达式是：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
16. 古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思是说，有一群乌鸦到树林休息，如果每棵树上有3只乌鸦，则有5只落在地上；如果每棵树上有5只乌鸦，则有一棵树上没有乌鸦，则共有______只乌鸦．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组与实际问题．根据题意可设乌鸦有只，树有棵，然后列出方程组求解即可．
【详解】解：设乌鸦有只，树有棵，依题得
解得
故答案为：．
17. 已知二次函数的图像的顶点坐标为．若坐标分别为、的两个不重合的点均在该二次函数的图像上，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】由顶点坐标，可求得二次函数为，分别代入点，，
可得，
①-②可得：，
，
因为两点不重合，所以，即．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别落在双曲线（）第一和第三象限的两支上，连结，线段恰好经过原点，以为腰作等腰三角形，，点落在第四象限中，且轴．过点作交轴于点，交双曲线第一象限一支于点，若的面积为，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】设，，则，根据已知条件，求出，，，根据，即可求出，连结，设与轴交于点，根据已知条件证明，得出，根据已知条件证明，过点A作AM⊥x轴于点M，求出，即可求出k的值．
【详解】解：设，，
，轴，
，
设AB的函数关系式为：，把代入得：，
解得：，
，
，
设CD的关系式为：，把代入得：，
解得：，
∴CD的关系式为：，
联立，解得：或，
∵点D在第一象限，
∴，
，
连结，设与轴交于点，
，
∵，
，
为AB的中点，，
，
，
∴，
∵，，
∴四边形OBCE为平行四边形，
∴CE=OB，
∵OA=OB，
∴OA=CE，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
过点A作AM⊥x轴于点M，
∵AB=AC，，，
∴，
，
，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线，求出，是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，完全平方公式，单项式乘以多项式；
（1）根据有理数的乘方，化简绝对值，求一个数的算术平方根进行计算即可求解；
（2）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
20. （1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】此题考查的是解一元二次方程和解一元一次不等式组，掌握利用公式法解一元二次方程、不等式的解法和公共解集的取法是解决此题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后取公共解集即可．
【详解】（1）
∴或
解得，；
（2）
解不等式①得，；
解不等式②得，；
∴不等式组的解集为．
21. 如图，在中，E是边上一点，连接、、，与交于点O，，求证：
（1）．
（2）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】(1)利用平行四边形的性质，证明即可．
(2)根据全等三角形的性质，证明即可．
【小问1详解】
中，，，
∴
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
由（1）得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22. 2020年6月1日，李克强总理称赞地摊经济、小店经济是人间的烟火，是中国的生机．一时间，祖国大地上掀起了一股地摊经济的热潮．根据城管部门统一规划，甲，乙两兄弟只能从A、B、C三个街道中各随机选取一个街道摆地摊．
（1）“甲，乙两兄弟都到D街道摆地摊”是______事件；（填“必然”，“不可能”或“随机”）
（2）试用画树状图或列表的方法求甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的概率．
【答案】（1）不可能 （2）
【解析】
【分析】本题考查事件的可能性，列表法或画树状图求概率，解题的关键是列出所有等可能的结果，并指出甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果．
（1）根据甲，乙两兄弟只能从A、B、C三个街道中各随机选取一个街道摆地摊，即可判断；
（2）列表展示出所有等可能的结果，再找出甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果数，最后根据概率公式即可求解．
【小问1详解】
∵甲，乙两兄弟只能从A、B、C三个街道中各随机选取一个街道摆地摊，
∴“甲，乙两兄弟都到D街道摆地摊”是不可能事件．
故答案为：不可能
【小问2详解】
列表为：
由表可得，共有9种等可能结果，其中甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊结果有3种，故甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的概率为．
23. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【答案】（1）100，图形见解析
（2）72，C； （3）估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【解析】
【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【小问1详解】
这次调查的样本容量是：25÷25%=100，
D组的人数为：100-10-20-25-5=40，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
【小问2详解】
在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°，
∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组，
故答案为：72，C；
【小问3详解】
