山东省东营市广饶县实验中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共计30分）
1. 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；
B、，，故一定是二次根式，符合题意；
C、，若时，无意义，不合题意；
D、是三次根式，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．
2. 代数式有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥－1且x≠1B. x≠1C. x≥1且x≠－1D. x≥－1
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式以及二次根式有意义的条件列出不等式求解即可.
【详解】依题意，得
x+1≥0且x﹣1≠0，
解得 x≥﹣1且x≠1．
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3. 下列命题中，正确的是( )
A. 菱形的对角线相等
B. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 正方形的对角线相等且互相垂直
D. 矩形的对角线互相垂直
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质对A进行判断；根据平行四边形的性质和轴对称图形，中心对称图形的定义对B进行判断；根据正方形的性质对C进行判断；根据矩形的性质对D进行判断．
【详解】解：A、菱形对角线互相垂直平分，所以A选项错误；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，所以B选项错误；
C、正方形的对角线相等且互相垂直，所以C选正确；
D、矩形的对角线相等但不一定垂直，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理，菱形的性质，平行四边形的性质，轴对称图形和中心对称图形的定义以及正方形和矩形的性质，熟练掌握各性质是解题关键．
4. 如图，把一个矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在、的位置，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，根据矩形的性质得到，推出，根据折叠的性质得到，最后利用求解，即可解题．
【详解】解：四边形为矩形，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
故选：B．
5. 下列二次根式中，化简后能与合并的是
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答．
【详解】、，不能与合并，故本选项错误；
、，能与合并，故本选项正确；
、，不能与合并，故本选项错误；
、，不能与合并，故本选项错误．
故选．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
6. 把根号外的因式移入根号内得（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质．由二次根式的性质，得，然后再按照二次根式的性质运算即可．
【详解】解：由二次根式的性质，得，，
.
故选：D．
7. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：a＜﹣1＜b＜﹣a，
∴a+b＜0，
∴原式＝|a|﹣（a+b）
＝﹣a﹣a﹣b
＝﹣2a﹣b，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．
8. 如图，在矩形中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形若，，则四边形的周长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接、，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形为菱形，根据菱形的性质计算周长．
【详解】解：连接、，
在中，，
四边形是矩形，
，
、分别是、的中点，
，，
同理，，，，，
四边形为菱形，
四边形的周长，
故选：C．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
9. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（ ）
A. 2+2B. 4C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】连结DE，BD，PD，使DE交AC于点P′．因为BE的长度固定，可得△PBE的周长最小，只需要PB+PE的长度最小，再根据菱形的性质可得PB+PE的最小长度为DE的长，此时点P与点P′重合，再求出DE的长，即可求解．
【详解】解：连结DE，BD，PD，使DE交AC于点P′．
∵BE的长度固定，
∴当△PBE的周长最小时，PB+PE的长度最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴PD=PB，
∴PB+PE=PD+PE≥DE，
即PB+PE的最小长度为DE的长，此时点P与点P′重合，
∵菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，
∴∠BCD=60°，BC=DC，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=CD=4，
∵E为BC的中点，
∴BE=2，DE⊥BC，
∴，
即PB+PE的最小长度为，
∴△PBE的最小周长为，
故选：A
【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题，勾股定理；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10. 如图，正方形中，点、分别在边、上，连接、、，且，下列结论：①；②；③正方形的周长的周长；④，其中正确的是（ ）

A. ①②B. ①②③C. ②③D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】当E、F不是和的中点时，，则和的边对应不相等，由此判断①；延长至G，使得，证明和，即可判断②；通过周长公式计算，再由，即可判断③；证明，再由三角形的底与高的数量关系得，进而判断④．
【详解】解：①当E、F不是和的中点时，，
则不成立，故①错误；
②延长至G，使得，连接，如图1，

∵四边形为正方形
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∴的周长，
∵正方形的周长，
∴正方形的周长的周长，故③正确；
④∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，故④错误；
故选：C．
【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积关系，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积公式是解决此题的关键．
二、填空题（第11-14题每小题3分，第15-18题每小题4分，共计28分）
11. 若，则x取值范围是 __．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据已知得出，求出不等式的解集即可．理解是解决问题的关键．
【详解】解：∵，
∴，得，
则x的取值范围是，
故答案为：．
12. 化简的结果为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了逆用积的乘方、平方差公式等知识点，掌握成为解题的关键．
先将原式化成，然后运用逆用积的乘方运算法则即可解答．
【详解】解：
．
故答案为：．
13. 如图，在正方形的外侧，作等边，则____．

【答案】##15度
【解析】
【分析】判断是顶角为的等腰三角形，求出的度数即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形和等边三角形的性质及其应用．
14. 如图，在正方形中，点的坐标是，则点的坐标是__________．

【答案】
【解析】
【分析】本题侧重考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质，掌握正方形的四个角都是直角，四条边相等、全等三角形的判定是解答此题关键．
已知和的两角及其一角的对边对应相等，利用得到两个三角形全等．要得到C点的坐标，需知道和和的长．
【详解】解：如图所示：作轴于D，作轴于E，作于F，

