四川省成都市武侯区成都市玉林中学2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（时间：120分钟，总分：150分钟）
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1. 下列所给的汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念判断每个选项即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，
故选：C
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，轴对称图形：一个图形沿着某一条直线对折，直线两旁的部分能够重合，那么就称这个图形是轴对称图形，这条直线叫对称轴；中心对称图形：一个图形绕着某一个点旋转180°后，仍然能与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，这个点叫对称中心．
2. 已知等腰三角形的顶角为，则它的底角为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形两底角相等且三角形内角和为180度进行求解即可．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，
∴它的底角为，
故选：B．
3. 已知，下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、当时，，故选项A符合题意；
B. ∵，
∴，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，故本选项不符合题意；
故选：A．
4. 下列各数中，是不等式的解的是（ ）
A. B. 2C. 1D. 3.5
【答案】D
【解析】
【分析】在选项中找到大于2的即为所求．
【详解】解：−2，2，1，3.5中，只有3.5＞2，
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的解集，理解不等式解集的定义是解题的关键．
5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC，交BC边于点D．若CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A. 15B. 30C. 10D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=3，
∴△ABD的面积=AB•DE=×10×3=15．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出AB边上的高是解题的关键．
6. 一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集为（ ）
A. x＞﹣2B. x≤3C. ﹣2≤x＜3D. ﹣2＜x≤3
【答案】D
【解析】
【详解】由图可知：−2故选D.
7. 如图是直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察函数图象得到当x＜﹣1时，函数y＝k1x的图象都在y＝k2x+b的图象上方，进而即可求解．
【详解】解：当x＜﹣1时，k1x＞k2x+b，即关于x的不等式k1x＞k2x+b的解集为x＜﹣1．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．
8. 不等式组的最大整数解为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其最大整数解即可．
【详解】解：解不等式组得，
∴不等式组的最大整数解为0，
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 点A(1，2)向右平移2个单位得到对应点A′，则点A′的坐标是______．
【答案】（3，2）
【解析】
【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】解：由点A的平移规律可知，此题规律是（x+2，y），
照此规律计算可知点A’的坐标是（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点睛】本题考查图形的平移变换. 在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
10. 函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是：_______．

【答案】
【解析】
【分析】图象在x轴下方的部分，对应的自变量x的范围是，即可得出结论．
【详解】解：由图象可知，关于的不等式的解集是：
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式．解题的关键是掌握图象法求不等式的解集．
11. 已知点P(-b,2)与点Q(3,2a)关于原点对称,则a+b的值是___.
【答案】2
【解析】
【分析】由关于原点对称的点的坐标关系可知，-b=-3,2a=-2,求出a,b即可.
【详解】因为点P(-b,2)与点Q(3,2a)关于原点对称,
所以-b=-3,2a=-2,
解得b=3,a=-1.
所以a+b=2.
故答案为2
【点睛】本题考核知识点：关于原点对称的点的坐标. 解题关键点：理解关于原点对称的点的坐标关系.
12. 若，则_________（用“＞”，“＝”或“＜”填空）
【答案】＞
【解析】
【分析】根据不等式的性质进行求解即可．
【详解】
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了不等式的性质，即不等式的两边同时加或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握知识点是解题的关键．
13. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于长的一半为半径作圆弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接，则的大小为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质和尺规作图，等边对等角等等，先根据三角形内角和定理得到，由作图方法可知垂直平分，则，即可得到，则．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
由作图方法可知垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组，并求不等式组的正整数解．
【答案】（1），数轴表示见解析；（2），正整数解有1，2．
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解，然后在数轴上表示出来即可；
（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，最后根据要求写出整数解．
【详解】（1）
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，，
数轴表示如下：
；
（2）
解不等式①，去括号得，
移项，合并同类项得，；
解不等式②，去分母得，
移项，合并同类项得，；
故不等式组的解集为：，
∴正整数解有1，2．
15. 在平面直角坐标系中，、、．
（1）画出，并求的面积；
（2）在中，点经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出点，的坐标．
【答案】（1）15 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是作图平移变换，熟练掌握作图方法是解题关键．
（1）根据各点在坐标系中的位置描出各点，并顺次连接即可；
（2）根据图形平移的性质画出平移后的，并写出点，的坐标即可；
小问1详解】
解：如图，即为所求；
．
【小问2详解】
解：如图，即为所求，，；
16. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，AD=BD，∠C=∠ADC，∠BAC=57°，求∠DAC的度数．
【答案】16°.
