湖南省岳阳市2024届高三下学期教学质量监测（二）数学试卷(含答案)

这是一份湖南省岳阳市2024届高三下学期教学质量监测（二）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．抛物线的焦点坐标为( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．已知为等差数列,,,则( )
A.6B.12C.17D.24
4．函数的极小值点为( )
A.B.C.4D.
5．下列说法错误的是( )
A.若随机变量,满足且,则
B.样本数据50,53,55,59,62,68,70,73,77,80的第45百分位数为62
C.若事件A,B相互独立,则
D.若A,B两组成对数据的相关系数分别为,,则A组数据的相关性更强
6．已知,,则( )
A.B.C.D.
7．设,,,则( )
A.B.C.D.
8．已知点,是圆上的两点,若,则的最大值为( )
A.16B.12C.8D.4
二、多项选择题
9．设,是关于x的方程的两根,其中p,.若(i为虚数单位),则( )
A.B.C.D.
10．已知函数的定义域为R,对任意x,都有,且,则下列说法正确的是( )
A.B.为奇函数
C.D.
11．如图,已知正方体的棱长为2,点M为BC的中点,点P为正方形内(包含边界)的动点,则( )
A.满足平面的点P的轨迹为线段
B.若,则动点P的轨迹长度为
C.直线AB与直线MP所成角的范围为
D.满足的点P的轨迹长度为
三、填空题
12．岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上,下瞰洞庭,前望君山.因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世,自古有“洞庭天下水,岳阳天下楼”之美誉.小明为了测量岳阳楼的高度AB,他首先在C处,测得楼顶A的仰角为,然后沿BC方向行走22.5米至D处,又测得楼顶A的仰角为,则楼高AB为______米.
13．若曲线上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线的“自公切线”,则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为______.
①;
②;
③;
④.
14．已知椭圆的左右焦点分别为,其中,过的直线l与椭圆C交于A,B两点,若,则该椭圆离心率的取值范围是______.
四、解答题
15．如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,侧棱底面ABCD,,E是PC的中点,作交PB于点F.
（1）求证:平面DEF;
（2）求二面角的正弦值.
16．用1,2,3,4,5,6这六个数组成无重复数字的六位数,则
（1）在数字1,3相邻的条件下,求数字2,4,6也相邻的概率;
（2）对于这个六位数,记夹在三个偶数之间的奇数的总个数为X,求X的分布列与期望.
17．已知函数,
（1）当时,求的单调区间;
（2）若方程有三个不同的实根,求a的取值范围.
18．已知,,设动点Q满足直线AQ,BQ的斜率之积为4,记动点Q的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程;
（2）点P为直线上的动点,直线PA与曲线E交于点C(不同于点A),直线PB与曲线E交于点D(不同于点B).证明:直线CD过定点.
19．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推.设该数列的前n项和为,规定:若,使得,则称m为该数列的“佳幂数”.
（1）将该数列的“佳幂数”从小到大排列,直接写出前4个“佳幂数”;
（2）试判断50是否为“佳幂数”,并说明理由;
（3）(i)求满足的最小的“佳幂数”m;
(ii)证明:该数列的“佳幂数”有无数个.
参考答案
1．答案：D
解析：由抛物线,可得,则焦点坐标为.故选:D.
2．答案：B
解析：,,
,
故选:B.
3．答案：C
解析：等差数列中,,解得,
又,所以,
又因为,,成等差数列,所以.
故选:C.
4．答案：D
解析：
5．答案：D
解析：对于A选项,,A选项正确;对于B选项,样本数据按从小到大排列为50,53,55,59,62,68,70,73,77,80,由于,故第45百分位数为第5个数,即为62,B选项正确;对于C选项,若事件A,B相互独立,则,则,C选项正确;对于D选项,若A,B两组成对数据的相关系数分别为,,则B组数据的相关性更强,D选项错误.故选:D.
6．答案：C
解析：因为,,
所以,时,
,
,时,
,
,时,
,
,时,
,
所以,
解得.
故选:C.
7．答案：A
解析：因为,所以,即,所以,即;
因为,所以,即,即,即;因为,所以,即,即,即;
又因为,
且,
所以,所以.
综上所述,.
故选:A.
8．答案：B
解析：因为,在圆上,,
因为,则是等腰直角三角形,表示A,B到直线的距离之和的倍,原点O到直线的距离为,
如图所示:
,是AB的中点,作于F,且,,,,,的最大值为.