则，
．
∵四边形是正方形，
，，
，
．
在和中，
，
，
，．
∵点A的坐标是，
，，
，，
．
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，对角线相交于点，垂足为，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质．根据矩形的对角线相等且平分，以及到线段两端点的距离相等的点在线段的中垂线上，得到为等边三角形，利用30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如图，矩形中，，，是上的一个动点，于，于，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的对角线相等且互相平分的性质，勾股定理的应用，根据三角形的面积求出是解题的关键，作辅助线是难点．
过点作于，连接，根据勾股定理列式求出的长度，再根据的面积求出，然后根据的面积求出，从而得解．
【详解】解：如图，过点作于，连接，
，，
，
，
即，
解得，
在矩形中，，
，
．
故答案为：．
17. 通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求值__________．
【答案】
【解析】
【分析】主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，根据题意找到规律，据此规律代值计算即可．
【详解】解：特例1：；
特例2：；
特例3：；
……，
以此类推，可知，
∴，
故答案为：．
18. 如图，在长方形纸片中，，点M为上一点，将沿翻至，交于点G，交于点F，且，则的长度是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换和矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．根据勾股定理列出方程是解题的关键．
证明，设，则，，，由勾股定理得，，即：，计算求解即可．
【详解】解：由长方形纸片，翻折的性质可知，，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴设，则，，，
由勾股定理得，，即：，
解得，，
故答案为：．
三、解答题（共计62分）
19. 计算题：
（1）
（2）
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】（1）原式利用二次根式除法法则计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值．
【详解】解：（1）原式＝4÷2﹣6÷2+3÷2
＝2﹣1+3
＝4；
（2）原式＝+1+4﹣3
＝
＝.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算律，注意乘法公式的运用.
20. 先化简再求值：，其中．
【答案】,
【解析】
【分析】根据分式的加减乘除混合运算法则先化简，再把a的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．
21. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点N，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质和“”证明，可得，再根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；
（2）根据菱形的性质可得，设长为x，则，利用勾股定理列方程求得，再利用求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
设长为x，则，
在中，，
即，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、一元一次方程、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
22. 如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG，GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是______，当四边形ABCD的对角线满足______（填入位置关系或数量关系）时，四边形EFGH是矩形．
（2）当AC＝BD时，四边形EFGH的形状是______．
（3）若AC⊥BD且AC＝BD，求证：四边形EFGH为正方形．
【答案】（1）平行四边形，AC⊥BD
（2）菱形 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形的中位线定理和平行四边形判定定理可得EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，由三角形的中位线定理易知EF⊥EH，结合EFGH是平行四边形即可解答；
（2）当AC=BD时，由三角形的中位线定理易知EF=EH，结合EFGH是平行四边形即可得到四边形是菱形；
（3）当AC=BD时，由（2）可得四边形是菱形，由EF⊥EH和EFGH是平行四边形即可得到四边形是矩形即可证明结论；
【小问1详解】
解： ∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，
∴线段EH，FG分别是∆ADC，∆ABC的中位线，
∴EH//AC，EH=AC，FG//AC，FG=AC，
∴EH//FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，
∴线段EF是∆ABD的中位线，
∴EF//BD，
∵EH//AC，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形是矩形；
故答案是：平行四边形，AC⊥BD．
【小问2详解】
∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，
∴线段EF是∆ABD的中位线，
∴EF=BD，EH=AC
∵AC=BD，
∴EF=EH
∵四边形EFGH是平行四边形；
∴四边形是菱形．
故答案：菱形．
【小问3详解】
解：由（2）可得当AC=BD时，四边形是菱形
∵EH//AC，EF∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥EH
∵四边形EFGH是平行四边形
∴四边形是矩形
∴四边形是正方形．
【点睛】本题主要考查了中点四边形的有关问题，熟练掌握好三角形的中位线定理和平行四边形，矩形，菱形，正方形的转化关系及判定方法是解题的关键．
23. 观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）=________；
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
【答案】（1）；
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据已知算式得出规律，再根据求出规律进行计算即可；
（2）根据已知算式得出规律即可；
（3）原式先变形为，再根据得出的规律进行计算即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
【小问3详解】
【点睛】本题考查了二次根式性质与化简，数字的变化类等知识点，解题的关键是能根据已知算式得出规律．
24. 如图，矩形的顶点分别在菱形的边上，顶点在菱形的对角线上．
（1）求证：；
（2）若为中点，，求菱形的周长；
【答案】（1）见解析；（2）菱形的周长
【解析】
【分析】（1）根据菱形和矩形的性质可证得，即可得证；
（2）连接，根据菱形的性质与平行四边形的判定与性质可得，利用勾股定理求出FH的长，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
四边形是菱形，
，
（2）解：连接，
四边形是菱形，
，
为中点，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
菱形的周长．
【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握菱形、矩形和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
25. 如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．
（1）若，两点同时出发．
①若为何值时，四边形为平行四边形？
②若为何值时，四边形为矩形？
（2）若点先运动3秒后停止运动．此时点从点出发，到达点后运动立即停止，则为__________时，为直角三角形（直接写出答案）．
【答案】（1）①；②
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，矩形的性质与判定，勾股定理等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）①四边形为平行四边形时，根据即可得到答案；
②根据四边形为矩形可知，得出，即可得出结；
（2）分当是直角和当是直角两种情形进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：①如图，当四边形为平行四边形时，即，
，则，
又，
，
解得．
②，，，，，
时，四边形为矩形，
，，
解得：，
【小问2详解】
解：P点先运动3秒后停止运动，
当时，，不可能是直角；
当是直角时，
，，
∴此时四边形是矩形，
，
，
，
当是直角时，过点Q作，
，，
，
∴四边形是矩形，
，，
，
，，，，
解得；
综上所述t的值6或．