【解析】
【详解】试题分析：根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAD，由三角形的外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，于是得到∠C=2∠B，根据三角形的内角和得到∠B+∠C=3∠B=180°-∠BAC=41°，根据得到结论．
试题解析：∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠C=2∠B，
∵∠BAC=57°，
∴∠B+∠C=3∠B=180°-∠BAC=41°，
∴∠ADC=∠C=82°，
∴∠DAC=16°．
17. 已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．

【答案】（1）（1，﹣3）；（2）9；（3）x≤1
【解析】
【分析】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标；
（2）先根据函数解析式求得B、C两点的坐标，可得BC的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
（3）根据函数图象以及点A坐标即可求解．
【详解】解：（1）把两个函数解析式联立方程组得，，
解得，
所以点A坐标为（1，﹣3）；
（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；
当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）；
∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，
∴△ABC面积＝×6×3＝9；
（3）根据图象可知，y1≥y2时，在点A的左侧，所以x的取值范围是x≤1．
【点睛】本题考查了一次函数图形上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，一次函数与方程（组）的关系等知识点，能求出A、B、C的坐标是解此题的关键．
18. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．
（1）如图1，点D在BC边上．
①依题意补全图1；
②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长；
（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）．
【答案】（1）①图见解析；②BE=5；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）①根据题意画出图形即可；
②根据SAS证明△ADF≌△EDB，根据全等三角形的性质得到AF=EB．在△ABC和△DFB中，根据勾股定理得到AB=8，BF=3．再根据线段的和差关系得到AF=AB-BF=5，即BE=5．
（2）根据AAS证明△ACD≌△DFE，根据全等三角形性质得到EF=DC．再根据等腰直角三角形的性质得到EF=BE，BC=AB，根据等量关系即可得到BD=BE+AB．
【详解】（1）①补全图形，如图1所示．
②如图1②，
由题意可知AD=DE，∠ADE=90°．
∵DF⊥BC，
∴∠FDB=90°．
∴∠ADF=∠EDB．
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠DFB=45°．
∴DB=DF．
∴△ADF≌△EDB．
∴AF=EB．
在△ABC和△DFB中，
∵AC=8，DF=3，
∴AB=8，BF=3．
AF=AB-BF=5
即BE=5．
（2）如图2，
BD=BE+AB．
过点E作EF⊥BD于点F
由题意可知AD=DE，∠ADE=90°．
∵DF⊥BC，
∴∠FDB=90°．
∴∠ADF=∠EDB．
∵∠C=90°，
∴∠ADB+∠BDE=90°
∠ADB+∠DAC=90°．
∴∠ADB=∠DAC
∵AD=DE
∴△ADC≌△DEF．
∴DC=EF，AC=DF．
∵AC＝BC
∴DC=FB
∴FB=EF
∴BF=FB
∵BD=DC+BC=BF+BC
∴BD=BE+AB．
【点睛】考查了作图-旋转变换，全等三角形的判定与性质，关键是根据题意证明三角形全等，同时涉及勾股定理，等腰直角三角形的性质的知识点．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 已知方程组的解满足，则m的取值范围为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组两方程相加表示出，代入即可求出的范围．
【详解】解：，
①②得：，即，
代入得：，
解得：．
故答案为：．
20. 若不等式组的解集中共有3个整数解，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解，最后根据其有3个整数解求出的取值范围．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
不等式的解集为，
关于的不等式组的解集共有3个整数解，
这3个数为0，，，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式组的解法、整数解的确定．求不等式组的解集，解题的关键是应遵循以下原则：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．
21. 如图所示的是一个运算程序．例如：根据所给的运算程序可知，当时，，再把代入，得，则输出的值为137．若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围是______．

【答案】
【解析】
【分析】由题意可知第一次运算的结果满足，第二次运算的结果满足，组成不等式组求解即可．
【详解】由题意得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及程序框图，解题的关键是根据运算流程得出关于x的一元一次不等式组．
22. 如图1，在等腰直角中，，点是中点，在中，，，，将与重合，如图2，再将绕点顺时针旋转，与相交于点，与相交于点，若，则的长是______．
【答案】##
【解析】
【分析】设与交于点，过点作于，根据旋转的性质得到，，进而得到，，从而推出，再反复利用等腰三角形的性质和勾股定理，得到相关线段关系，即可求出的长．
【详解】解：如图，设与交于点，过点作于，
将绕点顺时针旋转，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，30度角所对的直角边等于斜边一半等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
23. 如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为_______．
【答案】或或3
【解析】
【分析】分三种情形：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．首先证明AM⊥AC，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即可．
