广东省阳江市2023-2024学年高二上学期1月期末测试数学试卷(含答案)

这是一份广东省阳江市2023-2024学年高二上学期1月期末测试数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,,则( )
A.B.C.D.
2．已知x,,,则的最小值为( )
A.-1B.1C.0D.
3．已知幂函数的图象过点,则的值为( )
A.9B.3C.D.
4．若关于x的一元二次方程有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
5．已知,则( )
A.B.C.D.
6．已知向量,,,,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
7．某圆锥的母线长为4,轴截面是顶角为120°的等腰三角形,过该圆锥的两条母线作圆锥的截面,当截面面积最大时,圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为( )
A.4B.2C.D.
8．已知P,A,B,C是表面积为的球O表面上的四点,球心O为的内心,且到平面,,的距离之比为,则四面体的体积为( )
A.3B.4C.5D.6
二、多项选择题
9．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法中正确的有( )
A.若,,则面积的最大值为
B.若,,则面积的最大值为
C.若角A的内角平分线交于点D,且,,则面积的最大值为3
D.若,M为的中点,且,则面积的最大值为
10．已知函数,则( )
A.是R上的奇函数
B.当时,的解集为
C.当时,在R上单调递减
D.当时,值域为
11．已知函数,则下列正确的有( )
A.函数在上为增函数B.存在,使得
C.函数的值域为D.方程只有一个实数根
12．正方体棱长为4,动点P、Q分别满足,其中,且,;R在上,点T在平面内,则( )
A.对于任意的,且,都有平面平面
B.当时,三棱锥的体积不为定值
C.若直线到平面的距离为,则直线与直线所成角正弦值最小为．
D.的取值范围为
三、填空题
13．已知,则的值为___________.
14．已知点在函数的图像上,且有最小值,则常数a的一个取值为____________．
15．三棱锥的四个顶点都在表面积为的球O上,点A在平面的射影是线段的中点,,则平面被球O截得的截面面积为___________．
16．在四面体中,,,,且,,异面直线,所成的角为,则该四面体外接球的表面积为___________.
四、解答题
17．在中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且,,．求：
（1）a的值;
（2）和的面积．
18．某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作,现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,绘制成如图所示的频率分布直方图,已知第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同．
（1）求a、b的值;
（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（精确到0.1）;
19．如图,在所有棱长都等于1的三棱柱中,,．
（1）证明：;
（2）求直线BC与平面所成角的大小．
20．已知直线,直线,设直线与的交点为A,点P的坐标为.
（1）经过点P且与直线垂直的直线方程;
（2）求以为直径的圆的方程.
21．已知直线和圆．
（1）求与直线m垂直且经过圆心C的直线的方程;
（2）求与直线m平行且与圆C相切的直线的方程．
22．已知函数
（1）当时,求的单调递增区间（只需判定单调区间,不需要证明）;
（2）设在区间上最大值为,求的解析式.
参考答案
1．答案：B
解析：,,
故选：B.
2．答案：B
解析：由题设,且,
所以,
当且仅当,即,时等号成立,
所以的最小值为1.
故选：B.
3．答案：A
解析：设,则,所以,
则,所以.
故选：A.
4．答案：C
解析：设,
根据已知结合二次函数性质,作图

则有,
解得.
故选：C.
5．答案：D
解析：.
故选：D.
6．答案：A
解析：,,
,,
,
,.
故选：A.
7．答案：D
解析：设该圆锥的顶点为S,底面圆心为O,AB为底面圆的直径,
连接SO,由圆锥的母线长为4,轴截面是顶角为120°的等腰三角形可知圆锥的高,
底面圆半径为,
设C为圆锥底面圆周上一点,连接BC,OC,则,
所以当的面积最大时,即最大时,即,的夹角为90°时,
的面积最大,此时的面积为8,且,
取中点D,连接,则,
在直角中,可得,
所以的面积为,
设圆锥底面圆的圆心O到截面SBC的距离为h,
则由可得,
即,解得,
所以圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为．
故选：D．
8．答案：A
解析：由题意可知：球心O既是的内心,也是的外心,则为等边三角形,
设球O的半径为R,则,解得,
由正弦定理可得,即的边长为,
分别取,的中点D,E,连接,
因为O到平面,的距离相等,由对称可知：点P在底面的投影在直线上,
如图,以O为坐标原点,为x轴所在直线,为y轴所在直线,过O作底面的垂线为z轴所在直线,建立空间直角坐标系,
则,,
可得,,
不妨设平面,,的法向量依次为,,
且,,
则O到平面,,的距离依次为,,
可得,整理得,
因为,设,,
则,
则,解得,,
则,解得,
则,即点P到底面的距离为,
所以四面体的体积为.
故选：A.
9．答案：BCD
解析：对于A,由余弦定理可得,
即,
由基本不等式可得,
即,当且仅当时,等号成立,
所以,所以A错误;
对于B,由余弦定理可得,
所以,
因为,所以,当且仅当时,等号成立,
所以,即面积的最大值为,故B正确;
对于C,设,,则,,
在和中,分别运用正弦定理,得和.
因为,所以,即,所以,
由余弦定理可得,
所以,
,当且仅当时,等号成立,
所以面积的最大值为3,所以C正确;
对于D,设,则,在中,
由余弦定理得,解得,则,
所以,
所以当即时,,D正确.
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：对于A,首先的定义域是R关于原点对称,其次,
即是R上的奇函数,故A正确;
对于B,当时,,所以或,
解得或,即当时,的解集为,故B正确;
对于C,不妨取,此时,对,
有,故C错误;
对于D,当,时,令,
此时,
而,当时,,
从而当时,即值域为.
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：A.当时,,函数在上为增函数,故A正确;
B.当时,,若,则,
即 ,其中,所以方程存在实数根,故B正确;
C.当时,,函数在上为增函数,此时,
当且时,,此时函数在和单调递减,此时或,所以函数的值域是,故C错误;
D.由以上求值域的过程可知,和时,,当时,,即,
如图画出和,当的图象,
两函数图象在区间只有1个交点,所以方程只有一个实数根,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：ACD
解析：对于A,以A为坐标原点,,,所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
设平面的法向量为,
,
则,令,则,,
则,
,,
,
设平面的法向量为,
则,
令,则,,
则,
又,
所以,所以对于任意的,且,都有平面平面,故A正确;
对于B,当时,
设平面的法向量为
,,
则,令,则,,
所以,
又,
点P到平面的距离为
又,
又因为的面积为定值,所以三棱锥的体积为定值,故B错误;
对于C,设,,则
因为直线到平面的距离为,所以平面,
,
设面为,
则,令,则,
所以
所以,即,
又,则,解得或,
若,所以,,
又,
设直线与直线所成角为,
所以
当最大时,最小,
令,,
在单调递增,
所以,,
最大值为,所以最小为,所以直线与直线所成角正弦值最小为;
若,所以,,根据对称性可得最小为,故C正确;
对于D,设因为,所以,,
,
所以,
整理得,
即
所以点p的运动轨迹为一个以为球心,半径为2的球面上一点,所以,
,
所以,
当时,最小为-28,当时,最大为4,
所以的取值范围为,故D正确.
故选：ACD.
13．答案：
解析：依题意,
.
故答案为：.
14．答案：1（不唯一）
解析：设,,分别绘制,函数的大致图像如下图：
其中有最小值,,没有最小值,是它的渐近线,
点在上,,,如上图,当时,不存在最小值,
;
故答案为：（不唯一）.
15．答案：
解析：设球O的半径为R,则,解得,
因为点A在平面的射影是线段的中点M,即平面,
因为平面,所以,
由三线合一可知,,
因为,所以为等边三角形,
故,,且球心O在平面上的投影为的中心N,
即,
过点O作平面于点P,连接,,故,
则与平行,故,
由勾股定理得,
平面被球O截得的截面为圆,半径为2,
故面积为.
故答案为：
16．答案：或
解析：依题意,将四面体放到长方体中,则D在长方体的后侧面所在的平面内,
因为异面直线,所成的角为,,
所以可得或,所以D应为图中或,如下图所示：