1800×=1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24. 如图，为的直径，C，D为上不同于A，B的两点，过点C作的切线交直线于点F，直线于点E．
（1）求证：；
（2）若，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，等腰的一个外角等于，由垂直证明两直线平行，从而证明，从而得证．
（2）先解直角三角形得到，设半径为，证明出，得到，代数求出，然后利用代数求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，

∵是的切线，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵
∴
∵
∴
∴
∴，即
∴
设的半径为r，
∵，
，
∴，
∴，
解得，
∴
∵
∴，即
解得．
【点睛】本题考查圆的综合题，考查了圆的性质，圆的切线判定和性质，勾股定理，相似三角形性质，三角函数值等，要求学生能熟练运用所学知识解答，形成数学解题能力， 熟练掌握并运用知识是解题的关键．
25. 某网店专门销售某种品牌的笔筒，成本为20元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图，其中规定每天笔筒的销售量不低于210件．
（1）写出y与x之间的函数关系式 _；
（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当销售单价为40元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元
【解析】
【分析】（1）可用待定系数法来确定与之间的函数关系式；
（2）根据利润销售量单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
【小问1详解】
解：设与之间的函数关系式为，
，
解得，，
与之间的函数关系式为，
故答案为：；
【小问2详解】
设利润元，
则，
，
时，，
当销售单价为40元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用，利用函数性质得出最值是解题关键．
26 尺规作图（保留作图痕迹）．
（1）已知：如图，A、B是上任意两点，求作：的直径，使；
（2）已知：如图，A、B是内任意两点，求作：的直径，使．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图；
（1）连接并延长，交于点E，再作的平分线，交于，即为所求
（2）连接，，，根据对称的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得到．
【小问1详解】
作法：连接并延长，交于点E，再作的平分线，交于，即为所求．
【小问2详解】
解：如图：
即为所求．
理由：连接，，，如图，根据作法可知，点与点关于点对称，是的垂直平分线，
．．．
△．
，
是的垂直平分线，
，
．
27. 如图，菱形中，，，点是线段上一点（不含端点），将沿翻折，的对应边与相交于点．
（1）当时，求的长；
（2）若是等腰三角形，求的长；
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质以及折叠的性质可得是等边三角形，，，，，则，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质可得，即可得的长；
（2）分两种情况：①当时，②当时，根据等腰三角形的性质分别求解即可；
（3）过点作于，作于，根据三角形的面积公式可得，则，由得，由点在上可得的最大值为4，当，即点与点重合时，的值最小为，可得，即可得的取值范围．
【小问1详解】
菱形中，，
∴是等边三角形，，，
∴，
由折叠得
∴
∴
在中，
∴
∴
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
【小问2详解】
若是等腰三角形，分三种情况：
①当时
由（1）知，，
∴
②当时，如图1，
∵
∴
∴
∴
综上，的长为或4或；
【小问3详解】
过点作于，作于

由折叠得
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∵点上
∴的最大值为4，当
即点与点重合时，的值最小为
∴
∴
∴的取值范围为
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，分类思想的运用是解题的关键．
28. 规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O−函数”．这组点称为“HY点”．例如：在函数上，点，在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“ O−函数”，点与点则为一组“HY点”．
（1）请判断函数和是否互为“O−函数”，若是，请写出它们的“HY点”，若不是，请说明理由；
（2）已知函数和函数互为“ O−函数”，求n的最大值并写出此时的“HY点”；
（3）已知二次函数（）与互为“O−函数”且有且仅存在一组“HY点”，如图，若二次函数的顶点为，与轴交于，其中，，过顶点作x轴的平行线l，点在直线l上，记的横坐标为，连接，，．若，求t的最小值．
【答案】（1）是，“HY点”为与或与
（2）n的最大值为2019；此时的“点”为与
（3）t的最小值为
【解析】
【分析】（1）设在上，则在上，由此得到方程组，求解方程组即可；
（2）设在上，则在上，由此得到方程组，整理得，当时，n有最大值2019，问可得解；
（3）设在上，则在上，由此可得方程组，整理得，由题意可得，即，从而得到顶点M的纵坐标为，又由根与系数的关系可得，，则，证明，得到，可得，所以当时，t有最小值．
【小问1详解】
设在上，则在上，
∴，
解得或，
根据方程有解，可得函数和互为“O−函数”，
∴“HY点”为与或与；
【小问2详解】
设在上，则在上，
∴，
∴，
当时，n有最大值2019，
当时，，即，
∴，
此时“HY点”为与；
【小问3详解】
设在上，则在上，
∴，
整理得，
∵有且仅存在一组“HY点”，
∴，即，
∴顶点M的纵坐标为，
∵，
∴，，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵P的横坐标为，轴，顶点M的纵坐标为，
∴，
∴，
∴当时，t有最小值．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系，弄清定义是解题的关键．甲 乙
A
B
C
A
B
C