【详解】解：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，CD＝DA＝DB，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DCG＝135°，
∵∠EDF＝∠EDM＝45°，DG＝DM，
∴∠ADC＝∠MDG，
∴∠ADM＝∠CDG，
∴△ADM≌△CDG（SAS），
∴∠DAM＝∠DCG＝135°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAM＝90°，
∴MH＝GH＝＝＝5k，
∵∠GDH＝∠GAD＝45°，∠DGH＝∠AGD，
∴△DGH∽△AGD，
∴＝，
∴DG2＝GH•GA＝40k2，
∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝AC＝12，
∴AD＝CD＝6，
∵DJ⊥AC，
∴AJ＝JC＝3，DJ＝AJ＝IC＝3，
∴GJ＝8K﹣3，
在Rt△DJG中，∵DG2＝DJ2+GJ2，
∴40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，
解得k＝或（舍弃），
∴AH＝3k＝．
②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．
同法可得：40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，
解得k＝（舍弃）或，
∴AH＝3k＝．
③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．
同法可得：10k2＝（3﹣2k）2+（3）2，
解得k＝或﹣3（舍弃），
∴AH＝3k＝3，
综上所述，满足条件的AH的值为或或3．
故答案为或或3．
【点睛】本题考查等腰直角三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、解答题（共30分）
24. 某学校准备购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买5个足球和2个篮球共需410元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据学校的实际情况，需购买足球和篮球共96个，并且总费用不超过5720元．问最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）足球50元，篮球80元；（2）最多购买篮球30个．
【解析】
【分析】（1）设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，根据购买2个足球和3个篮球共需340元，购买5个足球和2个篮球共需410元，列方程组求解；
（2）设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球，根据总费用不超过5720元，列不等式求出最大整数解．
【详解】（1）设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，
根据题意得：，
解得：，
答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；
（2）设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球，
根据题意得：80a+50（96﹣a）≤5720，
解得：a≤，
∵a是整数，
∴a≤30，
答：最多可以购买30个篮球．
25. （1）如图1，过等边的顶点A作的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接，将线段绕点C逆时针方向旋转60°得到线段，连接．
①求证：；
②连接并延长交直线于点D．若，，求的长；
（2）如图2，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到线段，连接，若，，求长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）
【解析】
【分析】（1）①证明，即可得出；
②连接，由旋转可得是等边三角形，根据，可知是的垂直平分线，，再由，得出，然后由勾股定理求出和的长，根据求出结果；
（2）将绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，构建等腰直角三角形，求出的长，再证明，即可得出答案．
【详解】（1）①证明：在等边中，，，
由旋转可得，，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
②连接，如图：
由旋转，得，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
在等边中，，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）将绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，如图：
则是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查几何变换的综合应用，涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的判断与性质等知识，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形解决问题．
26. 如图①，在中，延长AC到D，使，E是AD上方一点，且，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）如图①，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点；
（3）在如图②，若，，将沿直线翻折得到，连接交于F，交于G，若，，求线段的长度．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得，证出，得，即可证明结论；
（2）同（1）证出，由翻折得，结合易得，即，由三线合一得F是的中点；
（3）先利用折叠的性质，证明，易得，利用三角形内角和可得，由角的转化得到，最后证明，进而求得．
【小问1详解】
证明：，，，
，
在与中，
，
，
，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
证明：，，，
，
在与中，
，
，
，
∴，
如图，连接，
将沿直线翻折得到，
，
，
，即．
由三线合一，得：F是的中点；
【小问3详解】
解：如图，连，延长交于M，
根据折叠的性质，则，
，，
，
∵，
∴，
在与中，
，
，
由（2）知，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
在与中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形翻折变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，平行线的性质，等腰三角形三线合一，其中能够利用全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等进行等量代换是解题关键．