由对称性可知,当D点在z轴负方向时,解法与或位置相同;
可设的中点为F,四面体外接球的球心为O,球的半径为R,
由题意可知,球心O在过点F且垂直于平面的垂线上,且满足,
建立如上图所示的空间直角坐标系,因为,,,
设,又,,
由,所以,或,
解得或,
所以或,
即可知四面体外接球的表面积为或.
故答案为：或
17．答案：（1）
（2）故,的面积为
解析：（1）因为,,,
所以,由余弦定理得：,解得．
故.
（2）由,,则,
由正弦定理得,
又,,得,
．
故,的面积为.
18．答案：（1）,
（2）平均数为69.5,第60百分位数71.7
解析：（1）第三、四、五组的频率之和为0.7,
,解得,
所以前两组的频率之和为,即,
所以;
（2）这100名候选者面试成绩平均数为
,
前两个分组频率之和为0.3,前三个分组频率之和为0.75,所以第60百分位数在第三组,
设第60百分位数为x,则,解得,
故第60百分位数为71.7.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：连接,在中,,,所以,
中,,,所以,
所以在中, ,,,所以,
所以．
又因为在三棱柱中,,
所以．
（2）方法1
连接,,交于点O,连接,连接CO．
在边长都为1的正方形中,O是的中点,
又因为,
所以．
因为四边形边长都为1,所以．
由(1)知．
又因为,,平面,
所以平面．
因为平面,所以．
因为在边长都为1的四边形中,．
又因为,,平面,
所以平面．
因为平面,所以．
又因为,,平面,
所以平面,
所以即为直线BC与平面所成的角．
在边长都为1的四边形中, ,所以．
因为,所以,所以,
所以直线BC与平面所成角的大小为．
方法2
取中点O,连接BO,CO．
在中,,所以,
在边长都为1的正方形中, ,．
又因为,
所以为直角三角形,所以．
在中,,
所以．
又因为,,平面,
所以平面,
所以即为直线BC与平面所成的角．
在边长都为1的四边形中, ,所以．
因为,所以,所以,
所以直线BC与平面所成角的大小为．
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）易知的斜率为-2,故所求直线斜率是
直线过点P,故直线方程为
方程为
（2）联立方程组解得
故,,由中点坐标公式得中点坐标为
由两点间距离公式得,
故所求圆方程为
21．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设与直线垂直的直线的方程为．
圆C可化为,圆心为,
因为直线经过圆心C,所以,即,
故所求直线的方程为．
（2）设与直线平行的直线的方程为．
因为直线与圆C相切,
所以圆心到直线的距离等于半径,即,
所以,或10,
故所求直线的方程为或．
22．答案：（1）,
（2）
解析：（1）当时,,
当时,易得单调递增;
当时,,
因为对勾函数在,上单调递增,在,上单调递减,
所以在,上单调递增,
又当时,,所以在上单调递增,
综上,的单调递增区间为,.
（2）因为,
当时,,则,
根据对勾函数的单调性可知在上单调递增,在上单调递减,
所以;
当时,,则,显然在上单调递增,
所以;
当时,,
当时,单调递增,故,
当时,,
若时,则;若时,则;
所以当时,;
若时,,又,,
当,即时,,
当,即时,;
综上,.