故选:B.
9．答案：BCD
解析：依题意,,选项A错误;
,,
故,选项B,C正确;
,选项D正确.
故选:BCD.
10．答案：BCD
解析：
11．答案：AD
解析：
12．答案：
解析：由题可得:,,,
在中,,,
在中,,
所以,即,
解得,
所以楼高AB为米.
故答案为:.
13．答案：①②④
解析：①,在和处的切线都是,故①有“自公切线”;
②,其中,,
此函数为周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合,故此函数有“自公切线”,即②有“自公切线”;
③,即,则,
假设有“自公切线”,设切点分别为,,且,
所以切线的斜率,
解得,
则,
故,化简得,无解,所以③没有“自公切线”;
④,
当,则,当,则,
表示的图形如下,由于两圆相交,有公切线,所以④有“自公切线”.
故答案为①②④.
14．答案：
解析：
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:因为底面ABCD,平面ABCD,所以,
因为四边形ABCD是矩形,所以,
又因为PD,平面PCD,,
所以平面PCD,又平面PCD,所以,
又因为,E是PC的中点,所以,
所以平面PBC,
又平面PBC,所以,
由已知得,且,所以平面DEF,
（2）以D为原点,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则,,,
由（1）知平面DEF,所以为平面DEF的一个法向量,
又,,设为平面BDE的一个法向量,
则由得取,
则,
设二面角的大小为,
则
所以二面角的正弦值为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）设“数字1,3相邻”,设“数字2,4,6相邻”,则
;
（2）X的所有可能取值为0,1,2,3,
因为3个偶数中间共有2个空隙.由题意知“”表示3个偶数相邻,
则,
“”表示3个偶数中间只插入了1个奇数,则,
“”表示3个偶数中间共插入了2个奇数,可分为两种情形:和,则;
“”表示3个偶数中间共插入了3个奇数,可分为两种情形:和,则.
所以X的分布列为
X的期望为.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）当时,函数,
则,令得或,
当或时,,当时,
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
即当时,单调递增区间为和,单调递减区间为.
（2）,所以为的一个根,
故有两个不同于1的实根,
令,则,
(i)当时,,故在R上单调递增,不符合题意;
(ii)当时,令,得,
当时,,故在区间上单调递增,
当时,,故在区间上单调递减,
并且当时,;当时,,
所以若要满足题意,只需且,
因为,所以,
又,所以,
所以实数a的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）设,则,
由整理得
（2）证明:(方法一)设,,,
则,即
联立与曲线E的方程
得且
解得(舍去)或,
将代入得,
所以,其中
同理,可解得,其中,
当时,即时,
此时,所以此时直线CD的方程为;
当时,
直线CD的方程为
,
整理得,所以直线CD过定点
(方法二)设,,,
则由P,A,C及P,B,D三点共线得;
将上面两式相除,再平方可得:①
因为,均在曲线E上,
故满足;②
将②代入①可得
整理可得③
当直线CD的斜率存在时,设,
将直线CD的方程代入曲线得
且
由韦达定理得,
将上式代入③式可得解得(舍去)或,
故直线CD的方程为
当直线CD垂直于x轴时,易求得此时CD的方程为,
所以直线CD过定点
(方法三)设,,,
易知直线CD不垂直于y轴,所以设直线CD的方程为
由P,A,C及P,B,D三点共线得
;
由上式可得,即
将,代入可得①
因为,为曲线E上的点,
由（1）可知,,所以,即
将,代入可得②
①-②式相减可得
又易知,所以,所以直线CD的方程为,
故直线CD过定点
19．答案：（1）1,2,3,18
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）因为,所以1为该数列的“佳幂数”;
又因为,,
所以2,3,18也为该数列的“佳幂数”;
所以该数列的前4个“佳幂数”为:1,2,3,18;
（2）由题意可得,数列如下:
第1组:1;
第2组:1,2;
第3组:1,2,4;
…
第k组:1,2,4,…,,
则该数列的前项的和为:
,①
当时,,
则,
由于,对,,
故50不是“佳幂数”.
（3）(i)在①中,要使,有,,
m出现在第44组之后,又第k组的和为,前k组和为,
第组t项1,2,4,…,的和为,.
则只需,.
所以,则,此时,
所以对应满足条件的最小“佳幂数”,
(ii)证明:由(i)知:,.
当,且取任意整数时,可得“佳幂数”,
所以,该数列的“佳幂数”有无数个
X
0
1
2
3
P